第02講一元二次方程的解法（配方法）（3個知識點+5個考點

+2個易錯分析）

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.學會根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

2.運用開平方法解形如（x+〃）2=〃的方程.

模塊三核心考點舉一反三3.了解配方的概念，掌握運用配方法解一元二次方程

模塊四小試牛刀過關(guān)測的步驟.

4.探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，能

夠熟練地運用配方法解決有關(guān)問題.

6模塊一思維導(dǎo)圖串知識-

K具體形式）---（形如X2=p）

直接開平方法

方程的根A[x]=x=0(p=0)

（解一元二次方程y無實數(shù)根（P<O））

一般形式

>形如(x+n)2=p

配方得完全平方式

配方法

無實數(shù)根（p<0））

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理-----------------------------

知識點1：直接配平方法

形如f=p或（”x+m）2=p"2）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成，=°的形式，那么可得苫=土丘；

如果方程能化成（nx+m）~—p（p'O）的形式，那么

注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù).

②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

知識點2：配方法

（1）將一元二次方程配成（X+機）2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法.

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(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為。f+bx+c=O(aWO)的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方

程無實數(shù)解.

要點詮釋：

(1)配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；

(2)配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.

(3)配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a2±2ab+b2=(a+bf.

知識點3：配方法的應(yīng)用

1.用于比較大小：

在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比較出

大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?,左邊配成完全平方式后，再運用非負數(shù)的性質(zhì)求出待定字母

的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大(小)值時的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值.

4.用于證明：

“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學習二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的

應(yīng)用.

要點詮釋：

“配方法”在初中數(shù)學中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常

用技巧，是挖掘題目當中隱含條件的有力工具，同學們一定要把它學好.

6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點1：用直接開平方法解一元二次方程

【例1】(1)4/=9；(2)(x+3)2—2=0.

【變式IT】解方程(x-3)J49.

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【變式1-2］解關(guān)于x的方程：V2（2X-5）2=9A/2.

【變式1-3］解關(guān)于x的方程：4（2X-5）2=9（3X-1）2.

「方法急結(jié)「由工市而廨法可以看正「二元三及方福豆逋汪犀灰：杷二元三茨為灌展花為二元工茨萬窿隸麓豺:

|這是解一元二次方程的基本思想；一般地，對于形如/=a（a^O）的方程，根據(jù)平方根的定義，可解得x、=G，

I

|x2=~\fa.

L一著點萬「直接并年方法的應(yīng)用

h

［例2］若一元二次方程ae=b（ab>0）的兩個根分別是ffl+1與2R—4,貝哈=.

a

【變式2-1】若一元二次方程（a+2）x-ax+a"—4=0的一個根為0,貝>］a=.

【變式2-2】某工廠今年1月份產(chǎn)品數(shù)是50萬件，要求3月份達到60.5萬件，求這個工廠2月份和3月份的

月平均增長率.

【變式2-2］有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm,寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形

的面積之和的正方形，邊長應(yīng)為多少厘米？

「否法總結(jié)「云福泥寫串藥瓶看親而宴驚問融軒「窿亍根攙函烹廨面環(huán)「看好銃更給否賣樂「托舉于版》示

|符合實際情況的負值舍去.

「著點看「前方

【例3】用配方法解一元二次方程4x=5時，此方程可變形為（）

A.(x+2)'=lB.(X-2)2=1

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C.（X+2）2=9D.（X-2）2=9

【變式3-1L（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習）解一元二次方程V-6x-4=0，配方后得到（》-3）2=p,

貝壯的值是（）

A.13B.9C.5D.4

【變式3-2］（23-24九年級上?海南省直轄縣級單位?期末）已知/-8x+15=0,左邊化成含有x的完全平

方形式，其中正確的是（）

A.X2-8X+42=31B./-"+42=1

C.x2+8x+42=1D.X2-4X+4=-11

【變式3-3］（23-24九年級上?貴州貴陽?期末）一元二次方程/+以+1=0配方后可變形為（x+27=4,則

左的值是（）

A.3B.2C.1D.0

「方法總結(jié)丁麗麗藥走殍二元三改工嚏變函函二藤函彝「一⑴市褚莪所花劉等吾的若五「便方程的深質(zhì)雙南示一

I

|二次項和一次項；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

」至瓦41再而方法解二元三次行程

【例4】用配方法解方程：*_4x+l=0.

【變式4-1】用配方法解方程:x2+2mx-m2=0.

【變式4-2】用配方法解方程:「一4A-2013=0.

【變式4-3】用配方法解方程:0.3%2—0.2xH......—0.

30

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i方法總結(jié)：用配方法解一元二次方程，實質(zhì)上就是對一元二次方程變形，轉(zhuǎn)化成開平方所需的形式.

J著點一而方法的應(yīng)再

【例5】己知：/+4x+/—6y+13=0,求不衛(wèi)的值.

x+y

【變式5-1】已知。2+"—2。+66+10=0,求2七1°°—30T的值.

【變式5-2］用配方法說明：代數(shù)式X2+8X+17的值總大于0.

【變式5-3］證明關(guān)于x的方程(君一8〃+17)*+2%+1=0不論〃為何值時，都是一元二次方程.

易錯點1混淆方程配方與代數(shù)式配方

若把代數(shù)式/-2x-3化為(x-/)2-左的形式，其中加、左為常數(shù)，則機+左=

易錯點2配方時，沒有進行恒等式變形而導(dǎo)致錯誤

如何用配方法解方程2-+2x-4=0

6模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

一、單選題

1.(23-24九年級上?貴州畢節(jié)?期末)用配方法解方程/-4x=l,配方后結(jié)果正確的是()

A.(x-2)z=3B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x+2)2=5

2.(23-24九年級上?廣東廣州?階段練習)請同學們借助所學知識確定代數(shù)式/+2x+3有最大值還是最小

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值，是多少（）

A.有最小值是2B.有最大值是2C.有最小值是6D.有最大值是6

3.（23-24九年級上?河南鄭州?期末）下面是小明用配方法解方程：/+8尤-9=0的過程的一部分，橫線上

應(yīng)填寫（）.

第一步：把常數(shù)項移到方程的右邊，得：X2+8X=9

第二步：兩邊都加

A.22B.42C.82D.92

4.（23-24九年級上?江蘇宿遷?期中）關(guān)于x的一元二次方程新定義:若關(guān)于x的一元二次方程：4（x-"，）2+"=0

與。2（工-機）2+〃=0,稱為“同族二次方程”.如2（x-3y+4=0與3（x-3y+4=0就是，同族二次方程”.現(xiàn)有關(guān)于x

的一元二次方程：2（丫-1丫+1=0與（a+2）/+0-4）x+8=O是“同族二次方程”.那么代數(shù)式

-ax?+6x+2015取的最大值是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

二、填空題

5.（23-24九年級上?湖北隨州?期末）用配方法解一元二次方程--2式-5=0時，將它化為（x+ap=6的形

式，則。+6的值為.

6.（23-24九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）用配方法解方程/-4尤+3=0,可以將其變形為+=左（〃、k為

常數(shù)）的形式，貝！U=.

7.（23-24九年級上?四川成都?階段練習）已知尤2-2尤-2=0,代數(shù)式（了-丁+2019=.

8.（23-24九年級上?遼寧丹東?期末）若關(guān)于了的一元二次方程/+4y+3=0,通過配方法可以化成

（＞+。）2=6的形式，貝!|。+6=.

9.（23-24九年級上?江蘇蘇州?階段練習）己知實數(shù)私“滿足機-/=2,則代數(shù)式/+4/+4/-1的最小值

等于.

10.（23-24九年級上?湖南郴州?階段練習）觀察下列圖形，第1個圖形中一共有4個小圓圈，第2個圖形

中一共有10個小圓圈，第3個圖形中一共有18個小圓圈，…，第個圖形中一共有130個小圓圈……

11.（23-24九年級上?河北邯鄲?期中）已知關(guān)于x的方程/-2五-4=0,方程的解是.

12.（23-24九年級上?江蘇宿遷?期中）已知代數(shù)式/=x2+10x+20,則/的最小值為

三、解答題

13.（23-24九年級上?海南省直轄縣級單位?期末）用配方法解方程：

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7

(l)x2+4x=2;(2)x7—3x——=0；

(3)4X2-8X=-3;(4)4X2+4X+10=1-8X

14.(23-24九年級上?吉林長春?期末)閱讀材料，并回答問題.

小明在學習一元二次方程時，解方程2——8x+5=0的過程如下：

2X2-8X+5=0.

2X2-8X=-5.①

x2-4x=——.(2)

2

x2-4x+4=--+4.(3)

2

(^-2)2=|.④

x-2巫.⑤

2

x=2+爭(6)

問題：

(1)上述過程中，從一步開始出現(xiàn)了錯誤(填序號)；

(2)發(fā)生錯誤的原因是：；

(3)寫出這個方程的解：.

15.(22-23七年級下?江蘇蘇州?期末)閱讀與思考：

【閱讀材料】我們把多項式Y(jié)+29+。2及02一2必+62叫做完全平方公式.如果一個多項式不是完全平方公

式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項.使整個式子的

值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小

值.

例如：求代數(shù)式X2+2X-4的最小值.

x?+2x—4=(x?+2x+1)—5=(x+1)~—5,可知當x=—1時，x2+2x-4有最小值，最小值是一5.

再例如：求代數(shù)式-3/+6尤-4的最大值.

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—3x?+6x—4=—3(x2—2尤+1)—4+3=—3(x—1)—1.可知當x=l時，—3x?+6x—4有最大值.最大值是-1.

(1)【直接應(yīng)用】代數(shù)式f+4x-3的最小值為;

⑵【類比應(yīng)用】若多項式M=/+〃-2a+46+2023,試求”的最小值；

(3)【知識遷移】如圖，學校打算用長20米的籬笆圍一個長方形的菜地，菜地的一面靠墻(墻足夠長)，求

圍成的菜地的最大面積.

菜地

16.(23-24九年級上?江西九江?階段練習)【課本再現(xiàn)】

材料一：解方程：x2+8x-9=0.

解：把常數(shù)項移到方程的右邊，得x?+8尤=9.

兩邊都加4?,得Y+8X+42=9+42,BP(x+4)2=25.

兩邊開方，得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5,

所以再=1,%=-9.

在上例中，我們通過配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配

方法.

材料二：對于某些二次三項式也可以通過配方，利用完全平方式的非負性解決其最值問題.

例如：x2-6x+10=(/-6尤+9)—9+10=(》一3『+1.

(x-3)2>0,

.,.(X-3)2+1>1,即/-6x+10有最小值1.

【嘗試運用】

(1)解一元二次方程/-4x-2=0,配方后可變形為()

A.(x-4)2=8B.(x-4)2=6C.(x-2)2=2D.(x-2)2=6

(2)利用配方法求-法-6x+5的最值.

【拓展應(yīng)用】

(3)已知方程/+/+2x-4y+5=0,求(x-2)"的值.

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17.(23-24九年級上?山西臨汾?期末)下面是小明解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：3X2+12X-9=0

二次項系數(shù)化為1,得/+以-3=0第一步

移項，得尤2+4尤=3第二步

配方，得/+4x+16=3+16,即(x+4)2=19第三步

由此，可得x+4=±Ji?第四步

=y/19-4,x2=-A/19-4第五步

任務(wù)一：填空：

①上述小明同學的解法中運用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，此過程所體現(xiàn)的數(shù)學

思想是，其中，“配方法”所依據(jù)的數(shù)學公式是;

②“第二步，，變形的數(shù)學依據(jù)是；

③小明同學解題過程中，從第步開始出現(xiàn)錯誤，請直接寫出正確的結(jié)果；

任務(wù)二：請你運用“配方法”解一元二次方程：3X2+8X-3=0.

18.(23-24九年級上?河北滄州?期中)【項目學習】配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法.它是指將一個

式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變

形中，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等.

例：求代數(shù)式/+4y+8的最小值.

解：/+4y+8=「+4了+4+4=(>+2)2+4,