第06講平行線中的四大基本模型（4類題型+20道拓展培優(yōu)題）

旨【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

丹【經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】

【結(jié)論1]若AB〃CD,貝l]NB0C=NB+NC

【結(jié)論2］若NB0C=NB+NC,則AB〃CD.

【結(jié)論3】如圖所示，AB/7EF,貝l]NB+ND=NC十NE

朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

1名

鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯(cuò)角拆分成2個(gè)豬蹄模型

【例1】（2023下?福建莆田?七年級校聯(lián)考期中）如圖，ABCD,則么“、&N尸滿足的數(shù)量關(guān)系為

()

B.ZA+NC+NE+N尸=360。

C.ZA+ZC+ZE—ZF=180°D.ZA+NC—NE+N尸=180。

【變式訓(xùn)練】

1.（2023下?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，已知：AB//EF,ZB=NE,求證：BC//DE.在證明該結(jié)論

時(shí)，需添加輔助線，則以下關(guān)于輔助線的作法不正確的是（）

A.延長交所的延長線于點(diǎn)G

B.連接BE

C.分別作NBCD,NCDE1的平分線CG,DH

D.過點(diǎn)C作CG〃AB（點(diǎn)G在點(diǎn)C左側(cè)），過點(diǎn)D作DH〃EF（點(diǎn)”在點(diǎn)。左側(cè)）

2.（2023下?山東泰安?六年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線AB〃CD,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接,/>￡>.則NA、

ND、NAPD之間的等量關(guān)系為.

3.（2023下?山東聊城?七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知直線4、。和4、4分別交于點(diǎn)A、B、C、

。，點(diǎn)尸在直線。或乙上且不與點(diǎn)A、B、C、。重合.記NAEP=21,ZPFB=Z2,ZEPF=Z3-

⑴若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：？3?1?2；

（2）若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，寫出Nl、N2、N3之間的關(guān)系并給予證明.

$【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結(jié)論1】如圖所示，AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°

【結(jié)論2】如圖所示，NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.

C.Zl+Z2+Z3=270°D.Zl-Z2+Z3=90°

產(chǎn)【變式訓(xùn)練】

1、（2023下?甘肅白銀?七年級校考期中）如圖1是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架,

其主要作用是動力傳輸.如圖2是手動變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知A5CD,CG//EF,

NA4G=150。，NAGC=80。，則"EF的度數(shù)為（）

CED

圖2

A.110°B.120°C.130°D.140°

2、（2023下?浙江杭州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB//CD,射線FE,尸G分別與A3,8交于點(diǎn)M,N,

若NF=/FND=3NEMB,則N尸的度數(shù)是

3、（2023下?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?七年級統(tǒng)考期中）探究題

⑴如下圖，AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求/APC度數(shù);

⑵如下圖，AD〃3C,點(diǎn)尸在射線上運(yùn)動，ZADP=Za,NBCP=".

①當(dāng)點(diǎn)P在A,8兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，ZCPD,/a,"之間的數(shù)量關(guān)系為

②當(dāng)點(diǎn)尸在A,8兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,。三點(diǎn)不重合），請寫出NCPD,Ztz,〃之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

M

備用圖

j[經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】（2023秋?全國?八年級專題練習(xí)）①如圖1,AB//CD,貝l|ZA+ZE+ZC=360°；②如圖2,AB//

CD,貝!]NP=NA—NC；③如圖3,AB//CD,則/E=NA+/1；④如圖4,直線45〃CD//EF,點(diǎn)、

。在直線斯上，則Na-NP+Ny=180。.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（)

4B-B.4BHB

￡（Z=E二E—上;

O

飛D7PCD

圖

圖1圖2圖34

A.1B.2C.3D.

產(chǎn)【變式訓(xùn)練】

1、（2023秋?八年級課時(shí)練習(xí)）（13已知:如圖（a）,直線求證：ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如圖（b）,如果點(diǎn)C在AB與E。之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想?

（。）

2、（2023春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學(xué)校考期中）（1）如圖（1）ABSCD,猜想回BPO與回8、0。的關(guān)

系，說出理由.

（2）觀察圖（2）,已知ARSC。，猜想圖中的勖尸。與配、回。的關(guān)系，并說明理由.

（3）觀察圖（3）和（4）,已知ABI3CD猜想圖中的回與勖、回。的關(guān)系，不需要說明理由.

(1)(2)(3)

3、(2023?全國?七年級假期作業(yè))已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如圖1,求證：AB//CD-,

(2)如圖2,作—BAE的平分線交8于點(diǎn)F，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，連接FG,若NCRG的平分線交線段AG

于點(diǎn)H,連接AC,若ZACE=ZBAC+/BGM,過點(diǎn)H作交FG的延長線于點(diǎn)V,且

3ZE-5ZAFH=18°,求/E1F+NGMH的度數(shù).

「51經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】(2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖所示,42回。,回￡=37。,0。=20。，貝崛EA8的度數(shù)為

【變式訓(xùn)練】

1、(2023春?湖北黃岡?七年級校考期中)如圖，已知AB//Z)￡；0ABC=8O。，fflCD￡=140o,則勖CD=

2、(2023春?江蘇鹽城?七年級景山中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，若ABHCD,貝崛1+回3-回2的度數(shù)為

E

1

B

3、(2023春?全國?七年級專題練習(xí))(1)如圖，AB//CD,CP平分EIOCE,若回。。歹=30。，0￡=20°,求E1A8E

的度數(shù)；

(2)如圖，AB//CD,SEBF=2^ABF,CP平分EIOCE,若M的2倍與I3E的補(bǔ)角的和為190。，求E1ABE的度數(shù).

(3)如圖，P為(2)中射線BE上一點(diǎn)，G是。上任一點(diǎn)，尸。平分I38PG,GN//PQ,GM平分EIOGP,

若回8=30。，求EIMGN的度數(shù).

【拓展培優(yōu)】

1.(2024上?重慶沙坪壩?九年級重慶南開中學(xué)校考期末)如圖，AB//CD,ZG=90°,NBEG=x,則NDFU

可以表示為（）

A.180°-xB.90°+xC.90°-xD.1800-2%

2.（2022下?浙江寧波?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB//DE,BCLCD,設(shè)=ACDE=/3,則a與

a+/?=90

c.?+^=180D.a與4沒有數(shù)量關(guān)系

3.（2022下?河北邯鄲?七年級統(tǒng)考期中）如圖，若ABCD,則/a、4、/y之間關(guān)系是（）

A\a-------------------------------B

C---------------------

A.Na+N分+N7=180。B.Za+Z/?-Z/=360°

C.Za+Z/7-Z/=18O°D,Na—/6+//=360。

4.（2023下,江蘇泰州?七年級泰州市第二中學(xué)附屬初中校考階段練習(xí)）如圖，已知AB〃。凡OE和AC分

別平分NCD尸和N3AE,若NDE4=40。，ZACD=59°,則NCDF的度數(shù)為（）

FD

二

BA

A.26°B.36°C.46°D.52°

5.（2023下?廣東深圳?七年級校考期中）如圖,E在線段及1的延長線上，/應(yīng)㈤=N。，/B=ND,EFHC,

連FH交AD于G,，尸G4的余角比“GH大16。，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG,使/CKG=/CGK,在

—AGK內(nèi)部有射線GM,GM平分NTGC.則下列結(jié)論：①ADBC；②GK平分/AGC；③NTGA=42。；

@^MGK=21°.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

6.（2023下?重慶北暗七年級西南大學(xué)附中校考期中）如圖，已知AB〃CD,4BEH=4CFG,EI、bK分別

為NAEH、NCFG的角平分線，F(xiàn)KLFJ,則下列說法正確的有（）個(gè).

①EH〃GF

@ZCFK=ZH

③E7平分/G7D

④ZAEI+ZGFK=90°

A.4B.3C.2D.1

7.（2021下?重慶九龍坡?七年級重慶市楊家坪中學(xué)校考期中）如圖，AB〃CD,點(diǎn)E在。上，點(diǎn)G,F,I

在AB,C。之間，且GE平分/CE/，BI平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52。,則NG的度數(shù)為（）.

A.112°B.114°C.116°D.118°

8.（2022下?河北唐山?七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知ABCD,于點(diǎn)E,ZAEH=ZFGH=20°,

ZH=50°,則/EPG的度數(shù)是（）

EB

c1

A.120°B.130°C.140°D.150°

9.（2023下?湖南長沙?七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖一，ABCD,—3=70。，/。=30。，則

22

（2）如圖二，ABCD,ZABF=-ZABE,ZCDF=-ZCDE,DQ,8。分別平分/GDE和

則—DEB,滿足的數(shù)量關(guān)系為.

10.（2023下?湖北武漢?七年級校考階段練習(xí)）如圖，AB〃CD,點(diǎn)、E,歹在直線AB上（F在E的左側(cè)），

點(diǎn)G在直線8上，EHLHG,垂足為“，尸為線段EH上的一動點(diǎn)，連接GP,GF,NFGH與NBFG的

角平分線交于點(diǎn)Q,且點(diǎn)。在直線A3,8之間的區(qū)域，下列結(jié)論：

①ZBEH+ZDGH=90°；

②ZCGH+2ZFQG=270°；

③若NPGH=3ZDGH,貝lj3N3EH+NEPG=360。；

④若NPGH=nNDGH,貝|/B￡7f+-1-/PGD=90。，其中“為正整數(shù).

n+1

上述說法正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

11.（2022上?廣東廣州?八年級廣州市黃埔軍校紀(jì)念中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖①所示，四邊形肋VBD為一張

長方形紙片.如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（/BAE、/AEC、NECD）,則

/BAE+/AEC+/ECD=（度）；

B.----A-------R4RA

N—B

M

DCD~~~CD~~c-D-------

圖①圖②圖③圖④

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（NBAE、NAEF、NEF、NFCD）,則

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（NBAE、ZAEF./EFG、NFGC、/GCD）,

則ZBAE+ZAEF+ZEFG+ZFGC+ZGCD=（度）；

（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪"刀，剪出"+1個(gè)角，那么這〃+1個(gè)角的和是（度）.

12.（2022下?四川成都?七年級四川省成都市七中育才學(xué)校校考期末）已知直線射線防、OG分

別平分/ABC,ZEDC,兩射線反向延長線交于點(diǎn)“，請寫出N〃，/C之間的數(shù)量關(guān)系：.

13.（2021下?上海浦東新?七年級期中）如圖，已知AO〃CE,ZBCF=ZBCG,C尸與NBA”的平分線交于

點(diǎn)R若/AFC的余角等于2/ABC的補(bǔ)角，則的度數(shù)是.

14.（2021下?黑龍江哈爾濱?七年級統(tǒng)考期中）已知AB〃C。，點(diǎn)V、N分別為A3、8上的點(diǎn)，點(diǎn)E、F、

3

G為AB、8內(nèi)部的點(diǎn)，連接月欣、FN、EM、EN、CM、GN,ME工NE于E,ZBMF=-ZBMEf

3

ZDNF=-ZDNEfMG平分NAMF,NG平分/CNF,則NMGN（小于平角）的度數(shù)為.

AMB

G

ND

15.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級校考期中）已知：直線A3與直線內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)P,連接3P.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在直線8上，連接PE,若ZB+NPEC=NP,求證：ABCD；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在直線A3與直線CD的內(nèi)部，點(diǎn)H在直線CO上，連接團(tuán)，若

ZABP+ZPEH=ZP+Z.EHD,求證：ABCD.

（3汝口圖3,在（2）的條件下，BG、E尸分別是NABP、NPE"的角平分線，3G和EF相交于點(diǎn)G,EF

和直線A3相交于點(diǎn)F，當(dāng)5P_LPE時(shí)，若ZBFG=NEHD+10。,ZBGE=36°,求）的度數(shù).

16.（2023上?全國,八年級專題練習(xí)）已知，MN//PQ,直線A3交MN于點(diǎn)A,交PQ于點(diǎn)B,點(diǎn)C在線段

（D如圖1,當(dāng)CE_LB時(shí)，求NAEC+/班C的度數(shù);

(2)如圖2,若ZMEC和ZPFT的角平分線交于點(diǎn)G,求ZECF和NG的數(shù)量關(guān)系;

⑶如圖3,在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)CELCF,且/ABP=60。，NACE=20。時(shí)，射線FT繞點(diǎn)廠以5。每秒的

速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為/秒，當(dāng)射線FG與△AEC的一邊互相平行時(shí)，請直接寫出r的值.

17.(2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校校考階段練習(xí))已知，MN〃PQ,點(diǎn)、A、點(diǎn)B

分別在線段MN、PQ上.

⑴如圖1,點(diǎn)C在直線MMPQ之間，ZACB=ZNAC+ZQBC.

(2)如圖2,分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作直線AG,C〃，使AG〃CH,以點(diǎn)B為頂點(diǎn)作直角,并且4?/的兩

邊分別與直線S、AG交于點(diǎn)尸和點(diǎn)E,貝|NCFB+NA￡B=.(直接寫出角度和)

(3)如圖3,在(2)的條件下，若8。和AE恰好分別平分/C2Q和NCW,并且NACB=106。，求NCEB的

度數(shù).

18.(2022下?湖南長沙?七年級校考階段練習(xí))如圖1,ABCD,G為AB、8之間一點(diǎn).

29

(2)如圖2,^ZAEP=-ZAEF,ZCFP=jZEFC,且FP的延長線交的角平分線于點(diǎn)M,EP的延長線

交ZCFP的角平分線于點(diǎn)N,猜想+/N的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,若點(diǎn)H是射線EB之間一動點(diǎn)，F(xiàn)G平分NEFH,MF平分NEFC,過點(diǎn)G作GQ_LFM于點(diǎn)Q,

請猜想NE”F與/FG。的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

19.(2022下?江蘇連云港?七年級統(tǒng)考期中)已知鉆CD.

［知識回顧］(1)如圖1,點(diǎn)E在兩平行線之間，試說明：/B