專題15圓錐曲線的標準方程與幾何性質

*考點歸納

【考點1利用定義求橢圓軌跡方程】

【考點2橢圓的"焦點三角形"問題】

【考點3橢圓中的距離和差最值問題】

【考點4橢圓標準方程形式與求解】

【考點5求橢圓的離心率或范圍】

【考點6利用定義求雙曲線軌跡方程】

【考點7雙曲線的"焦點三角形"問題】

【考點8雙曲線中的距離和差最值問題】

【考點9雙曲線的標準方程形式與求解】

【考點10拋物線的定義及應用】

【考點11求拋物線的標準方程】

【考點12拋物線中的距離和差最值問題】

【考點13拋物線的幾何性質及應用】

識梳理

知識點1橢圓

1、橢圓的定義

(1)平面內與兩個定點尸1，B的距離的和等于常數(大于尸1BI)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓

的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

(2)集合尸={MIMRI+I"&l=2a},\FIF2\=2C,其中a,c為常數且a>0,c>0.

①當2a>舊色|時，M點的軌跡為橢圓；

②當2a=|BB|時，加點的軌跡為線段后/2；

③當2a<|尸1凡|時，M點的軌跡不存在.

2、橢圓的標準方程和幾何性質

盤+方=13泌>0)J+1=l(a>Z?O)

標準方程

圖形邛J多

~a<x<a~b<x<b

范圍

—b<y<b~a<y<a

對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點

性

質Ai(一。,0),人2(。,0),4(0,~d),A2(0,d),

頂點

Bi(0,—A),&(0,b)Bi(—b,0),820,0)

離心率e=%且eG(0,l)

a,b,c的關系c2=a2—b2

3、橢圓中的幾個常用結論

(1)過橢圓焦點垂直于長軸的弦是最短的弦，長為詈，過焦點最長弦為長軸.

(2)過原點最長弦為長軸長2a,最短弦為短軸長2b.

7272

(3)與橢圓%+%=l(a>6>0)有共同焦點的橢圓方程為會工+中匕=1Q>一廿).

(4)焦點三角形：橢圓上的點P5),加)與兩焦點尸1，&構成的叫做焦點三角形.

72

若n=|叨|,-2=|尸尸2|,/FIPF2=8,APB6的面積為S,則在橢圓薩十方=l(a>b>0)中:

①當ri=m即點尸為短軸端點時，6最大；

②S=3|PQI|P尸2|sin0=c|yo|,當|泗|=6,即點P為短軸端點時，S取得最大值，最大值為歷；

③APFF2的周長為2(。+c).

知識點2雙曲線

1、雙曲線的定義

(1)平面內與兩個定點Fi，E(回B|=2c>0)的距離之差的絕對值為非零常數2a(2a<2c)的點的軌跡叫做雙

曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點.

(2)集合尸={MI|MB|一|M&ll=2a},|FIF2|=2C,其中a,c為常數且a>0,c>0.

①當2a時，M點的軌跡是雙曲線;

②當2a=EB|時，加點的軌跡是兩條射線;

③當2°>|西碼時，M點不存在.

2、雙曲線的標準方程和幾何性質

提一方=l(a>0,b>0)27

標準方程力一講=130，6>0)

圖形

范圍x>a^x<—a,yg一〃或了￡R

對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：J京點

頂點Ai(—?,0),A2(〃,0)4(0,—d),A2(0,d)

ba

漸近線y=±-x=±x

7ayb

c

性質離心率e6(l,+co)

線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|4自2|=2°；

實、虛軸線段BiB?叫做雙曲線的虛軸，它的長|B/2|=26；

a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長

a,b,c的關

cz=a2-\-b2(c>a>0,c>/?>0)

系

3、雙曲線中的幾個常用結論

（1）雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.

（2）若P是雙曲線右支上一點，F1，巳分別為雙曲線的左、右焦點，則1PHimin=a+c，\PF^n=c-a.

1

（3）同支的焦點弦中最短的為通徑（過焦點且垂直于長軸的弦），其長為2臂b，異支的弦中最短的為實軸，

其長為2a.

（4）設P,A,B是雙曲線上的三個不同的點，其中A,8關于原點對稱，直線B4,PB斜率存在且不為

b-

0,則直線以與的斜率之積為於

（5）尸是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，Fi,尸2分別為雙曲線的左、右焦點，則

S△叫F,=仔----\，其中6為NF1PF2.

tan萬

（6）等軸雙曲線

①定義：中心在原點，以坐標軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.

②性質：a=b;e=p；漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項.

（7）共輾雙曲線

①定義：若一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軟雙曲線.

②性質：它們有共同的漸近線；它們的四個焦點共圓；它們的離心率的倒數的平方和等于L

知識點3拋物線

1、拋物線的定義：滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：

（1）在平面內；（2）動點到定點廠的距離與到定直線/的距離相等；（3）定點不在定直線上.

2、拋物線的標準方程與幾何性質

y2=2pxy1——2pxW=2pyx2=-2py

標準

S>0)(P>0)S>0)3。)

方程

p的幾何意義：焦點F到準線/的距離

11

圖形

[K

頂點0(0,0)

對稱軸y=0%=0

造,。）

焦點m，穹

離心率e=1

2

準線方程

x2x2y=-2尸2

范圍x>0,y￡R爛0,y>0,y<0,x￡R

焦半徑

\PF\=x+2\PF\=-X+2\PF\=y+2\PF\=-y+2

（其中P（xo,>0））0000

3、拋物線中的幾何常用結論

（1）設是過拋物線;/=2pxS>0）焦點/的弦.

①以弦AB為直徑的圓與準線相切.

②以AF或8尸為直徑的圓與y軸相切.

③通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于助，通徑是過焦點最短的弦.

（2）過/=2處的準線上任意一點。作拋物線的兩條切線，切點分別為A,B,則直線A8過點（0,

點精講

【考點1利用定義求橢圓軌跡方程】

【典例1］設橢圓工.y'_=>"上一點p到其左焦點的距離為3,到右焦點的距離為1,則p

m'zw'-l

點到右準線的距離為

￡2"

A.6B.2C.2D.7

【答案】B

【詳解】由橢圓第一定義知a=2,所以根2=4,橢圓方程為［+1=1今：=e=；

所以d=2,選B.

【變式1-1】設Fi，B為橢圓C:9+V=1的兩個焦點，點p在c上，若麗?恒=0,則IP&I.|PFzl=

()

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】方法一：根據焦點三角形面積公式求出APFiF2的面積，即可解出；

方法二：根據橢圓的定義以及勾股定理即可解出.

【詳解】方法一：因為的?電=0,所以NFP/2=90。，

從而SAFPIFZ=〃tan45°=1=|x|PFt|■\PF2\,所以|P0|?IPF2I=2.

故選：B.

方法二：

因為西?電=0,所以NFP1F2=90°,由橢圓方程可知，c2=5-l=4^c=2,

22

所以IPF/2+\PF2\=|&尸2產=4=16,又|PFi|+\PF2\=2a=2瓜平方得:

22

|PFil+\PF2\+2\PF1\\PF2\=16+2\PF1\\PF2\B20,所以?|PF2|=2.

故選：B.

【變式1-2】已知6(—1,0),尸2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過尸2且垂直于x軸的直線交C于A、B兩點，且

\AB\=3,則C的方程為()

A.^+y2=lB.次+乃=1c.次+加=1D.巨+加=1

2y324354

【答案】c

【分析】根據題意結合橢圓的定義運算求解即可.

【詳解】如圖所示：|力尸21=加引=|,|FtF2|=2,

由橢圓定義得MF/=2a-1.①

在RtA46&中，伏6|2=|2/2『+|&尸2『=(|)2+22.②

由①②得a=2,則/=a2—c2=3,

所以橢圓C的方程為9+4=1.

43

故選：C.

【點睛】本題考查橢圓方程的求解.

【變式1-3】已知4(一段0),8是圓F:(x-()2+y2=4(尸為圓心)上一動點.線段A8的垂直平分線交

BF于P,則動點尸的軌跡方程為.

..2

【答案】%2+4-=1.

4

【分析】根據橢圓的定義求軌跡方程.

【詳解】由題意F?,。)，P在線段2B的垂直平分線上，則|PB|=|P川，

所以|PF|+\PA\=\PF\+\PB\=\FB\=2,又|4F|=1,

所以P在以4F為焦點，長軸長為2的橢圓上，

2a=2,a=1,c=-,貝!=a2-?2=三，

24

所以軌跡方程為/+￥=1.

4

故答案為：%2+4=1.

【考點2橢圓的“焦點三角形"問題】

【典例2】已知橢圓c]+5=l(a>b>0),C的上頂點為A,兩個焦點為0,F2,離心率為過

&且垂直于4尸2的直線與C交于。，E兩點，|0E|=6,則△ADE的周長是.

【答案】13

22

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為3+3=1,即3*2+4y2—12C2=0,根據離心率得到直線

AF2的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線DE的斜率，寫出直線DE的方程：%=V3y-c,代入

橢圓方程3/+4y2-12c?=0,整理化簡得到：13y2-6V3cy-9c2=0,利用弦長公式求得c=

蔡，得a=2c=?,根據對稱性將A4DE的周長轉化為AF2DE的周長，利用橢圓的定義得到周長為

4a=13.

【詳解】回橢圓的離心率為e=￡=j0a=2c,^\b2=a2-c2=3c2,回橢圓的方程為力+3=

1,即3產+4丫2一12°2=0,不妨設左焦點為6，右焦點為尸2，如圖所示，0XF2=a,OF2=c,a=

2c,0ZXF2O=p回△伍F2為正三角形，回過Fi且垂直于4尸2的直線與C交于。，E兩點，DE為線段

力尸2的垂直平分線，回直線OE的斜率為9，斜率倒數為百，直線DE的方程：%=V3y-c,代入橢圓

方程3乂2+4y2_12c2=0,整理化簡得到：13y2—6V3cy—9c2=0,

2

判別式△=(6V3c)+4x13x9c2=62x16xc2,

2

0|D￡|=Jl+(VS)^I-y2|=2xy|=2x6x4x^=6,

0c=—,得a=2c=-,

84

1

皿用為線段AF2的垂直平分線，根據對稱性，AD=DF2,AE=EF2,囪△4。￡1的周長等于4尸2。￡的周

長，利用橢圓的定義得到AFzDE周長為|。尸21+

\EF2\+\DE\^\DF2\+\EF2\+\DF1\+\EF1\^\DF1\+\DF2\+\EF1\+\EF2\^2a+2a^4a^13.

故答案為：13.

【變式2；】已知七、人是橢圓A'（"＞力＞0）的兩個焦點，/為橢圓（'上一點，且

PF、JF,.若、/然尼的面積為9,則8=.

【答案】3

【詳解】設橢圓的焦距為2c,則c2=a2-爐.由橢圓定義知|西||南|=2a,

由題意知|麗『+|班（=4c2,lx|p7\|.\PF^\=9,則|麗|?|南|=18,

則朋『+|叫2=（|西|+|陶）2-2IMIIMI=4a2-36=4c2,

即4a2—4c2=36=4b2,所以b=3.

【考點3橢圓中的距離和差最值問題】

【典例3】已知尸是橢圓C:9+y2=1的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q（4,4）,則|PQ|+|PF|的最

大值為（）

A.5+2V2B.5-2V2C.3+2&D.3-2企

【答案】A

【分析】借助橢圓定義可得|PQ|+\PF\=\PQ\+2a-\PF'\＜2a+IQF'I，再借助兩點間距離公式計

算即可得.

【詳解】如圖，取橢圓+p=1右焦點/，則9（1,0）,

則由橢圓定義可知|PF'|+\PF\=2a=2V2,

貝i]|PQ|+\PF\=|PQ|+2a-\PF'\<2a+\QF'\=2V2+V（4-l）2+42=5+2式,

當且僅當P、P、Q三點共線，且尸'在PQ之間時取等，

故|PQ|+|PF|的最大值為5+2V2.

故選：A.

【變式3-1】已知點M在橢圓?+?=1上，點4(0,—JB(1,0),則|M川+|MB|的最大值為()

AA.—11BC.4”-C.—21rD.5L

44

【答案】c

【分析】作出橢圓的另一個焦點，轉化線段，最后利用三角不等式解決即可.

【詳解】

作橢圓的左焦點0),則川+|MB|=|M2|+4-IM81IW4+I4B1I，

當且僅當點M為線段4名的延長線與橢圓的交點時取得，由兩點間距離公式得=11+.=3,

故|M川+\MB\=\MA\+4-\MBr\<4+\ABr\=3，

故選：C

22

【變式3-2］設P為橢圓會+器=1上一動點，&尸2分別為橢圓的左、右焦點，Q(—1,0),則|P&I+|PQI的

最小值為()

A.8B.7C.6D.4

【答案】B

【分析】利用橢圓的定義式，將IPF2I+|PQ|轉化為10+IPQI-IQ&I，結合圖形分析判斷得出IPQI-

|P0|的最小值，即得IPF2I+|PQ|的最小值.

【詳解】

如圖，連接P&,因|P&I+IP&I=2a=10,則|P&I+IPQI=10+IPQI

由圖知，當P,Q,a三點共線，且點Q在P,0之間時，|PQ|—|P&|的值最小，

最小值為—IQ6I=-（-1+4）=—3,此時，\PF2\+|PQ|的最小值為10-3=7.

故選：B.

【變式3-3】已知橢圓C:「+]=1的右焦點為F,P是橢圓上任意一點，點2（0,2次），則△力PF的周長的最

大值為（）

A.9+V21B.14C.7+2V3+V5D.15+V3

【答案】B

【分析】利用橢圓的定義，進行合理轉化，求得周長最大值即可.

22____________

【詳解】由橢圓方程篙+?=1得a=3,b=居、c=y/a2-b2=2.

\AF'\=\AF\=4,

貝IjAAPf1的周長為|4F|+\AP\+\PF\=\AF\+\AP\+2a-\PF'\

=4+6+\AP\-\PF'\<10+\AF'\=14,

當且僅當4P,F'三點共線，且P在2F'的延長線上時取等號.

APF的周長最大值為14.

故選B

【考點4橢圓標準方程形式與求解】

【典例4］已知橢圓C:《+《=l(a>b>0)的焦點為&(―2,0),F2(2,0)，P為橢圓上一點且△P&F?的

周長為4+4A/2.

⑴求橢圓C的方程.

(2)若直線1過點尸2交橢圓c于4B兩點，且線段4B的垂直平分線與“軸的交點M?,o)

(i)求直線I的方程;

(ii)已知點Q(—4,0),求A48Q的面積.

【答案】①?+?=1

⑵(i)尤一氏一2=0或x+&y—2=0；(ii)3V6

【分析】(1)根據條件列方程，求出。2=8/2=4,即可得答案；

(2)(i)判斷直線斜率存在，聯立橢圓方程，可得根與系數關系式，結合題意可得=化

簡即可求得答案；(ii)利用弦長公式求出|A8］,再求出。到直線的距離，即可求得答案.

'c=2

【詳解】(1)根據題意有卜。+2C=4+4魚，解得小=8/2=%

、b2=a2—c2

所以橢圓C的方程為［+t=i.

84

(2)(i)若直線［的斜率不存在，其垂直平分線與X軸重合，不符合題意；

不妨設直線1的方程為y=k(x-2),4B的中點為N,

設力(/,yi),B(>2,丫2)，NO。，7o)，

，與橢圓方程聯立有卜；二：1二°，整理得(1+2k2)/一如"+如一8=°,

812

直線過橢圓焦點，必有△>(),則l+2k2

8k2-8

l+2k2

所以％0=等

由題意知/W?=T，即—/=—坐=—1，解得k=±g

x

0~26K—12

即y=±y(%-2),整理得直線［的方程為％—V2y—2=0或X+V2y—2=0.

(ii)由弦長公式可知

\AB\=+I%—x2\=+1-J(%+打/一4%I%2

J32(H+1)1+k2

=7k2+1?=4V2x=4V2x==3V2,

1+2/c2l+2fc2

由直線的對稱性，知點Q到兩條直線l的距離相同，即d=*=2b，

所以△力BQ的面積為抑4B|=|X2V3X3V2=3限

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設直線方程，設交點坐標為(勺,乃),(犯，力)；

(2)聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x(或y)的一元二次方程，注意△的判斷;

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關系轉化為+%2、%1%2(或月+丫2、y，2)的形式；

(5)代入韋達定理求解.

22

【變式4-1］若方程「三-」三=1表示橢圓，則實數m的取值范圍為()

m+3m-1

A.(—1,3)B.(—3,1)

C.(-3,-1)U(-1,1)D.(-00,-3)U(l,+oo)

【答案】c

【分析】先化為橢圓標準方程，再根據橢圓方程性質列不等式組計算即可求參.

22

【詳解】因為方程+/=1表示橢圓，

m+31-m

所以］;且m+3與1—m不相等，

所以TH6(—3,—1)U(—1,1).

故選：C.

【變式4-2】已知橢圓C:^+箕=l(a>6>0)的左、右焦點分別為a(一百,0),F2(V3,0),且橢圓C經過

點。(言,》.過點7(t,0)(t>2)且斜率不為0的直線交橢圓C于4,B兩點，過點4和"(1,0)的直線AM與

橢圓C的另一個交點為N.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)若直線BN的傾斜角為90。，求t的值.

【答案】⑴:+必=1；

(2)t=4.

【分析】(1)利用橢圓的定義求出a，進而求出b得C的標準方程.

(2)根據已知可得直線4M不垂直于坐標軸，設其方程并與橢圓方程聯立，結合韋達定理求出直線4B

與久軸交點的橫坐標即可.

【詳解】(1)橢圓C:《+^=1的二焦點為a(―b,0),F2(V3,0),點。(言,》在橢圓C上，

2222

則2a=\DFr\+\DF2\=J(-2V3)+(|)+1=4,解得a=2,則b=J2-(V3)=1,

所以橢圓C的標準方程為？+y2=1.

4

(2)依題意，點48不在久軸上，即直線4M不垂直于y軸，且直線4M不垂直于％軸，否則/加重合,

設直線ZM方程為久=fcy+1,/cH0,

由消去》得’(卜2+4)y2+2fcy-3=0,

顯然A>0,設4。1，%),可(久2，丫2)，由直線BN的傾斜角為90。，得點BQ2,-%)，

則%+%=一急,=一品，所以3(為+%)=2卜為乃，

直線4N的方程為y-%*0—/)，

當。1一天)yMOf丫2)

1,2ky1y2

當y=0時，t=xr—=kyr+1—1十2302=4,

yi+y2yi+y2

【考點5求橢圓的離心率或范圍】

【典例5］設橢圓盤+，=l(a>b>0)的焦點為6,a,P是橢圓上一點，且NF1PF2=p若46PF2的

外接圓和內切圓的半徑分別為R，r,當R=4r時，橢圓的離心率為()

A.4B.2C.1D.2

5325

【答案】B

【分析】利用正弦定理計算R,根據余弦定理計算nm,根據等面積法列方程得出a,c的關系，從而可

求出橢圓的離心率.

【詳解】橢圓的焦點為a(一c,0),尸2?0),|&F2g2c,

根據正弦定理可得2R==芻=噂，

smz.F1PF2sin-3

?R—2—1D—

??n-用，°/r-n一?

346

設1尸&|=m,\PF2\—n,則m+n=2a,

由余弦定理得，4c2=m2+n2-2mncos=(m+n)2—3mn=4a2—3mn,

4(a2-c2)

.?.mn=------,

3

c1.V3(a2-c2)

???SM1P七=-mnsm-=---,

又SA&PFZ=I(m+n+2c)-r=8c

1=V3￡(^￡)；即2a2_3c2一四=0,故3e?+e—2=0,

36

解得：？二|或？=一1(舍).

故選：B.

22

【變式5-1】多選題已知圓錐曲線？+匕=1的離心率為方程27—5%+2=0的根，則實數小的值可能是

2m

()

A.-B.—C.6D.-6

23

【答案】ABD

【分析】先解出方程的根得到離心率，然后分情況討論是橢圓還是雙曲線，根據公式即可求得結果.

【詳解】對于方程2/-5%+2=0,可求得根為%1=2,&=%

當圓錐曲線為橢圓時，即?n>0且7nH2,離心率eE(0,1),

若0<m<2,則小=2,b2=m,c2=a2—b2=2—m,

此時離心率e=-=—,

a72

當°=刎，泛=?，兩邊平方可得與2=：，解得瓶=今

2AlZZ24Z

若m>2,貝！Jo?=m,b2=2,c2=a2—b2=m—2,

此時離心率e=￡=戶巨，

am

當e=：時，但m=g兩邊平方可得友二=%解得m=1；

27m2m43

當圓錐曲線為雙曲線時，即血<0,離心率e>l,

止匕時M=2,b2=—m,c2=a2+b2=2—m,

此時離心率e=-=后五，

a72

當e=2時，J亨=2,兩邊平方可得等=4,解得機=一6；

綜上實數m的值可能是T或1或-6,

故選：ABD.

【考點6利用定義求雙曲線軌跡方程】

【典例6】在平面直角坐標系xOy中，點尸的坐標為(2,0),以線段叮為直徑的圓與圓O:/+y2=3相

切，則動點P的軌跡方程為()

2

A%2y2x2d心％2y2%2y3

A.------=1B.----=1C.------=1D.------=1

433y〃129163

【答案】B

【分析】分兩圓外切和內切兩種情況，根據兩圓位置關系結合雙曲線的定義分析求解.

【詳解】由題意可知：圓。：乂2+y2=3的圓心為半徑r=V5,

設F1(-2,O),以線段依為直徑的圓的圓心為半徑為R,

若圓M與圓。外切,則|P&|=2|OM|=2(r+R),\PF\=2R,

可得|P0|-|PF|=2(r+R)-2R=2r=2百；

若圓M與圓。內切，則|P0|=2|OM|=2(R—r),\PF\=2R,

可得|PF|-|P&|=2R-2(7?-r)=2r=2百；

綜上所述：llPFjIlPFlI=2V3,

可知動點尸的軌跡是以6,F為焦點的雙曲線，且a=g,c=2,則匕=Vc2-a?=1,

所以動點P的軌跡方程為9-*=1

故選：B.

【變式6-1］已知2(-2,0),8(2,0),設點尸是圓/+V=1上的點，若動點。滿足：QP-~PB=0,QP=

M哥+匐，則。的軌跡方程為()

..2-.2,.2,.2-,2

A.x2-----=1B.：------y2=1C.;—Fy2=1D.-----1--=1

33,5,62

【答案】A

【分析】根據題意，點P在NBQA的平分線上且QP1PB,由此作出圖形，利用等腰三角形"三線合一"

與三角形中位線定理，證出|Q川-|QB|=2,從而得到Q的軌跡方程.

【詳解】由麗?麗=0,可得QP1PB,

而而=a(卷|+贏)可知點P在NBQ4的平分線上.

Bx

圓％2+y2=i,圓心為原點。，半徑丁=1,

連接4Q,延長交4Q于點C,連接OP,

=^PQCS.PQ1BC,所以QB=QC,且P為BC中點，OP||AC,OP=^AC

因此，\QA\-\QB\=\QA\-\QC\=\AC\=2\OP\=2,

點Q在以力、B為焦點的雙曲線上，設雙曲線方程為1一'=l(a>0,b>0),

az

可知c=2,小+爐==4,由2a=|QA|—|QB|=2,得a=l,故/=3,

雙曲線方程為/—?=1.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是將題中的9=4（熹+晟）轉化為P在NBQ4的平分線上,

進而證明4QC力為等腰三角形，將|Q川-|QB|轉化為|Q川-|QC|=|4C|得出所求軌跡為雙曲線.

【考點7雙曲線的"焦點三角形"問題】

22

【典例7】設a,F2是雙曲線C：j=l的左，右焦點，過6的直線與y軸和C的右支分別交于點

4o

P,Q,若APQFz是正三角形，則|P&I=（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據雙曲線的定義及等邊三角形的性質計算可得.

22

【詳解】對于雙曲線C:二一匕=1,則a=2,

48

根據雙曲線定義有IQ6I—IQ&I=2a=4,

又IQ&I=IPF1I+IPQI，IQF2I=IPQI，故|P&|=4.

【變式7-1】設心，尸2是雙曲線C：1=1的左，右焦點，過&的直線與y軸和C的右支分別交于點

4o

P,Q,若△P<?七是正三角形，則IQ&I=（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】由雙曲線的定義、正三角形的性質即可求解.

【詳解】根據雙曲線定義有IQaI-IQF2I=4,

由于點尸在線段尸#2的垂直平分線上，回IP&I=\PF2\,

又IQF1I=IPF/+IPQI，\QF2\=\PF2\=\PQ\,故|Q0|=8.

故選：c.

【變式7-2】已知尸是雙曲線C:/一1=1的右焦點，P是c左支上一點，4（0,6乃），當AAPF周長最小時，

該三角形的面積為（）

A.36V6B.24V6C.18V6D.12-\/6

【答案】D

【分析】利用雙曲線的定義，確定AAPF周長最小時，P的坐標，即可求出AAPF周長最小時，該三角

形的面積.

【詳解】設雙曲線的左焦點為鼻，由雙曲線定義知，|PF|=2a+|P&|,

4PF的周長為|P川+\PF\+\AF\=\PA\+2a+\PFr\+\AF\=\PA\+|P&|+\AF\+2a,

由于2a+是定值，要使AAPF的周長最小，貝“P川+|P0|最小，即P、4、&共線，

???X（0,6V6）,&（—3,0）,???直線4%的方程為5+嘉=1，

2

即“=嘉一3代入/一看=1整理得好+6V6y-96=0,

解得y=2逐或y=—8痣（舍），所以P點的縱坐標為2遍，

S

SAAPF=^AAFF1-APFF1=|x6x6乃-|X6X2遙=12V6.

故選：D.

【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：

（1）幾何轉化代數法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定

義、圖形、幾何性質來解決；

（2）函數取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求這個函數的

最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調性法；④三角換元法；⑤導數

法等，要特別注意自變量的取值范圍.

22

【變式7-3】已知點尸在雙曲線C:^—5=1上，6，尸2分別是雙曲線C的左、右焦點，若APFiF2的面積

6436

為45,則|PF/+|PFzl=-

【答案】25

【分析】設P在雙曲線右支上，由雙曲線定義得到|P0|-|P&I=16,由余弦定理和面積公式，得到

22

tan色警=p進而得到|P&|?\PF2\=岸，從而求出(IPF/+|PF2|)=(IPFJ-|PF2|)+4|PF/?

Z54

\PF2\=625,求出答案.

【詳解】設尸在雙曲線右支上，則|P&|—|PF21=2x8=16,

|PFi|Z+|PF2|2一|FiF2『(|PFiHPF2l)2TFiF2『+2|PFj|PF2l

由余弦定理得COSN6PF2=

2|PFil|PF2|2附11噌

22

_4a-4c+2\PF1\-\PF2\_2IPFJIPF2I-4b2

—2\PF1\-\PF2\-2\PF1\-\PF2\

2b22匕2_匕2

所以|明|?％|=

1-cos"1P尸2

又SAPF|&=|\PFr\'\PF2\sm^F1PF2=：.?2sin空cos弩

'z22sin2--_-NN

b2

=,出PF2

.Z.F-\PF2

sin

所以一良PF2=45，解得tan乙七:=(=結合sh?乙宵2+cos2空手”=1,

tan----25cos----22

22

則加2生生=至，

241

3636X41_369

f21=

16~4

又IPF1I—IPF2I=2X8=16,

故(|P&|+\PF2\Y=(IPFJ-\PF2\y+4|PF/?\PF2\=256+369=625,

故IPF/+\PF2\=25.

故答案為：25

【考點8雙曲線中的距離和差最值問題】

【典例8】在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（0,-6）,若動點P位于y軸右側，且到兩定點

a（—3,0）,F2（3,0）的距離之差為定值4,則周長的最小值為（）

A.3+4V5B.3+6V5C.4+4西D.4+6西

【答案】D

【分析】先根據雙曲線的定義，判斷P點軌跡為雙曲線的右支，并求出方程；再根據IP&I-IPFZI=

2a和|4川=|力41把AP&a的周長轉化為田川+IP&I的范圍問題，利用三角形兩邊之和大于第三邊

求解.

【詳解】由動點尸到兩定點出（一3,0）,4（3,0）的距離之差為定值4,

結合雙曲線定義可知，動點P的軌跡是以后（-3,0）,尸2（3,0）為焦點的雙曲線的右支，

22

易得c=3,2a=4,由=小+爐得爐=5,則動點2的軌跡方程為？一=武%>0）,

45

如圖：

22

又IP6I-IP&I=4,則|P&|=|PF2|+4,且=\AF2\=V3+6=3有

故△?!2心的周長為:|P4|+|40|+|PFJ=\PA\+\PF2\+4+\AF1\=\PA\+|PF2|+4+3A/5>

|XF2|+4+3V5=4+6V5,

當且僅當P,A,尸2三點共線且P點位于力、尸2之間時等號成立，故△力P&周長的最小值為4+6近.

故選：D

22

【變式8-1】已知雙曲線C曝—翥=1（。>0,6>0）的左焦點為尸，漸近線方程為y=±x,焦距為8,點4

的坐標為（1,3）,點P為C的右支上的一點，則|PF|+|P川的最小值為（）

A.4V2+2V5B.6V2C.7&D.4V2+V10

【答案】C

【分析】利用雙曲線的定義及漸近線方程，將|PF|轉化為2a+|Pa|的形式，通過點共線判斷并計算

\PF\+|P*的最小值即可.

【詳解】如圖所示