題型六函數與三角形存在性問題

【要點提煉】

一、【等腰三角形存在性】

例1、在坐標系中有AB兩點，則在X軸上是否存在點C,使AABC是等腰三角形

x

①畫出點C可能存在的所有位置：就是我們經常講的兩圓一線

兩圓：以A為圓心，AB為半徑畫圓；以B為圓心，AB為半徑畫圓

■—線：AB的垂直平分線

如圖，兩圓一線上所有的點都能與A、B兩點形成等腰三角形，共有如圖五個點C

②代數法

設出A、B、C三點的坐標，用兩點間距離公式

d=垃+(%-%)表示出三角形三邊的長，然后列方程

AB=BC；BC=AC；AB=AC

二、【直角三角形存在性】

例2、在坐標系中有AB兩點，則在x軸上是否存在點C,使AABC是直角三角形

八V

*B

A

-Ox

①畫出點C可能存在的所有位置：兩線一圓

兩線：分別以A、B為垂足，做AB的垂線

一圓：以AB為直徑畫圓

如圖，兩線一圓上所有的點都能與A、B兩點形成直角三角形，共有如圖四個點C

②代數法

設出A、B、C三點的坐標，用兩點間距離公式d=_々)2+(%_%)2表示出三角形三邊的長,

然后列方程

AB-+BC2=AC2

AB1+AC2=BC2

AC"+BC2=AB2

三、【等腰直角三角形存在性】

例3、在坐標系中有AB兩點，則在坐標平面內是否存在點C,使AABC是等腰直角三角形

八1'

B

*

，，AA

Ox

①畫出點C可能存在的所有位置：如圖,固定會有六個答案點C

Ay

C=「/'\

________'尢_4c2-

O_____\/X

②代數法

MV

C

DHE

一\\

________1-一北丁

在等腰RtAABC外做出K型全等，如圖，AADB全等于ABEC,設出A、B、C三點的坐標，表示出AD、

B、BE、EC的長，列出方程

AD=BE；DB=EC

【專題訓練】

一.填空題（共1小題）

1.（2020?無錫）二次函數3依+3的圖象過點A（6,0）,且與y軸交于點B,點/在該拋

3

物線的對稱軸上，若是以A3為直角邊的直角三角形，則點M的坐標為（二，-9）或

------2--------------

3

（一，6）.

一2-----------

33

【答案5,-9）或（5,6）

1

【解析】解：???拋物線的對稱軸為x=-2

2x（T）一七

3

設點M的坐標為：（5，m）,

當NABM=90°,

過5作30垂直對稱軸于D,

則N1=N2,

tanZ2=tanZ1=4=2,

DM

/.----=2,

BD

???OM=3,

3

?*.M（一，6）,

2

當NM，AB=90°時，

?.八_M'N_八_6_。

??tanN3一二,—tan/I—可—2,

：.M'N=9,

3

：.M'(-,-9),

2

33

綜上所述，點M的坐標為（-，-9）或（-,6）.

22

33

故答案為：（-，-9）或（-,6）.

22

二.解答題（共5小題）

2.（2019?白銀）如圖，拋物線>="2+加：+4交無軸于A（-3,0）,B（4,0）兩點，與y軸交于點

C,連接AC,BC.點尸是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為八

（1）求此拋物線的表達式；

（2）過點P作尸尤軸，垂足為點M,交BC于點。.試探究點P在運動過程中，是否存

在這樣的點。使得以A,C,。為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點。的坐

標，若不存在，請說明理由；

（3）過點尸作PNLBC,垂足為點N.請用含機的代數式表示線段PN的長，并求出當機為何

值時PN有最大值，最大值是多少？

【解析】解：(1)由二次函數交點式表達式得：y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12)=ax2-ax

-12af

即：-12a=4,解得：a=—

則拋物線的表達式為y=-p+J.r+4；

(2)存在，理由：

點A、B、C的坐標分別為(-3,0)、(4,0)、(0,4),

則AC=5/32+42=5,A2=4-(-3)=7,BC=4夜，NOBC=NOCB=45°,

設BC的解析式為y=fcc+6,將點8、C的坐標代入解得：

.?.y=-x+4…①，

設直線AC的解析式為尸Qx+沙，則有「寸”=°

解得卜'=I

⑦=4

直線AC的表達式為：y=$+4,

設線段AC的中點為K(一/2),過點M與CA垂直，直線的表達式中的上值為一,

同理可得過點K與直線AC垂直，直線的表達式為：y=-1x+l

①當4c=A。時，如圖1,

則AC=AQ=5,

設：QM=A/B=",則AM=1-n,

由勾股定理得：（7-n）2+7=25,解得：w=3或4,

:點。在點8的左側,

.\n=3

故點Q(1,3)；

②當AC=C。時，如圖1,

CQ=5,貝I]2Q=BC-CQ=4或-5,

貝l|QM=MB=8一嚴

,,_5V28-5V2

故點。（-y，---）；

③當CQ=A。時,

聯立①②并解得：x=竽（舍去）;

,、5V28-5V2

故點。的坐標為：。（1,3）或（亂—，—-—）；

(3)設點P(m,—^2+^m+4),則點。Qm,-m+4),

OB=OC,

ZABC=ZOCB=45°=NPQN,

:.PN=PQ&nNPQN=與（.-L^+LnU+m-4）=一（（m-2）2+綽，

乙D。U。

V-^<0,；.PN有最大值，

o

2V2

當機=2時，PN的最大值為：—.

3.（2019?樂陵市模擬）如圖，關于尤的二次函數y=/+6x+c的圖象與無軸交于點A（1,0）和點8,

與y軸交于點C（0,3）,拋物線的對稱軸與x軸交于點D

（1）求二次函數的表達式；

（2）在y軸上是否存在一點P,使△P2C為等腰三角形？若存在.請求出點尸的坐標；

（3）有一個點M從點A出發，以每秒1個單位的速度在42上向點8運動，另一個點N從點、D

與點M同時出發，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、

N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，面積最大，試求出最大面積.

【解析】解：（1）把A（1,0）和C（0,3）代入y=/+6x+c,

1+b+c=0

c=3

角畢得：b=-4,c=3,

二二次函數的表達式為：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,則,￥2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

：.B(3,0),

.,.BC=3V2,

點P在y軸上，當△P8C為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1,

①當CP=CB時，PC=3V2,Z.OP=OC+PC=3+3V2^4OP=PC-OC=3V2-3

/.Pl(0,3+3V2),尸2(0,3-3V2)；

②當3尸=BC時，OP=OC=3,

：.Pi(0,-3)；

③當尸8=PC時，

:OC=OB=3

，此時P與。重合，

：.P4(0,0):

綜上所述，點尸的坐標為：(0,3+3V2)或(0,3-3V2)或(0,-3)或(0,0)；

(3)如圖2,設A運動時間為3由AB=2,得BM=2-3則DN=2f,

：.SAMNB=^x(2-t)X2t=-F+2t=-(f-1)2+l,

即當M(2,0)、N(2,2)或(2,-2)時△MNB面積最大，最大面積是1.

4.(2018?資陽)已知：如圖，拋物線>=辦2+6尤+。與坐標軸分別交于點A(0,6),B(6,0),C(-

2,0),點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當點尸運動到什么位置時，的面積有最大值?

(3)過點尸作無軸的垂線，交線段A8于點再過點P做產石〃了軸交拋物線于點E,連接OE,

請問是否存在點尸使為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理

由.

【解析】解：(1)?..拋物線過點8(6,0)、C(-2,0),

設拋物線解析式為y=a(x-6)(尤+2),

將點A(0,6)代入，得：-12〃=6,

解得：a=

所以拋物線解析式為y=(x-6)(X+2)=-^X2+2X+6；

(2)如圖1,過點P作尸與點交AB于點、N,作AGLPM于點G,

設直線AB解析式為y=kx+b,

將點A(0,6)、B(6,0)代入，得:

則直線A2解析式為y=-x+6,

設尸(t,-1?+2/+6)其中0<7<6,

則NG,-Z+6),

PN=PM-MN=-1r+2r+6-(-z+6)=-1r+2r+6+r-6=-

:.S4PAB=SAPAN+S叢PBN

11

=^PN?AG+^PN?BM

1

=?N?QAG+BM）

=5PN?OB

=]X（一,d+3￡）X6

=-y+%

=-1（r-3）2+冬

15

...當t=3時，P位于（3,y）時，的面積有最大值；

方法二：如圖2,連接。尸，作PHLx軸于點H作尸G，y軸于點G,

設P(3一#+2什6)其中0y<6,

則尸”=一^2+2什6,PG=t,

SAPAB=S^PAO-^-S^PBO-S/\ABO

=x6Xt-\-2x6X(—2?+2/+6)—]X6X6

=-|?+9z

=-|(r-3)2+差

15

.?.當f=3時，即P位于(3,y)時，△心B的面積有最大值

(3)如圖3,

若APDE為等腰直角三角形，

則PD=PE,

設點P的橫坐標為a,點、E的橫坐標為b,

11a+b2

PD=一方〃9+2〃+6一(-〃+6)=9------=----------7-,

2222x(-i)

貝！J6=4-a,

：.PE=\a-(4-a)|=|2a-4|=2|2-a|,

1，

*?—2“~+3a=2|2-a|,

解得：a=4或a=5-"7,

所以尸(4,6)或尸(5-V17,3V17-5).

5.(2018?蘭州)如圖，拋物線y=a?+b尤-4經過A(-3,0),B(5,-4)兩點，與y軸交于點C,

連接AB,AC,BC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)求證：AB平分/CA。；

(3)拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得是以為直角邊的直角三角形，若存在,

求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】解：⑴將A(-3,0),8(5,-4)代入得：非一

解得：a=b=

oo

???拋物線的解析式為尸p-1x-4.

(2)?「AO=3,OC=4,

：.AC=5.

取。(2,0),則A0=AC=5.

由兩點間的距離公式可知BD=J(5—24+(—4-0)2=5.

VC(0,-4),B(5,-4),

：.BC=5,

:.BD=BC.

在△ABC和△ABD中，AD=AC,AB=AB,BD=BC,

△ABCdABQ,

：.ZCAB=ZBAD,

：.AB平分/C4。；

證法二：VC(0,-4),B(5,-4),

：.BC//x^,

：.ZBAD=ZABC,

'：CA=CB,

：.ZCAB=ZABC,

：.ZCAB=ZBAD,

：.AB平分/CAO.

(3)如圖所示：拋物線的對稱軸交x軸與點E,交BC與點F.

拋物線的對稱軸為x=則AE=芋.

VA(-3,0),B(5,-4),

1

tanZEAB=才

VAM'A3=90°.

AE=2.

：.M'E=2AE=U,

5

：.M'（一，11）.

2

同理：tanNMB/=2.

又,?郎=1，

：.FM=5,

5、

：.M（-,-9）.

2

.?.點M的坐標為（3ii）或（9,-9）.

22

6.（2016?白銀）如圖，已知拋物線y=-/+6x+c經過A（3,0）,B（0,3）兩點.

（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；

（2）如圖①，動點E從。點出發，沿著OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，

動點尸從A點出發，沿著A3方向以/個單位/秒的速度向終點8勻速運動，當E,產中任意一點

到達終點時另一點也隨之停止運動，連接跖，設運動時間為f秒，當f為何值時，Z\AEF為直角

三角形？

（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A,B處,用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在

直線A2上方的拋物線上移動，動點尸與A,B兩點構成無數個三角形，在這些三角形中是否存

在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標；如果不存在，請

簡要說明理由.

圖①圖②

【解析】解：(1):拋物線y=-/+6x+c經過A(3,0),B(0,3)兩點,

.f-9+3b+c=0

??lc=3

???{1，

9=3

??y—~X2+2X+3,

設直線AB的解析式為y=kx+nf

VA(3,0),B(0,3)

.(3k+n=0

,,In=3

?(k=-1

*in=3'

-x+3；

(2)由運動得，OE=t,AF=V2r,

VOA=3,

C.AE^OA-OE=3-t,

：△&￡1/和△AOB為直角三角形，且NEAF=NOAB,

①如圖1.

當時,

?AFAE

??—，

ABOA

.