第24頁（共24頁）第二十八章A卷一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?海門區(qū)期末）如圖所示，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）A．55 B．33 C．22 2．（2024秋?泉港區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列結(jié)論中正確的是（）A．cosA=ab B．cosA=ac C3．（2024秋?濟(jì)南期末）已知∠α為銳角，且cosα=32A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2024秋?碑林區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，AC＝13，則sinA＝（）A．135 B．1213 C．513 5．（2024秋?晉江市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，則cosA的值為（）A．817 B．1517 C．815 6．（2024秋?溫江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，下列結(jié)論正確的是（）A．tanA=512 B．tanB=125 C7．（2024秋?包河區(qū)期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點在格點上，則cosA＝（）A．43 B．34 C．45 8．（2024秋?蘇州期末）在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，則sinB的值是（）A．34 B．43 C．35 9．（2024秋?西山區(qū)校級期末）如圖，云南省博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．2sinα米 D．210．（2024秋?新城區(qū)期末）計算4tan45°的值為（）A．4 B．22 C．2 D．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?南岸區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，點E是AC的中點，若AB＝10，BD＝8，且tan∠EDC＝3，則DE的長是．12．（2024秋?蜀山區(qū)校級期末）小明沿坡比為i=43的山坡向上走了15米，那么他沿著垂直方向升高了13．（2024秋?井陘礦區(qū)期末）如圖，某河堤的橫斷面是梯形ABCD，BC∥AD，已知背水坡CD的坡度i＝1：2.4，CD長為13米，則河堤的高BE為米．14．（2024秋?郫都區(qū)期末）計算：tan45°2sin45°-115．（2024秋?興慶區(qū)校級期末）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB等于．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?鹿城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為邊BC上的一點，BC＝6，tanB=（1）求AC的長．（2）若AC﹣CD＝2，求sin∠CAD的值．17．（2024秋?鄠邑區(qū)期末）計算：2sin30°+cos60°﹣tan60°?tan30°+cos245°．18．（2024秋?大連期末）大連森林動物園坐落于大連市南部海濱白云山風(fēng)景區(qū)內(nèi)，如圖1是大連森林動物園內(nèi)的海達(dá)索道，大連能看到海的索道．如圖2是從蓮花山觀景臺到南門一段索道的示意圖，點A為蓮花山觀景臺，點B是海達(dá)索道在南門的停靠點．從山腳D處看A處的仰角為60°，從A處看B處的俯角為21°，點A與點D之間的距離AD＝300m，點B到山腳的距離BC＝40m．（1）求點A到山腳CD的距離；（2）求AB的長（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38，3≈1.719．（2024秋?金鳳區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是某公園的一塊空地，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3m，AD＝10m，CD＝8m，現(xiàn)計劃在該空地上種植草皮，若每平方米草皮需100元，則在該空地上種植草皮共需多少元？（3≈1.720．（2024秋?渦陽縣期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）求證：sin2A+cos2A＝1；（2）若sinA+cosA=43，求sinA?cos21．（2024秋?道外區(qū)期末）周末小紅一家去動物園玩．根據(jù)圖回答問題．（1）袋鼠館在熊貓館東偏南40°方向上，距離是米．（2）鹿園在熊貓館偏方向上，距離是100米．（3）小紅一家以50米/分鐘的速度從猴山經(jīng)熊貓館步行到大象館，大約需要幾分鐘？22．（2024秋?蘭州期末）圖①所示的是某超市入口的雙翼閘門，如圖②，當(dāng)它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為7cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝80cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度．23．（2024秋?福田區(qū)期末）如圖，已知斜坡AB長為60米，坡角（即∠BAC）為30°，BC⊥AC，現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體（用陰影表示），修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角為45°，求平臺DE的長；（結(jié)果保留根號）（2）一座建筑物GH距離A處30米遠(yuǎn)（即AG為30米），小明在D處測得建筑物頂部H的仰角（即∠HDM）為30°，點B、C、A、G、H在同一個平面內(nèi)，點C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（結(jié)果保留根號）

第二十八章A卷參考答案與試題解析題號12345678910答案ADACADDCAA一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?海門區(qū)期末）如圖所示，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）A．55 B．33 C．22 【考點】解直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】連接CE，則CE⊥AB，根據(jù)勾股定理求出CA，在Rt△AEC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出即可．【解答】解：如圖所示：連接CE，則CE⊥AB．根據(jù)圖形可知：BC＝2，∠BEC＝∠AEC＝90°，∴BE＝EC=2，∠EBC＝∠ECB＝45∵AC=3∴sinA=CE故選：A．【點評】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．2．（2024秋?泉港區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列結(jié)論中正確的是（）A．cosA=ab B．cosA=ac C【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)正切與余弦的定義，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=bc，tanA故選：D．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切與余弦的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?濟(jì)南期末）已知∠α為銳角，且cosα=32A．30° B．45° C．60° D．75°【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解決問題即可．【解答】解：∵∠α為銳角，且cosα=3∴∠α＝30°．故選：A．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?碑林區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，AC＝13，則sinA＝（）A．135 B．1213 C．513 【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】C【分析】正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：sinA=BC故選：C．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?晉江市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，則cosA的值為（）A．817 B．1517 C．815 【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求得AB的值，然后根據(jù)余弦的定義即可求解．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB=AC∴cosA=AC故選：A．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理是正確解答的前提．6．（2024秋?溫江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，下列結(jié)論正確的是（）A．tanA=512 B．tanB=125 C【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】D【分析】先利用勾股定理計算出AB，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義對各選項進(jìn)行判斷．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB=52∴sinA=BCAB=1213，cosB=BCAB=12故選項D符合題意．故選：D．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義的關(guān)鍵．7．（2024秋?包河區(qū)期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點在格點上，則cosA＝（）A．43 B．34 C．45 【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】D【分析】利用勾股定理得出AC的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴AC=32∴cosA=AB故選：D．【點評】此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．（2024秋?蘇州期末）在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，則sinB的值是（）A．34 B．43 C．35 【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sinB=AC故選：C．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?西山區(qū)校級期末）如圖，云南省博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．2sinα米 D．2【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】直接根據(jù)sinα=【解答】解：AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，∴在Rt△ABC中，sinα=∴BC＝12sinα（米）．故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角形函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．10．（2024秋?新城區(qū)期末）計算4tan45°的值為（）A．4 B．22 C．2 D．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【專題】計算題；運算能力．【答案】A【分析】直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝4×1＝4．故選：A．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?南岸區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，點E是AC的中點，若AB＝10，BD＝8，且tan∠EDC＝3，則DE的長是10．【考點】解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】10．【分析】根據(jù)勾股定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出AD＝6，DE=12AC＝CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠EDC＝∠【解答】解：∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝10，BD＝8，∴AD=AB在Rt△ACD中，點E是AC的中點，∴DE=12AC＝∴∠EDC＝∠C，∵tan∠EDC＝3，∴tanC＝3，∴ADCD=∴CD＝2，∴AC=AD2∴DE=10故答案為：10．【點評】此題考查了解直角三角形，熟記勾股定理及銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?蜀山區(qū)校級期末）小明沿坡比為i=43的山坡向上走了15米，那么他沿著垂直方向升高了【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】12．【分析】設(shè)他沿著垂直方向升高了4x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出他行走的水平寬度，再根據(jù)勾股定理列式計算．【解答】解：設(shè)他沿著垂直方向升高了4x米，∵斜坡的坡比i=4∴他行走的水平寬度為3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝152，解得：x＝3（負(fù)值舍去），則他沿著垂直方向升高了12米，故答案為：12．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?井陘礦區(qū)期末）如圖，某河堤的橫斷面是梯形ABCD，BC∥AD，已知背水坡CD的坡度i＝1：2.4，CD長為13米，則河堤的高BE為5米．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】在Rt△ABE中，根據(jù)tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例關(guān)系，進(jìn)而由勾股定理求得BE、AE的長，由此得解．【解答】解：作CF⊥AD于F點，則CF＝BE，∵CD的坡度i＝1：2.4＝CF：FD，∴設(shè)CF＝5x，則FD＝12x，由題意得CF2+FD2＝CD2即：（5x）2+（12x）2＝132∴x＝1，∴BE＝CF＝5故答案為5．【點評】本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的應(yīng)用．14．（2024秋?郫都區(qū)期末）計算：tan45°2sin45°-1=【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】2+1【分析】把tan45°＝1，sin45°=2【解答】解：∵tan45°＝1，sin45°=2∴原式==1=2+故答案為：2+1【點評】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的關(guān)鍵．15．（2024秋?興慶區(qū)校級期末）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB等于55【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】55【分析】在Rt△COD中，先利用勾股定理求出OC的長，然后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：如圖：在Rt△COD中，OD＝1，CD＝2，∴OC=O∴cos∠AOB=OD故答案為：55【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?鹿城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為邊BC上的一點，BC＝6，tanB=（1）求AC的長．（2）若AC﹣CD＝2，求sin∠CAD的值．【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】（1）4；（2）55【分析】（1）根據(jù)正切定義求解即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AD＝25，再根據(jù)正弦定義求解即可．【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanB=∴ACBC∴AC＝4；（2）∵AC＝4，AC﹣CD＝2，∴CD＝2，∴AD=AC2∴sin∠CAD=CD【點評】此題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．17．（2024秋?鄠邑區(qū)期末）計算：2sin30°+cos60°﹣tan60°?tan30°+cos245°．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】1．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算得到答案．【解答】解：2sin30°+cos60°﹣tan60°?tan30°+cos245°＝2×12+1＝1+12＝1．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18．（2024秋?大連期末）大連森林動物園坐落于大連市南部海濱白云山風(fēng)景區(qū)內(nèi)，如圖1是大連森林動物園內(nèi)的海達(dá)索道，大連能看到海的索道．如圖2是從蓮花山觀景臺到南門一段索道的示意圖，點A為蓮花山觀景臺，點B是海達(dá)索道在南門的停靠點．從山腳D處看A處的仰角為60°，從A處看B處的俯角為21°，點A與點D之間的距離AD＝300m，點B到山腳的距離BC＝40m．（1）求點A到山腳CD的距離；（2）求AB的長（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38，3≈1.7【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】（1）255米；（2）597米．【分析】（1）過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥AE于點F，由題意知：AD＝300m，BC＝EF＝40m，∠ADE＝60°，∠BAG＝∠ABF＝21°，在Rt△ADE中，根據(jù)sin∠ADE=AEAD即可求出（2）首先求出AF，在Rt△ABF中，根據(jù)sin∠ABF=AFAB即可求出【解答】解：（1）過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥AE于點F，由題意知：AD＝300m，BC＝EF＝40m，∠ADE＝60°，∠BAG＝∠ABF＝21°，在Rt△ADE中，sin∠ADE=AE∴AE＝AD?sin60°＝300×32≈255答：點A到山腳CD的距離為255米；（2）∵AE＝1503m，EF＝40m，∴AF＝AE﹣EF＝1503-40（m在Rt△ABF中，sin∠ABF=AF∴AB=AFsin21°≈答：AB的長為597米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2024秋?金鳳區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是某公園的一塊空地，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3m，AD＝10m，CD＝8m，現(xiàn)計劃在該空地上種植草皮，若每平方米草皮需100元，則在該空地上種植草皮共需多少元？（3≈1.7【考點】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】在該空地上種植草皮大約需要3165元．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AC2-AB2，進(jìn)而推出△ACD是直角三角形，S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD=1【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，∴AC＝2AB＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=A∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12×3×33+∴種植草皮所需金額為：100×（932+24）＝4503+∴在該空地上種植草皮大約需要3165元．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和逆定理．20．（2024秋?渦陽縣期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）求證：sin2A+cos2A＝1；（2）若sinA+cosA=43，求sinA?cos【考點】同角三角函數(shù)的關(guān)系．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】（1）證明過程見解答；（2）718【分析】（1）根據(jù)正弦、余弦的定義和勾股定理證明即可；（2）將sinA+cosA=43兩邊同時平方并將左邊展開，將（【解答】（1）證明：∵sinA=BCAB，cosA∴sin2A+cos2A=B∵∠C＝90°，∴根據(jù)勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，∴sin2A+cos2A＝1．（2）解：∵sinA+cosA=4∴（sinA+cosA）2＝（43）2，即sin2A+cos2A+2sinA?cosA=∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sinA?cosA=16∴sinA?cosA=7【點評】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握正弦、余弦的定義是本題的關(guān)鍵．21．（2024秋?道外區(qū)期末）周末小紅一家去動物園玩．根據(jù)圖回答問題．（1）袋鼠館在熊貓館東偏南40°方向上，距離是150米．（2）鹿園在熊貓館西偏北30°方向上，距離是100米．（3）小紅一家以50米/分鐘的速度從猴山經(jīng)熊貓館步行到大象館，大約需要幾分鐘？【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】（1）150；（2）西；北；30°；（3）7分鐘．【分析】（1）根據(jù)每個單位長度是50米解答；（2）根據(jù)方位圖解答；（3）求出從猴山經(jīng)熊貓館到大象館的距離，根據(jù)時間=距離【解答】解：（1）袋鼠館在熊貓館東偏南40°方向上，距離是150米，故答案為：150；（2）鹿園在熊貓館西偏北30°方向上，距離是100米，故答案為：西；北；30°；（3）小紅一家以50米/分鐘的速度從猴山經(jīng)熊貓館步行到大象館，大約需要：（50×4+50×3）÷50＝7（分鐘）．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．22．（2024秋?蘭州期末）圖①所示的是某超市入口的雙翼閘門，如圖②，當(dāng)它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為7cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝80cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度．【考點】解直角三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，過點A作AE⊥CP于點E，過點B作BF⊥DQ于點F，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)，求解AE，BF，從而可得答案．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥CP于點E，過點B作BF⊥DQ于點F，∵在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，∴AE=同理可得，BF＝40cm，又∵雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為7cm，∴40+7+40＝87（cm）∴當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為87cm．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．23．（2024秋?福田區(qū)期末）如圖，已知斜坡AB長為60米，坡角（即∠BAC）為30°，BC⊥AC，現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體（用陰影表示），修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角為45°，求平臺DE的長；（結(jié)果保留根號）（2）一座建筑物GH距離A處30米遠(yuǎn)（即AG為30米），小明在D處測得建筑物頂部H的仰角（即∠HDM）為30°，點B、C、A、G、H在同一個平面內(nèi)，點C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（結(jié)果保留根號）【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【答案】（1）(153-（2）（30+103）米．【分析】（1）求出∠BEF＝45°，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）過點D作DP⊥AC，垂足為P．求出DP的長，根據(jù)三角函數(shù)定義求出HM即可解決問題．【解答】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角為45°，∴∠BEF＝45°，∵∠DAC＝∠BDF＝30°，AD＝BD＝30米，∴BF=EF=∴DE=∴平臺DE的長為(153-（2）過點D作DP⊥AC，垂足為P．在Rt△DPA中，DP=∴PA=∴在矩形DPGM中，MG＝DP＝15米，DM＝PG＝PA+AG＝153+30在Rt△DMH中，HM=則GH＝HM+MG＝15+103+15＝30+103答：建筑物GH的高度為（30+103）米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．3．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．4．銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對邊除以斜邊=a（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊=b（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊=a（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．5．同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA=