專題05有理數的乘方及混合運算（含科學記數法）壓軸題六種模型全攻略

『匚【考點導航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【考點一有理數幕的概念理解】.............................................................1

【考點二有理數的乘方運算】...............................................................2

【考點三用科學記數法表示絕對值大于1的數】..............................................4

【考點四程序流程圖與有理數計算】........................................................5

【考點五含乘方的有理數混合運算】........................................................6

【考點六乘方的應用】.....................................................................7

【過關檢測】...................................................................................9

【典型例題】

【考點一有理數塞的概念理解】

例題：（2023?全國?七年級假期作業）若一個算式中，-3是底數，4是指數，則這個算式是（）

A.-34B.（一C.-43D.（-4）3

【答案】B

【分析】根據俄中，。叫做事的底數，〃叫做事的指數，去列式即可.

【詳解】解：-3是底數，4是指數，這個算式是（-3）L

故選：B.

【點睛】本題考查了募的構造，底數，指數，正確理解哥的意義是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023?全國?七年級假期作業）算式,1]x（一￡|x（q）可以表示為（）

23

B.

【答案】c

【分析】運用乘方的運算解題即可.

【詳解】解：（_|乂_W/

故選C.

【點睛】本題考查乘方的運算，掌握乘方的運算法則是解題的關鍵.

2.（2023?全國?七年級假期作業）式子（-3）5表示（）

A.-3乘5B.5個-3相乘C.3個-5相乘D.3個-5相加

【答案】B

【分析】根據乘方的含義：d"表示加個。相乘，即可解答.

【詳解】解：（-3）5,表示5個-3相乘.

故選：B.

【點睛】本題考查了有理數的乘方，充分理解乘方的含義即可，難度不大.

3

3.（2023秋?廣東深圳?七年級統考期末）在（-g）4中，底數是.

O

【答案】-f3

O

【分析】對于其中。是底數，2是指數，由此解答即可.

【詳解】在（-J）,中，底數是

OO

3

故答案為：一三.

O

【點睛】本題考查了有理數乘方的定義.熟練掌握有理數乘方的有關概念是解答本題的關鍵.

【考點二有理數的乘方運算】

例題：（2023?全國?九年級專題練習）計算:

32

⑴一（一2＞；（2）-24;⑶F

【答案】⑴8

（2）-16

【分析】（1）根據乘方計算法則計算即可;

(2)根據乘方法則計算；

(3)根據乘方法則計算.

【詳解】(1)解：-(-2)3=-[(-2)x(-2)x(-2)]=-(-8)=8；

(2)-24=-(2X2X2X2)=-16；

s、323x39

444

【點睛】此題考查了有理數乘方計算法則：〃個相同因數的乘法等于這個數的”次幕，同時可以逆用.

【變式訓練】

1.(2023?浙江?七年級假期作業)計算：

⑴(-5)4；(2)-y；(3)-(-0.3)3.

【答案]⑴625

(2)-|

(3)0.027

【分析】(1)(-5)4表示4個-5相乘，即可得出答案；

(2)先計算2的立方，即可得出答案;

(3)根據在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數，乘方是幾個相同因數的簡便運算，可得答案.

【詳解】(1)(-5)4=(-5)x(-5)x(-5)x(-5)=625；

232x2x28

555

(3)-(-0-3)3=-[(-0.3)x(-0.3)x(-0.3)]=-(-0.027)=0.027.

【點睛】本題考查了乘方的定義，理解乘方的意義是解題的關鍵.

2.(2023?浙江?七年級假期作業)計算：

(1)(-3)3;(2)(-1.5)2；⑶；⑷-(TP；(5)-(-2)3.

【答案】⑴-27

(2)2.25

(3)—

49

⑷一9

(5)8

【分析】根據有理數乘方運算法則逐個計算即可.

【詳解】(1)(一3)3=(-3)X(一3)X(-3)=-27；

(2)(-1.5)2=(-1.5)x(-1.5)=2.25；

(4)-(-3)2=-(-3)X(-3)=-9

(5)-(-2)3=-(-2)x(-2)x(-2)=8.

【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練運用運算法則是解本題的關鍵.

【考點三用科學記數法表示絕對值大于1的數】

例題：(2023春?江西南昌?九年級校考階段練習)我國神舟十三號載人飛船的起飛推力為5923000牛.將

5923000用科學記數法表示應為.

【答案】5.923xlO6

【分析】科學記數法的表示形式為axlO”的形式，其中IV忖＜10,〃為整數.確定〃的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，”是正整

數；當原數的絕對值＜1時，〃是負整數.

【詳解】解：5923000=5.923X106.

故答案為：5.923xlO6.

【點睛】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為。xlO”的形式，其中1W忖＜10,?

為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及"的值.

【變式訓練】

1.(2023秋?山西太原?七年級校考期末)2016年5月下旬，中國大數據博覽會在貴陽舉行，參加此次大會的

約有89000人，將89000用科學記數法表示為.

【答案】8.9TO,

【分析】科學記數法的表現形式為ax10”的形式，其中1＜忖＜10,〃為整數，確定”的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于1。時，n

是正數，當原數絕對值小于1時”是負數；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解：89000=8.9xlO4,

故答案為：89104.

【點睛】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義.

2.（2022秋?山西忻州?七年級校考階段練習）第二屆“一帶一路"國際合作高峰論壇于2019年4月25日至27日

在北京召開，"一帶一路"建設進行5年多來，中資金融機構為“一帶一路"相關國家累計發放貸款約2500億

元，重點支持了基礎設施、社會民生等項目.數據2500億用科學記數法表示為.

【答案】2.5X1011

【分析】科學記數法的表現形式為。xio”的形式，其中1＜忖＜10,〃為整數，確定〃的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n

是正數，當原數絕對值小于1時〃是負數；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解：2500億=250000000000=2.5x10”,

故答案為：2.5X1011.

【點睛】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義.

【考點四程序流程圖與有理數計算】

例題：（2023秋?山西太原?七年級校考期末）下圖是一個數值轉換機，若輸入的a的值為2,則輸出的結果

應為一-

/

輸出

N

【答案】0

【分析】按照程序流程圖，把。=2代入求解即可.

【詳解】解：由題意得，（22-4）*0.5=（4-4）*0.5=0*0.5=0,

故答案為：0.

【點睛】本題考查了程序流程圖與有理數混合運算，熟練掌握運算順序和運算法則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023?江蘇?七年級假期作業）如圖是一個計算程序，若輸入的值為1,則輸出的值應為.

否

【答案】4

【分析】根據程序流程圖的流程，列出算式，進行計算即可.

【詳解】解：輸入的值為1時，由圖可得：FX2-4=-2<0;

輸入-2可得：(-2)2X2-4=4>0；

回輸出的值應為4；

故答案為：4.

【點睛】本題考查程序流程圖.按照流程圖的流程準確的列出算式，是解題的關鍵.

2.(2023,全國,七年級假期作業)按下圖的程序計算，如果輸入-1,則輸出的結果為.

否

輸AxL()2(5)—>-4-*->3回j輸出

【答案】5

【分析】把x=-l代入程序中計算，判斷結果大于3,輸出即可.

【詳解】解：把x=-l代入得：(-1)2-(-5)-4=2,

由于第一次所得結果不滿足大于3的要求，所以再將x=2輸入，得:

22-(-5)-4=5,滿足大于3的要求；

則輸出結果是5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了程序框圖和有理數的混合運算，熟練掌握有理數運算法則是解題關鍵.

【考點五含乘方的有理數混合運算】

例題：(2022秋?陜西西安?七年級西安市東方中學校考期末)計算：-23+|5-ll|+15x，g

【答案】-5

【分析】按照先計算乘方和絕對值，再計算乘法，最后計算加減法的運算順序求解即可.

【詳解】解：-23+5-ll+15xL|j=-8+6-3=-5.

【點睛】本題主要考查了含乘方的有理數混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023春?吉林松原?七年級統考期末)計算：-13一；*[1-(-5)1+不方

【答案】2

【分析】根據含有乘方的有理數的混合運算法則即可求解.

【詳解】解：-13-^X［1-(-5)2］+^=27=-1-1X(1-25)-3=-1+6-3=2.

【點睛】本題主要考查含有乘方的有理數的混合運算，掌握其運算法則是解題的關鍵.

2.(2023秋?陜西渭南?七年級統考期末)計算：-嚴22+(―5)2+(_卞_卜1_5|.

【答案】-22

【分析】根據有理數的混合運算法則求解即可.

3

［詳解1原式=-1+25x(-手-6=-1-15-6=-22.

【點睛】本題考查了有理數的混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序.

3.(2022秋?廣東深圳?七年級校考階段練習)混合運算：

2201342

(l)-2xl+4^^+(-l).(2)-l+|2-(-3)|+^f-1\

【答案】⑴7

【分析】(1)先算乘方，再算乘除法，最后算加減；

(2)先算乘方，再算除法，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有絕對值，要先

做絕對值內的運算.

22013

［詳解］(1)解：-2xl+4+-+(-l)=-4xl+4x--l=-l+9-l=7；

4944

(2)解：一「十卜一(一3升十;=一1+|2—9卜=—1+7—

【點睛】本題主要考查了有理數的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數混合運算順序：先算乘方，再

算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算，注

意乘法運算定律的應用.

【考點六乘方的應用】

例題：(2023?全國?七年級假期作業)你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在

一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細的面條.如圖所示：這樣捏合

到第6次后可拉出幾根面條？

第一次第二次第三次

捏合后捏合后捏合后

【答案】第6次后可拉出64根面條.

【分析】根據題意列出算式，計算即可得到結果.

【詳解】解：根據題意得：26=64,

答：這樣捏合到第6次后可拉出64根面條.

【點睛】此題考查了有理數的乘方，解題的關鍵是熟練掌握乘方的意義.

【變式訓練】

1.(2023?全國?七年級假期作業)如圖是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個.根

據此規律可得：

⑴這樣的一個細胞經過2小時后可分裂成多少個細胞？

⑵這樣的一個細胞經過多少小時后可分裂成64個細胞？

【答案】⑴16

(2)3

【分析】(1)根據題意，2小時是4個30分鐘，從而得到答案；

(2)根據題意，得到規律，設經過“個30分鐘得到64個細胞，列方程求解即可得到答案.

【詳解】(1)解：經過2小時，即第4個30分鐘后，可分裂成24=16個細胞，

,經過2小時后，可分裂成16個細胞；

(2)解：根據題意，一個細胞第1個30分鐘分裂成2個，即，個細胞；

第2個30分鐘分裂成4個，即2?個；

依此類推，第"個30分鐘分裂為2"個細胞；

\2"=64,解得〃=6,

經過6個30分鐘，即3小時后可分裂成64個細胞.

【點睛】本題考查幕的應用，熟記幕的相關定義及計算是解決問題的關鍵.

3d【過關檢測】

一、單選題

1.（2023?甘肅平涼?校考三模）-2?等于（）

A.一B.—C.4D.—4

44

【答案】D

【分析】根據有理數的乘方法則，進行計算即可.

【詳解】解：-22=-4;

故選。

【點睛】本題考查有理數的乘方運算.熟練掌握有理數的乘方法則，是解題的關鍵.

2.（2023?廣東?統考中考真題）2023年5月28日，我國自主研發的C919國產大飛機商業首航取得圓滿成

功，C919可儲存約186000升燃油，將數據186000用科學記數法表示為（）

A.0.186xl05B.1.86x10sC.18.6xl04D.186xlO3

【答案】B

【分析】科學記數法的表示形式為ax10”的形式，其中14忖＜10,〃為整數.確定”的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，w的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值大于或等于10時，

”是正整數；當原數的絕對值小于1時，〃是負整數.

【詳解】解：將數據186000用科學記數法表示為1.86x105；

故選8

【點睛】本題主要考查科學記數法，熟練掌握科學記數法的表示方法是解題的關鍵.

3.（2023秋?山東臨沂?七年級統考期末）下列各組數中互為相反數的是（）

A.-1與（-I）?8.2與3C.2與卜2|D.3?與一23

【答案】A

【分析】只有符號不同兩個數互為相反數，化簡判斷.

【詳解】4（-1）2=1,符合相反數的定義，本選項符合題意；

B.2馬g,不合題意；

C.|-2|=2,不合題意；

D.32=9,-23=-8,不合題意;

故選：A

【點睛】本題考查相反數的定義、乘方運算、絕對值的化簡，理解相關定義是解題的關鍵.

2

4.(2023春?黑龍江綏化?六年級校聯考期末)已知4個數中：(-1嚴°5,-(-1.5),_3,0,其中正數的個數

有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用乘方的意義計算出(-1產°5=_1和一手=-9,利用相反數的定義得到-(-1.5)=1.5,從而得到正

數的個數.

【詳解】解：(-1)2005=-1,-(-1-5)=1.5,-32=-9,0,

所以正數為-(-L5).

故選：A.

【點睛】本題考查了有理數的分類，涉及乘方、化簡多重符號等知識，熟練掌握相關的運算法則以及相關

概念是解題的關鍵.

5.(2023秋?廣東中山?七年級校考期末)我們規定這樣一種運算：a&b=ah-ab+\,例如：

2&3=23-2x3+1=3,那么(-3)&2值為()

A.-14B.-2C.4D.16

【答案】D

【分析】根據題意列式計算即可.

【詳解】解：(-3)&2=(-3)2-(-3)x2+l=9+6+1=16,故。正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了有理數混合運算，解題的關鍵是理解題意，列出算式，準確計算.

6.(2023,浙江溫州,校考二模)我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數

量，即"結繩計數母親甲在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子1出生后的天數,

如圖1所示，孩子1出生后的天數是1x73+3x72+2x71+4x7°=508(天)，母親乙按照母親甲的做法記錄孩

子2出生后的天數，如圖2所示，則孩子2出生后的天數比孩子1出生后的天數()

圖1圖2

A.少41天B.少42天C.多41天D多42天

【答案】A

【分析】根據已知算法求出孩子2出生后的天數，相減即可得到答案.

【詳解】解：由己知算法可知，孩子2出生后的天數是1x73+2x7?+3x71+5x7°=467（天），

■,?467-508=^11（天），

,孩子2出生后的天數比孩子1出生后的天數少41天，

故選A.

【點睛】本題考查了含乘方的有理數混合運算，理解題意，掌握"結繩計數”滿七進一的計算方法是解題關鍵.

二、填空題

7.（2023春?上海寶山?六年級校考期中）底數是-（，指數是2的暴可寫成.

【答案】

【分析】根據嘉的書寫規則即可求解.

2

【詳解】解：二?底數為-（，指數為2,

故答案為:

【點睛】本題考查了新的概念，關鍵是注意分數為底時，需要把底數加括號.

8.（2023?全國?七年級假期作業）計算：1|[=—；2^__

8__8_8

【答案】

27273

【分析】根據有理數的乘方運算法則計算即可.

故答案為：①:，②-J，③|，

【點睛】本題考查了有理數的乘方計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

9.（2023秋?重慶秀山?七年級統考期末）計算：（l-5）x

【答案】-2

【分析】先算乘方，再乘除，最后加減，計算即可.

【詳解】解：（l-5）x

=—1—1

【點睛】本題考查了有理數的混合計算，解題的關鍵是掌握有理數的運算順序，先算乘方，再乘除，最后

加減，如果有括號，先算括號里面的.

10.（2023春?上海閔行?六年級校聯考期末）4月28日，鐵路上海站迎來今年以來單日最高客流，共計發送

旅客55.8萬人次，這個數據用科學記數法表示為—人.

【答案】5.58x105

【分析】科學記數法的表示形式為。xlO”的形式，其中lV|a|<10,〃為整數.確定〃的值時，要看把原數變

成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相同.

【詳解】解:55.8萬=558000=5.58x10',

故答案為：5.58x10s.

【點睛】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axlO”的形式，其中〃為

整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.

11.（2023春?河南周口?七年級校考階段練習）若（a-2『+w+人-[=0,那么.

【答案】1

【分析】根據非負數的性質求型號。、b的值，再代入計算即可.

【詳解】解：E（?-2）2+|a+&-l|=0

團a—2=0,a+b—1=0,

解得4=2,b=-l,

所以4=（—1）2=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查非負數的性質，掌握偶次方和絕對值的非負性是解決問題的關鍵.

12.(2023?江蘇,七年級假期作業)根據如圖的程序計算，若輸入x的值為-1,則輸出y的值為

【答案】4

【詳解】解：由圖中的程序可得，

當x=-1時，2e-4=2x(-1)2-4=-2<0,

當x=-2時，2x2_4=2X(-2)2-4=4>0,

故輸出的y的值為4,

故答案為：4.

三、解答題

13.(2023?全國?九年級專題練習)計算：

⑴53；⑵I；(3)

【答案】⑴125

(2)81

【分析】根據有理數乘方運算法則計算即可.

【詳解】(1)53=5x5x5=125:

(2)(-3)4=(-3)x(-3)x(-3)x(-3)=81；

【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練運用乘方運算法則的是解本題的關鍵.

14.(2023秋?山西太原?七年級校考期末)計算：

(2)(-3+1)3+4+

【答案】⑴-6

⑵-3

【分析】(1)根據含乘方的有理數的混合運算法則計算即可；

(2)根據含乘方的有理數的混合運算法則、有理數乘法運算律計算即可.

【詳解】⑴解：一?(一3)+1=：(j=/(-8)=6

(2)解：(-3+1)3+4+［不一.］乂(一6)=(-2)3+4+；x(—6)—；x(—6),

=—8+4—3+2=-2-3+2=-3.

【點睛】本題主要考查了含乘方的有理數混合運算、有理數的乘法運算律等知識點，靈活運用運算法則是

解答本題的關鍵.

15.(2023春?浙江衢州?七年級校考階段練習)計算題，要求寫出具體計算過程:

⑵;+(2

(l)3+(-2)-H)；-)-();

43

⑶-2,+■|x(l-；)2；777

⑷百"—9"百'(—18)+百；

(5)(-6)2xQ-|y23；(6)(-1.25)x(+1^)x(-8)-32.

【答案】⑴5

⑵：

⑶T

(4)-14

(5)-14