綜合專題講解第六章

幾何圖形初步

助力教學僅限個人使用，專題目錄專題一：正方體的展開與折疊問題專題四：動角問題專題二：動點問題專題三：三角板與鐘表中的角度問題

助力教學僅限個人使用，◆類型一找相對面問題一、回顧知識點

專題一：正方體的展開與折疊問題“一”字形“Z”字形

助力教學僅限個人使用，例1(廣東韶關期末)

如圖，是正方體的一種展開圖，其每個面上都標有一個漢字，則在原正方體中，與“若”字相對的面上的漢字是

(

)A.

有

B.

必C.

召

D.

回B若有戰召必回

助力教學僅限個人使用，練一練1.

(重慶巴蜀中學期末)

如下圖，若要使圖中的平面展開圖折疊成正方體后，相對面上兩個數互為相反數，則

x

-

y=_____.123xy2分析：x=-1，y=-3，所以x

-

y=2.

助力教學僅限個人使用，◆類型二展開圖與正方體對應問題例2

如圖所示，正方體的展開圖為( )A. B.C. D.<○=<○=<○=<○=A開口部分對著圓

助力教學僅限個人使用，練一練2.下面是一個正方體的展開圖，折疊后的正方體是( )A. B.C. D.B每條線都指著三角形每條線不相連總結找重合的邊，注意每一面的圖案方向.

助力教學僅限個人使用，專題二：動點問題◆類型一無速度動點問題例3

如圖，已知

B

是線段

AC

上的一點，M

是線段

AB

的中點，N

是線段

AC

的中點，P

為

NA

的中點，Q

是

AM

的中點，則

BN∶PM

等于

(

)A.

1

B.

2

C.

3

D.

4ACBMNPQxx2xyy2y分析：BN=AB

-

AN=4x

-2yPM=AM

-

AP=2x

-

yB

助力教學僅限個人使用，例4

如圖，O

為原點，A表示的數為

-1，B

表示的數為3，數軸上有一點

P，若

AP+BP=5，求

P

點表示的數.AOB-13PPP解：因為

A表示的數為

-1，B

表示的數為3，①當點

P

在點

A

左邊時，AP+BP=AP+AB+AP=AB+2AP=5，所以

AB=3-(-1)=4.②當點

P

在點

A、B

中間時，AP+BP=AB=4(舍)解得

AP=0.5，所以

P

表示的數為

-1.5.③當點

P

在點

B

右邊時，同理可得

P

表示的數為3.5.綜上所述，P點表示的數為

-1.5或3.5.

助力教學僅限個人使用，AOB-13解：設

P點表示的數為

x.因為A表示的數為

-1，B

表示的數為3，所以

AP=|x

-(-1)|=|x+1|，BP=|x

-3|.因為

AP+BP=5，所以|x+1|+|x

-3|=5，解得

x=-1.5或

x=3.5.所以，P

點表示的數為

-1.5或3.5.

助力教學僅限個人使用，總結未告訴速度的動點問題問題特征：點的位置不確定或任意方法：①幾何法：畫圖并分類討論將線段長設為未知量②數軸法：將點所表示的數設為未知量

助力教學僅限個人使用，練一練3.如圖，點

C、D

是線段

AB

上任意兩點，點

M

是

AC

的中點，點

N

是

DB

的中點，若

AB

=

a，MN

=

b，則線段

CD

的長是

(

)A.

2b

-

a

B.

2(a

-

b)

C.

a

-

b

D.

(a+b)ABCDNMA分析：CM+DN=AM+BN=AB

-

MN=a

-

b，CD=MN

-(CM+DN)=b

-(a

-

b)=2b

-

a.

助力教學僅限個人使用，◆類型二有速度動點問題例5

如圖，P

是線段

AB

上任一點，AB=12

cm，AP

=

8cm，C、D

兩點分別從

P、B

同時向

A

點運動，且

C

點的運動速度為

2

cm/s，D

點的運動速度為

3

cm/s，運動的時間為

ts.(1)

運動

1

秒后，求

CD

的長；ABPDC追及問題解：因為

AB=12cm，AP

=

8cm，所以

CD=4-(3-2)×1=4-1=3cm.所以

PB=AB

-

AP=12-8=4cm，【跳轉至幾何畫板】

助力教學僅限個人使用，(2)

當

D

在線段

PB

運動上時，試說明

AC

=

2CD；ABPDC方法一：解：由題意，得

CP=2t，BD=3t.因為

AB=12

cm，AP

=

8

cm，所以

AC=8-2t，CD=12-3t

-(8-2t)=4-

t，所以

AC=2CD

.

助力教學僅限個人使用，方法二：以

A

為原點向右為正方向1cm為單位長構造數軸，由題意，得

A：0，P：8，B：12，C：8-2t，D：12-3t.(2)

當

D

在線段

PB

運動上時，試說明

AC

=

2CD；ABPDC所以

AC=8-2t，CD=12-3t

-(8-2t)=4-

t，所以

AC=2CD

.012

助力教學僅限個人使用，(3)

何時

CD

=2cm？ABPDC方法一：解：CD=|12-3t

-(8-2t)|=|4-

t|，

所以|4-

t|=2，解得

t=2或

t=6.答：運動2s或6s時，CD

=2

cm.方法二：兩點相遇前：(3-2)t+(12-8)=2，解得

t=2.兩點相遇后：(3-2)t

-(12-8)=2，解得

t=6.

助力教學僅限個人使用，總結告訴速度的動點問題問題方法：①幾何法②數軸法：用未知數表示線段③代數法：看做追及或相遇問題起始位置±vt(左減右加)

助力教學僅限個人使用，練一練4.如圖，點O

為原點，點

A

表示的數為

-3，點

B

表示的數為

1.(1)

若點

P

在數軸上，且

PA

+

PB

=

6，則點

P

表示的數為

；(2)

若點

M

在數軸上，且

MA∶MB

=

1∶3，求點

M

表示的數為

；P1P2-4或2M1M23或0AOB-310

助力教學僅限個人使用，(3)

若點

A

的速度為

5

個單位長度/s，點

B

的速度為

2

個單位長度/s，點

O

的速度為

1

個單位長度/s，A，B，O

三點同時向右運動，幾秒后，點O

恰為線段AB

的中點.解：由題意，得

A：-3+5t，B：1+2t，O：t.解得

t=0.4.答：0.4s后點O

恰為線段AB

的中點.AOB-310

助力教學僅限個人使用，專題三：重疊與鐘表中的角度問題◆類型一重疊問題例6

(安徽太湖期末)

將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD

=

25°，則∠BOC

的大小為

(

)A.165°

B.

155°C.

145°

D.160°ABOCDB分析：∠BOC=∠AOC+∠BOA

=∠DOC

-∠AOD+∠BOA

助力教學僅限個人使用，練一練9.將一個長方形紙片沿折痕

AO、DO折疊，使其有一部分重合(如圖)，點

B

對應點

B′，點

C

對應點

C′，若∠C′OB′=20°，則∠AOD=

.分析：兩角之和

-

重疊部分=大角αβ∠BOB′+∠COC′-∠B′OC′=∠BOC2α+2β-20°

=180°α+β=100°∠AOD=

α+β

-20°=80°80°【跳轉至幾何畫板】

助力教學僅限個人使用，◆類型二鐘表中的角度問題每過1小時，時針會經過

°，分針會經過

°.時針速度是

°/時，分針會經過

°/時.時針速度是

°/分，分針會經過

°/分.思考：3時的時針與分針的夾角是

°.每一大格：360°÷12=30°90303603036030÷60=0.5°/分360÷60=6°/分0.56

助力教學僅限個人使用，例7(1)3點45分，時針與分針的夾角是多少？(2)在9點與10點之間，何時時針與分針成100°的角？解：(1)3點過了45分后，時針經過

45×0.5=22.5°，分針經過6×45=270°.3點45分，時針與分針的夾角是270°

-

22.5°

-90°=157.5°(2)設9時

x

分時時針與分針成100°的角，由題意，得90+6x

-0.5x=100，解得

x=.答：9時

分時時針與分針成100°的角.【跳轉至幾何畫板】

助力教學僅限個人使用，總結鐘表的角度問題可化為追及問題時針速度：分針速度：夾角度數=|(分鐘速度-時針速度)×時間±初始度數|X

時

Y

分可看做

X

時再經過

Y

分30°/時0.5°/分360°/時6°/分

助力教學僅限個人使用，6.(重慶八中期末)

當時鐘指向下午

2

:

40

時，時針與分針的夾角是

度.練一練7.在

3

點

20

分時，時鐘的分針與時針的夾角為

度，過多少分鐘后它們的夾角為

130°？16020(2)設

過

x

分鐘后它們的夾角為130°，由題意，得(6-0.5)x+20=130，解得

x=20.答：過20分鐘后它們的夾角為130°.

助力教學僅限個人使用，專題四：動射線和動角問題◆類型一動射線問題例8(節選自吉林白山期末)如果兩個角的差的絕對值等于

90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1=120°，|∠1﹣∠2|=90°，則∠1

和∠2

互為垂角．(本題中所有角都是指大于

0°

且小于

180°

的角)

(1)

如圖

1

所示，O

為直線

AB

上一點，∠AOC=90°，則∠AOD

垂角為

和

；CABDE∠AOEO∠COD圖

1

助力教學僅限個人使用，

(2)

如圖

2

所示，O

為直線

AB

上一點，∠AOC=90°，∠BOD=30°，且射線

OC

繞點

O

以

9°/s

的速度逆時針旋轉，射線

OD

繞點

O

以

6°/s

的速度順時針旋轉，兩條射線

OC、OD

同時運動，運動時間為

t

s

(0＜t＜20

)，試求當

t

為何值時，∠AOC

和∠AOD互為垂角．CABDCOD分析：當射線

OC

在射線

OA

上或下面時，∠AOC

的表示方式會變化；當射線

OD

在射線

OB

上或下面時，∠AOD的表示方式會變化.圖2

助力教學僅限個人使用，解：當

OD與

OB

重合時，t＝5(s)，

當

OC與

OA

重合時，t＝10(s).∠AOC=(90-9t)°，∠AOD=(150+6t)°，CABDCOD由題意，得

(150+6t)-(90-9t)=90，解得

t=2.②當

OC在直線

AB

上，OD在直線

AB

下方，即5≤t≤10

時，CD∠AOC=(90-9t)°，∠AOD=(210-6t)°，①當

OC、OD在直線

AB

上方，即

0＜t＜5時，

助力教學僅限個人使用，③當

OC、OD在直線

AB

下方，即

t＞10時，∠AOC=(9t

-90)°，∠BOD=(210-6t)°，CABDO由題意，得

(210-6t)-(9t

-90)=90，解得

t=14.CD綜上所述，當

t

為2或

14時，∠AOC

和∠AOD互為垂角.由題意，得(210-6t)-(90-9t)=90，解得

t=-10(舍).

助力教學僅限個人使用，總結因為研究的角都小于或等于180°，所以分類的標準在于角的兩條射線是否在同一直線上(重合或互為反向延長線).

助力教學僅限個人使用，練一練7.(廈門市逸夫中學期末)如圖，兩條直線

AB，CD

相交于點

O，且∠AOC

=

90°，射線

OM

從

OB

開始繞

O

點逆時針方向旋轉，速度為

15°/s，射線

ON

同時從

OD開始繞

O

點順時針方向旋轉，速度為

12°/s．兩條射線

OM，ON

同時運動，運動時間為

t

秒．(本題出現的角均小于平角)ABCMNDO

助力教學僅限個人使用，(1)當

t

=

2

時，∠MON

=______，∠AON

=______；(2)

當

0＜t＜12

時，若∠AOM

=

3∠AON

-

60°．試求出

t

的值；ABCMNDO144°66°①當

ON

在直線

AB

下方，即

0＜t≤7.5時，∠AOM=(180-15t)°，∠AON=(90-12t)°，由題意，得

180-15t=3(90-12t)-60，解得

t=.解：當

ON與

OA

重合時，t＝90÷12＝7.5(s)，

當

OM與

OA

重合時，t＝180÷15＝12(s).

助力教學僅限個人使用，②當

ON

在直線

AB

上方，即7.5＜t＜12時，∠AOM=(180-15t)°，∠AON=(12t

-90)°，ABCMNDO由題意，得

180-15t=3(12t

-90)-60，解得

t=10.綜上所述，t

的值為

或10.

助力教學僅限個人使用，(3)當0＜t＜6時，探究的

值，問：t

滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？解：當∠MON=180°

時，∠BOM

+∠BOD

+∠DON

=

180°，ABCMNDO所以

12t+15t+90=180，解得

t=.①當0＜t≤

時，∠COM

=(90

-

15t)°，∠BON=(90

+

12t)°，∠MON

=∠BOM

+∠BOD

+∠DON

=(15t

+

90

+

12t)°.

助力教學僅限個人使用，①當

＜t＜6

時，∠COM

=(90

-

15t)°，∠BON=(90

+

12t)°，∠MON

=360°

-(15t

+

90

+

12t)°=(270-27t)°.綜上所述，當0＜t≤

時，原式為定值；當

＜t＜6

時，不是定值.

助力教學僅限個人使用，例9(貴州銅仁期末)沿河縣某初中七年級的數學老師在課外活動中組織學生進行實踐探究，用一副三角尺(分別含45°，45°，90°

和30°，60°，90°

的角)按如圖所示擺放在量角器上，邊

PD

與量角器刻度線重合，邊

AP

與量角器刻度線重合，◆類型二動角問題DBPAC

助力教學僅限個人使用，將三角尺

ABP

繞量角器中心點

P

以每秒10°

的速度順時針旋轉，當邊

PB

與刻度線180°

重合時停止運動，設三角尺

ABP

的運動時間為

t

秒．(1)

當

t=5時，∠BPD=_____；◆類型二動角問題DBPAC85°

助力教學僅限個人使用，DBPAC(2)

若在三角尺

ABP

開始旋轉的同時，三角尺

PCD

也繞點

P

以每秒2°

的速度逆時針旋轉，當三角尺

ABP

停止旋轉時，三角尺

PCD

也停止旋轉．①當

t

為何值時，邊

PB

平分∠CPD；解：因為邊

PB

平分∠CPD，DBAC所以∠CPB=∠BPD=∠CPD

，所以

180-45-2t

-10t=×60，解得

t=.【跳轉至幾何畫板】

助力教學僅限個人使用，②在旋轉過程中，是否存在某時刻使∠BPD=2∠APC，若存在，請求出

t

的值；若不存在，請說明理由．DBPACDBAC解：運動前∠APC=135°，∠BPD=120°，135-2t

-10t=2×(120

-2t

-10t)，(1)當

PA

在

PC左側時，由題意，得解得

t=.【跳轉至幾何畫板】此時∠BPD=30°，∠APC=15°，所以∠BPD=2∠APC，是成立的.

助力教學僅限個人使用，DBPAC(2)當

PA

在

PC右側時，由題意，得135-2t

-10t

=2×(10t+2t

-120)，DBAC

當

PB

在

PD

的右側時，由題意，得10t+2t

-135

=2×(10t+2t

-120)，DBAC解得

t=.解得

t=.綜上所述，t

的值為

或

.【跳轉至幾何畫板】此時

PB

在

PD

的左側，所以和假設情況矛盾，不符合題意，舍去.

助力教學僅限個人使用，樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上。“蹲下身子和學生說話，走下講臺給學生講課”;關心學生情感體驗，讓學生感受到被關懷的溫暖;自覺接受學生的評價，努力做學生喜歡的老師。教師要學會寬容，寬容學生的錯誤和過失，寬容學生一時沒有取得很大的進步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強烈。每當想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己職責的神圣和一言一行的重要。善待每一個學生，做學生喜歡的老師，師生雙方才會有愉快的情感體驗。一個教師，只有當他受到學生喜愛時，才能真正實現自己的最大價值。義務教育課程方案和課程標準（2022年版）簡介新課標的全名叫做《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，文件包括義務教育課程方案和16個課程標準（2022年版），不僅有語文數學等主要科目，連勞動、道德這些，也有非常詳細的課程標準。現行義務教育課程標準，是2011年制定的，離現在已經十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經二十多年沒更新過了，很多內容，確實需要根據現實情況更新。所以這次新標準的實施，首先是對老課標的一次升級完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現出，國家對未來教育改革方向的規劃。課程方案課程標準是啥？課程方案是對某一學科課程的總體設計，或者說，是對教學過程的計劃安排。簡單說，每個年級上什么課，每周上幾節，老師上課怎么講，課程方案就是依據。課程標準是規定某一學科的課程性質、課程目標、內容目標、實施建議的教學指導性文件，也就是說，它規定了，老師上課都要講什么內容。課程方案和課程標準，就像是一面旗幟，學校里所有具體的課程設計，都要朝它無限靠近。所以，這份文件的出臺，其實給學校教育定了一個總基調，決定了我們孩子成長的走向。各門課程基于培養目標，將黨的教育方針具體化細化為學生核心素養發展要求，明確本課程應著力培養的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。進一步優化了課程設置，九年一體化設計，注重幼小銜接、小學初中銜接，獨立設置勞動課程。與時俱進，更新課程內容，改進課程內容組織與呈現形式，注重學科內知識關聯、學科間關聯。結合課程內容，依據核心素養發展水平，提出學業質量標準，引導和幫助教師把握教學深度與廣度。通過增加學業要求、教學提示、評價案例等，增強了指導性。教育部將組織宣傳解讀、培訓等工作，指導地方和學校細化課程實施要求，部署教材修訂工作，啟動一批課程改革項目，推動新修訂的義務教育課程有效落實。

本課件是在MicorsoftPowerPoint的平臺上制作的，可以在Windows環境下獨立運行，集文字、符號、圖形、圖像、動畫、聲音于一體，交互性強，信息量大，能多路刺激學生的視覺、聽覺等器官，使課堂教育更加直觀、形象、生動，提高了學生學習的主動性與積極性，減輕了學習負擔，有力地促進了課堂教育的靈活與高效。部分內容取材于網絡，如有雷同，請聯系刪除！作品整理不易，僅供下載者本人使用，禁止轉載！

助力教學僅限個人使用，樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上。“蹲下身子和學生說話，走下講臺給學