專題04二次根式

廠考點類型

'■知識一遍過

(-)二次根式的相關概念

(1)二次根式：式子、后(aNO)叫做二次根式.

(2)有意義的條件：二次根式的被開方數大于等于0。即、5中，a>0

(二)最簡二次根式與同類二次根式

(1)最簡二次根式需滿足兩個條件：

①被開方數不含分數；分母不含根式;

②被開方數中不含開得盡方的因數或因式.

(2)同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同,則把這幾個二次根式叫做同

類二次根式.

(三)二次根式的性質

(1)F(a20)具有雙重非負性,一是四，二是NO.

(2)(*\/a)2=a(a'O).

(3)E=|a|={a(a20)

勺-a(a<0)

(四)二次根式的有理化

在進行二次根式計算時，最后的結果都要化簡成最簡二次根式。若被開方數中含有分母或分母中含有根號

時，對這一類二次根式的化簡過程叫做分母有理化。

c[a4a4a-4b4ab

4b~4b-4b~b°

c1__4a+4b4a+4b

4a+4b(Va±VK)(Va+VK)(刈_(⑻a-b

（五）二次根式的運算

（1）二次根式的加減運算:

a4rn±b4rn={a±b）4rn[m>0）（類比同類項的加減運算）

（2）二次根式的乘除運算:

①乘法運算：-4b=yl~ab(ci>0,/?>0)o推廣：a4rn-by]~n=aby!mn(m>0,n>0)o

②乘法逆運算：4ab=?^\（ab>0）o

③除法運算：斗=B（a?0,b>0）o推廣：=-&m>0,n>0,匕彳0）。

-y/bVbbYnb\n

④除法逆運算：^=^R（ab>0,b/0）。

（3）二次根式的混合運算：

先算乘方，再算乘除，最后算加減。有括號的先算括號，先算小括號，再算中括號，最后算大括號。

考點一遍過

考點1：二次根式的概念

典例1:（2324上?內江?階段練習）下列各式中，不是二次根式的是（）

A.V35B.V2C.Va1D.Jj

【答案】B

【分析】根據二次根式的定義（形如VH（a20）的式子叫做二次根式）逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、序是二次根式，則此項不符合題意；

B、邁不是二次根式，則此項符合題意；

C、笳是二次根式，則此項不符合題意；

D、4是二次根式，則此項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了二次根式的定義，熟記二次根式的定義是解題關鍵.

【變式1]（2223下?駐馬店?階段練習）下列式子，一定是二次根式的共有（）

V28，1,Vm,Vx2+1,V25

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】D

【分析】根據二次根式的定義進行解答即可.

【詳解】解：V28,1,口,Vm,x2+1,儂中一定是二次根式的有何、Vx^Tl,共2個，故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握定義，一般地，形如歷（a20）的代數式

叫做二次根式.

【變式2】（2223下?天津,期中）已知為整數，則正整數幾的最小值為（）

A.3B.9C.18D.21

【答案】D

【分析】根據開平方的運算即可求解.

【詳解】解：回71^=V3x7x9n為整數,

團189?1是某個數的平方，

團當n=21時，V189n=V21x9x21=63,

回正整數n的最小值為21,

故選：D.

【點睛】本題主要考查求一個數的算術平方根，掌握開平方運算的方法是解題的關鍵.

【變式3］（2223下?江門?期中）如果J二三有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>3B.x<3C.%>3D.%<3

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件及分式有意義的條件：根據其有意義的條件列出不等式，并解

不等式是解題的關鍵.

【詳解】解:由題意得：

解得：%>3,

故選C.

【變式4］（2324上?鄭州,階段練習）若y=77=^一57+3,則儀的值為（）

A.8B.—8C.6D.9

【答案】A

【分析】根據二次根式有意義的條件，得出x=2,進而得出y=3,將x和y的值代入儀即可求解.

【詳解】解：回ST界和7^二北有意義，

0x-2>0,2-%>0,

Six—2,

0y=，2—2—V2—2+3=3,

取〉=23=8,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式被開方數為非負數.

【變式5］（2324上?新鄉?階段練習）下列各式：①7^0>0）;②3③VI=元（m>0）；@79^4.其

中是二次根式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據二次根式的定義，即可求解.

【詳解】解：①7^表0〉0）無意義，不是二次根式；

②3不是二次根式；

（3）71-m（m>0）當m>1時無意義，不是二次根式；

④，9a2接是二次根式;

故選：A.

【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，熟練掌握形如6（a20）的式子是二次根式是解題的關鍵.

【變式6】（23?24上?青島?階段練習）已知：a、6均為實數，下列式子：①代；②VH；③&E；④垂

⑤而其中一定是二次根式的個數有（）個

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據二次根式的定義（根指數是2,被開方數是非負數）判斷即可.

【詳解】解：二次根式有①③④，共3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的定義，形如VH（a20）的式子叫二次根式.

【變式7]（2223下?紅河?期末）使代數式寫有意義的x的取值范圍是（）

X-1

A.x>—2B.%H1C.%>—2且%W1D.%>1

【答案】C

【分析】由于代數式既為分式又含二次根式，故》的取值應當同時使分式和二次根式有意義.

【詳解】解：若使代數式有意義，則｛:；；：；，即，

解得：x>一2且％豐1,

故選：C.

【點睛】此題同時考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，要注意，二者必須同時成立才能使

代數式有意義.

考點2：二次根式的性質

典例2：（2324上?天水?期中）下列計算正確的是（）

A.（―\/3）=-3B.J（-3）2=-3C.V8=2-V2D.J（-2）4=2

【答案】C

【分析】根據二次根式的性質進行化簡，然后判斷即可.

2

【詳解】解：A.（-V3）=3,原式錯誤;

B.式-3）2=3,原式錯誤；

C.V8=2?\/2,正確；

D.定牙=4,原式錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵.

【變式1]（2324上?海淀?期中）化簡（機―1）R三的結果是（）

A.Vl—mB.—Vl-mC.7m—1D.—yjm—1

【答案】B

【分析】判斷血-1的符號，將小一1還原成—J（zn—1尸,再化簡即可.

【詳解】解：?.?--\>0,

m—1<0,

???m—1=—y/(m—l)2,

.?.原式=_4人_1)2.卜

(m—I)2

Jm—1

=7-8_1)

=—V1—m.

故選：B.

【點睛】本題考查了二次根式的性質和化簡，掌握二次根式的性質和有意義的條件是本題解題關鍵.

【變式2](2223下?昭通,期中)若J(a-2尸=2-a,則a與2的大小關系是()

A.a<2B.a<2C.a>2D.a>2

【答案】B

【分析】根據二次根式的性質即可求出答案.

【詳解】解：隊/3-2尸=2-a,

0a—2<0,

ElaW2,

故選：B.

【點睛】此題考查二次根式的性質和化簡，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質.

【變式3](2324上?臨汾?階段練習)已知2<a<3,則化簡J(a—兀2+|a-21的結果為()

A.71—2B.2d—7T—2C.TT+2D.2—TT

【答案】A

【分析】根據〃的范圍判斷出Q-7T與a-2的正負，利用二次根式的性質和絕對值的代數意義化簡，計算即

可得到結果.

【詳解】解：02<a<3,

0a—7T<0,a—2>0,

團J(a-TT)2+\ct—21

=\d-7Tl+|Cl—21

=一(a—7T)+(a—2)

=-CL+TT+a—2

=7T—2.

故選：A.

【點睛】此題考查了二次根式的性質、整式的加減、絕對值的代數意義等，熟練掌握運算法則是解本題的

關鍵.

【變式4](2324上?內江?階段練習)實數a,b,c在數軸上的對應點如圖所示，則—|c—a|+J(6—c內的值為

()

abQc

A.-CL-bB.a-bC.a-b+2cD.a+b

【答案】B

【分析】先判斷a<b<O<c,可得c-a>0,b-c<0,再化簡絕對值和算術平方根，合并同類項即可.

【詳解】解：0a<b<0<c,

0c—a>0,b—c<0,

團一|c—a|+J(b—c)2

=-(c—a)—(6—c)

=-c+a—b+c

=a—b.

故選:B.

【點睛】本題考查的是算術平方根的含義，化簡絕對值，整式的加減運算，掌握算術平方根的含義與化簡

絕對值是解本題的關鍵.

【變式5)(23-24上眉山?階段練習)若化簡|1一%|—-8%+16的結果為-3,則x的取值范圍是()

A.1<x<4B.x>4C.x<1D.%<1

【答案】D

【分析】根據二次根式的性質得出11—久I—|X—4|=—3,分為三種情況①xSL@%>4,?l<x<4,

再逐個判斷即可.

【詳解】解：根據題意得：|l-x|-Vx2-8x+16=-3,

|1-x|-J(x-4)2=-3,

|1—x|—|x—4|=—3,

①當xW1時，

|1——1%—4|

=1—%—(4—%)

=1—%—4+%

=-3,此時符合|1一%|-石的結果為一3；

②當%>4時，

|1—%|—1%—4|

=%—1—(%—4)

=x—1—%+4

=3W—3,

③當1<x<4時，

|1——|x—4|

=x—1—(4—x)

=x—1—4+x

=-5+2,xW—3,

即當％<1時，111一劃一心2一8%+16的結果為一3,

所以％的取值范圍是％<1,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式性質與化簡，絕對值等知識點，能進行分類討論是解此題的關鍵.

【變式6](23?24上?佛山?階段練習)實數〃、匕在數軸上的位置如圖，則化簡+b)2--b)2的結果

為()

ab

-???-----1-----1—?—?->

-10123

A.2bB.-2bC.2aD.-2a

【答案】C

【分析】先根據數軸上點的位置關系得出-1<a<0<2<6<3,再根據二次根式的性質即可求出答案.

【詳解】解：0-1<a<0<2<b<3,

0a+/?>0,a—6<0,

回J(a+b)2——b)2

=\CL+b\—\CL-b|

=a+b—(b—a)

=a+b—b+a

=2a,

故選：c.

【點睛】本題考查了實數與數軸、二次根式的性質與化簡，掌握二次根式性質與化簡的應用，根據數軸上

點的位置關系判斷絕對值里面的數與0的關系，是解題關鍵.

【變式7]（22-23下?新鄉?期末）若a<0,則化簡后-師行的結果為（）

A.2B.-2C.2—2aD.2a—2

【答案】C

【分析】根據二次根式的性質，求一個數的立方根，化簡即可求解.

【詳解】解：M<0,

HA/U2一，（a-=-a-（a-2）=-u-a+2=2-2a,

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的性質，求一個數的立方根，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

考點3：二次根式的運算

典例3：（22.23下?孝感?階段練習）以下各式：①J（-4）X（-9）=口XF，②—2代=J（-2汽=房，

③b強④卜乒等其中正確的有（）

A.。個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】根據二次根式的性質，二次根式有意義的條件判斷；

【詳解】解：J（-4）x（-9）=義互無意義,①錯誤；-2?=-迎2%=一7^,②

錯誤；占=窄成立的前提是a20,6>0,③錯誤；④]+隗=副親=?，④正確；

故選：B

【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，二次根式的化簡；掌握二次根式的性質是解題的關鍵.

【變式1]（2223下?寧波?階段練習）已知夕=a,V70=b，則由用a、b表示為（）

a+b-a-bbab

AA.—B.——C.-D.—

1010a10

【答案】D

【分析】根據題意將用變形為償，由此可得出答案.

7100

【詳解】解：由題意得：

7^9=圖=生迤=藝

'71001010

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式的乘除法運算，將小變形為會是解題的關鍵.

7100

【變式2】（2223下?許昌?期中）計算同+1的結果是（）

A.6V6B.漁C.延D.迪

634

【答案】D

【分析】根據二次根式乘除混合運算法則進行計算即可.

【詳解】解：V18^V8x1

_V54

_V16

_3y/6

'4

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次根式混合運算，熟練掌握二次根式混合運算法則，準確計算.

【變式3]（2223下?阿克蘇?階段練習）下列計算中正確的是（）.

A-匹=一步B.5盯+焉=）/24

C.V15-=3D.W（-6）2盯+7,6孫=一.

【答案】A

【分析】根據二次根式的乘除混合運算進行計算即可求解.

【詳解】解：A.—J]+焉+VO.7=—+=-J刊x]=—故該選項正確，符合題意;

B.5孫一熹=5盯x華=25幻劃交，故該選項不正確，不符合題意；

,V25x2JyVyy

C.V15-j|-r-V3=J15x|x|=1,故該選項不正確，不符合題意；

D.'（-6）2町+7'6孫=X7篇==奈故該選項不正確，不符合題意；

故選:A.

【點睛】本題考查了二次根式的乘除混合運算，熟練掌握二次根式的乘除運算法則是解題的關鍵.

【變式4］（2324上?鄭州?階段練習）下列運算正確的是（）

A.V2+V2=2B.3V5-2V5—1

C.V3XV2——A/6D.V32+V4=8

【答案】C

【分析】根據二次根式的運算法則，逐個進行計算，即可解答.

【詳解】解：A、V2+V2=2V2,故A不正確，不符合題意；

B、3V5—2V5=V5,故B不正確，不符合題意；、

C、V3XV2=V6,故C正確，符合題意；

D、V32V4=V8=2V2,故D不正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算順序和運算法則.

【變式5］（2324上?新鄉?階段練習）下列各式計算正確的是（）

A.4A/24-2V2=2V2B.5V3+5V2=lOVS

C.4V3X2V2=8V6D.8V3-2V3=6

【答案】C

【分析】根據二次根式加減乘除法則逐項進行計算即可.

【詳解】解：A、4V2-2V2=2,故錯誤，不符合題意；

B、5舊+5/不能合并，故錯誤，不符合題意；

C、4A/3x2A/2=8V35T2=8V6,故正確，符合題意；

D、8V3-2V3=（8-2）V3=6V3,故錯誤，不符合題意；

故選：C

【點睛】本題考查了二次根式的加、減、乘、除運算，解答關鍵是熟練掌握相關運算法則.

【變式6】（2324上?新鄉?階段練習）估算（2痂+g）+遮的值應在（）

A.7和8之間B.8和9之間

C.8和10之間D.10和11之間

【答案】C

【分析】先根據二次根式的混合運算進行計算，然后在估算計算的結果即可.

【詳解】解：（2V45+V12）V3

=（6V5+2V3）+V3

=2V15+2；

09<15<16,

即3<V15<4,

團6<2V15<8,

團8<2V15+2<10,

故+2的值應在8到10之間.

故選：C.

【點睛】本題考查了估算無理數的大小，二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

【變式7]（22-23下烏魯木齊?階段練習）計算（2g-6Jj+3網）+舊的結果是（）

A.10B.20C.14D.16

【答案】C

【分析】先化簡各二次根式，再根據二次根式的加減運算法則計算括號內的，然后計算二次根式的除法即

可.

【詳解】解:原式=（4百-28+12百）一百

=14V3+V3

=14,

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：一般情況下先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根

式的乘除運算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根

式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.

考點4：最簡二次根式

典例4：（2324上?白銀?期中）下列二次根式中，為最簡二次根式的是（）

A.V8B.VSx1C.V3D.-

【答案】c

【分析】本題考查的是最簡二次根式，被開方數不含分母、被開方數中不含能開得盡方的因數或因式的二

次根式，叫做最簡二次根式.根據最簡二次根式的概念、二次根式的性質判斷即可.

【詳解】解:A、迎=將=2a被開方數中含能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，不符合題意；

B、w=%后被開方數中含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，不符合題意；

C、班是最簡二次根式，符合題意；

D、'=?被開方數含分母,不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點睛】

【變式1】（2324上?南陽?階段練習）在后，-孝,，63石,7^三亦中最簡二次根式的個數有（）

275

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】對能化簡的二次根式進行化簡，再根據最簡二次根式的定義進行判斷.

【詳解】解：■=2a疝迎豆=魯，］=?，不是最簡二次根式，羽石不是二次根式，-',是

最簡二次根式，有2個，

故選：B.

【點睛】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握二次根式的性質和最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

【變式2］（2324上?周口?階段練習）下列各式V3,V18,屈中，是最簡二次根式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據最簡二次根式：被開方數不含分母，不含能開方開的盡的因式和因數，進行判斷即可.

【詳解】解：］，被開方數含有分母不是最簡二次根式，B是最簡二次根式，V18-3V2,不是最簡二次

根式，次4=￥，不是最簡二次根式，故只有1個最簡二次根式，

故選A.

【點睛】本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是掌握最簡二次根式的特征.

【變式3］（2324上?天水?期中）二次根式：①g；②仔；③Jj；④何中，能與百合并的是（）

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

【答案】c

【分析】先根據二次根式的性質進行化簡，再判斷即可.

【詳解】解：@V12=2V3,能與百合并；

②仔=3,不能與百合并；

③］=彳，不能與舊合并；

④何=3百，能與百合并；

所以能與百合并的是①和④，

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，合并同類二次根式，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵.

【變式4］（2223下?鎮江?階段練習）下面與魚是同類二次根式的是（）

A.V20B.V12C.V4^5D.

【答案】C

【分析】先將各個選項化為最簡二次根式，再根據同類二次根式的定義即可解答.

【詳解】解：A、V20=2V5,故A和魚不是同類二次根式，不符合題意；

B、g=28，故B和夜不是同類二次根式，不符合題意；

c、曲=乎，故C和魚是同類二次根式，符合題意；

D、半，故D和魚不是同類二次根式，不符合題意；

733

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，同類二次根式的判斷，解題的關鍵是掌握二次根式的化簡方法,

最簡二次根式的特征，以及同類二次根式的定義.

【變式5］（2324上?平頂山?階段練習）若屬與最簡二次根式衍了能合并成一項，則，的值為（）

A.6.5B.3C.2D.4

【答案】C

【分析】先化簡再根據vn與最簡二次根式低二I是同類二次根式建立方程，解方程即可得.

【詳解】解：g=2V3,

isvn與最簡二次根式-1能合并成一項,

回2次與最簡二次根式V2t-1是同類二次根式,

2t—1=3,

解得t=2,

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡、最簡二次根式、同類二次根式，熟練掌握二次根式的化簡是解題關

鍵.

【變式6］（2223下?泰安?階段練習）若Va2"+3b3m+l是最簡二次根式,則相，〃的值為（）

A.0,-1B.-1,0C.1,-1D.0,0

【答案】A

【分析】根據最簡根式的定義可知八b的指數都為1,據此列式求解即可.

【詳解】解：回，洋日+363nl+1是最簡二次根式,

02n+3=1,3m+1=1,

0m=0,n=—1,

故選A.

【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，熟知最簡二次根式的定義是解題的關鍵：被開方數不含能

開的盡的因數或因式；被開方數的因數是整數，因式是整式.

【變式7】（22-23下?煙臺?期末）已知最簡二次根式師二方與二次根式回可以合并成項，則整數小,

九的值分別為（）

A.m—1,n=0B.m——1,n=0

C.m=1,n=2D.m=—1,n=2

【答案】A

【分析】先化簡同，根據最簡二次根式的定義可得+解方程組即可求解.

【詳解】解：0V48-4V3,最簡二次根式m+"+麻二不與二次根式同可以合并成項，

解得｛巾=’.

5=0

故選A.

【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，根據二次根式的性質化簡，根據題意列出方程組是解題的關鍵.

考點5：分母有理化

典例5：（2324上?黃浦?期中）下列式子中，是a五+b后的有理化因式的是（）

A.ay/x—by/yB.ay[x+byfyC.by/x+ayfyD.Vx—

【答案】A

【分析】根據有理化因式的特點：單項式的有理化因式就是他本身，多項式的有理化因式就是與它配成平

方差公式的那個多項式.然后根據題意就可以求出其解.

【詳解】由題意，得心氏+6A的有理化因式是：aa-b

故選：A.

【點睛】本題考查有理化因式，單項式的有理化因式就是他本身，多項式的有理化因式就是與它配成平方

差公式的那個多項式.

【變式1】(23?24上?青島?自主招生)化筒：+V1I+V14+V14+V17+V17+V20+V20+V23+V23+V26+

V26+V29+小的結果是（)

2V2

A.1B.C.2V2D.4V2

3

【答案】B

【分析】先將每個分式進行分母有理化，再計算加減即可得出答案.

1V11-V8_V11-V8

【詳解】解:

V8+V11(Vll+V8)(Vli-V8)-3

同理可得^1_V32-V29

3'"^^29+^32—3

11111111

V8+711V11+V14V14+V17V17+V20V20+V23V23+V26V26+V29V29+V32

Vil-V8V14-Vil717-V14V20-V17V23-V20V26-V23V29-V26

3*3*3*3*3*3*3

V32-V29

+3

V32-V8

3

4V2-2V2

3

2V2

故選B.

【點睛】本題考查了分母有理化及二次根式的加減運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【變式2】（22,23下?鹽城■階段練習）已知a=2—百，b=—V2,c=五一1,那么a,b,c的大小關

系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c〈a

【答案】A

【分析】首先分別求出a、b、c的倒數，比較出a、b、c的倒數的大小關系，然后根據：幾個正實數，倒數

越大這個數越小，判斷出Q,b,c的大小關系即可.

【詳解】解：a=2—V5,b=V3—V2,c=V2—1,

士煦=2+百,合一=b+&,}=潑=a+1,

2+V3>V3+V2>A/2^+1,

111

a>b>^

a<b<c.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了實數大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：正實數>0>負實數，幾個正實

數，倒數越大這個數越小.

【變式3](22?23下?池州?期中)己知xy=3(久>0,y>0),則比的值為()

A.3B.2V3C.V3D.6

【答案】B

【分析】先根據二次根式的性質化簡，再合并，然后把=3(x>0,y>0)代入，即可求解.

【詳解】解：%-xx+yx^^jxy+^xy-2^/xy,

0xy=3(x>0,y>0),

團原式=2V3.

故選：B

【點睛】本題主要考查了二次根式的加減運算，熟練掌握二次根式的加減運算運算是解題的關鍵.

【變式4](2223下?江津?階段練習)閱讀下列材料，然后回答問題.

在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如心一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：

V3+V2

谷=(日髭Im=V3-V2,以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.請根據上述方法分析下列結論：

V3+V2(V3+V2J(V3—V2J

1V5+V3

①引=一?

2

②若。=表,6=表'則。2+。2=6；

③a=b=且2a21829ab+2b2=2023,則(4機+2)2=99

JVm+1+VmVm+1-Vm+'7

其中正確的個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】①根據題干中給出的信息進行分母有理化，即可判斷；

②先化簡a、b,然后代入求值即可；

③先化簡a、b,然后將a、6代入2a2+i829ab+2b2=2023,求出(4m+2產即可.

【詳解】解：①心=就黛=等,故①正確；

75—73(V5-V3)(V5+V3)2

_1_V7_V5_y/7—>/5

0a=V7+V§=(V7+V5)(V7-Vs)=~i~'

r7)-1—.____V_7_+_V_5___—V_7_+_V_5

-V7-V5-(A/7+V5)(A/7-V5)-2'

回a?+/=(年j+(雪j

12-2A/3512+2V35

=----------1----------

44

12-2V5+2V5+12

二4

=6,故②正確；

z^\Vm+l-Vm

(3ja=]----「

y/m+l+y/m

_________2

(Vm+1—

Zm+1+7^)(43+1—

m+1+m—2ylm(jn+1)

m4-1—m

=2m—2dm(jn+1)+1,

Nm+1+yfm

b=-^=^=----

7m+1—ypm

(Vm+1+Vrn)

(Vni+1+y/rn)(y/m+1—V^)

m+1+m+2^Jm(m+1)

m+1—m

=2m+2dm(jn+1)+1,

El2a2+1829ab+2b2=2023,

02(a+b)2+1825ab=2023,

02(2m+1—+1)+2m+1+2+1))+1825(2m+1—21m(jn+1))(2m+1+

2yjm(m+1))=2023,

BP2(4m+2/+1825K2m+l)2-4m(m+1)]=2023,

2(4m+2)2+1825(4m2+4m+1—4m2—4m)=2023,

02(4771+2)2+1825=2023,

0(4m+2)2=99,故③正確；

綜上分析可知，正確的個數是3個，故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了分母有理化，二次根式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則,

準確計算.

【變式5](22-23下,江蘇?期末)如果a=四+b=那么()

V3—V2

A.a=bB.a>bC.a<bD.ab=1

【答案】A

【分析】先把6分母有理化，再比較.

【詳解】解：Efe-r-1r-=V3+V2,a=V2+V3,

回a=b.

故選：A.

【點睛】此題考查分母有理化，正確計算是解題關鍵.

【變式6](2223上?樂山?期末)若同的小數部分是a,則會的值是()

a+3

.1_V10_V10_14.

A.—B.—C.—D.V10

6103

【答案】B

【分析】先估算同的大小，得出。的值，然后計算代數式的值即可.

【詳解】解:3<VIU<4,

團aU的整數部分是3,小數部分是VTU-3,

回1_1__j__Vio

a+3-V10-3+3-V1O-10,

故選:B.

【點睛】本題考查了估算無理數的大小，要想準確地估算出無理數的取值范圍需要記住一些常用數的平方.

【變式7］（2223下?鄂州?階段練習）在化簡意意時，甲、乙兩位同學的解答如下：

?Vx+Vy（Vx+Vy）（Vx-Vy）（Vx）2-（Vy）2

乙.%-—_（①2_（萬）2=（々-⑼（日+萬）_

*Vx+VyVx+VyVx+Vy7y.

A.兩人解法都對B.甲錯乙對

C.甲對乙錯D.兩人都錯

【答案】B

【分析】根據分式的性質進行逐一判斷即可.

【詳解】解：甲同學在計算時，將分子和分母都乘以（〃-萬），而（?-萬）是有可能等于o,此時變形后

分式沒有意義，

所以甲同學的解法錯誤；

乙同學的解法正確；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了分式的性質，二次根式的混合計算，平方差公式，熟知分式的性質是解題的關鍵.

考點6：二次根式的化簡求值

典例6:（2324上,松江?階段練習）先化簡,再求值:嚕等■（彳魯--+黑,其中a=$,b=3+遍.

Va+Vfe\vab-by/a+^jb/a-b3+V5

【答案】2癡，4

【分析】先根據二次根式的性質，分式的性質，將代數式化簡，將a的分母有理化，再代入原式即可求解.

【詳解】解:aVb+bVa(y[b

y/a+y/b\y/ab-ba-b

(Va)2-VF+(Vh)2--Ja/y/b

4a+VF\y/a-VF—VF-VF{4a—VF)(Va+VF)

Va-yjb?+Vb)y/b1VF

____________________________________L________________________________

Va+Vb4b?—Vfa)VH+Vb.(V^—Vb)(V^+Vh)

Va-?11\VF

Vb—Vh+Vfa/(V^-Vb)(V^+Vfe)

VH+VFVH—Vb

=?VF?—VF)(VH+VF)(VS-VF)+(VH-VK)(Va+VK)

?VF?24b—Vb)(V^+VF)

=y/a—Vb)(Va+V6)Vh

=2y[ab,

且嚕/K=心包=3-瓜6=3+心

3+V5(3+V5)(3-V5)9-5

回原式=2((3-75)(3+V5)

=2V9-5

=4

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的化簡，平方差公式，熟練掌握二次根式的化簡是解題的

關鍵.

【變式1](2324上?綿陽?開學考試)化簡求值：

(1)已知a=?—2,求代數式a3+4口2-a+6的值；

(2)已知久=百一2,y=V3+2,求;+5的值.

【答案】⑴6

(2)-14

【分析】⑴按照有理數一邊，無理數一邊，整理條件等式，后平方，變形代入所求代數式即可.

⑵求出x+y和孫的值，再通分，根據完全平方公式進行計算，最后代入求出答案即可.

【詳解】(1)Ela=V5-2,

Ela+2=V5,

國(a+2)2=(V5)=5,

0a2+4a=1,

團+4a2—a+6

=a(a2+4a)—a+6

=axl—a+6=6.

(2)回％=V3-2,y=V3+2,,

團%+y=V5—2+V3+2=2y/3,xy—(V3—2)(V3+2)=—1,

22

玳+、=%+y

xyxy

(%+y)2—2xy

xy

=(2可-2X(—1)=

(-D

【點睛】本題考查了分式的化簡求值和二次根式的化簡求值，能正確根據分式和二次根式的運算法則進行

計算是解此題的關鍵.

【變式2](2223下?隴南?階段練習)先化簡，再求值：已知a=方\,b=求爐的值.

V11-V7V11+V7

【答案】8VH

【分析】先將。，6的值分母有理化，再將。2/,+。爐因式分解，最后將“，b的值代入計算即可.

【詳解】解："a-"行=(歷、=VT1+V7,

V11-V7(“1-7)(“1+”)

b=「、=711-77,

V11+V7(Til-V7)(V11+V7)

a2b+ab2=ab[a+b),

=(VTi+V7)x(Vii-V7)x[(Vii+V7)+(Vil-V7)],

=(11-7)x2vH,

=8Vil.

【點睛】本題考查了分母有理化，因式分解，熟練并準確進行分母有理化是解題的關鍵.

【變式3](2223下?臨沂?期末)計算：

⑴己知刀=a一1,y=V2+1,求'+'的值；

xy

(2)求(g+V2-2)(73-V2+2)的值.

【答案】⑴6

(2)472-3

【分析】(1)根據已知可得x+y=2a,專7=1,然后將工轉化為在H出，再代入計算即可;

JJxyxy

(2)利用平方差公式和完全平方公式將原式展開，再合并即可.

【詳解】(1)解：Ex=V2-1,y=V2+1,

0%+y=V2—1+y/2+1=2yf2,

7

x-y=(V2—1)(V2+1)=(V2)—l2=1,

求+,=y2+%2

xyxy

y2+久2+2Xy—2xy

xy

(x+y)2—2xy

xy

2

_(2夜)-2x1

=i

=8-2

=6；

(2)(V3+V2-2)(V3-V2+2)

=[V3+(V2-2)][V3-(V2-2)]

=(⑹2-(夜-2『

=3-(2-4a+4)

=3-2+4V2-4

=4V2-3.

【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，二次根式的混合運算，二次根式的性質，完全平方公式，平方差

公式.解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則.

【變式4](2223下?龍巖?期中)在解決問題"已知a=高求2a2—4a+1的值”時，小明是這樣分析與解答

的：

a=J-=(廣昆：—T=V2+1,

V2-1(V2-1)(V2+1)

???a—1=V2.

(a—l)2=2,a2—2a+1=2.

???a2—2a=1.

22

???2a—4a=2,2a—4a+1=3.

請你根據小明的分析過程，解決如下問題：

⑴化簡:

(2)若a=」尸，求3a2-18a-1的值.

3+2y/2

【答案】⑴3+夕

(2)-4

【分析】(1)分子、分母都乘以3+V7,化簡得結果；

(2)a表示數的分子、分母都乘以3-2/，化簡后代入代數式3a2-18a-1里，計算得結果.

2(3+77)

【詳解】()原式=

1(3-V7)(3+V7)

_2(3+77)

32-7

=3+V7；

(2)3a2—18a—1

=3a2-18a+27-28

=3(a2-6a+9)-28

=3(a—3)2-28.

_3-2V2

?a-(3+2V2)(3-2V2)

_3-2V2

9-8

=3-2V2.

.??原式=3(3-2V2-3)2-28

=3X(-2V2)2-28

=3X8-28

=—4.

【點睛】本題考查了二次根式的運算，掌握分母有理化和二次根式的運算法則是解決本題的關鍵.

【變式5】(2223下,衡陽?期中)先化簡，再求值：已知x=B+l,y=V3-1.求代數式?++?的

值.

【答案】6

【分析】根據已知得出x+y=2g,將代數式因式分解即可求解.

【詳解】解：=V3+1,y=V3—1

耿+y=V3+1+V3—1=2V3

+xy+y=久％+y)2=lx(2^/3)2=1X12=6

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，因式分解的應用，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵.

______2

【變式61(22-23下?十堰?期中)先化簡，再求值:(V2x+7y)(V2x--(V2x-后),其中％=4,y=3.

【答案】2yj2xy—2y,4A/6—6

【分析】先利用平方差公式和完全平方公式進行化簡，再代值計算即可.

【詳解】原式=2x-y-(2x-2yf2xy+y)

=2^2xy-2y；

國當x=4,y=3時，原式=4前一6.

【點睛】本題考查二次根式的化簡求值.熟練掌握平方差公式和完全平方公式，正確的進行計算，是解題

的關鍵.

【變式71(22-23下,海淀?期中)先化簡，再求值：-9，式b+(Va-\Ab)(Va+VK),其中：a=3,6=2.

【答案】a—案1.

【分析】利用二次根式的性質和平方差公式化簡，然后代入求值即可.

【詳解】解:y/a3b+(Va—VF)(Va+Vfe)

苧-2,a痼+(⑷2-(⑷2

yfabVab

—-------；——Va—b

bb

=a—b,