第63講圓與圓的位置關系

知識梳理

1、圓與圓的位置關系

設圓01：(x—ai)2+(y—bi)2=ii(ri>0),

圓。2：(x—。2產+()/—歷)2=吆「2>0).

代數法：兩圓方程聯立組成方程

幾何法：圓心距d與匕，「2的關系

位置關己、

組的解的情況

外離d>ri+r2無解

外切c/=ri+r2一組實數解

相交\ri-r2\<d<r1+r1兩組不同的實數解

內切d=\r1—r2\(r^r2)一組實數解

內含0<d<\r1—r2\(r1^r2)無解

2、【常用結論】

1.圓的切線方程常用結論

(1)過圓上一點尸(無0，%)的圓的切線方程為Xox+yoy=r2.

(2)過圓x2+y2=，外一點〃(尤0,州)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為xox+yoy=e

2.圓與圓的位置關系的常用結論

(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.

(2)兩個圓系方程

①過直線Ar+By+C=O與圓/+>2+以+或+歹=0交點的圓系方程為f+》2+以+@+歹+44了+為+。

=0(2eR)；

②過圓G：/+產+。以+幻》+打=。和圓C2：d+V+Q尤+瓦丫+尸2=0交點的圓系方程為爐+/+。以+

—1)(其中不含圓C2,所以注意檢驗。2是否滿足題意，以防丟解).

真題再現

1、(2022?新高考I)寫出與圓f+y2=i和。一3)2+(丫-4)2=16都相切的一條直線的方程

【答案】x=-l(填3x+4y-5=0,7元一24y-25=0都正確).

【解析】圓尤?+;/=1的圓心坐標為OQO),半徑(=1,

圓(尤-3)2+(y-4>=16的圓心坐標為C(3,4),半徑r2=4,

如圖:

433

,/koc=—,「./i的斜率為一w，設直線4:y=+b，即3x+4y-4b=0,

由?:?=1'解得b（負值舍去），則4:3x+4y—5=。；

4

由圖可知，/2：%=-1；4與4關于直線）=—%對稱，

X=-1

4

聯立4，解得4與4的一個交點為（-1，-一），在4上取一點（-1，0），

y=—x3

13

‘％4x-l

—=—0?----

該點關于、=壯工的對稱點為（%,%）,貝”23:，解得對稱點為（_1,一★）.

3%__上2525

XQ+14

--2-4-1—4

k.=3=—,貝I]/：y=Z（尤+i）-d,即7x-24y-25=0.

37

"_7_+124243

25

二與圓f+9=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程為:

x=-l（填3x+4y-5=0,7尤一24y—25=0者B正確）.

故答案為：x=-l（填3x+4y-5=0,7x-24y—25=0都正確）

熱身訓練

1、若圓C］：/+y2=1與圓02：/+y2-6x-8y+根=0外切，則

A.21B.19C.9D.-11

【答案】C

【解析】由題意得G(0,0),。2(3,4),/]==125-m,|qc2|=/i+^=l+V25-m=5,所以m=9.

2、圓Ci：(x+1)2+。-2>=4與圓C2：(無一3>+。一2)2=4的公切線的條數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】圓G：(x+l)2+(y—2)2=4的圓心為C1(—1,2),半徑為2,圓C2：(x—3)2+——2)2=4的圓心為

Cz(3,2),半徑為2,兩圓的圓心距|CiC2|=X(—1—3)?+(2—2)2=4=2+2,即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑

之和，故兩圓外切，故公切線的條數為3.

3、圓。+2)2+V=4與圓(x—1)2+。-4>=9的位置關系為()

A.內切B.相交

C.外切D.相離

【答案】C

【解析】由題意，得兩圓心距離d=5,n+r2=2+3=5,所以兩圓外切.

4、已知圓G：x2+/-2x-6j-l=0和圓C2：f+y2—l(h—12y+45=0,則圓G和圓。2的公共弦所在

直線的方程為.

【答案】4x+3y—23=0

【解析】圓G和圓C2的方程相減，得4尤+3y—23=0,所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4無+3y—23

=0.

典例剖析

考向一圓與圓的位置關系

例l^已知兩圓x2+y2—2x—6y—l=0和x2+y2—i0x—12y+m=0.

(l)m取何值時兩圓外切？

(2)m取何值時兩圓內切？

(3)求m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.

【解析】兩圓的標準方程為(x—l)2+(y—3)2=11,(x—5)2+(y—6)2=61—m,圓心分別為M(i,3),N(5,6),

半徑分別為恒和#61—m.

⑴當兩圓外切時，4—5-12+~6-32=yfll+y/61~m,解得m=25+10?.

⑵當兩圓內切時，因定圓的半徑A/五小于兩圓圓心距5,故只有「61—m—吊五二5,解得m=25—10^/11.

⑶當m=45時，4一4五<|MN|=5<?+4,兩圓相交，其兩圓的公共弦所在直線方程為儼+丫2—2乂

-6y-l)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.

/~二<14x1+3x3-23^廣

所以公共弦長為2y/2_[_^y==_板.

變式1、(1)已知圓G：(x—a)2+(j+2)2=4與圓C2：(X+6)2+(J+2)2=1相外切，則ab的最大值為.

【答案】:

【解析】由圓Ci與圓C2相外切，可得用(。+6)2+(—2+2>=2+1=3,即(a+6)2=9,根據基本不等式，

(a+6平99

得層一J=4>當且僅當時等號成立.故"的最大值為不

(2)已知圓G：(x—a)2+(y+2)2=4與圓C2：(x+^)2+(y+2)2=1,貝U^+房的最小值為.

【答案】|

I----------------+//+

【解析】由圓G與圓。2內切，得4(〃+。)2+(-2+2)2=1,即(〃+。)2=1.又由基本不等式="三(丁J,

c(〃+。)211

可知---=],當且僅當時等號成立，故/+廬的最小值為了

變式2、(1)已知兩圓C1：/十丁2—2x+10y—24=0,C2：d+V+Zx+Zy—8=0,則兩圓公共弦所在的直線

方程是.

(2)兩圓x2+y2—6x+6y—48=0與d+V+dx—gy—44=0公切線的條數是.

(3)已知。。的方程是一+產一2=0,。0"的方程是爐+產一8x+10=0,若由動點尸向。。和。0,所引的切

線長相等，則動點尸的軌跡方程是.

3

【答案】：(l)x—2y+4=0(2)2(3)x=]

【解析】：(1)兩圓的方程相減得：入-2y+4=0.

(2)兩圓圓心距1=巾5<曬+洞，.??兩圓相交，故有2條公切線，

(3)。。的圓心為(0,0),半徑為鏡，。0,的圓心為(4,0),半徑為加，設點尸為(%,y),由已知條件和

圓切線性質得f+丁一2=(x—4>+丁一6,化簡得

方法總結：(1)判斷兩圓的位置關系多用幾何法，即用兩圓圓心距與半徑和或差的關系判斷，一般不采用代

數法.

⑵求兩圓公共弦長的方法是在其中一圓中，由弦心距d,半弦長g,半徑r所在線段構成直角三角形，

利用勾股定理求解.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.

考向二圓與圓的綜合問題

2222

例2、(2022?山東臨沂?高三期末)已知圓G：x+y=l,圓C?：x+y=4,P&,%)在圓川上,。(々,力)

在圓C2上，則()

A.的取值范圍是[1,3]B.直線工建+%>=1是圓G在p點處的切線

c.直線xF+yy=4與圓c?相交D.直線尤2彳+丫2y=1與圓V+y2=^■相切

■4

【答案】ABD

【解析】圓G：/+丁=1的圓心為匕（0,0）,半徑為1,圓C?：x2+y2=4的圓心為C2（0,0）,半徑為2,

觀察圖象可得2—14|尸942+1,所以「0的取值范圍是［1,3］,A對，

團尤1%+弘弘=1,s點尸（藥,%）在直線=i上，

又G（0,0）到直線XF+yj=1的距離4=-/12=1,又圓C1的半徑為1,

回直線X|X+yy=l是圓C1在尸點處的切線，B對，

團點「（5,%）在圓G上，Sxf+yf=1,

4,

0Cz（O,O）到直線平+%y=4的距離&J=-n/=4,又圓C?的半徑為2,

收+M

回直線無1彳+=4與圓C?相禺，C錯,

圓f+9］的圓心為（。,。），半徑為9

1

點（0,0）到直線/x+=1的距離4

在+賢2,

13直線尤2》+%>=1與圓/+_/=，相切，D對,

變式、（2022?湖北武昌?高三期末）已知圓。的方程為-+y2=l,P是圓C：（x-2p+y2=16上一點，過P

作圓。的兩條切線，切點分別為4B,則麗.麗的取值范圍為

3595

【答案】2,-ir

【解析】如圖,

設力與PB的夾角為2a,

,1C0S6Z

則|以|二|P8|=-----=--，

tanasina

團PA-PB=IPAII而Icos2a="cos2a=1+2a.cos2a.

1111sina1-cosla

P是圓C：(X—2)2+V=i6上一點，

2=4-|(9C|<|PO\<\OC\+4=6,

|PA|J|PO|2-12

coscr=

VPO\~~\PO\~

/.cos2a=2cos2a-1=l----G

|P(912218

令f=1一cosaG

則麗?麗=比”沙=r+2-3在白白上遞減，

tt182

所以當好上1時，/-(PA>--P-B\\=3-,此時P的坐標為(-2,0),

2'/min2

當/=上時，(西?麗)1mx=等，止匕時P的坐標為(6,0),

IX'718

"3595-

回西.麗的范圍為.

_21o_

「3595-

故答案為：『"777'

方法總結：圓與圓的綜合題目涉及到參數的問題，解題思路就是通過圓與圓的位置關系，尋求參數之間的

關系，然后轉化為函數的思想進行解決

優化提升

1、（2022年重慶市巴蜀中學高三模擬試卷）圓￡:/+曠+4》—4y+根=0關于直線/疣—y+2=0對

稱的圓為。2,若圓和圓。2有公共點，則實數機的取值范圍為.

【答案】(—",6]

【解析】

G:x2+y2+4x-4y+m=0=>(x+2)~+(y—=8-m.

得8—7篦>0=m<8.又設(—2,2)關于/：x-y+2=0的對稱點為(孫yj,

H=.]

石+26x=0

則2g…8-m.

A±^+2=O

22

又兩圓有公共點，則0<J（—2—0）2+（2—0/<2,8

故答案為：（-8,6].

2、（2022?山東棗莊?高三期末）設Oa：/+y2=i與。02：x2+（y-2）2=4相交于4,8兩點，則鉆|=

【答案】姮

2

【解析】

將。+和。O2：/+（y-2）2=4兩式相減:

得過?兩點的直線方程：‘

則圓心。心。）到心的距離為。,

所以|A.=2>（；）2=半

故答案為：姮

2

3、（深圳市羅湖區期末試題）圓:—4y—6=o與圓。2：/+/一6x+8〉=0公共弦長為（）

A.加B.V10

C.275D.36

【答案】C

【解析】

x2+y2-4y-6=0

聯立兩個圓的方程＜

X2+y2-6x+8y=0

兩式相減可得公共弦方程x-2y-l=0,

圓?:x?+（y—2『=10的圓心坐標為0］（0,2）,半徑為r=回,

圓心?（0,2）到公共弦的距離為&==45,

公共弦長為d=2/2—42=2./10-5=275.

故選:C.

4、（2022年重慶市第八中學高三模擬試卷）（多選題）若過點（2,1）的圓C與兩坐標軸都相切，且與過點

A（0,6）和點3（8,0）的直線相離，設尸為圓C上的動點，則下列說法正確的是（）

A.圓心C的坐標為（L1）或（5,5）

B.△A3。面積的最大值為22

C.當最小時，|PA|=5

37r

D.不存在點尸使NAP3=—

4

【答案】BCD

【解析】

【詳解】由題意知圓心必在第一象限，設圓心的坐標為（a,a）,則圓的半徑為。，

圓的標準方程為（尤―aF+（y—。）2=。2,由題意可得（2-。）2+（1-。）2=。2,解得。=1或。=5,

當a=l時，圓心（U）到直線之：6x+8y—48=0的距離為1=恒普若1＞廠=1,

v62+82

/、,16x5+8x5-481

當〃=5時，圓心（5,5）到直線加：6x+8y—48=。的距離為d=J——==—kr=5,

V62+82

又圓C與幾：6x+8y—48=0相離，所以圓心的坐標為(1,1),A錯誤;

因為點尸到直線6x+8y-48=0的距離的最大值為d=口+8一48|十廠=2,

105

所以￡4BP<g|A3|d=22,B正確；

當最小時，與圓C相切，由對稱性或勾股定理可得|P4|=J|ACf-戶=5,C正確;

31.IABI=572

假設存在點P使/AP5=—萬，則AABP的外接圓圓/的半徑為2.3〃—“，

4sin——

4

設圓M方程為(％—a)2+(y—b)2=50,貝U

(0-a)2+(6-l