解直角三角形章末九大題型總結（拔尖篇）

?鹿型梳理

【題型1構建直角三角形求銳角三角函數值】.....................................................1

【題型2用等角轉換法求銳角三角函數值】.......................................................2

【題型3銳角三角函數與相似三角形的綜合應用】.................................................3

【題型4銳角三角函數與圓的綜合應用】.........................................................4

【題型5解非直角三角形】......................................................................6

【題型6巧設輔助未知數解直角三角形】.........................................................7

【題型7構造直角三角形進行線段或角的計算】...................................................8

【題型8解直角三角形與圓的綜合應用】.........................................................9

【題型9構造直角三角形解決實際問題】.........................................................10

，舉一反三\

【題型1構建直角三角形求銳角三角函數值】

【例1】（2023春?安徽?九年級專題練習）如圖，在四邊形ABC。中，ZB=60°,ZC=90°,E為邊上的

點，AADE為等邊三角形，BE=8,CE=2,則tanzAEB的值為（）

3V3

5

【變式1-1J（2023春?湖北襄陽?九年級統考期中）如圖，在△48。中，乙4=90°,若BE=znAC,CD=mAB,

連接8C、DE交于點F,則COSABFE的值為

8

【變式1-2］（2023?四川成都?統考中考真題）如圖，在RtAABC中，"BC=90。，CD平分乙4cB交4B于點D,

過。作DEIIBC交4C于點E,將ADEC沿OE折疊得到ADEF,DF交AC于點G.若保=：則tanA=

【變式1-3］（2023春?江蘇常州?九年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4,是BC邊

上的高，將AABC繞點C旋轉到AEFC（點￡、尸分別與點4、2對應），點尸落在線段4。上，連接4E,則

cosZ-EAF=.

【題型2用等角轉換法求銳角三角函數值】

【例2】（2023秋?江蘇常州?九年級統考期末）已知點尸在AABC內，連接24、PB、PC,在APAB、APBC、

△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱點尸為AZBC的自相似點，如圖，在直角AABC中,

AACB=90°,AC=12,BC=5,如果點P為直角△ABC的自相似點，那么tan//CP=.

【變式2-1］（2023春?吉林長春?九年級校考期中）如圖，在矩形2BCD中，連結4C,延長BC到點E,使CE=AC,

過點E作4C的平行線與4。的延長線交于點F.

D

（1）求證：四邊形ACEF是菱形；

（2）連結4E,若tanN4CB=竺，則tanzAEF的值為

8

【變式2-2］（2023秋?上海黃浦?九年級統考期末）如圖，平面上七個點/、B、C、D、E、F、G,圖中所有

的連線長均相等，則cos乙BAF=.

【變式2-3］（2023春?山東苗澤?九年級統考期中）如圖，在28CD中，對角線4C、8。交于點0.點M是BC邊

的中點，連接4M、OM,作CFII4M.已知。C平分NBCF,OB平分乙4OM,若=3近，貝Usin/BAM的值

【題型3銳角三角函數與相似三角形的綜合應用】

【例3】（2023春?九年級課時練習）如圖，四邊形2BCD為矩形，點E為邊AB一點,將△?!￡）￡"沿DE折疊，點

4落在矩形4BCD內的點尸處，連接BF,且=NBEF的正弦值為言則與的值為（）

.24

A.-B.-C|

35D技

【變式3-1］（2023?福建?模擬預測）如圖，在矩形4BCD中，AB=4,AD=2,點M、N分別在邊AB、AD±.

（不與端點重合），且DM1CN于點P.若UPD=135°,則cos/MNP=.

【變式3-2］（2023春?浙江杭州?九年級專題練習）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,cosB=將△4BC繞

頂點C旋轉得到且使得B'恰好落在AB邊上，A8'與AC交于點D,則鱉的值為（）

【變式3-3］（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在A4BC中，^ABC=90°,tanzS^C=|,AD=2,BD=4,

連接CD,則CD長的最大值是（）

【題型4銳角三角函數與圓的綜合應用】

【例4】（2023?廣東惠州??？寄M預測）如圖，是。。的直徑，點￡為弧4C的中點，AC.BE交于點D,

過/的切線交BE的延長線于尸.

⑴求證：AD=AF-,

（2）若與=I，求tan/OAD的值.

【變式4-1］（2023?湖北武漢??？既＃┤鐖D，48是。。的直徑，P4是。。的切線，PB交。。于D,點C是

弧8。上一點，PC=P4.

⑴求證：PC是。。的切線;

(2)若CDII4B,求sin/PCD的值.

【變式4-2］（2023?浙江杭州??？既＃┤鐖D1,三角形48C內接于圓O,點。在圓。上，連接4。和CD,CD

交4B于點E,/.ADE+/.CAB=90°

ffll

（1）求證：AB是直徑;

(2)如圖2,點尸在線段BE1上，AC=AF,LDCF=45°

①求證：DE=DA；

②若AB=kAD,用含上的表達式表示cosB.

【變式4-3］（2023?廣東湛江?統考二模）如圖CD是。。直徑，/是O。上異于C,。的一點，點2是。C延

長線上一點，連AB、AC.AD,^BAC=^ADB.

⑴求證：直線2B是。。的切線；

(2)若BC=20C,求tan/ADB的值；

(3)在(2)的條件下，作NOW的平分線2P交。。于P,交CD于E,連PC、PD,若AB=2爬,求AE-4P的

值.

【題型5解非直角三角形】

[例5](2023?天津河北?統考二模)如圖，在矩形4BCD中，AB=2,BC=2遍，連接力C,點E在AC上，NDEF=

90°,.

【變式5-11(2023春?九年級單元測試)在垃42。中，/2=2,/C=3,cos^ACB—,則乙1BC的大小為度.

【變式5-2](2023春?江蘇蘇州?九年級蘇州市景范中學校?？计谀?已知：在AABC中，AC=a,AB與BC

所在直線成45。角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為|代(即cosC=|近)，則AC邊上的中線長

是.

【變式5-3](2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學?？寄M預測)已知：在4中，BA=BC,sinzCXB=￡

點E是AC的中點，歹是直線8c上一點，連接EF,將AEFC沿著EF折疊，點。的對應點為。，連接40.

⑴如圖1,若點。在線段上，求證：EFWAD；

(2)如圖2,DF與交于點連接4F,^^DAF=LEAF,求證：點〃■是48的中點;

(3)如圖3,點尸在CB延長線上，DF與交于點M,EF交AB于點、N,若DE=EN=3,^MF-MA.

【題型6巧設輔助未知數解直角三角形】

【例6】（2023?遼寧沈陽?統考二模）如圖，在平行四邊形48CD中，sinA=羌BC=13,CD=24,點E在

邊CD上，將ABCE沿直線BE翻折，點C落在點F處，且2F=則CE的長為

【變式6-1］（2023?上海?九年級期末）如圖，在RtAABC,ZC=90°,AC=6,BC=8,。是BC的中點,

點E在邊4B上，將ABDE沿直線DE翻折，使得點8落在同一平面內的點方處，線段B'D交邊4B于點F,聯結

AB',當AAB1是直角三角形時，BE的長為

【變式6-2］（2023春?浙江?九年級期末）如圖，四邊形28CD,CEFG均為菱形，乙4=4尸，連結BE,EG,

EGIIBC,EBIBC,若sin/EG。=j菱形28CD的周長為12,貝。菱形CEFG的周長為.

F

--

A\|、/

【變式6-3］（2023秋?福建泉州?九年級校考期中）如圖，中，對角線AC與相交于點0,4ABD=

乙ACB,G是線段。。上一點，且NDGC-ZDCG=90°,①當AC1B。時，絲的值為____,②當taWDB=—

GD4

時，空的值為.

【題型7構造直角三角形進行線段或角的計算】

［例7］（2023?江蘇無錫?校聯考一模）如圖，已知四邊形4BCD為矩形，4B=4,BC=8,點E在BC上且CE=

AE,貝IJCE=；若點F為平面內一點，且NAFC=90°,連接EF,當tan4CEF=2時，EF的值為.

【變式7-1］（2023-黑龍江哈爾濱一統考一模）如圖,在四邊形28。。中,2。=BC,4ADC=乙48C,tan乙4DC=

延長小DC交于點P,若6=?,PB=3CD,則線段皿的長為一.

【變式7-2］（2023春?江蘇常州?九年級?？计谀┤鐖D，在A4BC中，4B=4C=10,點。、E分別是邊48、

邊8c上的點，連接CD,乙CDE=KB,尸是DE延長線上一點，連接FC,乙FCE=LACD.

（1）判斷△CDF的形狀，并說明理由;

⑵若4。=4,求（I的值；

L）E

（3）若sinB=|,BD=BE.

①求界的值；

UC,

②求FC的長.

【變式7-3](2023春?安徽?九年級專題練習)如圖1,△ABC的內角乙4BC和外角以CP的平分線相交于點。,

AE平分NB4C并交BD于點E.

(1)求證：Z.BAC=2ND；

(2)若BC=AC,且cosNBAC=求黑，

(3)如圖2,過點。作。FLBC,垂足為&f=3,其中色=；,連接4。、EC,求祟

DFDE2BC

【題型8解直角三角形與圓的綜合應用】

[例8](2023?黑龍江綏化??？既?如圖，在RtAABC中，zC=90°,AD平分NBAC交BC于點D,。為4B上

一點，經過點4。的圓。分別交AB,AC于點E,F,連接EF.

(1)求證：BC是圓。的切線;

(2)求證：AD2=AF-AB-,

(3)若BE=16,sinB=*求2。的長.

【變式8-1](2023?湖北武漢?校聯考模擬預測)點。在以4B為直徑的。。上，分別以4B,為邊作平行四

邊形2BCD.

⑴如圖(1),若乙。=45。，求證：CD與。。相切;

(2)如圖(2),CD與。。交于點E,若cos4=j求的值.

5CE

【變式8-2](2023?廣東深圳?統考模擬預測)如圖，已知為。。的直徑，。為。。上的一點，連接AC、BC,D

為BC延長線上一點，連接2D,Z.DAC=Z.B.

B

(1)求證：為。。的切線；

(2)若E為弧4B的中點，連接ZE、CE,tan^AEC=|,CE=10,求。。的半徑.

【變式8-3](2023?湖南長沙??？家荒?如圖1,在RtAABC中，^ABC=90°,2B是。。的直徑，O0交4c

于點。，過點。的直線交BC于點E,交4B的延長線于點P,PD是。。的切線.

(1)求證：BE=CE；

(2)若BP=3,/.P=/.PDB,求圖中陰影部分的周長；

(3)如圖2,AM=BM,連接DM,交AB于點N,若tan/DMB=(求MN:MD的值.

【題型9構造直角三角形解決實際問題】

【例9】(2023?浙江溫州?校聯考二模)長嘴壺茶藝表演是一項深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長嘴壺更

是歷史悠久.圖1是某款長嘴壺模型放置在水平桌面/上的抽象示意圖，已知壺身48=aD=8C=120cm,

CD=40cm,壺嘴EF=150cm,5.CDWAB,EF\\BC,DE=3AE,貝l]sinNFED=,如圖2,若長嘴壺中裝

有若干茶水，繞點/轉動壺身，當恰好倒出茶水時，FD||I,則此時出水口尸到桌面的距離為cm.

ABA

圖1圖2

【變式9-1］（2023春?浙江?九年級專題練習）火災是最常見、最多發的威脅公眾安全和社會發展的主要災

害之一，消防車是消防救援的主要裝備.圖1是某種消防車云梯，圖2是其側面示意圖，點D,B,。在同

一直線上，D?？衫@著點。旋轉，AB為云梯的液壓桿，點。，A,C在同一水平線上，其中BD可伸縮，套管。B

的長度不變，在某種工作狀態下測得液壓桿AB=3m,Z.BAC=53。，乙DOC=37°.

⑴求B。的長.

（2）消防人員在云梯末端點。高空作業時，將BD伸長到最大長度6m,云梯。。繞著點。順時針旋轉一定的角度,

消防人員發現鉛直高度升高了3m,求云梯OD旋轉了多少度.（參考數據：sin37°?tan37°?sin53°?，

545

4、

tan53°?sin64°?0.90,cos64°x0.44）

3

【變式9-2］（2023?浙江溫州?統考二模）如圖1是一款便攜式拉桿車，其側面示意圖如圖2所示，前輪。。的

直徑為12cm,拖盤OE與后輪。。'相切于點N,手柄。F1OE.側面為矩形/BCD的貨物置于拖盤上，AB=

20cm,BC=52cm.如圖3所示，傾斜一定角度拉車時，貨物繞點3旋轉，點C落在OF上，若tan/ABE=：,

則。C的長為cm,同一時刻，點C離地面高度％=56cm,則點/離地面高度為cm.

【變式9-3］（2023?江西九江?統考三模）如圖1是某品牌的紙張打孔機的實物圖，圖2是從中抽象出的該打

孔機處于打孔前狀態的側面示意圖，其中打孔機把柄02=5cm,BE是底座，。4與8E所成的夾角為36.8。，

。點是把柄轉軸所在的位咒，且。點到底座BE的距離0C=2cm.。。與一根套管相連，。?？衫@。點轉動，此

時，O0IBE,套管內含打孔針MN,打孔針的頂端M觸及到04但與04不相連，MN始終與BE垂直，且0M=

1cm,MN=2cm.

(1)打孔針MN的針尖N離底座BE的距離是多少厘米？

(2)壓下把柄。兒直到4點與B點重合，如圖3,此時，M.。兩點重合，把柄。4將壓下打孔針MN并將它鍥

入放在底座8E上的紙張與底座之內，從而完成紙張打孔，問：打孔針MN鍥入底座8E有多少厘米？

（參考數據：sin36.8°?cos36.8°?tan36.8°?-）

554

解直角三角形章末九大題型總結（拔尖篇）

?鹿型梳理

【題型1構建直角三角形求銳角三角函數值】.....................................................1

【題型2用等角轉換法求銳角三角函數值】.......................................................7

【題型3銳角三角函數與相似三角形的綜合應用】................................................12

【題型4銳角三角函數與圓的綜合應用】........................................................17

【題型5解非直角三角形】.....................................................................20

【題型6巧設輔助未知數解直角三角形】........................................................32

【題型7構造直角三角形進行線段或角的計算】..................................................41

【題型8解直角三角形與圓的綜合應用】........................................................50

【題型9構造直角三角形解決實際問題】.........................................................60

?舉一反三

【題型1構建直角三角形求銳角三角函數值】

【例1】（2023春?安徽?九年級專題練習）如圖，在四邊形ABC。中，ZB=60°,ZC=90°,E為邊上的

點，△4DE為等邊三角形，BE=8,CE=2,則tan乙4EB的值為（）

C3b

A.子B.平C.—

5

【答案】C

【分析】作EFLAB于點F,4"18后于點4,解直角ABEF,得出=證明AAEF三AEDC,得

出4F=EC=2,再求出AH=3%,HE=5,然后利用正切函數定義即可求解.

【詳解】如圖，作EF14B于點F,AHJ.BE于點H,

,:乙B—60°,BE=8,

.ZBEF=90°-Z-B=30°,

--BF=-BE=4.

2

???△ZDE為等邊三角形，

???乙4EO=60°,AE=DE,

-/.BAE++/.AEB=180°,乙DEC+乙AED+Z.AEB=180°,

??Z-BAE=乙DEC,

Z.EAF=乙DEC

在AAEF與AEDC中，AAFE=ZC,

,AE=ED

■■.^AEF三AEDC(AAS),

??AF=EC=2,

-.AB=4F+BF=2+4=6,

?.ZAHB=90°,乙BAH=90°一乙B=30°,

：.BH==3,AH=V3BH=3^/3,

'.HE=BE-BH=8-3=5f

AH_3y[3

.,.tanZi4E//HE-5

故選：c.

【點睛】此題考查了解直角三角形，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，含30。角的直角三角形

的性質，銳角三角函數定義等知識，準確作出輔助線，構造全等三角形以及直角三角形是解題的關鍵.

【變式1-1］（2023春?湖北襄陽?九年級統考期中）如圖，在A/BO中，N/=90。，若CD=mAB,

連接8C、DE交于點尸，則COSABFE的值為

【答案】需

m2+l

【分析】過C作CGL8C,過。作DG140,如圖所示，先證明△4BCDCG,得到BE=ma=OG,從而

判定四邊形BEDG是平行四邊形，進而EDII8G,得到N8FE=4CBG,在RtA4BC中，BC=Va2+h2；在

RtACDG中，GC=mVa2+b2;在RtABCG中，BG=yjBC2+CG2=V(1+m2)(a2+b2),即可得到

yJa2+b2_y/m2+l

cosZ-BFE=cosZ-CBG=—

V(l+m2)(a2+fe2)m2+l*

【詳解】解：過C作CG1BC,過。作。G1/0,如圖所示:

/.DG||AB.Z-BCG=90°,Z.CDG=90°,

???乙4=90°,

???/.ABC+乙ACB=90°,

???乙BCG=90°,

???乙4cB+Z-DCG=90°,

Z.ABC=乙DCG,

??.△ABCDCG,

AB_AC

,,—,

DCDG

BE=mAC,CD=mAB,

設4c=a,AB=b,貝！JBE=ma,CD=mb,則上-=—,解得DG=ma,

mbDG

BE=ma=DG,

???BE||DG,

???四邊形BEDG是平行四邊形,

??.ED||BG,

???Z-BFE=乙CBG,

在RtAABC中，NA=90°,AC=a,AB=b,則Bt=壯。2+爐,

在Rt△COG中，Z.CDG=90°,BE=ma,CD=mb,則GC=mVa2+b2,

在RtABCG中，乙BCG=90°,則BG=VBC2+CG2=V(1+m2)(a2+fe2)coszBFE=cos4CBG=—=

>Ja2+b2_Vm2+1

2222

y/(l+m')(a+b')m+l，

Vm2+1

故答案為:

m2+l

【點睛】本題考查求三角函數值，涉及相似三角形判定與性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理及余弦

函數定義，準確構造輔助線，熟練運用相似三角形判定與性質是解決問題的關鍵.

【變式1-2]（2023?四川成都?統考中考真題）如圖，在RtAABC中,LABC=90°,CD平分乙4cB至4考于點D,

過。作DEIIBC交4C于點E,將ADEC沿OE折疊得到ADEF,DF交AC于點G.若保=：則tanA=

【答案】學

【分析】過點G作GM_LDE于M,證明△DGE-ACG。，得出DG?=GExGC,根據40IGM,得竺=2=",

GE3ME

設GE=3,4G=7,EM=3n,則DM=7n，則EC=DE=10n,在RtAOGM中，GM2=DG2-DM2,在

RtAGME中，GM2=GE2-EM2,則OG?—DM?=GE2一EM2,解方程求得幾=三，貝!]EM=1GE=3,

44

勾股定理求得GM,根據正切的定義，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點G作GM1OE于M,

???CO平分44cB交4B于點O,DEWBC

???Zl=z2,z2=z3

???Zl=z3

.'.ED=EC

???折疊,

???Z3=z4,

???zl=z4,

又?；(DGE=(CGD

DGEs△_CGD

DG_GE

CG~DG

■.DG2=GEXGC

“ABC=90°,DEWBC,則4D1DE,

：.AD\\GM

AG_DM

乙44,

GE-ME"MGE=

AG_7_DM

GE-3-ME

設GE=3,4G=7,EM=3n,則。M=7幾，貝=DE=10九,

-DG2=GExGC

-'-DG2=3x(3+lOn)=9+3On

在RtZkDGM中，GM2=DG2-DM2

在RtZkGME中，GM2=GE2-EM2

：.DG2-DM2=GE2-EM2

即9+3On—(7n)2=32—(3n)2,解得：n=-

4

9

；?EM=",GE=3

4

則GM=7GE?-ME2=393y[7

4

,"an—a"GM=器=圭=9

4

故答案為：學

【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，熟

練掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式1-3］（2023春?江蘇常州?九年級?？计谀┤鐖D，在AaBC中，AB=AC=5,BC=4,2D是BC邊

上的高，將AABC繞點C旋轉到AEFC（點E、尸分別與點4、2對應），點尸落在線段4D上，連接4E,則

cos/.EAF=

BD

【答案】

10

【分析】過點E作EG14D于點G,結合旋轉的性質可求cosNFCD=2=；，進而可證A4CE是等邊三角形,

CF2

可求出AD=-2次，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點￡作EG14。于點G,

?.?將AZBC繞點C旋轉，點2落在線段4。上的點尸處，

???CF=BC=4,CE=EF=AB=5,乙4cB=Z.ECF,AC=EC,

Z-FCD+Z-ACF=Z-ACE+Z-ACF,

Z-FCD=Z-ACE；

AB=AC,4。是BC邊上的高,

1

???CD=-BC=2,

2

CD21

???cosZ-FCD=—=-=

CF42

???乙FCD=60°,

??.DF=CF?sin乙FCD=4Xy=2百,

???/.ACE=乙FCD=60°,

-AC=EC,

??.△ZCE是等邊三角形，

??.AE=EF=5,

???在Rt△ACO中

AD=y/AC2-CD2=V52-22=⑶,

??.AF=AD-DF=V21-2V3,

???AE=EF,EG1AD,

1（「V21-2V3

???AG=-AF=---------

22

V21-2V3,—「

，門人廠AG-2-VH-2A/3

???cosZ-EAF=—=---=---------

AE510

低-

故答案為:26

10

【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形“三線合一”，等邊三角形的判定及性質，特殊角的

三角函數等，掌握相關性質及定理，構建直角三角形是解題的關鍵.

【題型2用等角轉換法求銳角三角函數值】

【例2】（2023秋?江蘇常州?九年級統考期末）已知點尸在AZBC內，連接P4PB、PC,在APAB、APBC、

△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱點尸為AdBC的自相似點，如圖，在直角△ABC中,

AACB=90°,AC=12,BC=5,如果點P為直角△28C的自相似點，那么tanzACP=

cb-----'8

【答案】得

【分析】先找到RtAABC的內相似點，再根據三角函數的定義計算tan乙4cp即可.

【詳解】解：,??UCB=90°,AC=12,BC=5,

■■.Z.CAB<Z.CBA,

故可在NCB4內作ZCBP=ZC4B,

又???點尸為△ABC的自相似點，

???過點C作CP1PB,并延長CP交4B于點D,

A

卜

ch--"

貝ijABPC-AACB,

點尸為AABC的自相似點，

■■/.BCP=Z.CBA,

■■Z.ACP=/-BAC,

-'?tanZ.ACP=tanZ.BAC

AC12

故答案為：

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，利用條件先確定出P點的位置是解題的關鍵.

【變式2-11(2023春?吉林長春?九年級校考期中)如圖，在矩形ZBCD中，連結ZC,延長至U點E,使CE=AC,

過點E作4C的平行線與ZO的延長線交于點尸.

(1)求證：四邊形4CEF是菱形；

(2)連結4E,若tan乙4cB=竺，貝Utan乙4EF的值為

8

【答案】⑴見解析(2)|

【分析】(1)根據進行的性質得出”11CE,進而得出四邊形4CEF是平行四邊形.根據鄰邊相等的平行四

邊形是菱形，即可得證；

(2)根據tan乙4cB=在RtAACB中，設4B=15k,則BC=8k,根據菱形的性質得出4c=EC=17k,

8

AAEF=^AEB,進而根據正切的定義，即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?在矩形4BCD中,ADWBC,BPXF||CE,

又EF||AC,

四邊形4CEF是平行四邊形.

又???CE=AC,

???四邊形2CEF是菱形.

連接4E,CF交與點0,

???四邊形2CEF是菱形,

?-AE1FC

??,tan乙4cB=—,

8

在RtZk/CB中，^AB=15/c,貝ljBC=8匕

則4C=7AB2+BC2=17fc,

???四邊形ZCEF是菱形，

：.AC=EC=17k,Z.AEF=乙AEB,

AD15k3

.*.tanZi4EF=tanZ-AEB=—

BE17k+8k5

【點睛】本題考查了菱形的性質與判定，矩形的性質，求正切，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

【變式2-2］（2023秋?上海黃浦?九年級統考期末）如圖，平面上七個點/、B、C、D、E、F、G,圖中所有

的連線長均相等，則cos乙BAF=—.

【答案】I

【分析】連接/c、4D,過點。作ZWUC,垂足為過點/作/N1CD于點N.由各邊都相等，得A4BG、

AAEF、ACBG和△。所都是等邊三角形，四邊形Z5CG、四邊形/切尸是菱形，若設48的長為x,根據等

邊三角形、菱形的性質，計算出的長年，乙BAC=/.EAD=30。,可證明的尸=ZC4D；易得ACMD”△CNA,

從而示求得CW的長，進而求得的長，在直角中，由余弦的定義即可求出cos4。。從而求得結

果.

【詳解】解：連接/C、4D,過點。作DMjC,垂足為過點工作ZN1CD于點N,如圖.

設AE的長為x,則AB=AG=BG=CG=CB=AF=AE=EF=x

.,.△ABG、AAEF、ACBG和都是等邊三角形

四邊形/5CG、四邊形力切產是菱形

；?ABAC=^E4D=30。

??.AC=AD=2xcos乙BACXAB=2X*=G

MCAD=Z.BAE-^BAC-/LEAD=乙BAE-60。,乙BAF=乙BAE—乙EAF=乙BAE—60。

???乙BAF=^CAD

-DMLAC,ANLCD,乙CAN=cCDM

:ACMD八CNA

CM_CD

?,CN-AC

?:AC=AD,ANLCD

ii

.'.CN=-CD=-x

22

CD-CN1/TTy/3

-'-CM=---=xx-x-T-(ZV3xX)=——x

AC2v76

■■.AM=AC-CM=V3x--x=—x

66

,,AMK

在RtxAMD中，cos乙CAD=—=-

AD6

-t?cosZ-BAF--.

6

故答案為J.

6

【點晴】本題考查了等邊三角形的性質和判定、菱形的性質和判定、相似三角形的判定與性質、銳角三角函

數.把求的E的余弦轉化為求4c4。的余弦是解決本題的關鍵.

【變式2-3](2023春?山東荷澤?九年級統考期中)如圖，在448CD中，對角線4C、8。交于點。.點M是BC邊

的中點，連接4M、OM,作CFII4M.已知。C平分NBCF,OB平分乙4OM,若=3瘋，貝UsinzBAM的值

【分析】過點E作EH，4B于"，由角平分線的定義和平行線的性質證明M4=MC,再由等腰三角形的性質

證明乙4OM=90。，由題意證明。M為△ABC的中位線，得到。M||4B,OM=^AB,則有NBA。=90。，進

而推出4B=AO=—OB=-,利用勾股定理得到AM=VOM2+OA2=―,證明△ABEMOE,得到四=

224ME

—=—=2,求出AE=2AM=在,BE=三。3=夜，再推出=EH=公BE=1,得到4"=二，利用

OMOE32322

sin^BAM=sin/H/E則問題可解.

【詳解】解：如圖所示，過點E作于H,

???。。平分/

??Z.OCF=Z.OCB,

-CF||AM,

：^CAM=AACF,

=Z.MCA,

?,MA=MC,

???四邊形ZBCO是平行四邊形，對角線4C、BD交于點0,

：.OB=-BD=蟀04=OC

22

■■.OM1AC,即乙40M=90°,

??,OB平分NAOM,

：./.AOB=45°,

???M為BC的中點，

.??。用為448。的中位線，

1

.'.OM||AB,OM=^AB9

'.^BAO=180°-乙AOM=90°,

"ABO=45°=乙AOB,

?.AB=AO=—OB=-,

22

13

???0M=-AB=

24

???XM=70M2+。42=%

4

???0M||AB,

ABEMOE,

AEABBE仁

"ME-OM~OE~'

■■.AE=-AM=—,BE=-0B=V2,

323

-EH1AB,

"BEH=45°=乙EBH,

：.BH=EH=—BE=1,

2

.■.AH=

2

.r-,.--.TTAVHE

-''smZ-BAM=sm4HAE=—=——,

AE5

故答案為：誓

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數，平行四邊形的性質，等腰直角三角形的性質與判定，三角形中位線

定理，相似三角形的性質與判定等等，利用相似三角的性質構造比例式，得到線段之間數量關系是解題的

關鍵.

【題型3銳角三角函數與相似三角形的綜合應用】

【例3】（2023春?九年級課時練習）如圖，四邊形2BCD為矩形，點E為邊48一點，將△?!￡）￡"沿DE折疊，點

4落在矩形4BCD內的點F處，連接BF,且BE=￡T,NBEF的正弦值為余則我的值為（）

A.-2B.-4D.24

35c125

【答案】A

【分析】過點尸作FPVAB于點P,根據折疊的性質及BE=EF,可得-1ED=4EBF,從而可得ANDEs△刊科

由NBEF的正弦值為g設EF=25a,則PF=24a,由勾股定理求得PE=1a,從而可得BP,則由相似可得華=

25ADPF

再由折疊的性質可得點￡是45的中點，從而可求得結果.

【詳解】如圖，過點F作尸PL4B于點P

由折疊的性質可得：AE=EF,乙4EDNFED

,-BE=EF

；.BE=AE=EF,Z.EFB=Z.EBF

v/-BEF+2Z.AED=/.BEF+2Z.EBF=180°

-，-Z-AED=Z-EBF

???四邊形/BCD為矩形，PFL4B

山=4尸產5=90°

??△ADE~￡PFB

AE_BP

''AD-PF

,,24PF

?在RtAPEF中，sinzB￡F=—=—

25EF

:,沒EF=25a,則尸尸=24。

由勾股定理求得PE=VEF2-PF2=7a

；.BP=BE—PE=18a

,AE_BP_18a_3

',ADPF24a4

.AB_2AE_3

"'AD-AD~2

-AD-=一2

AB3

故選：A.

【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，折疊的性質，銳角三角函數，勾股定理，等腰

三角形的性質等知識，關鍵是由正弦值出發設E尸與尸尸的長，難點是證明△ADESAPES.

【變式3-1］（2023?福建?模擬預測）如圖，在矩形4BCD中，AB=4,AD=2,點M、N分別在邊AB、AD1.

（不與端點重合），且DM1CN于點P.若UPD=135°,則cos/MNP=.

【答案】Y

【分析】根據題意得出4MpM四點共圓，結合題意得出A4NM是等腰直角三角形，設4M=4N=a,證明

△AMDsADNC得出a=|,勾股定理得出MN,DM,證明△DPNZMM得出NP,進而根據余弦的定義即

可求解.

【詳解】解：???四邊形4BC0是矩形，DM1CN

■■/.MAN=4MPN=90°,

??.4N,P,M四點共圓，

■：Z.APD=135°,

：.Z.ANM=/.APM=180°-4APD=45°,

.?.△4NM是等腰直角三角形，

設AM=AN=a,

-Z.ADM=90-乙DNP=乙DCN,/.MAD=乙NDC=90°,

.*.△AMDDNC

AM_AD

??麗―麗

=p解得：a=I，

2—a43

■■.AM=AN[ND=I，則MN=y/2AM=|V2,

.■.DM=7AM2+加=J(I?+22=等

又“DPN=^DAM=90。,"DM=乙PDN

DPNDAM

.NP_ND

"'AM-DM

24

3X3=2V10

：,NP=

DM|V1O_15

2V10

V5

???coszMyVP=——=-T7=-

MN2V25:

故答案為：,

【點睛】本題考查了90。角所對的弦是直徑，相似三角形的性質與判定，求余弦，證明△4M。?△ONC,△

DPNn4M是解題的關鍵.

【變式3-2］（2023春?浙江杭州?九年級專題練習）如圖，在RtAABC中，NC=90。，cosB=將△4BC繞

頂點C旋轉得到且使得B'恰好落在AB邊上，A8'與AC交于點D,則鱉的值為（）

【答案】B

【分析】如圖（見解析），設BC=3a（a>0）,先根據余弦三角函數得出BE的長，再根據等腰三角形的三

線合一可得的長，從而可得的長，然后根據旋轉的性質可得4C=4a,=最后根據相似三

角形的判定與性質可得盥=祟，由此即可得出答案.

【詳解】如圖，過點C作CEUB于點E

???在RM4BC中，ZC=90°,cosB=-=-

AB5

???可設BC=3a(a>0),則ZB=5a,AC=y/AB2-BC2=4a

??.△BCB'是等腰三角形

???BBf=2BE（等腰三角形的三線合一）

r

由旋轉的性質可知，B'C=BC=3afAC=AC=4a,乙4=乙4'

在RtABCE中，COSB=即案=|,解得電美

18a

???BB'=2BE=—

,,18a7a

AB=AB—BB=5a-—

在和△ACD中，｛NA=

AADB'=AA'DC

:.XAB'D-LA'CD

7a

B'D_AB'_7

7F=/i7?=4a=20

【點睛】本題考查了余弦三角函數、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、旋轉的性質等知識點,

通過作輔助線，運用余弦三角函數求出BE的長是解題關鍵.

【變式3-3］（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在ANBC中，/-ABC=90°,tanzS^C=|,40=2,BD=4,

連接CD,則CD長的最大值是（）

2V5+1C.2V5+ID.2V5+2

【答案】B

【分析】過點/作乙D4P=乙8/C,過點。作/Drop交4P于點P,分別求出尸。，PC,在APDC中，利用三

角形的三邊關系即可求出CD長的最大值.

【詳解】解：如圖，過點/作/1必產=乙8/。，過點D作ADLDP交4P于點P,

■.■AABC=90°,tanzBXC=

2

?'-tanz.DAP=tanZ.BAC=

2

DP_1

,,—―J

AD2

-AD=2,

???。尸=1,

?:乙DAP=￡BAC,UDP=UBC,

；?"DP~AABC,

AP_AD

''AC-ABf

?:乙DAB=3AP+乙PAB,L.PAC=Z-PAB+Z-BAC,乙DAP=（BAC,

*'?Z-DAB=Z-PAC9—=—,

ACAB

:仙ADB~2APC,

AD_DB

"'AP-PC'

■：AP=y/AD2+DP2=V22+l2=瓜

.-.PC==必=2圾,

AD2

；.PD+PC=1+