專題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.如圖1,在I。中，A3和。是兩條弦，且ABLCD,垂足為點(diǎn)E,連接8C,過A作AF13C于尸,

交CO于點(diǎn)G；

(1)求證：GE=DE；

(2)如圖2,連接AC、OC,求證：ZOCF+ZCAB=90°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，OC交AF于點(diǎn)N,連接E尸、EN、DN,若OCUEF,EN上AF,DN=2歷,

求NO的長.

2.如圖，A3是(O的直徑，點(diǎn)C是：。上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)。，直線。C與A3的

延長線相交于點(diǎn)P,G是"CB的內(nèi)心,連接CG并延長，交〔。于E,交AB于點(diǎn)E連接BE.

//x

⑴求證：AC平分N7MB；

(2)連接3G,判斷EBG的形狀，并說明理由;

(3)若8C=20，AC=4應(yīng)，求線段EC的長.

3.(1)課本再現(xiàn)：如圖1,R4,PB是。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,艮則圖中的必與PB,NAPO與/BPO

有什么關(guān)系？請說明理由,

圖I圖2

(2)知識應(yīng)用：如圖，PN、PD、DE分別與：。相切于點(diǎn)A、B、C,nDE〃PN,連接OD、OP,延長尸0

交。。于點(diǎn)交于點(diǎn)E,過點(diǎn)M作MZV〃?？诮籔N于N.

①求證：MN是。的切線：

②當(dāng)O￡>=6cm,OP=8cm時，求。的半徑及圖中陰影部分的面積.

4.已知MC是圓。的內(nèi)接三角形，高線AO的延長線交圓。于點(diǎn)E,連接。4.

(2)如圖2,連接BE,過。作JLAC,求證：BE=2OF；

⑶如圖3,若8C是直徑，點(diǎn)G、8在弧AC上，ZBOG=2ZABO,GH=OA,延長GH交BC延長線于點(diǎn)P,

連接"，若GP=10,AP=14,求線段HP的長.

5.如圖1,在銳角.ABC中，AB=AC,圓。為ABC的外接圓.

(2)如圖2,點(diǎn)E在弧AB上，CE分別與Q4,54交于點(diǎn)/，G,且CF=BE.

①求證：BG1EF；

②若EF=2,CF=3,求圓。的半徑.

③如圖3,連結(jié)8。并延長交AC于。，交CE于H,若DH=OH,求cos/BAC的值.

6.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，BBC是等腰直角三角形，點(diǎn)A,點(diǎn)B在x軸上(點(diǎn)A

2

在點(diǎn)2的左側(cè))，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)。在直線BC上運(yùn)動，連結(jié)A￡)與y軸交于點(diǎn)E,連結(jié)8E.

(1)當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B(C,8兩點(diǎn)除外)時，求證：NBEO=NCED.

(2)如圖2,過8,D,￡三點(diǎn)作。”與y軸的另一個交點(diǎn)為G,延長即交。”于點(diǎn)F,連結(jié)GF,DG,BF.求

/EFG的度數(shù).

(3)在(2)的條件下，若AB=8,點(diǎn)。在運(yùn)動過程中，△BEF中是否有一個角等于30。，如果存在，求出此

時點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

7.如圖1,在IO中，AB為弦,。為直徑，且ABLCD,垂足為E,尸為優(yōu)弧上的動點(diǎn)(不與端點(diǎn)

重合)，連接PD

圖1圖2

(1)求證：ZAPD=ZBPD；

⑵在線段尸。上有一點(diǎn)/,連接AD、AI.且旬平分—R鉆，求證：AD=D/；

⑶如圖2,在(2)的條件下，若NAP3=60。，。的半徑為2,過點(diǎn)。作。的切線交外的延長線于點(diǎn)B

當(dāng)PF=PD時，求尸/的長.

8.已知。上兩個定點(diǎn)A、B和兩個動點(diǎn)C、D,AC與3D交于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證EAgpC=EB匹D；

3

(2)如圖2,若連接AO,延長4。交?0于點(diǎn)R連接。尸，AC1BD,BC=3,求點(diǎn)。到弦AD的距離.

9.如圖，AB為。的直徑，C為。上一點(diǎn)，。為54延長線上一點(diǎn)，ZACD=ZB.

(1)求證：DC為。的切線；

3

(2)若。的半徑為5,sin5=-,求。C和AD的長.

(3)在(2)的條件下，線段。尸分別交AC,BC于點(diǎn)、E,FS.ZCEF^45°,求C尸的長.

10.已知如圖1,在。中，弦AC1BD于點(diǎn)尸，AP=3,BP=6,PD=4.E是CO的中點(diǎn).

⑴求8C的長；

(2)求AE的長；

(3)如圖2,若AF=B尸，連接ED交于點(diǎn)Q，試說明的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變請求出NAQD

的度數(shù)，并說明理由.

11.如圖，A3是：O的直徑，點(diǎn)C,D在。上，且滿足AC，CD，DB的度數(shù)之比為2:3:1,連接線段

AC,CD,AD.

(1)求NC的度數(shù);

AD

⑵求強(qiáng)的值；

4

(3)設(shè)43=6，點(diǎn)尸為直徑A2下方半圓上的一個動點(diǎn)，連PD,點(diǎn)尸在自A向3運(yùn)動過程中，AP的度數(shù)分

別與D8，AC，C。的度數(shù)相等時，求出相應(yīng)線段尸方的長.

12.如圖，AO8內(nèi)接于O,AB=AC,點(diǎn)。為劣弧AC上動點(diǎn)，延長A。，8C交于點(diǎn)E,作。尸AB交

。于F，連結(jié)CF.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)時，求證：DF=BC；

(2)如圖②，若CF=G4,ZABC=a,請用含有1的代數(shù)式表示NR4E；

⑶在(2)的條件下，若BC=CE,

①求證：AC+AD=DE；

②求tanNE的值.

13.四邊形ABCD內(nèi)接于｛O,AC為直徑，E在的延長線上，且班與相切.平分/E4c.

⑴判斷3。與8的位置關(guān)系，并說明理由;

⑵若BE=4,AD^3AE,求「。的半徑

14.已知。為:1BC的外接圓，AB^BC.

圖I圖2

(1)如圖1,聯(lián)結(jié)0B交AC于點(diǎn)E,過A作CO的垂線交CO延長線于點(diǎn)。.

5

①求證：80平分/ABC；

②設(shè)NAC3=a,ND4C=尸，請用含a的代數(shù)式表示夕；

(2)如圖2,若ZABC=90。，F(xiàn)為(。上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B,F位于AC兩側(cè)，作aABF關(guān)于AB對稱的圖形ABG,

連接GC,試猜想AG,CG,BG三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明.

15.如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,尸是BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C重合)，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)

D,連接CO并延長交，ABC的外接圓于點(diǎn)E,連接￡A,EB,AP.

⑴求證：ZDPB=NCEB.

⑵若CD?=CP-CB,求證：BD=BE.

⑶如圖2,AC=2,BC=4.

①若tan/EC8=g,求AP的長.

②求釬.DE的最大值.

16.如圖1,已知等腰ABC內(nèi)接于O,AB=AC=6,ZBAC=120°,。是上的一個動點(diǎn)，連接D4

并延長，點(diǎn)尸在射線D4上，且DF=DB.

(D如圖2,若AO是。的直徑.

①求。的半徑長；

②求AF的長；

(2)在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，當(dāng)AC與V3DF的一條邊平行時，求AF的長.

17.如圖1,。為一ABC的外接圓，半徑為6,AB^AC,Na4C=120。，點(diǎn)D為優(yōu)弧8C上異于反C的

6

一動點(diǎn)，連接DA、DB、DC.

⑴求證：AD平分ZBDC；

⑵如圖2,CM平分ZBCD,且與AD交于

花花同學(xué)認(rèn)為：無論點(diǎn)。運(yùn)動到哪里，始終有AM=AC；

都都同學(xué)認(rèn)為：AM的長會隨著點(diǎn)。運(yùn)動而變化.

你贊同誰的觀點(diǎn)，請說明理由；

⑶求ZM++OC的最大值.

18.在平面直角坐標(biāo)系到中，C的半徑為r,尸是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于C的限距點(diǎn)的定義

如下：若P'為直線PC與-C的一個交點(diǎn)，滿足則稱P，為點(diǎn)P關(guān)于(C的限距點(diǎn)，如圖1為

點(diǎn)尸及其關(guān)于C的限距點(diǎn)p的示意圖.

①分別判斷點(diǎn)M(3,4),N(3,0),7(1,VI)關(guān)于＜O的限距點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；

②如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),DE,。歹分別切。于點(diǎn)E,憶點(diǎn)尸在力跖的邊上.若點(diǎn)尸關(guān)于C。的

限距點(diǎn)P,存在，求點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)的取值范圍.

(2)保持(1)中。，E,尸三點(diǎn)不變，點(diǎn)P在」)砂的邊。E,。尸上沿的方向運(yùn)動，C的圓心C

的坐標(biāo)為(1,0),半徑為r，若點(diǎn)P關(guān)于C的限距點(diǎn)P，不存在，則廠的取值范圍為.

7

專題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.如圖1,在。中，和是兩條弦，且ABLCD,垂足為點(diǎn)E,連接BC,過A作

Abi3c于尸，交。于點(diǎn)G；

(1)求證：GE=DE；

(2)如圖2,連接AC、0C,求證：ZOCF+ZCAB=90°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，0C交AF于氤N,連接EF、EN、DN,若OC//EF,EN工AF,

DN=2#7,求NO的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶后

【分析】(1)連接可證得ZAGE=ND,從而AG=M>,進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)延長CO交。于G,連接3G,可證得OB+NG=90。，NC4B=NG,進(jìn)而得出結(jié)論；

(3)作NH^LCD于H,連接3D,連接03,可證得NC4B=ZAEF=NOCF,結(jié)合(2)的

結(jié)論NOCF+NC4E=90。，從而得出NC4B=NOCF=45。，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出

CG=GE=DE=a,依次解RtABF求得BF,解RtACBE求得BF,從而得出CF,CN,解

RlACE求得AC,從而得出NC4尸的正余弦三角函數(shù)值，從而得出/NCD的三角函數(shù)值,

解斜三角形CDN,從而求得。的值，進(jìn)一步可求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖1,

C.

AC=AC'

8

:.ZB=ZD,

CDLAB,AFIBC,

:.ZAEG=ZAFB=90°,

/.ZB+Z^4F=90°,NAG￡+NBA/=90。,

:"B=ZAGE,

:.ZAGE=ND,

：.AG=ADf

:.EG=DE=-DG-

2

(2)證明：如圖2,

圖2

延長co交(O于G,連接3G,

。6是＜。的直徑，

NC3G=90。，

.?.NOCF+NG=90。,

BC=BC，

.\ZCAB=ZGf

.\ZOCF+ZCAB=90°；

(3)解：如圖3,

C

作NH_LCD于H,連接3。，連接03,

EN上AF,BF±AF,

:.EN〃BC,

OC〃EF,

廠?四邊形所CN是平行四邊形，

/.CG=EG=DE,ZOCB=ZFEN,

9

ZAFC=ZAEC=90°,

.,?點(diǎn)A、C、F、E共圓，

.\ZCAF=ZCEFfZBAF=ZECF,

EN〃BC,

:.ZECF=ZCENf

:.ZBAF=ZCENf

.\ZCAF+ZBAF=ZCEF+ZCEN,

.\ZCAB=ZFEN,

.\ZCAB=ZOCF,

由（2）得：ZCAB+ZOCN=90°f

:.ZCAB=ZOCF=45°,

NAEC=90。，

ZACE=90°-ZCAB=45°,

:.ACAB=AACE,

AE=CE,

沒CG=EG=DE=a,

AE=CE=2<2,

BC=BC，

ZBDE=ZCAB=45°,ZBOC=2ZCAB=90°,

/.ZEBD=90°-ZBDE=45°,

BE=DE=a,

AB=CD=3a,

在Rt/XAEG中，

AG=VAE2+EG2=2y/5a，

./iEGBF

..sin^.BAF=-,

AGAB

aBF

"2島"3a'

:.BF=—a,

5

在Rt.BCE中，

BC=^CE2+BE2=#>a，

.s“_尼3舊_2后

..CF=BC—BRFF=v5〃-------a=------a

55

在RtACE中，

AC=y/2AE=2-j2a,

10

cosNCAF=華叵

3

ZNCE=NCEF=NCAF,

2>/5

在RtNCF中,ZNCF=45°,CF=^-a,

5

:.CN=42CF=^^-

在Rt=aw中，

NH=CN-sinZNCE=^^-a--=-a,

5105

CH=CN-cosZNCE=-a,

5

69

:.DH=CD-CH=3a——a=-a,

55

在RtWMV中，

NH2+DH2=DN2,

(M〃)+(gQ)2=(2A/17)2,

a—2yf59

...CN=￥^x26=4",BC=&x2-JS=10,

OC=—BC=5^,

2

ON=OC-CN=542-4y/2=y/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，解直角三角形，確定圓的條件，等腰三角形的判

定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是探究角之間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)角度和圖形的特殊性.

2.如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)。,

直線。C與AB的延長線相交于點(diǎn)P,G是AACB的內(nèi)心，連接CG并延長，交（O于E,交

A2于點(diǎn)E連接BE.

⑴求證：AC平分NTMB；

⑵連接BG,判斷EBG的形狀，并說明理由;

⑶若BC=2近,AC=4夜，求線段EC的長.

【答案】(1)見解析

(2)等腰三角形，見解析

(3)6

【分析】(1)由切線的性質(zhì)可得出OCJLPD,結(jié)合題意可證OC〃的，即得出

ZACO=ZDAC.再根據(jù)同圓半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)，即得出/ACO=/C4O,從而

易證AC平分/ZMB；

(2)由直徑所對圓周角為直角可知NACB=90。.再根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知

ZACE=ZBCE=；ZACB=45°,ZCBG=ZFBG.由同弧或等弧所對圓周角相等可知

ZACE=ZABE=45°,從而結(jié)合三角形外角性質(zhì)得：ZBCE+ZCBG=ZABE+ZFBG,即

ZBGE=ZEBG,即證明EBG為等腰三角形；

(3)連接OE,作交CE于點(diǎn)由圓周角定理可知4QE=2/3CE=90。.根

據(jù)勾股定理可得出AB=j3C2+AC2=2版，即得出===J記，從而由等腰直

角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股的定理求出==2百.又易證△BMC為等腰直角三角形，

同理可求出BM=MC=】&BC=2,最后再次利用勾股定理即可求出=^IBE2-BM2=4，

2

進(jìn)而可求出C￡=MC+石知=6.

【詳解】⑴??,尸。是:。切線

???OC-LPD.

?；ADLPD,

工OC//AD.

???ZACO=ZDAC.

XVOC=OA,

：.ZACO=ZCAO,

12

/.ZCAO=ZDAC,即AC平分“AB；

(2),班G為等腰三角形，理由如下，

為O的直徑，

/.ZACB=9Q°.

：G是ZkACB的內(nèi)心，

ZACE=ZBCE=-ZACB=45°,ZCBG=NFBG.

2

迎E=，

：.ZACE=ZABE=45°,

ZBCE+ZCBG=ZABE+ZFBG,

ZBGE=ZEBG,

.?一￡BG為等腰三角形；

(3)連接0E,作3MLCE交CE于點(diǎn)M,如圖所示:

由圓周角定理可知/BOE=2/BCE=90°.

BC=2A/2,AC=4及，ZACB=90°,

AB=4BC~+AC~=2M，

OB=-AB=>/ld.

2

OE=OB,

BE=y/2OB=2A/5.

BM±CE,ZBCE=45°,

，△BMC為等腰直角三角形，

BM=MC=—BC=2,

2

?*-EM=yjBE2-BM"=720-4=4>

，CE=MC+EM=2+4=6.

【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查切線的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，三角形內(nèi)心的性質(zhì),

13

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識.熟練掌握圓的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.在解

(3)時正確作出輔助線也是關(guān)鍵.

3.(1)課本再現(xiàn)：如圖1,PA,PB是:。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.則圖中的上4與

PB,/APO與/BPO有什么關(guān)系？請說明理由，

(2)知識應(yīng)用：如圖，PN、PD、￡見分別與。相切于點(diǎn)A、3、C,且DE〃尸N,連接OROP,

延長「。交(。于點(diǎn)跖交DE于點(diǎn)E,過息M作MN〃OD交PN于N.

①求證：MN是;。的切線：

②當(dāng)OD=6cm,OP=8cm時，求。的半徑及圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)ZAPO=NBPO,見解析；

(2)①見解析；②。的半徑是4.8cm,圖中陰影部分的面積是(24-5.76兀)cm。

【分析】(1)連接Q4和根據(jù)切線的性質(zhì)，可得Rt^AO匹RtzXBQP,即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)題意求證MN〃OD,即可得出即可得出答案；②根據(jù)

S.8=gOP?°。=；?OB,求出。8的長，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案?

【詳解】解：(1)如圖1,連接和。3,

PA和PB是C。的兩條切線，

C.OALAP,OBLBP.

又：=OP=OP.

PA

ffll

(2)①證明：:PMPD、DE分別與，。相切于點(diǎn)A、B、C,

：.OD、OP分別平分ZPDE、ZDPN.

又：DE//PN.

/PDE+/DPN=180°.

：.ZPOD=90°.

又,：MN〃OD,

14

MN±OM

又：MN經(jīng)過半徑OM的外端點(diǎn)M,

是(。的切線.

②連接03,則

PD=JOU?+OP1=762+82=10-

：.S^POD=^OPOD=^PDOB,

：.OB=PD=4.8

即,。的半徑為2.4cm.

.-1,?90兀x4-5~/,、

??=—x6x8-----------------=24—5.76兀(cm2)

陰影2360

綜上所述，。的半徑是4.8cm,圖中陰影部分的面積是(24-5.76兀)加2.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的證明、扇形的面積計(jì)算等，屬于常規(guī)考題，解題的關(guān)鍵在于熟

練掌握圓的知識點(diǎn)，切線的證明與性質(zhì)，圓中的相關(guān)面積計(jì)算等.

4.己知.ABC是圓。的內(nèi)接三角形，高線AD的延長線交圓。于點(diǎn)E,連接04.

圖Im2曲3

(1)如圖1,求證：ZBAD=ZCAO；

(2)如圖2,連接助，過。作。'LAC,求證：BE=2OF；

⑶如圖3,若8C是直徑，點(diǎn)G、X在弧AC上，NBOG=2ZABO,GH=OA,延長GH交BC

延長線于點(diǎn)P,連接AP,若GP=10,AP=14,求線段打的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)2

1_/AC)C1

【分析】(1)連接OC,先根據(jù)。1=OC證明NC4。=NAC。==90。一5NAOC,

15

再根據(jù)圓周角定理得到=進(jìn)一步得到NC4O=90。-最后根據(jù)*ABC的高

線AD的延長線交，：O于點(diǎn)E得到NADB=90。，進(jìn)一步得出結(jié)論；

(2)延長A0交：:。于點(diǎn)連接CM,可得A"是。。的直徑，先根據(jù)。尸，AC得到

AF=CF,再證明O尸是八4。0的中位線，得到CW=2OP,最后證明BE=CM即可得到

結(jié)論；

(3)連接OH,過點(diǎn)。作OTLPG于點(diǎn)T,過點(diǎn)G作GNJ_3C于點(diǎn)N,設(shè)；O的半徑為廠，

則GN2+PN2=PG2,先證明“OGH是等邊三角形得到GT=-r^OT=^-r,進(jìn)一步證明

22

NCOG=NBOA以及&GNO三一ADO得到AD=GN,ON=OD和DN=2OD,然后根據(jù)勾股

定理得到方程，最后消去有關(guān)線段，得到關(guān)于廠的方程，求出r的值，并根據(jù)HP=GP-G”

求出答案即可

【詳解】(1)如圖1,連接0C,

OA=OC,

:.ZCAO=ZACO==90°--ZAOC

22

又；ZB=-ZAOC

2

ZCAO=90°-ZB,

ABC的高線AD的延長線交(O于點(diǎn)E

:.ZADB=90°,

:./BAD=90-/B,

:.ZBAD=ZCAO;

(2)如圖2,延長AO交：。于點(diǎn)M,連接CM,則AM是。的直徑,

16

OF_LAC,

：.AF=CF

又，OA=OM,

..OF是ACM的中位線，

:.CM=2OF,

由（1）得，ZBAD=ZCAO,

/.BE=CM

:.BE=CM,

:.BE=2OF;

（3）如圖3,連接OH,過點(diǎn)。作OTLPG于點(diǎn)T,過點(diǎn)G作GN_LBC于點(diǎn)N,設(shè)。的

半徑為小貝ij：GN2+PN2=PG2,

圖3

GH=OH=OG=OA

.?.QGH是等邊三角形，

OT1PG,

,GT=-GH=-r,

22

22

...OT=y]oG-GT=卜一夕?=^-r

/BOG=2ZABO,ZAOC=2ZABO,

:.ZBOG=ZAOC,

/.ZBOG-ZAOG=ZAOC-ZAOG,BPZCOG=ZBOA,

GN_LBC,

ZGNO=ZADO=90°,

在△GM?和/XADO中

ZGNO=ZADO

</COG=/BOA,

GO=AO

GNO=ADO（AAS）,

/.AD=GN,OD=ON,

:.DN=2OD;

17

GN'+PN-=PG1,

:.AD-+PN-=PG2,

AD2=AO2-OD2=r2-OD2,

..r1-ODT+PN-=1()2①，

ADLBC

AD2+PD2=AP2,

又?，PD=PN+DN=PN+2OD,

r-OD2+(PN+2ODf=142@,

②-①得，PNOD=24-OD2;

OT±PG,

OT-+PT2=PO\

又.oT=—rPT^GP-GT=W--r,PO=PN+ON^PN+OD,

2；2

=(PN+OD),,即/_Hk+i00=PN2+OD2+2PN?OD,

、2J<2)

r2-10r+100=P^2+OD2+2(24-OD2)

即尸M-O>=r_iO'+52,

,r2-OD2+PN2=102,

,-,100-r2=r2-10r+52,

解得，r=8或r=-3(舍去)

GH=8,

:.HP=GP—GH=10—8=2

【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、

垂徑定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握圓周角定理以及作輔助線構(gòu)建直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

5.如圖1,在銳角，ABC中，AB=AC,圓。為ABC的外接圓.

⑵如圖2,點(diǎn)E在弧AB上，CE分別與。4,54交于點(diǎn)b，G,且CF=BE.

①求證：BG1EF；

18

②若EF=2,CF=3,求圓。的半徑.

③如圖3,連結(jié)80并延長交AC于O,交CE于H,若DH=OH,求cos/54c的值.

【答案】⑴見解析

⑵①見解析；②述；③正

24

【分析】（1）證明LAQBMAOC,即可得出。4平分/84C；

（2）①連結(jié)所，證明尸三”中，推出=即可求證；②連結(jié)80并延

長交O于連結(jié)CM,tMig—=sinZBMC=sinZBEG=-72,即可求出半徑的長；

BM3

③延長交。于V,連結(jié)CM,利用相似三角形的性質(zhì)和判定即可求解.

【詳解】（1）連結(jié)OB、OC,

VOA=OA,OB=OC,AB=AC,

AOB^AOC,

：.ZBAO=ZCAO

由AF=AF,ZBAF=ZCAF,AB=AC

得AABF三AACF,

：.ZACF=ZABF,BF=CF,

又：=BE=CF

ZABE=ZABF,BE=BF

:.BG1EF,且EG=FG

②連結(jié)8。并延長交。于連結(jié)CM

則4cM=90。,

由￡F=2,b=3知EG=FG=1,BF=CF=3

BG=2A/2,BC=276,

—=sinNBMC=sinNBEG=-72

BM3

:.BM=34,即半徑為殛

2

19

③延長交。于連結(jié)CM

ZDAO=ZOAB=ZABO,ZADO=ZBDAf

：.VADO:NBDA,

.ADDO

??麗―布‘

即AD1=DODB

???NDBC=90°-ZM=90°-ZBAC=ZDCH

ZCDH=ZBDC

：.ADCHADBC9

.CDDB

^nnCD?2=DHDB

DHCL)

又：DH=HO,

CD'DHDB1

AD'~DODB~2

CD1

AZ)-72

AOIBC,CMLBC,

：.AO//CM

：.ADCM△DAO

源"=罟=^2,即OA=航CM

BM=26CM，—=—

BM4

cosABAC=cosZ-BMC=

4

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，全等三角形的知識,

解題的關(guān)鍵是能夠利用性質(zhì)和判定定理，進(jìn)行推理.

20

6.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)A,點(diǎn)8在

x軸上（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)。在直線8c上運(yùn)動，連結(jié)與

y軸交于點(diǎn)E,連結(jié)

⑴當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B（C,8兩點(diǎn)除外）時，求證：NBEO=NCED.

（2）如圖2,過2,D,E三點(diǎn)作。X與y軸的另一個交點(diǎn)為G,延長E/1交。X于點(diǎn)R連結(jié)

GF,DG,BF.求/EFG的度數(shù).

⑶在（2）的條件下，若A3=8,點(diǎn)。在運(yùn)動過程中，△BEF中是否有一個角等于30。，如

果存在，求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見詳解；

（2）/EFG=45。；

（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,8-4匹或（0,4石-8）；

【分析】（1）根據(jù)ABC為等腰直角三角形，可知。1=03,則OC垂直平分A3,則

/BEO=NAEO,根據(jù)，AEO=/CEO,可知/BEO=/CED.

（2）根據(jù)—CED是&GDE的一個外角，可知NCED=NEGD+NEDG,根據(jù)—3EO是

BCE的一個外角,可知ZBEO=NECB+NEBC,又根據(jù)NEGD=NEBD,

NBEO=NCED,則NEDG=/ECB,在等腰Rt_ABC中，/ECB=45。，則

NEDG=NECB=45°,故/EFG=NEDG=45°；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)一9萬=30。時，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)與判定即可解決本題，②當(dāng)/加力=30。時，過點(diǎn)尸作FNLx軸與點(diǎn)N,同理根

據(jù)相似三角形求解即可.

【詳解】（1）解：??..ABC為等腰直角三角形，

OA=OB,

：.OC垂直平分AB,

：.ZBEO=ZAEO,

'：ZAEO=ZCEO,

:.NBEO=/CED,

（2）解：：/CED是，GDE的一個外角，

ZCED=NEGD+/EDG,

21

???是MCE的一個外角，

???NBEO=NECB+NEBC,

又?：NEGD=NEBD,ZBEO=ZCED,

:?NEDG=NECB,

在等腰Rt.ABC中，NECB=45。,

:?NEDG=NECB=45。,

：.NEFG=NEDG=45。；

(3)解：①當(dāng)/3￡F=30。時，過點(diǎn)尸作同0，元軸于點(diǎn)M,

,.,/￡?尸=90。，

???ZEBO+ZFBM=90°,

NEBO+NOEB=90。,

：?NFBM=NBEO,

又???NEOB=NBMF=90°,

??一EOBSBMF,

.OEOB_BE

??BM-FM-BF'

在Rt.￡B尸中，NBEF=3。。,

，BE=CBF,

.OEOBBEr-

.,-----=------=-----=73,

BMFMBF

OE=y/3BM,OB=?x,

:ZGOM=NOGF=ZOMF=90°,

，四邊形OGRW為矩形，

：.OG=FM,GF=OM,

FM=OG=GE-6=GF-?=OM-W=OB-BM-A=OB-X-A，

在等腰RtABC中，AB=8,

03=4,

?'*FM=4-x-6x,

/.0B=6FM=4幣-6X-3X=4,

.873-12

??x=-----------,

3

OE=8-4A/3,

E(0,8-4A/3),

22

②當(dāng)/班后=30。時，過點(diǎn)尸作FN，尤軸與點(diǎn)N,

:/EBF=90°,

：.NOBE+NNBF=90°,

又：NOBE+NOEB=90°,

:.NBOE=NNBF,

又NBOE=NFNB=90°,

.OBES_NFB,

.OEOBBE

"BN~FN~BF'

在RjEBF中，ZEFB=30°,

BF=s/3BN,

?*.BN=s/3OE,FN=s/3OB=4y/3,

?/AGON=Z.EGF=ZONF=90°,

四邊形OGRV為矩形，

：.OG=FN,ON=FG=EG,

ON=OB+BN=4+y/3OE=EG=OG-OE=FN-OE=4y[3-OE,

BP4+A/3G>￡=4A/3-OE,

，OE=8-4A/3,

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,8-4上）或（0,4百-8）.

【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，其中也考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系,

23

能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖1,在。中，A3為弦，CO為直徑，且回，CD,垂足為E,尸為優(yōu)弧ACB上的

動點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，連接PD

圖1圖2

⑴求證：ZAPD=ZBPD-,

(2)在線段PZ)上有一點(diǎn)/,連接AD、AI.且從平分NRR,求證：AD=DI；

(3)如圖2,在(2)的條件下，若NAPB=60。，。的半徑為2,過點(diǎn)。作。的切線交上4

的延長線于點(diǎn)尸；當(dāng)PF=PD時，求P/的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)P/=73.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可證明；

(2)證明=進(jìn)而命題可證；

(3)連接。4,先計(jì)算得出△Q4D是等邊三角形，作AE_LAF于點(diǎn)E,求得E4的長，證明

△FADs^FDP,從而求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：；A3為弦，CO為直徑，且ABLCD,

??AD=BD，

ZAPD=ZBPD；

(2)證明：AO=3O，

：.ZAPD=ZBAD,

???A/平分

ZPAI^ZBAI,

VZDAI=ZBAD+^BAI,ZDIA=AAPD+ZPAI,

ZDAI=ZDIA,

:.AD=DI；

(3)解：連接Q4,

24

VZAPB=60°,ZAPD=ZBPD,；?ZAPD=NBPD=30。，

：.ZAOD=2ZAPD=60°,

???OA=OD,

???△。4。是等邊三角形，

AAD=OD=2,ZADO=60°,

丁。廠是G>O的切線,

Z.FDO=90°,ZFDA=30°,

=且NAP￡>=30。,

???ZDAF=1SO0-ZF-ZFAD=15°,

???AD=FD=2,

由(2)得AD=D/=2,

作隹_LDF于點(diǎn)E,

AE=1AD=1,DE=M-f=6，

???EF=2-6

???AF=VAE2+EF2=8-473

*：ZFPD=ZFDA=30°f

△FAD^/XFDP,

.DFAF28-4括

..----=----,即----=--------，

PFDFPF2

,PF=2)=2+6,即P￡)=尸尸=2+出，

P/=PD-DZ=2+A/3-2=V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

8.已知。上兩個定點(diǎn)A、8和兩個動點(diǎn)C、D,AC與交于點(diǎn)E.

25

BB

F

圖1圖2

⑴如圖1,求證EA里C=EBgED；

（2）如圖2,若連接49,延長A0交C。于點(diǎn)F連接。尸，AC±BD,BC=3,求點(diǎn)。到

弦AO的距離.

【答案】（1）證明見解析

3

⑵點(diǎn)。到弦AD的距離是萬

【分析】（1）如圖1,根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明ABEsDCE,可得結(jié)論；

（2）如圖3,作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角形的中位線定理得：0G為,.4）產(chǎn)的中

位

線，則OG=LL>F,由/EDC+NECD=90。和NEW+NAFD=90。，再由等弧所對的圓

2

周角相等得：ZEDC^ZFAD,所以8C=ED，求出3C=D尸=3,從而得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖1,

B

圖1

:NBAC=NCDB,ZAEB=NDEC,

:.一ABES_DCE,

,BE_AE

"~CE~~DE，

￡AgEC=EBgED；

(2)如圖，過。作OG_LA。于G,

26

'：AO=OFf

，OG為“1。下的中位線,

OG=-DF,

2

AC.LBD,

AZEDC+ZECD=90°,

???"是。的直徑，

?ADF90?,

Z7^4D+ZAFD=90°,

,:ZAFD=NECD,

：.NEDC=NFAD,

??BC=FD，

：.BC=DF=3,

3

???OG=~,

2

3

???點(diǎn)。到弦AD的距離是

【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，其中考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角

形的中位線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想在本題中的應(yīng)用.

9.如圖，AB為。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。為54延長線上一點(diǎn)，ZACD=NB.

⑴求證：DC為O的切線；

3

⑵若。。的半徑為5,sinB=-,求DC和AQ的長.

⑶在(2)的條件下，線段。戶分別交AC,BC于點(diǎn)E,尸且NCE尸=45。，求C廠的長.

【答案】(1)見解析

⑵包普，3也

77

24

(3)CF=—.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得：ZACB=ZBCO+ZOCA=90°,根據(jù)同圓的半徑相等和已知

相等的角代換可得：ZOCD=90°,可得結(jié)論；

27

ACAD63

(2)先根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算AC=6,BC=8,證明口得蕓=第=：==,設(shè)

BCCD84

設(shè)AD=3x,CD=4x,利用勾股定理列方程可得x的值，據(jù)此即可求解；

(3)證明△CEDSAMD,列比例式可得C歹的長.

【詳解】(1)證明：連接0C,

,：AB為。的直徑,

ZACB=ZBCO+ZOCA=90°,

?/OB=OC,

：.ZB=NBCO,

'：ZACD=ZB,

：.ZACD=/BCO,

：.ZACD+ZOCA=90°,即NOCD=90°,

...DC為。。的切線；

(2)解：：。的半徑為5,

AB=10,

3AC

RLAAC3中，sinB=-=——，

5AB

：.AC=6,BC=8,

VZACD=ZBfZADC=ZCDBf

J-C4T>sBCD,

.ACAD63

**BC-CD-8-4?

^AD=3x,CD=4x,貝()OD=5+3x,

Rt^OCD中，OC2+CD2=OD2,

52+(4X)2=(5+3X)2,

303090

%=0(舍)或K=——，BPAD=3x——=——,

777

.…(30120

..CD=4x——=——；

77

(3)解：VZCEF=45°,ZACB=90°,

/.CE=CF,

設(shè)CF=a,

VZCEF=ZACD+ZCDE,/CFE=/B+/BDF,

28

???NCDE=NBDF,

ZACD=/B,

△CED^ABFD,

CEBF

而一訪，

a8-a

--------=--------------24

4X3010+3X30,解得

77

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？?/p>

題型.

10.已知如圖1,在］。中，弦于點(diǎn)尸，AP=3,BP=6,PD=4.E是CO的中

點(diǎn).

cc

圖1圖2

(1)求BC的長；

(2)求AE的長；

⑶如圖2,若AF=BF，連接加交AB于點(diǎn)。，試說明NAQ。的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不

變請求出NAQD的度數(shù)，并說明理由.

【答案】⑴，C=10

⑵.AE=4君

(3)ZAQD=45°,不會發(fā)生變化，理由見解析

ApRp

【分析】(1)連接C。，證明△ABPSAOCP,可得而=而，代入數(shù)值求出PC的長，再

用勾股定理即可求出BC的長；

(2)連接BE,由(1)可知△BCD是等腰三角形，再由E是CD的中點(diǎn)，可得BMLCZ),

則BE是圓。的直徑，再由同弧所對的圓周角相等，可知NACB=/3EA,根據(jù)

tanZBCP=tanZB￡A,即可求AE的長；

(3)設(shè)防與AC的交點(diǎn)為G,過點(diǎn)G作GH,5c交于點(diǎn)X,證明RtBHG沿RtBPG,設(shè)

GP=x,則GH=x,在Rt^CG”中，由勾股定理求出GP=AP=3,再由8P垂直平分AG,

29

11

可得=則NA5P=NG5P=二NA5石，又由A/=3/，可得/BDF=—NAEB,進(jìn)而

22

可求出NAQD=45°.

【詳解】（1）如圖，連接8.

NBAP=NCDP,ZAPB=/CPD,

AABPs人DCP,

APBP

~DP~~CP'

AP=3,BP=6,PD=