第3章實數全章復習與測試

d【知識梳理】

一、平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數非負數任意實數

符號表示±4a\[a

一個正數有兩個平方根，且互為一個正數有一個正的立方根；

相反數；一個負數有一個負的立方根；

性質

零的平方根為零；零的立方根是零；

負數沒有平方根；

(右)2=a(a>0)(V/=a

重要結論行=14=上叫—a

[-a(a<0)\l-a=-\!~a

二、實數

有理數和無理數統稱為實數.

i.實數的分類

'正有理數-

有理數0有限小數或無限循環小數

實數［負有理數

無理嘴蠢卻無限不循環小數

要點詮釋：(1)所有的實數分成三類：有限小數，無限循環小數，無限不循環小數.其中有限小數和無限

循環小數統稱有理數，無限不循環小數叫做無理數.

(2)無理數分成三類：①開方開不盡的數，如百，次等；

②有特殊意義的數，如五；

③有特定結構的數，如0.1010010001…

(3)凡能寫成無限不循環小數的數都是無理數，并且無理數不能寫成分數形式.

2.實數與數軸上的點--對應.

數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.

3.實數的三個非負性及性質：

在實數范圍內，正數和零統稱為非負數.我們已經學習過的非負數有如下三種形式：

(1)任何一個實數。的絕對值是非負數，即Ia|》0；

(2)任何一個實數。的平方是非負數，即小》。；

(3)任何非負數的算術平方根是非負數，即&20(?>0).

非負數具有以下性質：

(1)非負數有最小值零；

(2)有限個非負數之和仍是非負數；

(3)幾個非負數之和等于0,則每個非負數都等于0.

4.實數的運算：

數a的相反數是一a；一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值

是0.

有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立.實數混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5.實數的大小的比較：

有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立.

法則L實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；

法則2.正數大于0,0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小；

法則3.兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法.

三、近似數及有效數字

1.近似數：完全符合實際地表示一個量多少的數叫做準確數；與準確數達到一定接近程度的數叫做近似

數.

2.精確度：近似數與準確數的接近程度即近似程度.對近似程度的要求叫做精確度.

要點詮釋：精確度有兩種形式：①精確到哪一位.②保留幾個有效數字.

3.有效數字：從一個數的左邊第一個不為零的數字起，往右到末位數字為止的所有的數字都是這個數的

有效數字，如0.208的有效數字有三個：2,0,8.

、一【考點剖析】

一.平方根（共2小題）

1.（2022秋?西湖區校級期中）用字母。表示一個實數，則⑷，/一定是非負數，也就是它們的值為正數或

0,所以⑷的最小值為0,而-同一定是非正數，即它的值為負數或0,所以-⑷有最大值0,根據這個結

論完成下列問題：

（1）間+3有最（填“大”或“小”）值；

（2）5有最（填，，大”或“小，，）值.

（3）若正整數a,6滿足|a+l|=5-（67）2,求力的平方根.

2.（2021秋?西湖區期中）一個正數尤的兩個不同的平方根分別是2a-1和-a+2.

（1）求a和x的值；

（2）求3x+2a的平方根.

二.算術平方根（共2小題）

3.（2022秋?蒼南縣期末）已知一個正數b的兩個平方根分別是a和（a-4）,則（6-a）的算術平方根

為.

4.（2022秋?金華期末）某數的一個平方根為加,則它的另一個平方根是.

三.非負數的性質：算術平方根（共2小題）

5.（2022秋?拱墅區期末）已知一個正數機的平方根為2〃+1和4-3”.

（1）求機的值；

(2)\a-l|+Vb+(c-7i)2=0,a+6+c的平方根是多少？

6.（2022秋?蕭山區期中）（1）已知某正數的平方根為。+3和2a-15,求這個數是多少？

（2）已知相，”是實數，且｛2m+l+13n-21=0，求，/+層的平方根.

四.立方根（共4小題）

7.（2022秋?拱墅區期末）下列說法正確的是（）

A.4的平方根是2B.8的立方根是±2

C.^（-3）2=-3D.-6沒有平方根

8.（2022秋?青田縣期末）要做一個體積為8e"3的立方體模型（如圖），它的棱長為<

9.（2022秋?鄲州區校級期中）若實數m6滿足八+如=_2，請按要求解答下列問題:

（1）若a,b都是整數，請寫出一對符合條件的a,b的值；

（2）若a,6都是分數，請寫出一對符合條件的a,b的值.

10.（2022秋?鄲州區校級月考）已知一個正方體的體積是16c/,另一個正方體的體積是這個正方體體積

的4倍，求另一個正方體的棱長和表面積.

五.無理數（共4小題）

11.（2022秋?南沼區期末）下列幾個實數中，無理數的是（）

A.0.3B.-V9C.0D.&

12.（2022秋?金華期末）紅，-TT,3.14,6.1717717771…（自左而右每兩個“1”之間依次多一個“7”）

6

中，無理數的個數有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

13.（2022秋?蕭山區期中）課堂上，老師讓同學們從下列數中找一個無理數：

|_2|,Q,Z_,-^16,其中，甲同學說“_1”，乙同學說“?”，丙同學說“三”.

72373

（1）甲、乙、丙三位同學中，說錯的是.

（2）請將老師所給的數字按要求填入橫線內：

整數：;

負分數：.

14.（2021秋?溫州期中）數學課堂上，老師讓同學們從下列數中找出一個無理數：-J7，-旦，|-2|,0,

75

TT,-0.6,一岳.其中，甲說“-J7”，乙說“-旦”，丙說“It”.

7

（1）甲、乙、丙三個人中，說錯的是.

（2）請將老師所給的數字按要求填入相應的區域內.

負分數

六.實數（共2小題）

15.（2022秋?婺城區期末）實數-2.3,0,^27，［g,-TT中，有理數的個數為。，無理數的個

數為b,貝!J〃-。的值是（）

A.1B.3C.2D.5

16.（2022秋?衢州期中）把下列各數填在相應的橫線上：

0,一-2,-/25，-3.14,+9,TT,1.212212221.......（兩個1之間依次多1個2）.

7

整數：；

負分數：;

無理數：.

七.實數的性質（共2小題）

17.（2022秋?武義縣期末）下列各組數中，互為相反數的是（）

A.f歷與強B.V豆與-病C.歷|與&D.&與返

18.（2021秋?奉化區期中）已知.、6互為相反數，c、d互為倒數，陶=2,且加＜0；

（1）求2a-（cd）2018+2b-3m的值.

（2）若3y=機，c—yfi，求的值.

八.實數與數軸（共5小題）

19.（2022秋?濱江區校級期中）如圖，面積為3的正方形ABC。的頂點A在數軸上，且表示的數為-1,若

AD^AE,則數軸上點E所表示的數為（）

A.A/3-1B.A/3+1C.-73+1D.A/3

20.（2022秋?慈溪市期末）如圖，數軸上點A,8分別表示數a,b,且a,6互為相反數，2a+9是27的立

方根.

（1）求a,。的值及線段AB的長.

（2）點尸在射線54上，它在數軸上對應的數為尤.

①請用含X的代數式表示線段BP的長.

②當無取何值時，BP=2AP?

AB

________I1I

a0b

21.（2021秋?拱墅區月考）閱讀材料，回答問題.

下框中是小馬同學的作業，老師看了后，找來小馬.

問道：“小馬同學，你標在數軸上的兩個點對應題中兩個無理數，是嗎？”

小馬點點頭.

老師又說：“你這兩個無理數對應的點找得非常準確，遺憾的是沒有完成全部解答.”

請把實數|-」|，-TT，-4,我，2表示在數軸上，并比較它們的大小（用〈號連接）.

2

解：一I_I-j-1-1—1-1-

請你幫小馬同學將上面的作業做完.

22.（2022春?平邑縣期中）如圖①是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8.

（1）求出這個魔方的棱長；

（2）圖①中陰影部分是一個正方形ABC。，求出陰影部分的面積及其邊長.

（3）把正方形ABCD放到數軸上，如圖②，使得點A與-1重合，那么點D在數軸上表示的數

為.

-5-4-3-2-1012345

圖①圖②

23.（2022秋?北侖區期中）如圖，一只螞蟻從A點沿數軸向右直爬2個單位長度到達點8,點A表示-

設點B所表示的數為m,

（1）求機的值.

（2）求-3|+m+2的值.

,土,，」，，，

-2-I0I2

九.實數大小比較（共3小題）

24.（2022秋?杭州期末）比較大小：煙2.5；727-y.（填“>”、“<”或者"=”）

25.（2022秋?海曙區校級期中）對于實數。、b,定義mbt{a,6}的含義為：當。<6時，根譏{。，6}=。；當

a>6時，"2加{a,b}=b,例如：加"{1,-2}=-2.已知加〃{仁30,a}=。，min[~\l30，b}=730,且

。和b為兩個連續正整數，則2a->的值為.

26.（2022秋?瑞安市期中）在數軸上表示下列有理數：舊,刻兩，（口）2,2.5,并用將它們連接

起來.

-5-4-3-2-101234567

一十.估算無理數的大小（共5小題）

27.（2022秋?新昌縣期末）已知一個邊長為。米的正方形，面積是37平方米，則。的取值范圍是（）

A.4<a<5B.5<a<6C.6<cz<7D.7<a<8

28.（2022秋?寧波期末）估計J7+2的范圍是（）

A.3到4之間B.4到5之間C.5到6之間D.6到7之間

29.（2021秋?溫州期中）如圖，數軸上的A,B,C,。四點與表示數f/吊的點最接近的是（）

ABCD

-------44i-------1----------1---------4--------

-3-2-1-----0------1------2

A.點AB.點BC.點CD.點。

30.（2022秋?永康市期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道我是無理數，而無理數是無限不循環小

數，因此&的小數部分我們不可能全部寫出來，:GV（V2）2<22,.\1<V2<2.于是可以用

1來表示&的小數部分，又例如：：22<（V7）2<32,即2c有<3,...我的整數部分是2,小數部

分是2.請解答下列問題：

（1）舊的整數部分是，小數部分是.

（2）已知。是3+遙的整數部分，b是其小數部分，求。-6的值.

31.（2022秋?濱江區校級期中）（1）已知我+7的小數部分是a,7-J7的小數部分是b,求a+6的值；

（2）設5+?的整數部分用a表示，小數部分用b表示，3的整數部分用c表示，小數部分用d表

示，求次?的值.

一十一.實數的運算（共2小題）

32.（2022秋?溫州期末）按如圖所示的程序計算，若輸入的。=3,b=4,則輸出的結果為

33.(2022秋?婺城區期末)計算：_22-|-3|-8-i-(-2)+7~16,

一—【過關檢測】

選擇題（共10小題）

1.如圖，數軸上點P表示的數可能是（)

1111p111,

-2-1012’245”

A.V10B.娓c.MD.如

2.9的平方根是（）

A.3B.±3C.-3D.9

3.有理數-8的立方根為（）

A.-2B.2C.±2D.±4

4.面積為4的正方形的邊長是（）

A.4的平方根B.4的算術平方根

C.4開平方的結果D.4的立方根

5.11+向1+11-Fi=()

A.1B.V3C.2D.2愿

6.已知x,y為實數，且乂2-9x2+4，貝1Jx-y=()

A.-1B.-7C.-1或-7D.1或-7

7.下列各數：-2,0,30.020020002-,n,牛兩，其中無理數的個數是（）

7

A.4B.3C.2D.1

8.下列四個實數中，最小的是（）

A.-42B.-5C.1D.4

9.下列計算正確的是（）

A.\^1=-1B,J(-3)2=-3c.y=±2D-O4

10.規定用符號[前表示一個實數小的整數部分,例如:[2]=0,[3.14]=3.按此規定[-0i+1]的值為（

3

A.-4B.-3C.-2D.1

二.填空題（共8小題）

11.已知H=4,則X的值為.

12.36的平方根是,81的算術平方根是

13.計算V25-（-1）2=.

14.計