整式乘除與因式分解

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1、單項(xiàng)式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項(xiàng)式的次數(shù)。如：2a2bc的系數(shù)為2，次數(shù)為4，單獨(dú)的一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0。

2、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)。

如：a22abx1，項(xiàng)有a2、2ab、x、1，二次項(xiàng)為a2、2ab，一次項(xiàng)為x，常數(shù)項(xiàng)為1，各項(xiàng)次數(shù)分別為2，2，1，0，系數(shù)分別為1，-2，1，1，叫二次四項(xiàng)式。

3、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)整式。

注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。

4、多項(xiàng)式按字母的升（降）冪排列：

如：x32x2y2xy2y31

按x的升冪排列：12y3xy2x2y2x3

按x的降冪排列：x32x2y2xy2y31

按y的升冪排列：1x3xy2x2y22y3

按y的降冪排列：2y32x2y2xyx31

5、同底數(shù)冪的乘法法則：aaamnmn（m,n都是正整數(shù)）

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。

如：(ab)(ab)(ab)

6、冪的乘方法則：(a)amnmn235（m,n都是正整數(shù)）

5210冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：(3)3

冪的乘方法則可以逆用：即a

如：4(4)(4)

7、積的乘方法則：(ab)ab（n是正整數(shù)）nn62332mn(a)(a)mnnm

積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。

如：（2xyz)=(2)(x)(y)z32xyz32553525515105

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8、同底數(shù)冪的除法法則：amanamn（a0,m,n都是正整數(shù)，且mn)

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：(ab)4(ab)(ab)3a3b3

9、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；

a

a01，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。1

app（a0,p是正整數(shù)），即一個(gè)不等于零的數(shù)的p次方等于這個(gè)數(shù)的p次方的

倒數(shù)。如：23()32118

10、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

注意：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。

②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則。

③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式

④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。

⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。

如：2x2y3z3xy

11、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是單項(xiàng)式)

注意：

①積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。

③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類(lèi)項(xiàng)的要合并同類(lèi)項(xiàng)。]

如：2x(2x3y)3y(xy)

12、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則；

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。如：(3a2b)(a3b)

(x5)(x6)

13、平方差公式：(ab)(ab)ab注意平方差公式展開(kāi)只有兩項(xiàng)

公式特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。

如：(xyz)(xyz)

14、完全平方公式：(ab)a2abb22222

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公式特征：左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊有三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍。

注意：

ab2222(ab)2ab(ab)2ab

22(ab)(ab)4ab

(ab)[(ab)](ab)(ab)[(ab)](ab)222222

完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2倍。

15、三項(xiàng)式的完全平方公式：

(abc)abc2ab2ac2bc2222

16、單項(xiàng)式的除法法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式

如：7a2b4m49a2b

17、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。即：(ambmcm)mammbmmcmmabc

18、因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

三、知識(shí)點(diǎn)分析：

1.同底數(shù)冪、冪的運(yùn)算：

am·an=am+n(m，n都是正整數(shù)).

(am)n=amn(m，n都是正整數(shù)).

例題1.若2

例題2.若52x1a264，則a=；若273(3)，則n=.n8125，求(x2)

3n2009x的值。例題3.計(jì)算x2y

練習(xí)

1.若a2n2yx2m3，則a6n

2.設(shè)4x=8y-1,且9y=27x-1,則x-y

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2.積的乘方

(ab)n=anbn(n為正整數(shù)).積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.例題1.計(jì)算：nm3mnnmpp4

3.乘法公式

平方差公式：ababa2b2

完全平方和公式：aba22abb22

完全平方差公式：aba22abb22

例題1.利用平方差公式計(jì)算：2009×2007－2008

例題2.利用平方差公式計(jì)算：

例題3.利用平方差公式計(jì)算：

例題4.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

20072220072007200820062．200820061．

變式練習(xí)

1．廣場(chǎng)內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方

向要加長(zhǎng)3米，則改造后的長(zhǎng)方形草坪的面積是多少？

2.（3+1）（3+1）（3+1）…（3242008+1）－34016

2．

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3.已知x

4、已知(xy)216,(xy)2＝4，求xy的值

5.如果a2＋b2－2a＋4b＋5＝0，求a、b的值

6.試說(shuō)明

（1）兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)

（2）若a為整數(shù)，則a3a能被6整除

7.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加4cm，面積就增加56cm，求原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)

1x2,求x21x2的值

4.單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘除運(yùn)算

（1）（a－1

6b）（2a＋1

3b）（3a2＋1

12b2）；

222（2）[（a－b）（a＋b）]÷（a－2ab＋b）－2ab．

（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．

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5.因式分解：

1.提公因式法：式子中有公因式時(shí)，先提公因式。

例1把2ax10ay5bybx分解因式．分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式2a與b，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x5y，這樣可以繼續(xù)提取公因式．

解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab)

說(shuō)明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試．

例2把a(bǔ)b(c2d2)(a2b2)cd分解因式．分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式．

解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd

(abcacd)(bcdabd)2222ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

說(shuō)明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律．由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用．

2.公式法：根據(jù)平方差和完全平方公式

例題1分解因式9x25y

3.配方法：

例1分解因式x6x16

解：x6x16x2x33316(x3)5

(x35)(x35)(x8)(x2)222222222

說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解．當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)．

4.十字相乘法：

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（1）．x2(pq)xpq型的因式分解

這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：

(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．

22x(pq)xpqxpxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)因此，x2(pq)xpq(xp)(xq)

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．

例1把下列各式因式分解：(1)x27x6(2)x213x36

解：(1)6(1)(6),(1)(6)7

x27x6[x(1)x][(6)]x(2)3649,4913x213x36x(4x)(9)(x1．)(6)

說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同．

例2把下列各式因式分解：(1)x25x24(2)x22x15

解：(1)24(3)8,(3)85

x25x24x[(3)x](8)x(x3)(8)(2)15(5)3,(5)32x22x15x[(5)x](3)x(x5)(3)

說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同．

例3把下列各式因式分解：(1)xxy6y2222(2)(xx)8(xx)122222分析：(1)把xxy6y看成x的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是6y，一次項(xiàng)系數(shù)是y，把6y分解成3y與2y的積，而3y(2y)y，正好是一次項(xiàng)系數(shù)．2

(2)由換元思想，只要把xx整體看作一個(gè)字母a，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解

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二次三項(xiàng)式a28a12．

解：(1)x2xy6y2x2yx62(x3y)(x2y)

(2)(x2x)28(x2x)12(x2x6)(x2x2)

(x3)(x2)(x2)(x1)

（2）．一般二次三項(xiàng)式ax2bxc型的因式分解

大家知道，(a1xc1)(a2xc2)a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2．反過(guò)來(lái)，就得到：a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，把a(bǔ)1,a2c,1c,2

寫(xiě)成a1c1，

a2

c2

這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．

這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解．

例4把下列各式因式分解：

(1)12x25x2

(2)5x26xy8y2

解：(1)12x5x2(3x2)(4x1)

2

3415

212y

4y

(2)5x6xy8y(x2y)(5x4y)

22

說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)．

練習(xí)

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1、已知2xy1

3，xy2，求2x4y3x3y4的值。

2、若x、y互為相反數(shù)，且(x2)2(y1)24，求x、y的值

提高練習(xí)

1．（2x2－4x－10xy）÷（）＝15

2x－1－2y．

2．若x＋y＝8，x2y2＝4，則x2＋y2＝_________．

3．代數(shù)式4x2＋3mx＋9是完全平方式則m＝___________．

4．（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于……………（

（A）a4－1（B）a4＋1（C）a4＋2a2＋1（D）1－a4

5．已知a＋b＝10，ab＝24，則a2＋b2的值是…………………（

（A）148（B）76（C）58（D）52

6．（2）（x22

4＋3y）2－（x

4－3y）；（2）（x－2x－1）（x2＋2x－1）；

7．（1－1

22）（1－132）（1－11142）…（1－92）（1－102）的值．

8．已知x＋1

x＝2，求x2＋1

x2，x4＋1x4的值．

2

9．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代數(shù)式ab2

2－ab的值．

10．若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展開(kāi)后不含x2，x3項(xiàng)，求p、q的值．

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《整式的乘除與因式分解》單元試題

一、選擇題：（每小題3分，共18分）

1、下列運(yùn)算中，正確的是()

A.x2·x3=x6B.(ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2D.（x3）2=x5

2、下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）（A）（C）

3、下列各式是完全平方式的是（A、

B、

（B）

（D））

D、

C、

4、下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）（A）

（B）

（C）

（D）

5、如(x+m)與(x+3)的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為（）

A.–3

B.3

C.0