直角三角形的邊角關系知識歸納與題型突破

（十一類題型）

01思維導圖

02知識速記

一、銳角三角函數

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在RtaABC中，ZC=9O°,如果銳角A確定:

這個比叫做NA的正弦.

鄰b

(2)cosA=^-=-這個比叫做NA的余弦.

(3)tanA=^=?,這個比叫做NA的正切.

要點：

(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質是兩條線段的比值，它只是一個數值，其

大小只與銳角的大小有關，而與所在直角三角形的大小無關.

(2)sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示NA三個三角函數值，書寫時習慣上省略符號“4”，

但不能寫成sin-A,對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數中符號不能省略，應寫成

sinZBAC,而不能寫出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinAp而不能寫成sinA2.

(4)三角函數有時還可以表示成sina,cos戶等.

2.銳角三角函數的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的銳角三角函數.

要點：

I.函數值的取值范圍

對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是ZA的函數.同樣，COSA、

tanA也是NA的函數，其中NA是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應的函數.其中自變量NA的取值范圍

是0。<乙\<90。，函數值的取值范圍是0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.

2.銳角三角函數之間的關系：

45"

CB

余角三角函數關系：“正余互化公式”如NA+NB=90。，

那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

cmA

同角三角函數關系：sin2A+cos2A=l；tanA=

COSJ4

3.30°、45。、60。角的三角函數值

Z.A30°45°60°

sinA收也

2~T2

工

cosA在也

222

tanA立1出

3

30。、45。、60。角的三角函數值和解30。、60。直角三角形和解45。直角三角形為本章重中之重，是幾何計

算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數值記熟練.

二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依據是直角三角形中各元素之間的一些相等關系，如圖：

角角關系：兩銳角互余，即NA+NB=90。；

邊邊關系：勾股定理，即/+/=3；

邊角關系：銳角三角函數，即

a

~b

bab

sin5=—,cos5=-,tanB

cca

要點:

解直角三角形，可能出現的情況歸納起來只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角).這兩種情形的共同之處：有一條邊.因

此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊.

三、解直角三角形的應用

解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數學模型，善于將某些實際問題中的數量

關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.

L解這類問題的一般過程

(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據題意畫出

幾何圖形，建立數學模型.

(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的

問題.

(3)根據直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.

(4)得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

2.常見應用問題

h

*(1)坡度：j=1：w=—=tana；坡角:a.

(3)仰角與俯角:

鉛垂線

要點:

1.解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形類鏟已知條件解法步驟

tan="

由b求4A,

兩直角邊（a,b）

z.B=90°-zA,

兩C=+廢

邊

Aa

sin=—

由c求乙A,

RtAABC斜邊,一直角邊（如c,a）

Bz.B=90°-zA,

b=_J

ZB=9O°-ZA,

x\銳角、鄰邊

b

乙1

X-------------------c（如NA,b）c=------

ba=6,tan&cos工

一直角邊

邊和一銳角zB=90°—zA,

銳角、對邊

a.a

（如NA,a）

角sinA,tan工

zB=90°—zA,

斜邊、銳角（如c,ZA）

a=csinAfb=ccosA

2.用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是:

把實際問題抽象成數學問題（解直角三角形），就是要舍去實際事物的具體內容，把事物及它們的聯系轉

化為圖形（點、線、角等）以及圖形之間的大小或位置關系.

借助生活常識以及課本中一些概念（如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等）的意義，也有助于把實際問

題抽象為數學問題.

當需要求解的三角形不是直角三角形時，應恰當地作高，化斜三角形為直角三角形再求解.

03題型歸納

題型一銳角三角函數的概念

例題

1.在RtZX/BC中，若各邊的長度都擴大為原來的2倍，則銳角/的余弦值（）

A.擴大為原來的2倍B.縮小為原來的工

2

C.保持不變D.擴大為原來的4倍

鞏固訓練

2.在中，ZC=90°,各邊都擴大2倍，則銳角Z的三角函數值（）

A.擴大2倍B.不變C.縮小LD.擴大工

22

3.在RtA^5C中，ZC=90°,=13,CB=5,NB的余弦值為.

4.如圖，在Rt4/3C中，NC=90。，AC=4,BC=3,則/A4c的正切值為（）

題型二求銳角三角函數

例題

5.在RtZXABC中，ZC=90°,AB=5,8c=3,那么siir4的值為()

A134

B.一c.-D.

5453

鞏固訓練

6.在RtZXZBC中，ZC=90°,那么

A.tanAB.cotAC.sinAD.cosA

7.在Rt^ZBC中，ZACB=90°,BC=1,AB=2,則下列結論正確的是（)

J31

At.sirk4=—B.tan4A=—C.cosB=D.tanB=也

22~2

題型三特殊銳角三角函數值

例題

8.tan60°的值是（）

百V31

A.B.昱rD.-

232

鞏固訓練

tan450-cos600__

9.----------------------tan30°n=.

sin60°

10.計算：2cos230°-亞sin45°+tan60°，sin60°=

題型四根據特殊銳角三角函數值求角度

例題

11.如果銳角a滿足cosa=——,則a的大小是.

2

鞏固訓練

12.如果銳角。的正切值為且，那么銳角。為度

3

歷

13.在銳角中，44=75°,sinC=—,貝l）N5='

2

14.已知a為銳角，且cos（a-30。）=*,則。=.

、2

15.在△48。中，若cos4—--■1-（1—tan=0,ZA,都是銳角，貝!J△43。是三角形.

題型五比較銳角函數值的大小

例題

16.已知實數。=tan30°,b=cos60°,c=sin45。，則下列判斷正確的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

鞏固訓練

17.☆a=sin60°,b=cos45°,c=tan30°,則它們之間的大小關系是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

18.△NBC中，/C=90°,AB=5,BC=3,貝U()

A.siiL4>cosA,且tarU>cosB

B.sirU<cosA,且tanA>cosB

C.siiL4>cosA,且tanA<cosS

D.sirU<cosA,且tanA<cosB

題型六網格問題

例題

19.如圖，A,B,C是正方形網格中的格點（小正方形的頂點），則sin/ZCB的值為（）

V5CD,如

5-I3

鞏固訓練

20.如圖，44BC的頂點都是正方形網格中的格點，貝Utan442c等于（）

C.-D.好

23

題型七解直角三角形一直角三角形

例題

21.如圖，在RtZk/BC中，20=90°,AC=2,BC=\,則sinS的值為（）

1

B.

2

D.2

鞏固訓練

22.在RtZ\/BC中，N4CB=90°,BC=12,tan5=—,則4B的長為（）

A.8B.12C.13D.18

23.如圖，在RtZk/BC中，ZS=9O°,ZA=a,AB=4,則/C的長是（）

4

B.C.D.4tana

smacosa

24.如圖，在ZX/BC中，ZACB=90°,下列結論正確的是（）

B

AN-----------------------dC

A.AC-BC-tanAB.AB=AC-cosAC.BC-AB-sinB

D.AC-BC-tanB

25.如圖，在AABC中,NA=45O/C=90。,點D在線段AC上/BDC=6（r,AD=l,則BD等于（）

A.V3B.V3+1C.V3-1D.4

3

題型八解直角三角形在特殊平行四邊形中的應用

例題

26.如圖，在矩形4BCD中，48=1,BC=2,對角線4C的垂直平分線分別交2D、4c于點E、O,則OE

的長為（）

鞏固訓練

3

27.如圖，在菱形45CQ中，DE，AB于點、E,cosA=-fAD=5,貝!JtanNBDE的值為（）

A.立B."C.2D.-

252

28.如圖，在矩形/BCD中，ZABC=9Q°,點E是4B上一點，連接/C,CE,若Z8C￡=30。，BE=3,

A.4>/3B.3gC.273D.3亞

題型九解直角三角形一非直角三角形

例題

29.如圖，在△N3C中，/4=30。，AC=20tanB=—,則4B的長為（）

2

A.2+273B.3+V3C.4D.5

鞏固訓練

30.如圖，在等腰4ABe中，AB=AC.若/BAC=a,AB=m,則底邊BC=()

八.a?a

A.m-sinaB.2m-sinaC.2m-sm—D.m-sin—

22

31.如圖，/4CB=45。,NPRQ=125。△48C底邊8c上的高為％,△尸。穴底邊。尺上的高為色，則有

A.%=為B.<h2C./A>h2D.以上都有可能

32.如圖，在四邊形ABCD^,&4平分/BCD,AB1AC,ZB=60°,AE18C于點E.若8c=10,

則點A到CD的距離為.

33.如圖，四邊形/BCD的對角線NC、AD相交于O,乙4。。=60。，AC=BD=2,則這個四邊形的面積是

D

B.2

C.由D.273

2

題型十三角函數的應用、利用三角函數測高

例題

34.如圖：為了測樓房BC的高，在距離樓房10米的A處,測得樓頂B的仰角為，那么樓房BC的高為

D.旦米

A.lOtana米B.1°米C.lOsina米

tanasina

鞏固訓練

35.如圖，兩建筑物的水平距離為“m,從/點測得。點的俯角為a,測得C點的俯角為尸，則較低建筑

36.如圖，在一次數學實踐活動中，小明同學要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點5

處前行30m到達斜坡CE的底部點C處，然后沿斜坡CE前行20m到達最佳測量點。處，在點。處測得塔頂

A的仰角為30。，已知斜坡的斜面坡度i=l:百，且點A,B,C,D,E在同一平面內，小明同學測得古

塔48的高度是（)

A

E

o

-

B

1o

A+2mB+Ac2mm

0))mD.40

37.如圖，某興趣小組用無人機進行航拍測高，無人機從相距20四米的1號樓和2號樓的地面正中間點3

垂直起飛到點A處，測得1號樓頂部E的俯角為60。，測得2號樓頂部尸的俯角為45。.已知1號樓的高度

為20米，那么2號樓的高度為米(結果保留根號).

38.長尾夾一般用來夾書或夾文件，因此也稱書夾.長尾夾的側面可近似的看作等腰三角形，如圖1是一

個長尾夾的側平面示意圖，已知8C=23mm，44cB=70。.按壓該長尾夾的手柄，撐開后可得如圖2所示的

側平面示意圖.測量得/GED=/"￡>￡=80。.求這時這個長尾夾可夾紙厚度GH為mm(參考數據:

sin70°?0.94,cos70°。0.34,tan70°。2.75,sin80°20.98,cos80°?0.17,tan80°。5.67)

39.一款閉門器按如圖1所示安裝，支點C分別固定在門框和門板上，門寬為。。，搖臂”3=18cm,

連桿BC=24cm,閉門器工作時，搖臂、連桿和OC長度均固定不變，如圖2,當門閉合時，sinB=旦,

3

則AC的長為cm.

題型十一解答題

例題

40.計算：sin2300-2cos30°-tan60°+sin245°

鞏固訓練

41.計算：^/(sin45°-1)2+cos45°+tan60°-cos30°.

4

42.如圖所示，在△48C中，48=30。，sinC=j,AC=15,求8c的長.

43.如圖，在菱形N3CD中，對角線/C與AD相交于點。，AC=6,5。=12,點E在邊4D上,

AE=^AD,連結BE交4c于點Af.

(1)求MC的長.

⑵tanZBMO的值為.

44.項目式學習，為了測量學校教學樓的高度，方案如下:

課題測量教學樓的高度

測量

測傾器.皮尺

工具

測量在陽光下，小華站在樓42影子的頂端尸處，止匕刻量出小華的影長尸G；然后在樓42落在地面的影

方法子上的點。處，安裝測傾器8,測出樓頂端/的仰角.

測量小華的影長尸G=2m,小華身高即=1.6m,用測傾器CO