重難點(diǎn)專題38圓錐曲線定直線、定曲線、定圓問題六大題型匯總

題型1斜率相關(guān)定直線...............................................................1

題型2點(diǎn)在定直線上.................................................................3

題型3兩條直線交點(diǎn)定直線...........................................................5

題型4內(nèi)心定直線問題...............................................................7

題型5定圓問題......................................................................9

題型6定曲線問題..................................................................10

題型1斜率相關(guān)定直線

【例題1】(2023?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)4(-4,0),B

(4,0),M是平面內(nèi)一動點(diǎn)，自M作MN垂直于AB,垂足N介于A和B之間，且2|MN『

=\AN\'\NB\.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡r；

(2)設(shè)過P(0,l)的直線交曲線r于C,D兩點(diǎn)，Q為平面上一動點(diǎn)，直線QC,QD,QP的斜

112

率分別為七，k,k,且滿足丁+丁=7.問：動點(diǎn)Q是否在某一定直線上？若在，求出該

20長1兄2匕0

定直線的方程；若不在，請說明理由.

【變式1-1]1.(2023?河南洛陽統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知橢圓C:g+g=l(a>b>0)的離心

率為日，右焦點(diǎn)為尸(g,0),A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)D(l,0)作斜率不為0的直線。直線1與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，記直線4P的斜率為好，

直線BQ的斜率為求證：強(qiáng)為定值；

(3)在(2)的條件下，直線4P與直線BQ交于點(diǎn)M,求證：點(diǎn)M在定直線上.

【變式1-1】2.(2022上?江蘇徐州?高三期末)已知雙曲線E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸

為X軸、y軸，漸近線方程為丫=±岳，且過點(diǎn)”2,或).

⑴求E的方程；

(2)過平面上一點(diǎn)M分別作E的兩條漸近線的平行線，分別交E于P、Q兩點(diǎn)，若直線PQ

的斜率為2,證明：點(diǎn)M在定直線上.

【變式1-1】3.(2023?上海金山?統(tǒng)考一模)已知橢圓「：5+'=l(a〉b>0)的左、右焦點(diǎn)

分別為

(1)以&為圓心的圓經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)％和上頂點(diǎn)B,求橢圓「的離心率；

(2)已知a=5,6=4,設(shè)點(diǎn)P是橢圓「上一點(diǎn)，且位于久軸的上方，若△P%F2是等腰三角形,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)已知a=2,6=舊，過點(diǎn)?2且傾斜角為知勺直線與橢圓「在》軸上方的交點(diǎn)記作4若動直線

/也過點(diǎn)&且與橢圓「交于M、N兩點(diǎn)(均不同于2),是否存在定直線/o：x=*o,使得動直線/

與曲的交點(diǎn)C滿足直線AM、"、2N的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)劭的值；若不存

在，請說明理由.

【變式1-1】4.(2023上?四川成都?高三成都七中?？奸_學(xué)考試)已知G：9+毛=1

(0<a<4),Q吊+若=1(6>4).

⑴證明：y=|用一2總與Q和。2相切；

(2)在(1)的條件下，若y=閉-2與Q在y軸右側(cè)相切于A點(diǎn)，與C?在y軸右側(cè)相切于B

點(diǎn).直線1與Ci和C2分別交于P,Q,M,N四點(diǎn).是否存在定直線“吏得對任意題干所給a,

b,總有/QP+^AQ+fcfiP+々BQ為定值？若存在，求出1的方程；若不存在，請說明理由.

【變式1-1】5.(2022上?河南洛陽?高二洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知橢圓C:

§+g=l(a>b>0)的離心率為孝，”(1考)是C上一點(diǎn).

⑴求C的方程.

(2)設(shè)4,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)D(1,O)作斜率不為0的直線>1與C交于P,Q兩

點(diǎn)直線4P與直線BQ交于點(diǎn)M,記AP的斜率為七，BQ的斜率為七.證明：①篙為定值；②點(diǎn)

M在定直線上.

⑴求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,4),過點(diǎn)P作動直線I與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M,N,在線段

MN上取異于點(diǎn)M,N的點(diǎn)H,滿足需=耦.證明：點(diǎn)H恒在一條定直線上.

【變式2-1】1.(2023上?安徽?高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系比Oy中,

已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)為(1,0),其中一條

漸近線的傾斜角為爭

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)7(2,0)作直線I與雙曲線C的左右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)E

滿足|AE|,=\EB\,\AT\,證明：點(diǎn)E在一條定直線上.

【變式2-1]2.(2023?江蘇常州?校考一模)已知橢圓C：§+g=l(a>b>0)的短軸長為

2V2,離心率為孝.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)P(4,l)的動直線/與橢圓C相交于不同的4B兩點(diǎn)，在線段4B上取點(diǎn)Q,滿足|4P|?|QB|

=\AQ\"\PB\,證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

【變式2-1】3.(2023?寧夏銀川??？寄M預(yù)測)已知拋物線3：久2=2py(p>0)和圓。2：

(x+l)2+y2=2,傾斜角為45。的直線人過Ci焦點(diǎn)，且人與C2相切.

(1)求拋物線Q的方程；

(2)動點(diǎn)M在Ci的準(zhǔn)線上，動點(diǎn)4在Ci上，若Ci在點(diǎn)力處的切線％交y軸于點(diǎn)B,設(shè)荻=疝+

MB,證明點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程.

22

【變式2-1】4.(2023?全國?高三對口高考)設(shè)橢圓。今+:=1(￡1>6>0)過點(diǎn)見血,1),

且左焦點(diǎn)為91(-V^,0)

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)過點(diǎn)P(4,l)的動直線I與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時，在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足

\AP\'\QB\&\AQ\-\PB\.證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

【變式2-1】5.(2023?湖北襄陽?襄陽四中校考模擬預(yù)測)過拋物線%2=2「>@>0)內(nèi)部一

點(diǎn)P(nui)作任意兩條直線4B,CD,如圖所示，連接AC,BD延長交于點(diǎn)Q,當(dāng)P為焦點(diǎn)并且

AB1CD時，四邊形4CBD面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程;

(2)若點(diǎn)P(l,l),證明Q在定直線上運(yùn)動，并求出定直線方程.

【變式2-1】6.(2020?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒?已知拋物線射：/

=2py(p>0^D/C2：Q+l)2+y2=2,傾斜角為45。的直線人過心的焦點(diǎn)且與C?相切.

⑴求p的值：

(2)點(diǎn)M在Ci的準(zhǔn)線上，動點(diǎn)A在Ci上，的在A點(diǎn)處的切線I2交y軸于點(diǎn)B,設(shè)加=而

+MB,求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程.

題型3兩條直線交點(diǎn)定直線

【例題3】(2023下?江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谀?如圖，在△ABC中,

BC=25AB+AC=4若以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系.設(shè)動頂點(diǎn)A?y).

(2)記第(1)問中所求軌跡曲線為M,設(shè)。1(—2,0)刀2(2,0),過點(diǎn)(1,0)作動直線/與曲線M交

于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在%軸下方).求證：直線。止與直線。2Q的交點(diǎn)E在一條定直線上.

【變式3-1】1.(2023上?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習(xí))從雙曲穌—\=l(a>0,6>0)

上一點(diǎn)P向》軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)Fi,點(diǎn)分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B

(0,|b),且&B〃OP,|F遇2|=2+點(diǎn)

(1)求雙曲線的方程；

(2)過點(diǎn)(2但0)作直線L分別交雙曲線左右兩支于&D兩點(diǎn)，直線&C與直線42。交于點(diǎn)“，證

明：點(diǎn)M在定直線上.

【變式3-1]2.(2023?湖南永州?統(tǒng)考一模)已知點(diǎn)A為圓a/+y2_2V10x-6=0上任

意一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-710,0),線段4B的垂直平分線與直線AC交于點(diǎn)D.

⑴求點(diǎn)D的軌跡E的方程；

(2)設(shè)軌跡E與x軸分別交于力卜力2兩點(diǎn)(力1在42的左側(cè))，過R(3,0)的直線/與軌跡E交于M,N

兩點(diǎn)，直線公”與直線42N的交于P,證明：P在定直線上.

【變式3-1]3.(2022上廣東惠州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知點(diǎn)4(-1,0),見1,0),動點(diǎn)P(x,y)

滿足直線P4與PB的斜率之積為3,記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程;

(2)過點(diǎn)F(2,0)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)，直線4M與BN相交于Q.求證：點(diǎn)Q在定直線上.

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【變式3-1】4.(2023?四川成都?校聯(lián)考二模)已知乙(—3,0)和42(3,0)是橢圓:

=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，直線1與橢圓冰目交于M,N兩點(diǎn)，直線1不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0,

且不與坐標(biāo)軸平行，直線與直線42M的斜率之積為-*

(1)求橢圓〃的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線OM與橢圓〃的另外一個交點(diǎn)為S,直線41S與直線&N相交于點(diǎn)P,直線PO與直

線[相交于點(diǎn)Q,證明：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求出該定直線的方程.

【變式3-1】5.(2023上?江蘇?高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知雙曲線C：/-產(chǎn)=1

(1)求C的右支與直線x=100圍成的區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

的個數(shù).

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為41，A2I過點(diǎn)(—2,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M

在第二象限，直線與NA?交于點(diǎn)P,證明：點(diǎn)P在定直線上.

【變式3-1】6.(2021上?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)校考期末)已知拋物線C:%2=2py(p>0)

上的點(diǎn)P(%o，l)到焦點(diǎn)尸的距離為2.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線C的方程；

(2)過點(diǎn)M(2,2)的任意直線/與拋物線C交于點(diǎn)4B,過點(diǎn)4B的拋物線C的兩切線交于點(diǎn)N,證

明：點(diǎn)N在一條定直線上，并求出該定直線的方程.

題型4內(nèi)心定直線問題

【例題4】(2023?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知R是圓M:(%+V3)+產(chǎn)=8上的動點(diǎn)，點(diǎn)

N(8,0),直線NR與圓M的另一個交點(diǎn)為S,點(diǎn)L在直線MR上，MSWNL,動點(diǎn)L的軌跡為曲

線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)若過點(diǎn)P(-2,0)的直線1與曲線C相交于4,B兩點(diǎn)，目4,B都在x軸上方，問：在x軸上是

否存在定點(diǎn)Q,使得△QAB的內(nèi)心在一條定直線上?請你給出結(jié)論并證明.

22

【變式4-1]1.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知橢圓C:女+^=l(a>0,6>0)過點(diǎn)M

(乎,孚)，且離心率為冬

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線=x+m與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)A,B,試問：aMAB的內(nèi)心是否

在一條定直線上？若是，請求出該直線方程；若不是，請說明理由.

【變式4-1】2.(2022上?江蘇南京高二南京師大附中?？计谥?已知橢圓C:§+g=l

{a>b>0),若點(diǎn)Pi(2,2),P2(0,2),P3(-2,V2),「4(2,A②中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)F是C的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)M(-4,0)且與x軸不重合的直線1與C交于不同的兩點(diǎn)4,B,求證：

△4BF內(nèi)切圓的圓心在定直線上.

【變式4-1]3.(2022上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中)作斜率為|的直線I與橢圓若+^=1

交于4B兩點(diǎn)，且P(?,孚)在直線I的左上方.

(1)當(dāng)直線I與橢圓C有兩個公共點(diǎn)時,證明直線I與橢圓C截得的線段AB的中點(diǎn)在一條直

線上；

(2)證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.

【變式4-1]4.(2020上?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，已知橢圓「：5+'=Ka>b>0)

的上、右頂點(diǎn)分別為4B,F是橢圓廠的右焦點(diǎn)，P(VX1)是橢圓廠上的點(diǎn)，且|。*=|。尸|

(。是坐標(biāo)原點(diǎn)).

(I)求a,b的值；

(n)若不過點(diǎn)P且斜率為乎的直線/交橢圓「于M,N兩點(diǎn)，試問：當(dāng)點(diǎn)P在直線珀勺上、下方

時，△PMN的內(nèi)心是否分別位于某條定直線上？若是，請求出兩條定直線的方程；若不是,

請說明理由.

【變式4-1】5.(2023?山東沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知曲線片?+9=1,直

線Z:y=x+爪與曲線E交于y軸右側(cè)不同的兩點(diǎn).

(1)求小的取值范圍；

⑵已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),試問：a/lPB的內(nèi)心是否恒在一條定直線上？若是，請求出該

直線方程；若不是，請說明理由.

題型5定圓問題

【例題5】(2023上?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系“Oy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

動點(diǎn)與定點(diǎn)F(2,0)的距離和D到定直線x=3的距離的比是常數(shù)2,設(shè)動點(diǎn)D的軌跡

為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)已知定點(diǎn)P(t,O),0<t<l,過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線二過點(diǎn)P作斜率大于0的直線。

與曲線C交于點(diǎn)G,H,其中點(diǎn)G在x軸上方，點(diǎn)H在x軸下方.曲線C與x軸負(fù)半軸交

于點(diǎn)A,直線AG,4”與直線/分別交于點(diǎn)M,N,若A,O,M,N四點(diǎn)共圓，求t的值.

【變式5-1】1.(2023上?河北保定?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知雙曲線C:§-g=l

(a>0,6>0)的離心率為2,其左、右焦點(diǎn)分別為Fi,尸2,點(diǎn)4為C的漸近線上一點(diǎn)，\AF2\

的最小值為板.

⑴求C的方程；

(2)過C的左頂點(diǎn)B且斜率為k(k豐0)的直線1交C的右支于點(diǎn)P,與直線x=3交于點(diǎn)Q,過Fi且

平行于QF2的直線交直線「尸2于點(diǎn)M,證明：點(diǎn)M在定圓上.

【變式5-1]2.(2023?浙江?統(tǒng)考二模)已知雙曲線唁—盛=l(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別

為FI，F(xiàn)2,且&到C的一條漸近線的距離為

⑴求C的方程；

(2)過C的左頂點(diǎn)且不與x軸重合的直線交C的右支于點(diǎn)B,交直線％點(diǎn)P,過％作PF?的

平行線，交直線BF2于點(diǎn)Q,證明：Q在定圓上.

【變式5-1】3.(2023?山東聊城?統(tǒng)考一模)已知雙曲線c：§-g=l(a>0,b>0)的

右焦點(diǎn)為F,一條漸近線的傾斜角為60。，且C上的點(diǎn)到F的距離的最小值為1.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。(0,0),M(0,2),動直線/：y=kx+小與C的右支相交于不同兩點(diǎn)力，B,且

AAFM=^BFM,過點(diǎn)。作。“1。”為垂足，證明：動點(diǎn)”在定圓上，并求該圓的方程.

【變式5-1】4.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知橢圓C「+，=l(a>b>0),離心率e=￥,

左、右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)圍成的三角形的面積為2企.

(1)求橢圓C的方程；

(2)M,N,A,B為橢圓上不同的四點(diǎn)，且均與橢圓右頂點(diǎn)P不重合，kMN-kAB=-l,

kPM-kPN=l,kPA+kPB=2,證明：直線MN和直線AB的交點(diǎn)在一個定圓上.

【變式5-1】5.(2020?江蘇南通?江蘇省西亭高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知點(diǎn)F是橢圓E：§+

g=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)，橢圓E的離心率為,，點(diǎn)(—1,|)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)F的直線交橢圓E于P,Q兩點(diǎn)，設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)為A,記直線PA,QA的斜率分

別為初％

①求七?的的值；

②過P作垂直于PA的直線I交x軸于點(diǎn)M.則A,P,M,Q四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出

該圓的方程；若不共圓，請說明理由.

題型6定曲線問題

這類問題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡，主要方法有:

(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；

(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；

(3)驗(yàn)證法：通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.

【例題6](2022上?河北滄州?高三統(tǒng)考期末)已知雙曲線C：§-g=l(a>0,b>0)的左、

右焦點(diǎn)分別為％,&,過尸2作一條漸近線的垂線交C于點(diǎn)B,垂足為A,|4尸2|=8，

|BF1|-|BF2|=2.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)已知點(diǎn)P是雙曲線C的右支上異于右頂點(diǎn)D的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=：上，S.OQWPD

(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，M為PD的中點(diǎn)，求證：直線OM與直線Q七的交點(diǎn)在某定曲線上.

【變式6-1】1.(2022上?江西贛州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))橢圓C:g+g=1

(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為用，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,且=乙4%&=60。.

(2)若橢圓E:《+看=4(2〉。且什1),則稱E為C的4倍相似橢圓，如圖，已知E是C

的3倍相似橢圓，直線I:y=kx+m與兩橢圓C,E交于4點(diǎn)(依次為M,N,P,Q,如

圖).S.\MN\=\NP\,證明：點(diǎn)T(k,m)在定曲線上.

【變式6-1]2.(2022上?江西贛州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知橢圓C：/+5=l(a>b>0)

的一個焦點(diǎn)為％(-1,0),其左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且％到直線的距離為序|OB|(O

為坐標(biāo)原點(diǎn)).

⑴求C的方程；

22

(2)若橢圓E年+與=4(4>0且4K1),則稱橢圓E為橢圓C的4倍相似橢圓.已知橢圓E是

橢圓C的3倍相似橢圓，直線=+m與橢圓C,E交于四點(diǎn)(依次為M,N,P,Q,

如圖)，且麗+所=2而，證明：點(diǎn)T(k即)在定曲線上.

【變式6-1】3.(2022上?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)

軸上的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)陽迎魚),N(歷—1).

⑴求C的方程；

(2)已知點(diǎn)D(3,0),直線—=ty+n(n豐3,t豐0)與C交于4B兩點(diǎn)，且直線。4DB的斜率之和

為匕證明：點(diǎn)(皿在一條定拋物線上.

【變式6-1】4.(2022上?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知雙曲線唔—f1=l(a>0力>0)

的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為y=±V3%.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知點(diǎn)P是雙曲線C的右支上異于頂點(diǎn)B的任意點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=：上，且OQIIPB,M為PB

的中點(diǎn)，求證：直線。”與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.

【變式6-1】5.(2022?廣東深圳?深圳市光明區(qū)高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知橢圓C：§+g

=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(l,0),且過點(diǎn)"(1,.

⑴求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C的左頂點(diǎn)力作直線與橢圓相交，另一交點(diǎn)為P,點(diǎn)M是4P的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=4

上，旦OQ//AP,求證：直線。M與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.

1.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線=m久2的焦點(diǎn)?與橢

圓C:5+§=l(G>h>0)的一個頂點(diǎn)重合，拋物線”經(jīng)過點(diǎn)Q(l,3,點(diǎn)P是橢圓C上任意一

點(diǎn)，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為七,尸2,且“正尸2的最大值為根

(1)求橢圓C和拋物線M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過拋物線M上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)N作拋物線M的切線，交橢圓C于4B兩點(diǎn)，線段4B的

中點(diǎn)為G,過點(diǎn)N作垂直于x軸的直線，與直線0G交于點(diǎn)E,求證：點(diǎn)E在定直線上.

2.(2023?江蘇南京?南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測)橢圓E的方程為9+?=1,左、右頂

點(diǎn)分別為力(—2,0),見2,0),點(diǎn)P為橢圓E上的點(diǎn)，且在第一象限，直線I過點(diǎn)P

(1)若直線I分別交x,y軸于C,D兩點(diǎn)，若PD=2,求PC的長；

(2)若直線I過點(diǎn)(-1,0),且交橢圓E于另一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)A,B),記直線4P與直線BQ交于

點(diǎn)M,試問點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說明理由.

3.(2023?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模)已知拋物線E:y2=2px(p>0),過點(diǎn)(—1,0)的兩

條直線A、a分別交E于4B兩點(diǎn)和C、。兩點(diǎn).當(dāng)匕的斜率為爭寸，|?1B|=2VTO.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)G為直線4D與8c的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G在定直線上.

4.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知橢圓C：，+g=l(a>&>0)

右焦點(diǎn)分別為尸2,A(2,1)是C上一點(diǎn)，點(diǎn)8與4關(guān)于原點(diǎn)。對稱，△力BF2的面積為傷.

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線〃A4B,且交C于點(diǎn)，E,直線4。與BE交于點(diǎn)P.

證明：①直線4。與BE的斜率乘積為定值；

②P點(diǎn)在定直線上.

5.(2023?安徽阜陽?安徽省臨泉第一中學(xué)?？既?已知雙曲線C：§-§=1

(a>0,b>0),直線I在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，直線I交y軸于

點(diǎn)D.當(dāng)I經(jīng)過C的焦點(diǎn)時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,4).

⑴求C的方程；

(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M,是否存在定直線I,使得經(jīng)過M的直線與C交于P,Q,與線段AB

交于點(diǎn)N,PM=APN,而=2而均成立；若存在，求出I的方程；若不存在，請說明理

由.

6.(2023?江西?校聯(lián)考二模)已知過曲線C]+g=l(a,b>0)上一點(diǎn)(x0,yo)作橢圓。的切線

I,則切線珀勺方程為簧+黃=1.若P為橢圓。15+必=1上的動點(diǎn)，過P作Q的切線跟交圓

22

C2：x+y=4于M,N,過M,N分別作C2的切線AG,直線人力交于點(diǎn)Q

(1)求動點(diǎn)Q的軌跡E的方程；

(2)已知R為定直線x=4上一動點(diǎn)，過R的動直線加與軌跡E交于兩個不同點(diǎn)4B,在線段4B上

取一點(diǎn)7,滿足=|4T||RB|,試證明動點(diǎn)「的軌跡過定點(diǎn).

7.(2023?遼寧?朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考三模)已知圓錐曲線E上有兩個定點(diǎn)M(VI1)、

/V(-V2,-l),P為曲線E上不同于M,N的動點(diǎn)，且當(dāng)直線PM和直線PN的斜率/CPM,

kp/V都存在時，有kpM,kpN=~2'

⑴求圓錐曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線I:x=+與圓錐曲線E交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)F,點(diǎn)A,F,B在直

線久=2四上的射影依次為點(diǎn)D,K,G

①若直線I交y軸于點(diǎn)T,且包=冊而，TB=A2BF,當(dāng)m變化時，探究羽+弱的值是否

為定值？若是，求出41+%2的值；否則，說明理由;

②連接AG,BD,試探究當(dāng)m變化時，直線AG與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請求出定

點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，