第2節與圓有關的位置關系

（6年6考,8分）

?命題分析

中考每年必考內容,題型為解答題.主要考查與切線性質有關的證明與計算，如今與其他

知識點結合，綜合考查.比如相似三角形，全等三角形，銳角三角函數，勾股定理，四邊形等.

【回歸教材?過基礎】

【知識體系】

三角形外接圓三角形內切圓

【知識清單】

知識點1與圓有關的位置關系檢專

點與圓的位置關系（設圓

的半徑為r,平面內任一

點在圓外od①r,如圖中點A

點到圓心的距離為d）點在圓上od②r,如圖中點B

、點在圓內od③r,如圖中點C

直線與圓的位置關位置關系相離相切相交

系（設圓的半徑為r,d與r的關系d④_______rd⑤______r_d⑥______r_

圓心到直線的距離

為d)不意圖0

公共點的個數沒有公共點有且只有一個公共點有兩個公共點

知識點2切線第考

切線的性質:圓的切線⑦于過切點的半徑(或直徑)

切線的判定

'若直線與圓的公共點已知，連接過這點的半徑，證明這條半徑與要證直線垂直即可

,可簡述:有公共點，連半徑,證垂直

,若直線與圓的公共點未知，過圓心作要證直線的垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑即可

、可簡述:無公共點，作垂直,證半徑

切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長⑧，這一點和圓心的連線⑨—

兩條切線的夾角.如圖，過。0外一點P可引兩條切線PA,PB,貝I]PA=⑩,P0平分/APB

知識點3三角形的內心畛有

(定義?叫作三角形的內切圓，?叫作三角形的內心

卜生質:三角形的內心到三角形?的距離相等;三角形的內心是?的交點

【真題精粹?重變式】

考向1與切線性質有關的證明與計算q年g考

1.(2022.陜西24題8分)如圖,AB是。O的直徑,AM是。O的切線,AC,CD是OO

的弦，且CDLAB,垂足為E,連接BD并延長，交AM于點P.

(1)求證:NCAB=NAPB.

(2)若OO的半徑r=5,AC=8,求線段PD的長.

2.(2024.陜西24題8分)如圖，直線1與OO相切于點A,AB是OO的直徑，點C,D

在直線1上，且位于點A兩側，連接BC,BD,分別與。O交于點E,F,連接EF,AF.

(1)求證:NBAF=NCDB.

(2)若OO的半徑r=6,AD=9,AC=12,求EF的長.

考向2與切線判定有關的證明與計算

3.如圖，在RtAABC中,/?=90。,。0是4ABC的外接圓，點D在O0上，且檢=包,

過點D作CB的垂線，與CB的延長線相交于點E,并與AB的延長線相交于點F.

(1)求證:DF是O0的切線.

(2)若。O的半徑R=5,AC=8,求DF的長.

4.如圖，在RtAABC中,NBAC=90o,NBAD=NC,點D在BC邊上，以AD為直徑的

。。交AB于點E,交AC于點F.

(1)求證:BC是O0的切線.

(2)已知AB=6,AC=8,求AF的長.

【核心突破?拓思維】

題型1切線的性質及其應用

如圖，在RtAABC中,NBAC=90。,以AB為直徑的。0交BC于點D,過點D

作OO的切線交AC于點E,連接AD.

⑴求證:AE=DE.

⑵若AB=10,BD=6,求AC的長.

,變式設問

1.如圖,AB是。O的直徑,BC是。O的切線,D為BC的中點，連接AD與。O交于

點E,連接CE并延長，與。O交于點F,且CF經過圓心O.

⑴求證:E為CF的中點.

⑵若AD=6,求。。的半徑.

RDC

E如圖,四邊形ABDC內接于。O,AD平分NBAC,延長AC交。O的切線DE

于點E.

(1)求證:BC〃DE.

⑵連接DC,若cos/BADq,DC=10,求點C到DE的距離.

:變逋這問

2.如圖，在△AOB中,O。與AB相切于點D,延長A0交。0于點C,連接CD,過點

A作AFLBO,交B0的延長線于點H,交。0于點F,ZB=ZC.

求證:(1)AF〃CD.

(2)AH2=OHBH.

題型2切線的判定及其應用

3如圖，在△ABC中,NA=45。,以AB為直徑的。0經過AC的中點D,E為。0

上的一點，連接DE,BE,DE與AB交于點F.

(1)求證:BC為。。的切線.

⑵若F為0A的中點,O0的半徑為2,求BE的長.

,變式設問

3.如圖,AB為。O的直徑O過AC的中點D,DE，BC于點E.

(1)求證:DE為。。的切線.

⑵若DE=2,tanC=g,求。O的直徑.

方法歸納

(1)切線性質的運用口訣:“見切點,連半徑，得垂直,得等腰”.在運用切線的性質時，當連接半徑

之后，會得到垂直條件，進而會出現直角三角形，同時圓的半徑均為等線段，則會出現等腰三角形.利

用等腰三角形和直角三角形的性質，可完成等角轉換.

(2)切線的判定:判定直線是不是圓的切線時，從以下兩個維度入手.

①連半徑，證垂直.通過連接半徑，得到等線段，尋找等腰三角形進行等角轉換(互余導角)，以此來證

明垂直；

②作垂直,證半徑.通過作垂直，尋找全等三角形，利用全等三角形的性質來證明所作垂線段為半徑.

參考答案

回歸教材?過基礎

知識清單

S②二③<@>⑤:@<⑦B直創目等@￥分⑩PB?

與三角形各邊相切的圓?三角形內切圓的圓心?各邊?三條角平分線

真題精粹.重變式

1.解析:⑴證明：：是。。的切線，.：ZBAM=9Q°.

"."CD±AB,/.ZCEA=90°,.".AM//CD,

?：/CDB=/APB.

VZCAB=ZCDB,.：ZCAB=ZAPB.

(2)如圖，連接AD

為。。的直徑，

r.ZCDB+ZADC=9Q°.

VCD±AB,

r.ZCAB+ZC=9Q°.

VZCDB=ZCAB,

r.ZADC=ZC,

.'.AD=AC=8.

VAB=10,

.：BD=Vnn2-AD2=6,

"/ZADB=ZPAB,ZABD=ZPBA,

；.&ADBsAPAB,

?nnWO50

??PB=--=—,

□□63'

ZPZ)=--6=-.

33

2.解析:⑴證明：丁直線/與。。相切于點A,A3是O。的直徑,

.：ABLCD,.".ZBAC=ZBAD=90°.

是。。的直徑，

/.ZAFB=9Q°.

,."ZBAF+ZABD=9Q°,ZCDB+ZABD=9Q°,

?：/BAF=/CDB.

(2)在RtAA3。中，

'/AB=2r=12AD=9,

/.BD=j92+122=15.

在R3ABC中，

：*AB=124C=12,

.：BC=7122+122=12V2.

"/ZABF=ZDBA,ZAFB=ZBAD,

BAFSABDA,

：.BF：BA=BA：BD,^BF；12=12；15,

解得

"/ZBEF=ZBAF,ZBAF=ZCDB,

/.ZBEF=ZCDB.

"/ZEBF=ZDBC,

.：△BEFsABDC,

.：EF：DC=BF：BC^EF；21=y/12A/2,

解得E7三半，即ER的長為華.

3.解析:⑴證明:如圖，連接。。并延長，與AC相交于點P.

/.DPLAC,

,：ZDPC=90°.

VDE±BC,

/.ZCED=90°.

：,ZC=90°,

.：ZODF=90°,

.：D尸是。。的切線.

⑵7ZC=90°,

/.AB=2R=10.

在R3ABC中,5C=J□口2一口口2=6.

7ZDPC+ZC=180°,

.'.PD//CE,

r.ZCBA=ZDOF.

VZC=ZODF,

.：AABCsAFOD,

4.解析:⑴證明：7/胡。=90。，

r.ZDAC+ZBAD=90°.

VZBAD=ZC,/.ZDAC+ZC=9Q°,

r.ZADC=9Q°.

又：ND是。。的直徑，

.：3。是。。的切線.

(2)如圖，連接

在RtAABC中,

AB=6AC=8,

.：3。國口口2+口口2=1。

：$△ABC=-ABAC=-BCAD,

22

Z-x6x8=-xlOxA￡),

22

解得

:ND是。。的直徑，

.：ZAFD=90°,

/.ZAFD=ZADC.

又VZDAF=ZCAD,

.：△ADRS^AC。，

24

,BPZ=^,.：AF=-.

□□on58二'25

5

核心突破?拓思維

例1解析:⑴證明:如圖，連接OD

:2A4c=90。,。石是0。的切線，

.'.Z0AD+ZDAE=9Q°,0DLDE,

.：/。。￡=90°,即/。。4+/4。￡=90。.

\"OA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

.：/DAE=/ADE,

.".AE=DE.

⑵：N3是。。的直徑，

/.AD±BC,ZB+ZBAD=90°.

"."AB=10,BD=6,

.：Ar)=Vnn2-BD2=8,

在△ABC和△DA4中，

VZBAC=ZBDA=9Q°,ZCBA=ZABD,

.：△ABC^ADBA,

，:四二四即以四

□□68'

.：AC=-.

3

變式設問L解析:

⑴證明:如圖，連接底

:,在。。中,NA=NENR=N03R,

r.ZA=ZOBF,

.".AD//BF.

：Z＞為BC的中點，

.：E為CT的中點.

⑵設。。的半徑為廠,由⑴可知,"=CE=2r,

,'.0C=0E+EC=3r.

:，BC為。。的切線,.：ZABC=9Q°.

在RtAOBC^3,0C=3r,0B=r,

.：BC=Vnn2-OD2=2V2r,

/.BD=CD=^BC=41r.

在RtAA3。中,A3=2r,AD=6,且AD?=A"+BD2

.：62=4^+27,解得尸=述.

.：。。的半徑為述.

例2解析:⑴證明:如圖，過點。作于點H.

A

DGE

:/。平分NA4C,

.：/CAD=/BAD,

/.BD=CD.

:'DHLBC,

是BC的中垂線，

必經過圓心點Q

:Z)E是。。的切線，

.'.DH±DE,

/.BC//DE.

(2)如圖，過點。作CG,DE于點G

由(1)知3。〃。自

r.ZBCD=ZCDE.

.：/BAD=/BCD,

?：/CDE=/BAD.

3

：*DC=10,cosZBAD=|,

.:在RtACDG,cosZCDE=—=—=~,

'□□105'

?：DG=6,

.：CG=J口EDNJ1()2_62=8,即點c到DE的距離為8.

變式設問2.證明:⑴如圖，連接OD

;。。與A3相切于點D,

.'.OD±AB,

/.ZBDO=9Q°,

/.ZB+ZBOD=90°.

r/B=/c,

/.ZC+ZB0D=9Q°.

；OC=OD,

/.ZODC=ZC,

r.ZODC+ZBOD=90°,

ZDMO=180°-(ZODC+ZBOD)=90°,

?：DC1BH.

：'AF±BH,.：DC//AF.

(2)7DC//AF,

?：/OAH=/C.

VZB=ZC,

/.ZOAH=ZB.

VZAHO=ZBHA,

.".^AHO^ABHA