同與正多邊形知識歸納與題型突破（21類題型）

01思維導圖

02知識速記

知識點01.圓的認識

（1）圓的定義

定義①：在一個平面內(nèi)，線段。/繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點/所形成的圖形叫做圓.固

定的端點。叫做圓心，線段。/叫做半徑.以。點為圓心的圓，記作讀作“圓O”.

定義②：圓可以看做是所有到定點。的距離等于定長r的點的集合.

(2)與圓有關的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意

一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣

弧.

(3)圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性.②中心對稱性.

知識點02.圓心角、弧、弦的關系

(1)定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余

各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣

弧.

(3)正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系

三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推

二”，一項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原

圖形完全重合.

(4)在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關部分.

知識點03.點與圓的位置關系

(1)點與圓的位置關系有3種.設。。的半徑為r,點尸到圓心的距離OP=d,則有：

①點P在圓外Qd>r

②點P在圓上Qd=r

①點P在圓內(nèi)

(2)點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該

點與圓的位置關系.

(3)符號“o”讀作“等價于”，它表示從符號的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端.

知識點04.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

知識點05.垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

知識點06.垂徑定理的應用

垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握.

知識點07.直線與圓的位置關系

（1）直線和圓的三種位置關系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點.

②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點叫

切點.

③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線.

（2）判斷直線和圓的位置關系：設。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d.

①直線I和。。相交=40

②直線/和。。相切=d=r

③直線/和。O相離

知識點08.切線的性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓

心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直.

（3）切線性質(zhì)的運用

運用切線的性質(zhì)進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或相似三角

形解決問題.

知識點09.切線的判定

（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（2）在應用判定定理時注意：

①切線必須滿足兩個條件：°、經(jīng)過半徑的外端；6、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線.

②切線的判定定理實際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結(jié)論直接得出來的.

③在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線

的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出

直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作

半徑，證垂直”.

知識點10.切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見的輔助線的：

①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”.

知識點11、正多邊形與圓

（一）正多邊形及有關概念

（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。

（2）正多邊形的畫法：把圓〃等分23）,順次連接各等分點，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這

個圓就是這個正多邊形的外接圓。------、

O

中心

(3)正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。

(4)正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。

(5)正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。

(6)正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。

(二)正多邊形的有關計算

(1)正n邊形的每個內(nèi)角都等于(“-2)T80°=i80°—處.

nn

360°

(2)正〃邊形的每個中心角都等于——.

n

(3)正〃邊形的其他計算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長的一半組成的直角三角形中進行，如圖所示,

設正〃邊形的半徑為民一邊46=。，邊心距(W=r,則有/80河=幽,氏2=72+]|]，正〃邊

形

的周長/=na,面積S=然"=2nSABOM=gk

知識點12、弧長及扇形的面積

設。。的半徑為R,"。圓心角所對弧長為/,

(一)弧長的計算

(1)弧長公式：/=上述

180

(2)公式推導：在半徑為火的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C=2?R,所以1。的圓心

角所

對的弧長是紅即巫，于是n°的圓心角所對的弧長為1=—

360°180°180

注意：(1)在弧長公式中，〃表示1。的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑尺=6c優(yōu)，計算20°的圓

心角

20。x6xTC

所對弧長/時，不要錯寫成/=---------(cm).

(2)在弧長公式中，已知，/，〃，氏中的任意兩個量，都可以求出第三個量。

(二)扇形面積的計算

(1)扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫作扇形。

(2)扇形的面積：S扇形=嚼^=^/凡我為扇形所在圓的半徑，/為扇形的弧長。

(3)公式推導：

①在半徑為R的圓中，因為360。的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積5=乃氏2,所以圓心角是1。的扇形

而工曰乃火2工曰尸1、缶平，0曲盧誼石工□日。rurR2

面積是----，于是圓心角為〃的扇形面積是S扇刑=------.

360扇形360

②s扇花="之="4?'氏=！/氏，即無形=1次，其中/為扇形的弧長，R為半徑。

扇形36018022扇格2

點撥：(1)扇形面積公式S=」出與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個曲邊三角形，把弧

2

長/看成底，半徑火看成高即可。

(2)在求扇形面積時，可根據(jù)已知條件來確定是使用公式S扇形=嘿^還是S扇形;/R

(3)已知S扇形,/,尺,〃四個量中任意兩個，都可以求出另外兩個。

(4)公式中的“〃”與弧長公式中的“〃”的意義是一樣的，表示“1?！钡膱A心角的倍數(shù)，計算時不帶單位。

已知S,L〃，/?四個量中的任意兩個，都可以求出另外兩個量.

03題型歸納

題型一圓的基本概念

1.下列說法中，不正確的是（）

A.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

B.圓的每一條直徑都是它的對稱軸

C.圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都會與自身重合

D.圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個

2.如圖，點B,C在。。上，N/=36。，ZC=28°,貝此5=（）.

C

A.64°B.66°C.68°D.72°

3.如圖，在RtAABC中，ZC=900,AC=6,BC=S,QO是△4BC的外接圓，則下列說法正確的

個數(shù)是（）

①/和前都是劣??；

②48是QO中最長的弦；

③A,O,B三點能確定一個圓；

鞏固訓練

1.下列命題中，正確的是（）

A.相等的圓心角所對弦相等B.同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么兩條弦所對的弧相等

C.平分弦的直徑平分弦所對的弧D.同圓或等圓中，圓心到弦的距離相等，則這兩條弦相等

2.如圖，N3是。。的直徑，C是A4延長線上一點，點。在OO上，且CD=O4C〃的延長線交。。于E,

若NBOE=72。，則NC的度數(shù)是.

3.如圖，O。的弦/民的延長線交于點P,連接。尸，且O尸平分N/PC.求證：PA=PC.

題型二求一點到圓上點距離的最值

4.已知點P在圓外，它到圓的最近距離是1cm,到圓的最遠距離是7cm,則圓的半徑為（）

A.3cmB.4cmC.3cm或4cmD.6cm

5.在平面內(nèi)，在RtZ^/BC中，/8=/C,過點/作8C邊上的垂線ND平面內(nèi)一點E到點/的距離

AE=AD,若8E最長為2+夜，則邑欣=（）

A.4B.2C.V2D.272

6.在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為4,圓心。到直線/的距離為6,尸為圓上的一個動點，則點尸到直線

/的距離不可能是（）

A.2B.6C.10D.14

鞏固訓練

1.若G。所在平面內(nèi)一點尸到O。上的點的最大距離為8,最小距離是2,則此圓的半徑是（）

A.5B.3C.5或3D.10或6

2.如果。。外一點P到。。上所有點的距離中，最大距離是8,最小距離是3,那么OO的半徑長等于.

3.如圖所示，在。。上有一點C（C不與A、B重合），在直徑AB上有一個動點P（P不與A、B重合）.試判

斷PA、PC、PB的大小關系，并說明理由.

題型三圓的周長和面積問題

7.如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1,則圓的面

積約為正方形面積的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

8.如圖，兩個同心圓中有兩條互相垂直的直徑，其中大圓的半徑是2,則圖中陰影部分的面積是（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

9.如圖，圓環(huán)中內(nèi)圓的半徑為。米，外圈半徑比內(nèi)圓半徑長1米，那么外圓周長比內(nèi)圓周長長（）

A.2萬米B.（2萬+。）米C.（2萬+2。）米D.萬米

鞏固訓練

1.如圖，分別以正方形的三條邊為直徑畫了三個半圓，那么,正方形的面積與陰影部分面積的比是（）

A.3:1B.4:1C.3:2D.2:1

2.滾鐵環(huán)有助于提高人體的平衡性、肢體的協(xié)調(diào)性以及眼力，可以提高四肢活動能力.如圖，直徑為4分

米的鐵環(huán)從原點。沿數(shù)軸滾動一周（無滑動）到達點。，則。。'=—分米.

3.隨著城市的發(fā)展，住宅小區(qū)的建設也越來越人性化.為響應國家“加強全民健身設施建設，發(fā)展全民體

育”的號召.哈市某小區(qū)在一片足夠大的空地中，改建出一個休閑廣場，規(guī)劃設計如圖所示.（兀取3）

（1）求塑膠地面休閑區(qū)的面積；

（2）求廣場中種植花卉的面積與種植草坪的面積的比值.

題型四利用垂徑定理求值

OC，弦于點C,45=4,0C=\,則OB的長為（）

B.15C.V5D.3

11.如圖，在。。中,弦的長為2,點。在上移動，連接OC,過點。作交。。于點

2D.1

12.如圖，已知。。的半徑為5cm,弦的長為8cm,尸是的延長線上一點，BP=2cm,則OP等

3\/3cmC.2#>cmD.3#>cm

鞏固訓練

1.如圖，在。。中，已知0408是。。的半徑，OC_L/5于點C,AB=8,。。的直徑為10,則

A.3B.4C.5D.6

2.如圖，。。是RtZ^/8C的外接圓，于點。，交。。于點￡,若48=8,￡>E=2,則。4的長為.

E

3.如圖，已知為。。直徑，8是弦，且48，。。，連接/C、BC.

(1)求證：ZCAB=ZBCD；

(2)若BE=1,CD=6,求(DO的半徑.

題型五垂徑定理的推論

13.下列命題中是真命題的為（）

A.弦是直徑

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

C.相等的弧所對的弦相等

D.相等的圓心角所對的弧相等

14.如圖，在△ABC中，ZABC=40°,以4B為直徑的。。交3c于點。，交。的延長線于點E,若點E

在8。的垂直平分線上，則/C的度數(shù)為（）

E

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

15.如圖，Z5是。。的直徑，CD是。。的弦，4BLCD于點E,則下列結(jié)論不一定正確的是要（）

A.CE=EDB.BC=BDC.OE=BED.OA=OB

鞏固訓練

1.如圖，點48是。。上兩點，/3=10,點尸是上的動點（尸與45不重合），連接ZP、PB,過點

。分別作?！辏κ患佑邳cE，OF1PB交PB于點、F,則石尸等于（）

A.2B.3C.5D.6

2.如圖，45為。。的直徑，￡為弦CO的中點，若NB/Q=30。，且5￡=2,則5c的長是

c

3.如圖，已知在半圓NOB中，AD=DC,ZCAB=30°,AB=8,求4D的長.

題型六垂徑定理的實際應用

16.某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小敏同學想到了如下

方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、3、C、。四點，然后利用

刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,AB=4cm,CO=3cm.請你幫忙計算紙杯杯底的直徑為（）

D.6cm

17.我國明代科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了一種我國古代常用的水利灌溉工具——筒車，如圖，

筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓，已知圓心。在水面的上方，。。的半徑長為5米，被水

面截得的弦4B長為8米，點C是運行軌道的最低點，則點C到弦N8的距離為（）

A.5米B.4米C.3米D.2米

18.趙洲橋是我國建筑史上一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和地震卻安然無恙.如圖,

若橋跨度48約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧48所在圓的半徑為（）

A.25米B.30米C.35米D.50米

鞏固訓練

1.“圓材埋壁”是《九章算術》中的一個問題“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一

尺，問徑幾何？”根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道=1尺（1尺=10

寸），則該圓材的直徑為（）

A.26寸B.25寸C.13寸D.50.5寸

2..筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖1,點尸表示筒車的

一個盛水桶.如圖2,當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心。為圓心，6m為半徑的圓，且圓心在水

面上方.若圓被水面截得的弦長為6扇，則筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為

m

圖1圖2

3.如圖是一根圓形下水管道的橫截面，管內(nèi)有少量的污水，此時的水面寬為0.6米，污水的最大深度為

0.1米.

(1)求此下水管橫截面的半徑：

(2)隨著污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此時水面的寬度增加了多少？

題型七圓心角概念

19.如圖，在。。中，/5是弦，C是弧48上一點.若/CM2=25。，NOC4=40。，則/20C的度數(shù)為()

20.如圖，在。。中，NN8C=20。，ND/C=24。，則的度數(shù)為(

A.43°B.44°C.45°D.46°

21.下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓心角相等B.優(yōu)弧一定大于劣弧

C.經(jīng)過三點可以作一個圓D.相等的圓心角所對的弧相等

鞏固訓練

1.數(shù)學課上，老師讓同學們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著點。旋轉(zhuǎn)多少度后和它自身重合？甲同學說:

45°；乙同學說：60°；丙同學說：90°；丁同學說：135。.以上四位同學的回答中，正確的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

2.在半徑為2的O。中，弦的長為2,則弦所對的圓心角的度數(shù)為.

3.如圖，AB、CD是。。的直徑，弦CE〃AB,弧CE的度數(shù)為40。，求N/OC的度數(shù).

題型八利用弧、弦、圓心角的關系求解

22.如圖，在。。中，點C是弧的中點，ZOAB=55°,則弧2c的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

23.如圖，在A/B。中，AAOB=90°,以。為圓心，長為半徑作（30,分別交/以80于C、D.若

48=40。，則①的度數(shù)是（）

C.30°D.40°

24.如圖，在OO中，戢=俞，4403=50。則NCOD的度數(shù)為（）

C.40°D.50°

鞏固訓練

1.如圖，點/,8在以CD為直徑的半圓上,2是介的中點，連結(jié)ACUC交于點若NECD=40°,則NBDC

的度數(shù)是（）

A.45°B.40°C.30°D.25°

2.如圖，。。的直徑45=4,半徑OC_L/B,點。在弧3C上，DELOC,DFVAB,垂足分別為E、F,

若點E為。C的中點，弧CD的度數(shù)為.

3.如圖，乙4。=90。,C,。是標的三等分點，連結(jié)Z2分別交OC。。于點E,尸.

⑴求出//EC的度數(shù)；

(2)求證：AE=BF=CD.

題型九圓周角定理

25.如圖，48是。。的直徑，圓上的點。與點C,￡分布在直線的兩側(cè)，ZBCD=50°,則N4ED=()

A.60°B.50°C.45°D.40°

26.如圖，ND4E是。。的內(nèi)接四邊形/8CO的一個外角，若麗的度數(shù)為112。，則ND4E的度數(shù)是()

C.56°D.112°

27.如圖，ND是半圓。的直徑，點8、C在半圓上，且筋=前=①，點尸在①上，若/PC8=130。,

C.30°D.35°

鞏固訓練

I.如圖，在。。中，弦48的長等于。。的半徑,族恭為優(yōu)弧，則//C8為（

A.30°B.45°C.60°D.150°

2.如圖，4B、C三點在。。上，ZAOB=2ZBOC=80°.則=

3.如圖，在。。中，AC=CB，CO，/。于點。，CELO8于點￡.

c

(1)求證：AD=BE.

⑵若40=00,r=3,求8長.

題型十90度的圓周角所對的弦是直徑

28.如圖，在RtZk/BC中，ABIBC,AB=6,BC=4P是A/BC內(nèi)部的一個動點，滿足

/PAB=/PBC,則線段CP的長的最小值為（）

A.2B.4C.5D.7

29.已知N48C=NE4D=90。，。是線段上的動點且4C_LED于點G,4B=4E=4,則8G的最小值

為（）

A.2不B.272-1C.275-2D.1V10

30.將一個含60。角的直角三角板和一個量角器按如圖所示的方式放置，ZACB=90°,其中點。所在位置在

量角器外側(cè)的讀數(shù)為30。，連接DC交4B于點E,則圖中/8EC的度數(shù)是（）

C.55°D.45°

鞏固訓練

1.在RL^48C中,ZC=90°,AC=14,8c=24,點。為線段3c上一動點，以CD為。。直徑，作AD

)

C.20D.22

2.木工師傅常用一種帶有直角的角尺來測量圓的直徑.如圖，他將角尺的直角頂點A放在圓周上，角尺的

兩條直角邊分別與O。相交于點8、C,若度量出46=2收，4c=2,則。。的直徑是.

3.如圖，48是OO的直徑，點C、。是OO上的點，5.OD//BC,4C分別與8。、QD相交于點E、F.

D

(2)若C3=6,AB=10,求。尸的長；

(3)若。。的半徑為2,/。。/=80。，點尸是線段4B上任意一點，試求出產(chǎn)C+尸。的最小值.

題型十一圓內(nèi)接四邊形定理

31.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，若44OC=122。，則N/OC的度數(shù)為()

32.如圖，A,B,C,。是。。上的四個點，己知44OC=60。，ZBDC=40°,則NNCB=()

A.60°B.70°C.79°D.80°

33.如圖，點/,2是O。上的兩個定點，構成等邊△048,點C是O。上的一個動點，不與點4,8重合,

則N/C8的大小為()

C.60?；?20°D.30°或150°

鞏固訓練

1.如圖，四邊形N8CD為O。的內(nèi)接四邊形，/BCD=116°,則N5O。的大小是()

R

A.128°B.108°C.100°D.110°

2.如圖，四邊形48c。是。。的內(nèi)接四邊形，ZABD=72°,AB=AD,則NC=.

3.如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于O。，連接BD,Z84D=105°,BD^DC-

⑴求48DC的大小；

(2)若。。的半徑為3,求8c的長.

題型十二點和圓的位置關系

34.在直角坐標平面內(nèi)，點/的坐標為(1,0),點2的坐標為(a,0),圓/的半徑為2.若點8在圓上，則a

值為()

A.2或3B.-1或3C.-3或1D.-3或2

7

35.如圖，在RtZX/BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,P為邊3c上的一點，以尸為圓心，不長為半徑

作圓，則當點C在圓內(nèi)，點/在圓外時，線段CP的取值范圍為()

'0<CP<|

C.3<CP<5D.-<CP<-

22

36.數(shù)軸上有兩個點A和B,點3表示實數(shù)16,點A從原點出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，運動

速度為7,02半徑為4,若點A在。8外，貝I]()

A./<6或/>10B.6ct<10C./<12班f>20D.12<f<20

鞏固訓練

1.如圖，在RtZX/BC中，ZB=90°,AB=4,BC=7,點。在邊8c上，且2。=3,連接ND.以點。為圓

心，以，為半徑畫圓，若點/,B,C中只有1個點在圓內(nèi)，則廠的值可能為()

C.5D.6

2.如圖，在矩形N5CD中，AB=3,AD=A.作。E1NC于點￡,作4尸_L8。于點足

(1)4尸的長是.

(2)若以點/為圓心作圓，B,C,D,E,尸五點中至少有1個點在圓內(nèi)，且至少有2個點在圓外，則。/

的半徑r的取值范圍是.

3.如圖，在三角形/5C中，ABAC=90°,AB=3,/C=4,4。是高線，/E是中線.

(1)以點N為圓心，3為半徑作圓/,則點8,D,C與圓/的位置關系如何?

(2)若以點/為圓心作圓N,使3,。，C三點中至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，求圓/的半徑『

的取值范圍？

題型十三確定圓的條件

37.如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的頂點上,

A.點。B.點EC.點尸D.點G

38.如圖，將△/BC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A、8、C均落在格點上，用一個圓面去

覆蓋△/5C,能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓面的半徑是()

39.下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①經(jīng)過三點一定可以作圓；②任意一個圓只有一個內(nèi)接三角形；③任意一個三角形一定有一個外接圓，并

且只有一個外接圓；④三角形的外心到三角形的三邊距離相等.

A.4個B.3個C.2個D.1個

鞏固訓練

1.如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點/,B,C,D,E,F,。均在格點上.下列三角形中，外心不是

點。的是（）

A.LABCB./\ABDC."BED.AABF

2.將邊長為2的小正方形/BCD和邊長為4的大正方形EFG”如圖擺放，使得C、￡兩點剛好重合，且

B、C、笈三點共線，此時經(jīng)過“、F、G三點作一個圓，則該圓的半徑為.

3.如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點/他,4）、3（-4,4）、C（-6,2）,請

在網(wǎng)格圖中進行如下操作:

圖1

（1）利用網(wǎng)格線找出該弧所在圓的圓心D點，在圖上標出D點；

⑵連接/D、CD,則。。的半徑長為.（結(jié)果保留根號）

（3）如果點￡坐標為（2,-2）,則E點在G。.（填“內(nèi)”、“外”或"上”）

題型十四直線與圓的位置關系

40.如圖，△48C中，ZC=90°,AB=5,tanB=~,如果以點C為圓心，半徑為R的。C與線段4B有

2

兩個交點，那么0c的半徑尺的取值范圍是（）

A.2dB.2<R<45

C.V5<7?<275D.0<R<45

41.已知OO的半徑為3,點。到直線m的距離為d,若直線加與。。公共點的個數(shù)為2個，則d可取（）

A.2B.3C.3.5D.4

42.已知O。的直徑為15cm,若直線/與OO只有一個交點，那么圓心。到這條直線的距離為（）

A.7cmB.7.5cmC.8cmD.10cm

鞏固訓練

I.如圖，在矩形中，對角線4c與3。相交于點。，AB=5,3c=12,以點。為圓心作圓，若

與直線4D相交、與直線CD相離，則。。的半徑/?的取值范圍是（

D.r<6

2.如圖，在矩形48CD中，BC=5,AB=2,OO是以8C為直徑的圓，則直線4D與。O的位置關系是

3.在MAABC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,

（1）斜邊42上的高為;

（2）以點C為圓心，廠為半徑作。C

①若直線N2與。C沒有公共點，直接寫出廠的取值范圍；

②若邊N3與。C有兩個公共點，直接寫出r的取值范圍；

③若邊與。C只有一個公共點，直接寫出r的取值范圍.

題型十五切線長定理

43.如圖，AB,AC,是。。的切線，切點分別為P、C、D,若AB=5,AC=3,貝的長是（）

A.1.5C.2.5

44.如圖，△NBC的內(nèi)切圓。。與4B、BC、C4分別相切于點。、￡、尸且40=2,BC=5,則△4BC的周

長為（）.

A

F

BEC

A.7B.14C.10D.4

45.如圖，PA,P8為。。的兩條切線，C,。切。。于點￡,分別交尸4尸8于點C,D.尸為。。上的點,

連/尸，BF,若PA=5,/尸=40。，則△PCD的周長和4EB的度數(shù)分別為（）

A

€B

A.10,40°B.10,80°C.15,70°D.10,70°

鞏固訓練

1.如圖，PA,心切。。于點4,B,直線尸G切。。于點￡,交PA于F,交PB于點、G,若△尸F(xiàn)G的周長

A.3cmB.6cmC.12cmD.13cm

2.如圖，B、C的坐標分別為（-5,0）和（5,0）,AB-AC=6亞,0M為3c的內(nèi)切圓，則M的橫坐標

為.

3.我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形.

如圖1,OO與△4BC的三邊4B,BC,/C分別相切于點。，E,尸則△4BC叫做的外切三角形，以

此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形.

如圖2,。。與四邊形N8CD的邊48,BC,CD,D4分別相切于點￡,F,G,H,則四邊形48CD叫

做。。的外切四邊形.

（1）如圖2,試探究圓外切四邊形4BCD的兩組對邊4B,CD與BC,40之間的數(shù)量關系，猜想:

AB+CDAD+BC（橫線上填“>”，“<”或"="）；

⑵利用圖2證明你的猜想；

（3）若圓外切四邊形的周長為36.相鄰的三條邊的比為2:6:7.求此四邊形各邊的長.

題型十六三角形的內(nèi)心問題

46.如圖，/是△48C的內(nèi)心，乙4=80。，則48/C的度數(shù)是（）

100°C.120°D.130°

47.如圖，點。是△48C內(nèi)切圓的圓心,已知448c=50。,44c5=80。，則/8OC的度數(shù)是（）

C.125°D.130°

48.如圖，在一張RtZk48C紙片中，44c8=90。，BC=5,/C=12,。。是它的內(nèi)切圓.小明用剪刀沿著

。。的切線OE剪下一塊三角形4DE,則△4DE的周長為()

C.22D.20

鞏固訓練

1.在△/BC中，N/=50。，如果。。截三條邊所得的三條弦的長度相等，那么/8O。的度數(shù)為()

2.如圖，己知點。是△23C的外心，點/是a/BC的內(nèi)心，連接03,IA.若NOBC=20°,貝|/C//=

3.己知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？

古希臘的幾何學家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計算公式——海倫公式

S〈p(p_a)(p_b)(p_c)(其中a,b,c是三角形的三邊長，p="”，S為三角形的面積)，并給出

了證明.

事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數(shù)學家秦九韶提出的秦九韶

公式等方法解決.

如圖，在△ASC中，BC=5,AC=6,AB=9.

(1)用海倫公式求△ZBC的面積；

(2)求△48C的內(nèi)切圓半徑八

題型十七切線的性質(zhì)和判定綜合

49.如圖，48是。。的直徑，點C是<3。外一點，過點C的兩條直線分別與圓相切于點5、D,點E是圓

周上任意一點，連接DE,若NC=70。，則()

A.50°B.40°C.25°D.35°

50.如圖，尸4P8分別與。。相切于48兩點，DE與。。相切于點C,與尸4尸5相交于。,石兩點，若

PA=9,ZAPB=50°,則△山￡的周長和的度數(shù)分別為()

0>P

A.9,130°B.18,130°C.9,115°D.18,115°

51.如圖，PA,，陽為的兩條切線，切點分別為A,」5,連接。尸交。。于點。，交弦力5于點。.下

列結(jié)論中錯誤的是()

A.PA=PBB.OPA.AB

C.AC=BCD.△小是等邊三角形

鞏固訓練

1.如圖，AB是。。的直徑，C,。是。。上的點，ZCDB=\5°,過點C作。。的切線交4B的延長線于點

2.如圖，在OO中，48為直徑，點〃為48延長線上的一點，MC與OO相切于點C,圓周上有另一點。

與點C分居直徑兩側(cè)，且使得MC=MD=/C,連接4D.現(xiàn)有下列結(jié)論：①與。。相切；②四邊

形/CW是菱形；③AB=MO；?ZADM=UO°.其中正確的結(jié)論是(填序號).

3.如圖，。。是以等腰△48C的腰48為直徑所作的圓，點。是。。與底邊/C的交點，自。點作

DELBC,垂足為點E,過點8作。。的切線叱，交/C于尸

⑴求證：是O。的切線；

(2)若。。的半徑為5,DE=3,求此時。尸的長.

題型十八正多邊形和圓

52.如圖，等邊三角形/3C和正方形。斯G均內(nèi)接于O。，若EF=2,則2c的長為（）

A.2V2B.273C.V5D.

53.如圖，正方形N8CO內(nèi)接于130,點E在。。上連接8E,CE,若4BE=18。,則/BEC-NZ）CE=（）

B.17°C.18°D.20°

54.如圖，正五邊形48CDE內(nèi)接于OO,點尸是O。上的一個動點，當尸沿著8。C的路

徑在圓上運動的過程中（不包括8,C兩點），N3FC的度數(shù)是（）

A.36°B.72°C.54°D.不確定

鞏固訓練

1.若正多邊形的一個外角為72。，則這個正多邊形的中心角的度數(shù)是（）

A.18°B.36°C.72°D.108°

3.已知正六邊形4BCDEF的外接圓圓心為0,半徑。4=5.

（1）求正六邊形的邊長;

⑵求正的長度.

題型十九求弧長

55.如圖，點3、C、。在。。上，NADB=30°,N是前的中點，若08=3,則前的長是（）

56.如圖，在△NBC中，NACB=9Q°,/4=30。，BC=3,以點8為圓心，BC長為半徑畫弧，交邊4B

于點。，則方的長是（）

c

ADB

2n2V3

A.冗B.2?C.—nD.------兀

33

57.小明學習圓以后，進行以下操作：如圖，線段N8的長為3,分別以點A,5為圓心，長為半徑畫

弧，兩弧交于點C,連接/C,BC,則陰影部分的周長為（）

A.3^---B.2萬+6C.6TT--D.71+6

42

鞏固訓練

1.如圖，。。的半徑為2,四邊形4BCD是圓內(nèi)接四邊形，NC=120°,則麗的長為（）

一

5------氣

27r4萬

A.——B.reC.——D.2?

2.以48為直徑的。。上三點/、B、C,作/氏4c的平分線4D交。。于。點，如圖，過點。作。

交/C的延長線于￡點，交的延長線于/點，若45=4

（1）若NADE=3N