專題05數與式綜合檢測（基礎版）

考試范圍：數與式；考試時間：150分鐘；總分：150分

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

評卷人得分

1.在下列各數中是無理數的有（）.

V36,p0,n,1（-5）2,V9,3.1415,臚萬，2.010010001...（相鄰兩個之間依次多一個0）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】此題主要考查了無理數的定義，無理數就是無限不循環小數.理解無理數的概念，一定要同時理

解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱.即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數

是無理數.由此即可判定選擇項.

【詳解】解：V36=6,0,正可=5,口=-1是整數，屬于有理數；

］是分數，屬于有理數；3.1415是有限小數，屬于有理數；

團無理數有：TT,V9,2.010010001...（相鄰兩個1之間依次增加1個0）共3個.

故選：C.

2.把筆尖放在數軸的原點，沿數軸先向左（負方向）移動6個單位長度，再向右移動3個單位長度，用算

式表示上述過程與結果，正確的是（）

A.6+3=9B.-6―3=-9C.6—3=3D.—6+3=-3

【答案】D

【分析】本題考查數軸上點的移動，根據左移減，右移加，列出算式即可.

【詳解】解：由題意，列出算式為—6+3=—3；

故選D.

3.某市常住人口數約為1.33X1。6人，則數據1.33x1。6表示的原數是（）

A.13300B.133000C.1330000D.13300000

【答案】C

【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為ax10%其中lW|a|<10,幾為整數.

【詳解】解:1.33X106=1330000,

故選：C.

【點睛】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為ax10"的形式，其中1<|a|<10,幾為整數.確

定n的值時，要看把原來的數，變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原

數絕對值210時，門是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數，確定a與n的值是解題的關鍵.

4.若(久)表示實數x的整數部分，<久>表示實數x的小數部分，如(“)=1,(迎)=1,<V2>=V2-1,

則<VI石—百>+(4)=()

A.4—V3B.1—A/13C.6—V3D.V13—1

【答案】C

【分析】根據題目中給出的信息進行解答即可.

【詳解】解：EV16-V3-4-V3,

又回1<V3<2,

0<V16-V3>=4-V3-2=2-V3,

0(4)=4,

0<V16—V3>+(4)—2—y/3+4=6—V3,故C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了無理數的估算，解題的關鍵是理解求出4-百的小數部分.

5.若代數式”在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是()

x-1

A.%H1B.%>—3且%H1C.%>—3D.%>—3且久W1

【答案】D

【分析】根據分式的分母不為0,二次根式的被開方數，大于等于0,進行求解即可.

【詳解】解：根據題意得，%+320且％-1工0,

解得%>一3且％豐1.

故選：D.

【點睛】本題考查代數式有意義的條件.熟練掌握分式的分母不為0,二次根式的被開方數，大于等于0,

是解題的關鍵.

6.已知的三邊長分別為〃，2,3,則化簡|11一2a|—7a2—12a+36的結果為()

A.5—aB.5+aC.5D.—5

【答案】A

【解析】略

7.如果最簡二次根式與傷是同類二次根式，那么。的值是()

A.5B.3C.-5D.-3

【答案】B

【分析】先把強化成最簡二次根，再根據同類二次根式的定義得出3a-7=2,然后求解即可得出答案.

【詳解】解回由題意可知：V8=2A/2,

則3a-7=2,

CL—39

故選EIB.

【點睛】本題考查二次根式的性質，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式以及同類二次根式的概念，本題

屬于基礎題型.

8.下列各式從左到右的變形是因式分解的是()

A.a(a+b)-a2+abB.a2+2a+1=a(a+2)+1

C.(cz+b~)(a—b)=a2—b2D.2a2-6ab=2a(a—3b)

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解，解題的關鍵是理解因式分解的定義.把一個多項式化為幾個最簡整式的積

的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式.據此作答即可.

【詳解】解：A.等式右邊不是乘積形式，故選項錯誤，不合題意；

B.等式右邊不是乘積形式，故選項錯誤，不合題意；

C.等式右邊不是乘積形式，故選項錯誤，不合題意；

D.符合定義，故選項正確，符合題意.

故選：D.

9.若|a+2|=-u—2,貝1J|a—11—12—a|=()

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】D

【分析】根據絕對值的性質可得a+2<0,易得a<-2,然后求解即可.

【詳解】解:由題意，|a+2|=~CL—2=—(a+2),可知a4-2<0,

0a<-2,

回|a一1|一|2一a|=一(a-1)—(2—a)——a+1-2+a=-1.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了絕對值的性質以及整式運算，解題關鍵是根據絕對值的性質得出aW-2.

10.在矩形2BCD內，將一張邊長為a和兩張邊長為b(a>b)的正方形紙片按圖1,圖2兩種方式放留，矩形

中未被這三張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若要知道圖2中陰影部分的周長與圖1中陰影部分的周

長的差，只要測量圖中哪條線段的長()

A.AB

【答案】A

【分析】根據平移的知識和周長的定義，列出算式周長差=24。一4b+448—(24。+248-4b),再去括

號，合并同類項即可求解.

【詳解】解：圖1中陰影部分的周長=24D+24B-46,

圖2中陰影部分的周長=2AD-2b+4AB-2b,

周長差=2AD-4b+4XB-(2AD+2AB-4b)=2AD-4b+4AB-2AD-2AB+4b=2AB.

故若要知道周長差，只要測量圖中線段48的長.

故選:A.

【點睛】本題考查了整式的加減，周長的定義，關鍵是得到圖2中陰影部分的周長與圖1中陰影部分的周

長.

第H卷(非選擇題)

評卷人

、填空題

11.如果某個數的一個平方根是-5,那么這個數的算術平方根是

【答案】5

【分析】根據平方根的定義及算術平方根的定義即可解答.

【詳解】解：回某個數的一個平方根是—5,

團這個數為(一5)2=25,

團25的算術平方根為5,

故答案為5.

【點睛】本題考查了平方根的定義，算術平方根的定義，掌握平方根的定義及算術平方根的定義是解題的

關鍵.

12.使分式吃有意義的x的取值范圍是.

x-5

【答案】久彳5

【分析】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案.

【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，

即第一5W0,解得久H5,

故答案為：%H5.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關鍵.

13.把m標_477m分解因式的結果是.

【答案】mn(n+2)(n-2)

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【詳解】解：mn3-4mn

=mn(n2—4)

=mn(n+2)(n—2)

故答案為：mn(n+2)(n-2).

14.若.3%-4-14-3%=(%-(y),則y-%的值為.

【答案"

【解析】略

15.若無，y為實數，且|x+l|+Jy-3=0,貝斤的值為.

【答案】*

【分析】根據算術平方根非負，絕對值非負求出了、y的值，問題隨之得解.

【詳解】0|x+i|+Vy-3=o,

又回光+1|>0,Jy_3>0,

0|x+1|=0,Jy—3=0,

0%+1=0,y-3=0,

團％=-1,y=3,

故答案為:

【點睛】本題主要考查了算術平方根非負，絕對值非負的知識，根據非負性求出x=-Ly=3,是解答本

題的關鍵.

16.已知實數無、y滿足——盯―y2=0,則（+：=.

【答案］±V5/V5或-由/-魂或西

【分析】解方程求出％=萼〃分別代入根據分式的運算法則進行計算即可.

【詳解】解：解方程/-孫-y2=0,得

l±7(-l)*12-4xlx(-l)_1±V5

y=＜丫，

yx

—I—

xy

=---——I---------

1+Vsy

y

21+V5

=-----------1-----------

1+V52

2x(V5-1)(1+V5

"(l+V5)(V5-l)+^—

V5-11+V5

=2~~2~

=圾

當x=時，

yx

—I—

xy

21-V5

1—V52

2x(V5+1),1-V5

"(1-V5)(V5+1)+^-

V5+11-V5

=2-~2~

=一痘,

故答案為：±由.

【點睛】此題考查了解一元二次方程，分式的化簡求值，正確掌握一元二次方程的解法及分式的運算法則,

二次根式的混合運算法則是解題的關鍵.

評卷人得分

17.計算：

(1)|-3|-V16+|x7=8+(-2)3；

(2)|V6-V2|+|1-V2|-|V6-3|+|2V6-9|.

【答案】⑴—10

(2)5

【解析】略

18.已知a=77+2,b=V7-2,求下列各式的值.

(l)a2—2ab+b2.

⑵c?一爐.

【答案】⑴16

(2)877

【分析】(])直接利用已知得出a+b,a-b的值，進而結合完全平方公式計算得出答案;

(2)結合平方差公式計算得出答案.

【詳解】(1)解：0a=V7+2,b=y[7-2,

團a+b=V7+2+>J7—2=2V7,

a—b=(V7+2)—(V7—2)=4,

0a2-2ab+b2

=(a—b)2

=42

=16；

(2)a2-b2

=(a+b)(a—b)

=277x4

=8V7.

【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式，求代數式的值，運用了整體代入的

思想.正確運用乘法公式進行因式分解是解題關鍵.

19.診斷與糾錯：先化簡分式與與+(1-2)，再代入一個合適的數求值.

請觀察以下解答過程，指出其中的錯誤.并寫出正確的解答過程.

解：原式=前言+(筌—第)①

—2).(x+1—2x—1'

(x+l)(x-l)?\x+1,)②

x(x-2).-x③

(x+l)(x-l)x+1

x(x-2)*x+1④

(x+l)(x-l)-%

取％=2,原式=0⑥

錯誤的是一步.請更正：

【答案】②、⑥，見解析

【分析】本題考查分式的化簡求值，理解分式的基本性質，掌握去括號法則，以及分式約分和通分的技巧

是解題關鍵.根據分式化簡的步驟進行化簡即可.

【詳解】錯誤是第②、⑥步.

糾正如下：

原式=,丁)(蟲一至二),

(x+l)(x-l)\%+1X+1)

_x(x-2),Zx+l-2x+l\

(X+1)(X-1)\X+1)'

x(x-2).2-x

(x+l)(x-l)?%+l'

x(x-2)x+1

=~——X,

(x+l)(x-l)2-x

x

x-1

由于x豐士1且％*2,

.,.取x=0,原式=0.

20.閱讀下列材料:

已知久=返+2,求代數式——4x-7的值.下面是小敏的解題方法：

解：由乂=有+2,得x—2=逐，所以(尤—2尸=5,所以/—4x+4=5,即/―4x=l.把/一4x作

為整體代入，得——4%—7=1—7=—6.

這種方法是把已知條件適當變形，再整體代入解決問題.

請你用上述方法解決下列問題：

⑴若x="U+3,求代數式——6x+10的值；

(2)若％=圓—5,求代數式2/+20爐+20%的值.

【答案］⑴11

(2)2

【分析】本題主要考查了代數式求值，正確讀懂題意仿照題意進行求解是解題的關鍵.

(1)先求出x—3=V10,進而得到/-6x+9=10,則/-6x=1,再把/-6%=1整體代入所求式子

中求解即可；

(2)先仿照題意求出/+10%+25=26,則/+10%=1,再把2—+20x3+20x變形為2久2(/++

20%,進一步變形為2(/+10x),由此可得答案.

【詳解】(1)解:Ex=V10+3,

0%—3=VTo,

0(x-3)2=10,

0x2—6x+9=10,

0x2—6x—1,

0x2-6x+10=1+10=11；

(2)解：0x=V26-5,

Elx+5=A/26,

0(x+5)2=26,

團%2+10X+25=26,

耿2+IQX=1,

團2-+20x3+20x

=(2x4+20x3)+20%

=2X2(X2+10%)+20%

=2x2+2Ox

=2(/+10%)

=2x1

=2.

21.閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2魚=

(1+V2),善于思考的小明進行了以下探索：設a+=(機+/切(其中a、b、m、〃均為正整數)，

則有a+=nt?+2n2+2/根門，...a=nt?+2n2,_2mn.這樣小明就找到了一種把部分a+近6的

式子化為平方式的方法.請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

2

⑴當4、b、m、〃均為正整數時，若a+y/6b=(m+V6n),用含m、n的式子分別表示a、b,得：a=,

b=；

(2)若a+4百=(m+百功，且a、機、w均為正整數，求a的值；

⑶化簡：V21+V80.

【答案】⑴Hi?+6??2；2mn

(2)a=13或7；

(3)275+1

【分析】(1)利用完全平方公式展開得到(m+n葭)2=/+6/+2遙小?1,從而可用巾、n表示a、b；

(2)直接利用完全平方公式，變形得出答案；

(3)直接利用完全平方公式，變形化簡即可.

22

【詳解】(1)解：(6+V6n)=m2+6n2+2V6mn,a+V6b=(m+V6n),

???a=m2+6n2,b=2mn.

故答案為：m2+6n2；2mn.

22

(2)解：v(m+V3n)=m2+3n2+2yj3mn,a+4V3=(m+V3n),

???a=m2+3n2,mn=2,

m>九均為正整數，

???m=1、n=2或7n=2,n=1,

??.a=13或7；

(3)解:721+V80=720+4V5+1=J(2>/54-1)2=25/5+1.

【點睛】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，完全平方公式，解決本題的關鍵是熟記完全平方公式.

22.已知a,b,c,d四個數滿足：2=上上=S3,d=2a+3b+4c,其中％b,c為非負數.

234

⑴若a=b,貝!Jc=?

⑵d可取的整數有個.

【答案】⑴g

(2)15

【分析】(1)設］=y=彳=匕可得a=2k,b=4-3k,再根據a=b求出4的值即可求解；

(2)設5=±9=等=也可得a=2k,b=4—3k,c=4k+2,再根據a,b,c為非負數即可求出人的

取值范圍，從而求出d的取值范圍即可求解.

【詳解】⑴設/y=彳=鼠

a=2k,b=4—3k,c=4fc+2,

,：a=b,

2k=4—3k,

k=：,

...c=4fc+2=4x|4+2=y26,

故答案為：

a=2k,b=4—3k,c=4fc+2,

0a,b,c為非負數，

*'.2fc0,4—3k20,4fc+2N0,

4

0</c<-,

d=2a+3b+4c=4k+3(4—3k)+4(4/c+2)=11/c+20,

2

20<d<34j,

加可取的整數有15個，

故答案為：15.

【點睛】本題考查了比例的性質和不等式的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.

23.先觀察下列等式，再回答問題：

⑴根據上而三個等式提供的信息，請你猜想fl+J+l=______.

74Z5Z

⑵請按照上面各等式反映的規律，試寫出用，，的式子表示的等式：.

對任何實數。可⑷表示不超過。的最大整數，如［4］=4,［百］=1,計算：Jl+?蠢+小+,+強+

11+-7+H—+HH的值

73242q492502

【答案】⑴*

(2)1+—^—,49

''n(n+l)

【分析】(1)根據題干例舉的等式，總結規律可得答案；

(2)先總結規律可得(+3+』=-—△；=1+小；,再利用規律進行計算即可.

■\ln2(九+1)2nn+1n(n+l)

【詳解】⑴解：fl+J+I=l+l-^7=l^

7425244+120

(2)由題干信息歸納可得：

/+=1+丁M=1+

0Jl+++.+Jl+l+蠢+Jl+1+1+…

11111

/1+2---------L...1J----------------------------

34950

=卜9+廠1

50.

491

49——

50.

=49.

【點睛】本題考查的是實數的運算規律的探究與運用，掌握"探究的方法以及靈活運用”是解本題的關鍵.

24.對數軸上的點P進行如下操作：先把點尸表示的數乘以小(小40),再把所得數對應的點沿數軸向右平

移w個單位長度，得到點P'.稱這樣的操作為點P的"升級"，對數軸上的點A,B,C,。進行“升級”操作得

到的點分別為4,B',C1D.

⑴當mn=1時，

①若點A表示的數為-4,則它的對應點4表示的數為—.若點夕表示的數是3,則點2表示的數為

②數軸上的點M表示的數為1,若線段CM=3C，M,求點C表示的數；

(2)若線段AB'=24B,請直接寫出機的值，不需證明.

【答案】⑴①—1，4；②—2或|

(2)±2

【分析】本題考查了數軸、兩點間的距離、絕對值、一元一次方程等知識；熟練掌握數軸上兩點間的距離

是解題的關鍵.

(l)①由—4x|+l=-1,即可得出對應點A表示的數為一1,設點B表示的數為x*x+1=3,解得x=4；

②設點C表示的數為a,則C，表示的數為5+1,由|a—1|=3悖+1-1],解得a=—2或a=|；

(2)設點A表示的數為①點5表示的數為/?,則點4表示的數為GTH+TI,點8'表示的數為bm+幾，則

\bm+n—am—n\=2\b-a\,解得TH=±2.

【詳解】(1)解：①團點A表示的數為一4,

0-4xj+l=-l,

回它的對應點4表示的數為-1,

設點8表示的數為尤，

回點B'表示的數是3,

阜+1=3，

解得：x=4.

故答案為：—1,4.

②設點。表示的數為〃，則C'表示的數為￡+1,

???CM=3C'M,

0|a-l|=3|^+1-1|,

解得：a=-2或a=~

故點C表示的數為：-2或|.

(2)解：設