相交線六大題型總結(jié)（壓軸題專項(xiàng)講練）

【題型一：對頂角與鄰補(bǔ)角的定義】

1.（23-24七年級下?全國?單元測試）下列四個圖形中，N1與N2為對頂角的圖形是（）

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了對頂角的定義，有公共頂點(diǎn)，且角的兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角，據(jù)此求解

即可.

【解題過程】

解：根據(jù)對頂角的定義可知，只有B選項(xiàng)中的41與42為對頂角，

故選：B.

2.（23-24八年級上?河南南陽?開學(xué)考試）如圖所示，AB與CD相交所成的四個角中，N1的鄰補(bǔ)角是

42的對頂角是.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了鄰補(bǔ)角和對頂角的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)鄰補(bǔ)角和對頂角的定義即可直接得出答案.

【解題過程】

解：由圖形可知，N1的鄰補(bǔ)角是N2和N4,

N2的對頂角是N4,

故答案為：N2和N4,Z4.

3.（23-24七年級下?山東聊城?開學(xué)考試）下列說法正確的是（）

A.如果Nl=N2,則N1和42是對頂角

B.如果N1和乙2有公共的頂點(diǎn)，貝此1和N2是對頂角

C.對頂角都是銳角

D.銳角的對頂角也是銳角

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了對頂角的定義，有公共頂點(diǎn)且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角.

根據(jù)對頂角的定義進(jìn)行分析即可.

【解題過程】

解：A.如果41=42,則N1和N2不一定是對頂角，故本選項(xiàng)錯誤；

B.如果N1和42有公共的頂點(diǎn)，貝比1和42不一定是對頂角，故本選項(xiàng)錯誤；

C.對頂角不一定都是銳角，故本選項(xiàng)錯誤；

D.銳角的對頂角也是銳角，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【題型二：利用對頂角與鄰補(bǔ)角求角度】

4.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，兩條直線相交于一點(diǎn)，如果41+N3=60。，則N2的度數(shù)是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了對頂角和鄰補(bǔ)角，根據(jù)對頂角相等可得：N1=N3,又因?yàn)镹1+N3=60。，可以求出

41=43=30。，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得：42+43=180。，所以可得：42=150。.

【解題過程】

解：???N1+43=60°,N1=43,

Z1=43=30°,

XZ2+Z3=180°,

Z2=180°-30°=150°,

故選：A.

5.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，取兩根木條a,b,將它們釘在一起，轉(zhuǎn)到木條b,當(dāng)增

A.N2增大2。B.43減少2。C.N4減少2。D.44減少1。

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查對頂角、鄰補(bǔ)角，根據(jù)對頂角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義可得答案.

【解題過程】

解：???41與N3是對頂角，

???zl=Z.3,

?,?當(dāng)增大2。時，43增大2。；

?；N1與42是鄰補(bǔ)角，N1與N4是鄰補(bǔ)角，

???N1+乙2=180°,Nl+N4=180°,

當(dāng)N1增大2。時，42減小2。，N4減小2。.

當(dāng)N1增大2。時，正確的是44減小2。.

故選：C.

6.（23-24七年級下?河南周口?階段練習(xí)）如圖，直線4B和CD相交于點(diǎn)。，OE把“。C分成兩部分，且

/-AOE-.Z.EOC=3:5,。F平分NBOE.

(1)若NB。。=72°,求NBOE.

(2)若NBOF=2N40E+15°,求NCOF.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，(1)利用了對頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，(2)利用了角平分線的定義，鄰補(bǔ)

角互補(bǔ)的性質(zhì)，角的和差.

(1)根據(jù)對頂角相等，可得乙40c的度數(shù)，根據(jù)乙40ENE0C=3:5,可得NAOE,根據(jù)鄰補(bǔ)角，可得答案；

(2)根據(jù)角平分線的定義，可得NBOE=2/80F=4乙40E+30。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的關(guān)系，可得關(guān)于N40E的

方程，求出乙40E的度數(shù)，可得答案.

【解題過程】

(1)由對頂角相等，得乙40C=NB。。=72。，

由0E把ZJ10C分成兩部分且N40EZE0C=3:5,得NAOE=Z.AOCx==27°,

o

由鄰補(bǔ)角，得4BOE=180°-Z.AOE=180°-27°=153°；

(2)；OF平分NBOE,

???ABOE=2ABOF=4/LA0E+30°.

由鄰補(bǔ)角，得4BOE+/.AOE=180°,

即4NAOE+30°+乙AOE=180°,

解得N40E=30。.

.-.Z.EOC=50°,4EOF=乙BOF=75°,

.4。尸=75°—50°=25°.

7.(24-25七年級上?全國?課后作業(yè))如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)。，OE、。尸分另！］在NBOC、乙4。。內(nèi)部，且

。。平分NBOF.

(1)乙4OC的對頂角是；

(2)若NBOF=40。，NCOE=100°,則NBOE的度數(shù)為；

(3)若0B平分/EOF,^AOC-.^AOF=1:3,求NCOE的度數(shù)；

(4)若=ABOE=60°,判斷。B是否平分/EOF,并說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)，幾何中角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握

角平分線的定義.

(1)根據(jù)對頂角的定義即可解答；

-11

(2)根據(jù)角平分線的定義得出=NFOD=/8。/=5><40。=20。，再根據(jù)

Z.COE+Z.BOE+Z.BOD=180°,求出結(jié)果即可；

(3)由乙4OF=1:3,得到N40F=3NB。。，根據(jù)角平分線的定義得出ADOF=ABOD,根據(jù)

ZXOC+/.AOF+Z.FOD=180°,求出48。。=36。，根據(jù)角平分線的定義得出NBOE=N8OF=72。，根據(jù)

Z.COE+A.EOB+^BOD=180°,求出結(jié)果即可；

(4)由NBOE=60。，利用平角的定義得到NAOE=120。，=AEOF,求出/EOF=120。，結(jié)

合乙BOE=60。得出結(jié)論.

【解題過程】

(1)解：根據(jù)題意：N&OC的對頂角是NB。。；

(2)解：OD平分4BOF,

???Z.BOD=jzBOF=20。，

???乙BOE=180°-乙BOD-乙COE=180°-20°-100°=60°；

(3)解：乙1OC與NBOD為對頂角，

???Z-AOC=Z-BOD,

???乙BOD:乙AOF=^AOC-.^AOF=1:3,即N/OF=3(BOD.

???。。平分乙80F,

???Z.DOF=乙BOD,

???^AOF+乙DOF+乙BOD=3(BOD+乙BOD+乙BOD=180°,

???(BOD=36°,

???/,AOC=乙BOD=36%乙BOF=2(BOD=72°.

又???。8平分匕EOF,

???乙BOE=乙BOF=72°,

???乙COE=180°-Z.AOC一乙BOE=180°-36°-72°=72°；

（4）解：。8平分4EOF,理由如下：

???乙BOE=60。,

,Z.AOE=120°.

vZ-AOE=乙EOF,

???KEOF=120°,

???Z-BOF=AEOF-/-BOE=120°-60°=60°,

???乙BOE=Z-BOF,

。8平分4EOF.

【題型三：垂線的定義】

8.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）若ABla,ACla,貝宿、B、C三點(diǎn)共線，理由是：.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了垂線.根據(jù)在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，即可解答.

【解題過程】

解：若力Bia,ACla,則4B、C三點(diǎn)共線，理由是：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直

線垂直，

故答案為：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

9.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）如果兩條相交直線所成的四個角中有一個角是,那么就稱這

兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的,它們的交點(diǎn)叫作.

【思路點(diǎn)撥】

此題考查了垂直、垂線、垂足的定義.根據(jù)定義進(jìn)行解答即可.

【解題過程】

解：如果兩條相交直線所成的四個角中有一個角是直角，那么就稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫

作另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫作垂足

故答案為：直角，垂線，垂足.

10.（24-25七年級上?山東濱州?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線1上，當(dāng)21與42滿足時，。力10B.

O

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了垂直的定義理解，補(bǔ)角的定義，根據(jù)當(dāng)04_L0B時，貝叱4。8=90。，然后利用補(bǔ)角的定義

求出Nl+N2=90。，即可得出答案.

【解題過程】

解：當(dāng)0410B時，貝此力。8=90。，

???Z1+Z2+/.A0B=180°,

.-.Z1+42=180°-AAOB=90°,

即當(dāng)Z.1+N2=90。時，OALOB.

故答案為：41+42=90。.

【題型四：畫垂線、垂線段最短與點(diǎn)到直線的距離】

11.（23-24七年級下?貴州黔南?期末）過點(diǎn)P作直線/的垂線CD,下面三角板的擺放正確的是（）

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了垂線，根據(jù)垂線的定義，即可解答.

【解題過程】

解：過點(diǎn)P作48的垂線CD,三角板的放法正確的是

故選：A.

12.（23-24七年級下?陜西安康?期中）如圖，/為河岸（視為直線），要想開一條水渠將河里的水從點(diǎn)N處

引到田里去，請?jiān)诤舆?上求作一點(diǎn)尸，使水渠P4最短，作出水渠P4的示意圖.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查作垂線，垂線段最短，過點(diǎn)/作于點(diǎn)尸，P4即為所求.

【解題過程】

解：如圖，過點(diǎn)/作API2于點(diǎn)P,P4即為所求.

13.(24-25七年級上?全國?課后作業(yè))利用網(wǎng)格畫圖:

(1)過點(diǎn)C畫4B的垂線，垂足為￡；

(2)線段CE的長度是點(diǎn)C到直線的距離；

(3)連接C4C8,在線段C4,CB,CE中，線段最短.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要垂線及其做圖，點(diǎn)到直線的距離概念，垂線段最短，注意作圖的準(zhǔn)確性.

(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，利用直線與網(wǎng)格的夾角的關(guān)系找出與4B垂直的格點(diǎn)；

(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離概念回答；

(3)根據(jù)垂線段最短直接回答即可.

【解題過程】

(2)解：線段CE的長度是點(diǎn)C到直線力B的距離，

故答案為：AB；

(3)解：連接C4CB,在線段中，線段CE最短,

故答案為：CE.

14.(23-24七年級下?遼寧沈陽?階段練習(xí))如圖，點(diǎn)P是乙40B的邊0B上的一點(diǎn).

(1)過點(diǎn)P畫的垂線，交。4于點(diǎn)C；

(2)過點(diǎn)P畫02的垂線段，垂足為H；

(3)點(diǎn)P到直線。4的距離為,線段的長度是點(diǎn)C到直線。B的距離；

【思路點(diǎn)撥】

本題主題考查了垂線的作法、點(diǎn)到直線距離的定義等知識點(diǎn)，掌握垂線和垂線段的區(qū)別與聯(lián)系成為解題的

關(guān)鍵.

(1)如圖取格點(diǎn)D,連接交。4于點(diǎn)C,直線PD即為所求；

(2)直接根據(jù)方格作圖即可；

(2)根據(jù)點(diǎn)到直線距離解答即可.

【解題過程】

(1)解：如圖：直線P0即為所求;

o7A

(2)解：如圖：線段PH即為所求.

(3)解：點(diǎn)P到直線。4的距離為PH,線段PC的長度是點(diǎn)C到直線。8的距離.

故答案為：PH,PC.

【題型五：與垂直有關(guān)的角度問題】

15.(23-24七年級下?湖南永州?期末)如圖，直線48與CO相交于點(diǎn)E,EF1AE,乙CEB=6。°,則NDEF

的度數(shù)為_______.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了垂線的定義，對頂角相等，先根據(jù)垂直的定義求出乙4EF=90。的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)對頂角相等得

出乙4ED=乙CEB=60°,即可求解.

【解題過程】

解：-.-EF1AE

：.^AEF=90°

■:^AED=乙CEB=60°

：/DEF=/LAED+^AEF=60°+90°=150°,

故答案為：150。.

16.(23-24七年級下?北京?階段練習(xí))如果Na與45的兩邊分別垂直，Na比45的2倍少42。，則Na的度數(shù)

是.

【思路點(diǎn)撥】

此題主要考查了角的計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵是理解如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊垂直，那么這

兩個角相等或互補(bǔ).根據(jù)Na比4的2倍少42。得Na=24-42°,再根據(jù)Na與4的兩邊分別垂直得Na="

或4a+=180。，由此可求出Na與乙。的值.

【解題過程】

解：???/。比//?的2倍少42。，

???Na=24一42°,

???Na與“的兩邊分別垂直，

?1?Zcr=邛或Na+4=180°,

當(dāng)Na="時，2"—42。=47,

解得：4?=42。，

此時Na=240-42°=2x42°-42°=42°；

當(dāng)Na+N￡=180。時，24￡—42。+4￡=180。，

解得：4?=74。，

Na=2乙B-42°=2x74°-42°=106°.

綜上所：Na的度數(shù)是42。或106。.

故答案為：42。或106。.

17.（23-24七年級下?遼寧鐵嶺?期中）如圖，兩直線AB、相交于點(diǎn)。，OE平分4B。。，如果

^AOC-.^AOD=7:11,

(1)求NCOE

(2)若。F1OE,^AOC=70°,求NCOF

【思路點(diǎn)撥】

本題考查的是鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)和角平分線的定義，掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對頂角相等和垂直的定

義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和已知求出410C和乙40D的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等求出NBOD和“。8的度數(shù)，根

據(jù)角平分線的定義求出N80E的度數(shù)，可以得到NC0E的度數(shù)；

(2)根據(jù)垂直的定義得到NE0F=90。，根據(jù)互余的性質(zhì)求出ND0F的度數(shù)，計(jì)算得到答案.

【解題過程】

(1)解：???NAOC+NA。。=180。，Z.AOC；/.AOD=7：11,

???ZXOC=70°,Z40D=110°,

???乙BOD=/.AOC=70°,4COB=Z.AOD=110°,

???OE平分NBOD,

；?Z-BOE=士乙BOD=35°,

乙COE=/.COB+乙BOE=145°.

(2)解：-.-OF1OE,

???/.EOF=90°,

OE平分NBOD,

???乙DOE=、BOD=35°,

???ADOF=90°-/.DOE=55°,

：.LCOF=180°-乙DOF=125°.

18.(23-24七年級上?浙江麗水?期末)如圖，點(diǎn)。是直線力B上的一點(diǎn)，射線。C,。。在直線力B的異側(cè)，已

知。Cl。。，OE平分NAOC.

(1)若48。。=40。，求乙4OE的度數(shù)；

(2)乙4OE與NB。。是否有可能成為對頂角？若有可能，請求出48。。的度數(shù)；若不可能，請說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了對頂角的性質(zhì)，垂線定義理解，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，數(shù)形

結(jié)合.

(1)根據(jù)Z80C與N8。。互余可得48。。的度數(shù)，再根據(jù)補(bǔ)角的定義可得乙40c的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線

的定義解答即可；

(2)根據(jù)對頂角相等可得+NB0C+NC0E=180°,再根據(jù)N80C與48。0互余，可得4BOC與乙COE

互余，據(jù)此可得結(jié)論.

【解題過程】

(DM：-OC1OD,

二4BOC+乙BOD=90°,

：./-BOC=90°-/.BOD=50°,

.-.Z.AOC=180°-4BOC=130°,

???OE平分N40C,

1

??.乙4OE=yZOC=65°；

(2)解：乙4OE與乙8。。是不可能成為對頂角，理由如下：

當(dāng)44OE=乙800時，乙BOD+乙BOC+乙COE=180°,

???OE平分44。。,

：.Z-AOE=Z.COE,

:/BOD=Z.COE,

?：OC1OD,

;.LBOC+乙BOD=90°,

，乙BOC+(COE=90°,

“BOC+乙BOD+乙BOC+Z.COE=180°,

與乙BOD+乙BOC+乙COE=180。相矛盾，

.?.乙4OE與NB。。是不可能成為對頂角.

19.(23-24六年級下?山東淄博?期末)如圖，直線EF,CD相交于點(diǎn)。，0410B,且。C平分N40F.

(1)若乙4OE=40。，求NBOD的度數(shù)；

(2)若NAOE=a,求NBOD的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).

【思路點(diǎn)撥】

本題考查與角平分線相關(guān)的角的計(jì)算，垂直的定義，掌握角的和差運(yùn)算、角平分線定義和垂超拔定義是解

題的關(guān)鍵.

(1)先求出N40F,根據(jù)角平分線定義求出NFOC,根據(jù)對頂角相等求出NEOD=NFOC,求出NBOE,即可

得出答案；

(2)先求出N40F,根據(jù)角平分線定義求出AFOC,根據(jù)對頂角相等求出NEOD=NFOC,求出NBOE,即可

得出答案.

【解題過程】

(1)解：?.?直線EF,CD相交于點(diǎn)。，

.-./.AOE+Z.AOF=180°,

■.■Z.AOE=40°,

.-.Z.AOF=140°；

又rOC平分乙4OF,

.?ZFOC=弘4。尸=70°,

."EOD=ZFOC=70。(對頂角相等)；

■.■OA1OB,

.-.Z.AOB=90°,

“BOE=乙AOB-^AOE=50°,

:/BOD=4EOD-乙BOE=20°；

(2)解：?.?直線EF,CD相交于點(diǎn)O,

：,L.AOE+/-AOF=180°,

,：Z-AOE=a,

：.Z-AOF=180°—a；

又???OC平分440尸，

ii

??/FOC=-^AOF=90°--a,

"EOD=乙FOC=90°-|a（對頂角相等）；

-OALOB,

：.^AOB=90°,

：.Z.BOE=Z.AOB—Z-AOE=90°—a,

1i

"BOD=乙EOD一乙BOE=90°-5a—（90°一a）=-a.

20.（23-24七年級上?江蘇蘇州?期末）如圖，直線4B、CO相交于點(diǎn)。,^AOC=50°,0E平分4BOD.

(1)求的度數(shù)；

(2)若射線OF1OE,求N。。尸的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用對頂角的性質(zhì)和角平分線的定義即可求解；

(2)分OF在直線4B的上方和下方兩種情況，畫出圖形解答即可求解；

本題考查了垂線、對頂角、角平分線的定義，掌握垂線的定義、對頂角的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的

關(guān)鍵.

【解題過程】

(1)解：?.?直線4B、CD相交于點(diǎn)0,ZXOC=50°,

：/BOD=N20C=50°,

???0E平分NB。。，

.-.Z.DOE=，BOD=|x50°=25°；

（2）解：當(dāng)。F在直線4B的上方時，如圖,

.”。尸=90°,

“DOF=乙EOF-乙DOE=90°-25°=65°；

當(dāng)。尸在直線2B的下方時，如圖，

:/EOF=90°,

.?/DOF=4EOF+乙DOE=90°+25°=115°；

綜上，ND。尸的度數(shù)為65。或115。.

【題型六：同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角的定義】

21.（23-24七年級下?浙江金華?階段練習(xí)）如圖，N1和42不是同位角的是（）

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了同位角的定義，熟練掌握同位角的定義是解題的關(guān)鍵

根據(jù)同位角定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直

線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角，進(jìn)行分析即可.

【解題過程】

解：A.