專題14難點探究專題:利用一元一次方程解決實際問題壓軸題五種模

型全攻略

咆

寧甜【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【類型——元一次方程的應(yīng)用一古代問題】...................................................1

【類型二一元一次方程的應(yīng)用一銷售問題】...................................................3

【類型三一元一次方程的應(yīng)用一方案問題】...................................................6

【類型四一元一次方程的應(yīng)用一電費和水費問題】............................................9

【類型五一元一次方程的應(yīng)用一數(shù)軸上的行程問題】.........................................12

【典型例題】

【類型——元一次方程的應(yīng)用一古代問題】

例題：（2023秋?遼寧錦州?七年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中第六章《均輸》

卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題："今有鳧（讀加，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今

鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海.現(xiàn)

野鴨從南海、大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經(jīng)過多少天相遇？

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江西新余?統(tǒng)考一模）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，其中記載的"蕩杯問題"很有

趣.《孫子算經(jīng)》記載“今有婦人河上蕩杯，津吏問曰：杯何以多？婦人曰：家有客.津吏曰：客幾何？婦

人曰：二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五.不知客幾何？譯文："2人同吃一碗飯，3人同吃

一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個碗，問有多少客人？"設(shè)共有客人x人，可列方程為.

2.（2023秋?七年級課時練習(xí)）《河婦蕩杯》是《孫子算經(jīng)》中著名的趣題之一.其內(nèi)容為：一位婦人在河

邊洗碗.津吏問道："為什么要洗這么多碗？”婦人回答："家里來客人了."津吏問："有多少客人？”婦人回

答：“每二人合用一只飯碗，每三人合用一只湯碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗."共有位客人.

3.（2023秋?陜西西安?七年級西安市鐵一中學(xué)校考開學(xué)考試）《九章算術(shù)》中“盈不足術(shù)”有這樣的問題，"今

有共買羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，問人數(shù)幾何？"題意是：若干人共同出資買羊，每人出

6元，則差45元；每人出8元，則差3元.則買單的人有個.

4.（2023秋?七年級課時練習(xí)）我國古代對于利用方程解決實際問題早有研究，《九章算術(shù)》中提到這么一

道"以繩測井”的題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺.繩長、井深各幾

何？這道題大致意思是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份去測，那么繩子會多出四尺；如果

將繩子折成四等份去測，那么繩子會多出一尺.繩長和井深各多少尺？

5.（2023春?福建福州?七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們分組討論解決下列問題的方法.

《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題："今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人和車各幾何？"這個題

的意思是：今有若干人乘車.若每3人乘一輛車，則余2輛空車；若每2人乘一輛車，則余9人需步行，

間共有多少輛車，多少人？

6.（2023?安徽六安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載："今有清酒一斗直粟八斗，醐酒

一斗直粟二斗，今持粟兩斛，問清、醐酒各幾何？"大意：現(xiàn)在一斗清酒價值8斗谷子，一斗醐酒價值2斗

谷子，拿20斗谷子共換了4斗酒，問清酒、醐酒各幾斗？

7.（2023秋?河南平頂山?七年級統(tǒng)考期末）古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3~4世紀(jì)）,是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一.在

他的墓碑上記載著："他生命的!是幸福的童年；再活了他生命的占，兩被長起了細(xì)細(xì)的胡須；又度過了一

612

生的g,他結(jié)婚了；再過5年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他全部年齡的一半；兒子死后，

他在極度痛苦中度過了4年，與世長辭了.”

(1)設(shè)丟番圖的壽命為x歲，根據(jù)題意得兒子出生時丟番圖的年齡為歲，兒子的壽命為

歲；

(2)用你喜歡的方式，求出丟番圖和兒子的壽命分別為多少歲？

【類型二一元一次方程的應(yīng)用一銷售問題】

例題：(2023春,貴州畢節(jié)?七年級統(tǒng)考期末)2023年4月16日至18日“金沙貢茶文化節(jié)"在巖孔貢茶古鎮(zhèn)舉

行，開幕式上12家茶企茶商代表進(jìn)行了集中簽約.其中某采購商計劃購進(jìn)甲、乙兩種茶葉商品.已知甲種

茶葉商品的每件進(jìn)價比乙種茶葉商品的每件進(jìn)價少20元.若購進(jìn)甲種茶葉商品5件，乙種茶葉商品3件,

共需要700元.

⑴求甲、乙兩種茶葉商品每件的進(jìn)價分別是多少元？

(2)該采購商購進(jìn)了甲種茶葉商品300件，乙種茶葉商品200件.在銷售時，甲種茶葉商品的每件售價為110

元，要使得這500件茶葉商品所獲利潤率為30%,求每件乙種茶葉商品的售價是多少元？

【變式訓(xùn)練】

1.(2023秋?福建福州?七年級統(tǒng)考期末)列方程解應(yīng)用題：

某商場經(jīng)銷甲、乙兩種服裝.甲種服裝每件進(jìn)價250元，售價400元；乙種服裝每件進(jìn)價400元，售價600

元.

⑴銷售甲種服裝每件利潤為元，銷售乙種服裝每件利潤率為

⑵該商場同時購進(jìn)甲、乙兩種服裝共50件，總進(jìn)價恰好為17000元，求商場銷售完這批服裝共盈利多少？

（3）在元旦當(dāng)天，該商場實行“每滿300元減100元”的優(yōu)惠活動（比如某顧客購物300元，他只需付款200

元，購物1000元，他只需付款700元），后又加推，晚上八點后，先打折再參與"每滿300元減100元”的活

動，張女士想買一件標(biāo)價為1600元的羽絨服，細(xì)心的張女士發(fā)現(xiàn)，打折后價格在1200元到1440元之間，

如果在晚上八點后購買，可以再便宜92元，求商場晚上八點后推出的活動是先打多少折之后再參加滿減活

動？

2.（2023秋?廣西南寧?七年級南寧市天桃實驗學(xué)校校考期末）某商場計劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺電視

機(jī)，已知該廠家生產(chǎn)三種不同類型的電視機(jī)，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種

每臺2500元.

⑴若商場用9萬元同時購進(jìn)甲、乙兩種不同型號的電視機(jī)共50臺，求應(yīng)購進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)各多少臺？

（2）若商場銷售一臺甲種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺乙種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺丙種電視機(jī)可

獲利250元.試問：同時購進(jìn)網(wǎng)型不同型號電視機(jī)的方案可以有幾種（每種方案必須剛好用完9萬元）？

為使銷售時獲利最多，應(yīng)選擇哪種進(jìn)貨方案？并說明理由.

3.（2023秋?湖北隨州?七年級統(tǒng)考期末）為響應(yīng)"把中國人的飯碗牢牢端在自己手中"的號召，某農(nóng)業(yè)科技公

司對A,B兩種玉米進(jìn)行實驗種植對比研究.去年A,8兩種玉米分別種植了5畝、10畝，收獲后通過測算，

A種玉米平均畝產(chǎn)量為400千克，2種玉米平均畝產(chǎn)量比A種高25%,A,2兩種玉米以相同價格全部售出

后總收入為25200元.

⑴求去年A,8兩種玉米的售價為多少？

（2）今年科技公司優(yōu)化了玉米的種植方法，在A,B兩種玉米均保持去年種植面積不變的情況下，預(yù)計A,B

兩種玉米平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加。％和2a%,而A種玉米的售價保持不變，B種玉米的售價

將在去年的基礎(chǔ)上下降10%.已知A,8兩種玉米全部售出后總收入在去年的基礎(chǔ)上將增加ga%,求。的

值.

4.（2023秋?江蘇鹽城?七年級校考期末）根據(jù)疫情防控有關(guān)部署和上級教育行政部門既有安排，結(jié)合我市中

小學(xué)幼兒園實際，為保護(hù)廣大師生安全健康，市教育局經(jīng)研究決定：2022年12月19日起，全市中小學(xué)本

學(xué)期剩余時間全部進(jìn)行線上教學(xué).七年級某班家委會決定在網(wǎng)上統(tǒng)一購買一批防藍(lán)光眼鏡，網(wǎng)上某店鋪的

標(biāo)價為90元/副，優(yōu)惠活動如下：

銷售量單價

不超過10副的部分每副立減14元

超過10副但不超過20副的部分每副立減22元

超過20副的部分每副立減30兀

⑴①若該班級家委會購買了2副這種防藍(lán)光眼鏡，花了兀；

②若該班級家委會購買了15副這種防藍(lán)光眼鏡，花了兀；

③若該班級家委會購買了x（x>20）副這種防藍(lán)光眼鏡，花了元；（用含尤的代數(shù)式表示）

⑵若該班級家委會購買的這種防藍(lán)光眼鏡均價為69.6元，求他們購買的數(shù)量.

5.（2023秋?四川成都?七年級校考期末）第31屆世界大學(xué)生夏季運動會將于2023年7月28日在成都舉行，

某經(jīng)銷商銷售帶有"蓉寶"吉祥物標(biāo)志的甲、乙兩種紀(jì)念品，若經(jīng)銷商購進(jìn)30個甲類紀(jì)念品和40個乙類紀(jì)念

品共需要4300元.已知甲、乙兩種紀(jì)念品的進(jìn)價和售價如表：

種類種類進(jìn)價（元/件）售價（元/件）

甲a80

乙a+2090

⑴甲、乙兩種紀(jì)念品每件進(jìn)價各多少元?

⑵經(jīng)銷商第一次購進(jìn)甲類和乙類紀(jì)念品共200個，全部售完后總利潤（利潤=售價一進(jìn)價）為4700元，求

甲類和乙類紀(jì)念品分別購進(jìn)多少個?

⑶經(jīng)銷商第二次購進(jìn)了與第（2）問中第一次同樣多的甲類和乙類紀(jì)念品，由于兩類紀(jì)念品進(jìn)價都比上次優(yōu)

惠了20%,甲類紀(jì)念品進(jìn)行打折出售，乙類紀(jì)念品價格不變，全部售完后總利潤比上次還多賺1400元，求

甲類紀(jì)念品打了幾折?

【類型三一元一次方程的應(yīng)用一方案問題】

例題：（2023秋?河南省直轄縣級單位?七年級校聯(lián)考期末）按照"雙減"政策，為豐富課后托管服務(wù)內(nèi)容，學(xué)

校準(zhǔn)備訂購一批籃球和跳繩，經(jīng)過市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)籃球每個定價70元，跳繩每條定價10元.某體育用品

商店提供A、8兩種優(yōu)惠方案：

A方案：買一個籃球送一條跳繩；

8方案：籃球和跳繩都按定價的90%付款.

已知要購買籃球50個，跳繩無條（x>50）

⑴若按A方案購買，一共需付款兀（用含尤的代數(shù)式表示）；若按2方案購買，一共需付款

元（用含尤的代數(shù)式表示）.

⑵購買跳繩條數(shù)為多少時，兩種方案的收費相同？

（3）當(dāng)x=100時，你能設(shè)計出一種最省錢的購買方案嗎？請寫出你的購買方案，并計算需付款多少元?

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?江西吉安?七年級統(tǒng)考期末）暑假期間，甲、乙兩單位準(zhǔn)備組織退休職工到某風(fēng)景區(qū)游玩，甲、

乙兩單位共102人，其中甲單位人數(shù)多于乙單位人數(shù)，且甲單位人數(shù)不夠100人.經(jīng)了解，該風(fēng)景區(qū)的門票

價格如下表：

數(shù)量（張）1-5051?100101張及以上

單價（元/張）60元50元40元

如果兩單位分別單獨購買門票，一共應(yīng)付5500元.

⑴甲、乙兩單位各有多少名退休職工準(zhǔn)備參加游玩？

（2）如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么你有幾種購買方案，通過比較，你該如何購

買門票才能最省錢？

2.（2023秋?海南省直轄縣級單位?七年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校計劃購買書柜20張和書架x只（x>20）,現(xiàn)從

48兩家超市了解到：書柜每張300元，書架每只80元.A超市的優(yōu)惠政策為每買一張書柜贈送一只書架；

2超市的優(yōu)惠政策為所有商品八折.

⑴若學(xué)校到同一家超市選購所有商品，則到A超市購買費用是元（用含x的式子表示），到8超市購

買費用是元（用含x的式子表示）；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)購買書架尤多少只時？到A、B兩家超市購買費用相等.

（3）學(xué)校要購買20張書柜和60只書架.

①若學(xué)校到同一家超市選購所有商品，則到A超市購買費用是元，到B超市購買費用是一元；

②假如你是本次購買的負(fù)責(zé)人，且可到兩家超市自由選購，請你設(shè)計一種購買方案，使購買費用更少，并

求出購買費用是多少元？

3.（2023秋?黑龍江哈爾濱?七年級統(tǒng)考期末）2022年11月30日，神舟十五號載人飛船與中國空間站成功完

成全自主快速交會對接.中國首次實現(xiàn)空間站三船三艙構(gòu)型，以及6名航天員同時在軌駐留.正式開啟了

中國空間站常態(tài)化運營的新篇章.中國空間站模型在某商店價格規(guī)定如下表：

購買數(shù)量50套51?套100套以上

每套價格13元11元9元

某校七年級（1）班和（2）班共104人計劃購買模型，其中（1）班有40多人，不足50人，經(jīng)估算，如果兩

個班以班為單位每人購買一套，則一共應(yīng)付1240元，問：

⑴兩班各有多少學(xué)生？

⑵如果兩班聯(lián)合起來，作為一個團(tuán)體購買模型，可省多少錢？

⑶如果七年級（1）班單獨組織去購買模型，作為組織者的你如何采購才最省錢？

4.（2023秋?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末）有下列兩種移動電話計費方法:

月使用費/元主叫限定時間/加〃主叫超時費/（元/加幾）被叫

A套餐381000.2免費

8套餐985000.25免費

其中，月使用費固定收，主叫不超過限定時間不再收費，主叫超過部分加收超時費，被叫免費.

⑴小慧的爸爸6月份主叫時間200分鐘，則選用A套餐比選用B套餐節(jié)省元.

（2）小宇的爸爸選擇A套餐，小謙的爸爸選擇3套餐，7月份他們的通話費相等，小宇的爸爸比小謙的爸爸

主叫時間少20分鐘，求小宇的爸爸7月份的主叫時間.

⑶設(shè)主叫時間為f分鐘，直接寫出f滿足什么條件時，8套餐省錢.

【類型四一元一次方程的應(yīng)用一電費和水費問題】

例題：（2023秋?七年級課時練習(xí)）目前，某市“一戶一表"居民用電實行階梯電價，具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下.

一戶居民一個月用電量（單位：度）電價（單位：元/度）

第1檔不超過180度的部分0.5

第2檔超過180度的部分0.6

⑴若該市某戶12月用電量為200度，該戶應(yīng)交電費元.

（2）若該市某戶12月用電量為無度，請用含x的式子分別表示04x4180和x>180時該戶12月應(yīng)交電費多少

元.

（3）若該市某戶12月應(yīng)交電費126元，則該戶12月用電量為多少度？

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?福建福州?七年級統(tǒng)考期末）為鼓勵居民節(jié)約用電，某市電力公司實行"階梯電價"收費，收費標(biāo)

準(zhǔn)如下表：

每戶每月用電量（度）電費（元/度）

不超過200度0.5

超過200度且不超過500度的部分0.6

超過500度的部分0.8

⑴小明家今年3月份用電310度，求小明家3月份應(yīng)繳電費多少元？

⑵小明家今年7月份用電增大，7月份的平均電價為0.64元/度，求小明家今年7月份用電多少度?

2.（2023秋?江蘇?七年級專題練習(xí)）一家通訊公司推出兩種移動電話計費方法，如表所示:

計費方法A計費方法8

每月基本服務(wù)費（元/月）68元98元

每月免費通話時間（分）200分500分

超出后每分鐘收費（元/分）0.25元0.20元

⑴若月通話時間是5小時，則使用計費方法A的用戶話費為元，使用計費方法B的用戶話費為

兀；

⑵若月通話時間是x分鐘（x>500）,則按48兩種計費方法的用戶話費分別是多少？（用含尤的代數(shù)式表

示）

⑶當(dāng)通話時間為多長時，按A、8兩種計費方法所需的用戶話費相等?

3.（2023秋?四川成都?七年級統(tǒng)考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水電發(fā)電量嚴(yán)重受限，再加上高溫

天氣持續(xù)，居民用電量居高不下，電力供需形勢十分嚴(yán)峻.已知該地為節(jié)約用電，利用價格調(diào)控的手段，

規(guī)定了居民生活用電的階梯收費標(biāo)準(zhǔn)如下：

價目表

每月用電量價格

不超過180千瓦時的部分0.5元/千瓦時

超過180千瓦時，但不超過280千瓦時的部分0.6元/千瓦時

超過280千瓦時的部分0.8元/千瓦時

⑴若小明家8月份用電200千瓦時，則應(yīng)繳多少電費；

⑵若小明家8月份用電。千瓦時（其中。＞280）,則應(yīng)繳多少電費；（用含a的代數(shù)式表示，并化簡）

⑶若小明家8月份繳電費326元，求小明家8月份用電多少千瓦時.

4.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?七年級統(tǒng)考期末）某市為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，采用價格調(diào)控的

手段以達(dá)到節(jié)水的目的，該市2022年自來水收費的價目表如下（注：水費按月份結(jié)算，n?表示立方米）,

請根據(jù)表中的內(nèi)容解答下列問題：

每月用水量價格

價不超出12m3的部分2.5元/m3

目超出12m3不超出20m3的部分4元/n?

表超出20m3的部分7.5元/n?

⑴若某用戶9月份用水lOn?,則應(yīng)交水費元；

⑵若該用戶10月份應(yīng)收水費77元，則用水m3;

（3）若該用戶11月份和12月份兩個月共用水40m3（11月份用水量超過了12月份），設(shè)12月份用水;m?,

求該用戶11J2兩個月各交水費多少元.（用含無的代數(shù)式表示，并化簡）

5.（2023春?浙江杭州?七年級校考階段練習(xí)）國慶黃金周，某商場促銷方案規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價的

80%出售，同時當(dāng)顧客在商場內(nèi)一次性消費滿一定金額后，按下表獲得相應(yīng)的返還金額:

消費金額(元)小于或等于500元500—10001000—15001500以上

返還金額(元)060100150

注：500?1000表示消費金額大于500元且小于或等于1000元，其他類同.

根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠.例如，若購買標(biāo)價為1200元的商品，則消費金

額為960元，獲得的優(yōu)惠額為1200x(1—80%)+60=300(元).

⑴購買一件標(biāo)價為1800元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？

(2)若顧客在該商場購買一件標(biāo)價尤元(x>1250)的商品，那么該顧客獲得的優(yōu)惠額為多少？(用含有x的代

數(shù)式表示)

(3)若顧客在該商場第一次購買一件標(biāo)價x元(龍〉1250)的商品后,第二次又購買了一件標(biāo)價為800元的商品,

兩件商品的優(yōu)惠額共為768元，則這名顧客第一次購買商品的標(biāo)價是多少？

【類型五一元一次方程的應(yīng)用一數(shù)軸上的行程問題】

例題：(2023秋?全國?七年級課堂例題)［應(yīng)用意識］如圖，數(shù)軸上42兩點所表示的數(shù)分別為-5,10,。為原點，

C為數(shù)軸上一動點且表示的數(shù)為》.點尸以2個單位長度/秒的速度，點。以3個單位長度/秒的速度，分別

自A,2兩點同時出發(fā)，相向而行，在數(shù)軸上運動.設(shè)運動時間為f秒.

AOB

($io~

⑴若點P,。在點C處相遇，求點C所表示的數(shù)尤；

(2)若OP=OQ,求t的值；

(3)當(dāng)尸Q=5時，求/的值；

(4)若同時一只寵物鼠以4個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)，與點尸相向而行，寵物鼠遇到點尸后立即返回，

又遇到點2后立即返回，又遇到點尸后立即返回......直到點尸,。相遇為止.求寵物鼠在整個過程中所經(jīng)過的

路程.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023秋?廣西桂林?七年級統(tǒng)考期末)如圖，點。為數(shù)軸原點，點A、B、C都在數(shù)軸上，AO=2BO.已

知點A表示的數(shù)為-30.

ACOB

?ii1A

-300

⑴直接寫出點B表示的數(shù)；

(2)一動點尸從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動；另一動點。同時從點B出發(fā),

以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，已知P、Q兩點恰好在點C相遇，求點C表示的數(shù).

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點P分別到A、B、C三點的距離之和為68個單位長度時，求點P的運動時間.

2.(2023春?黑龍江哈爾濱?六年級校考期中)己知數(shù)軸上點A、點8對應(yīng)的數(shù)分別為。、b,滿足

|a+4|+(b-=0

---------1--------1-------------1--------->>

A0B

---------1--------1-------------1---------A

A0B

---------1--------1-------------?---------A

AQB

⑴a=,b=；

(2)若點E以每秒5個單位長度的速度從點A出發(fā)沿數(shù)軸向右運動，點F以每秒2個單位長度的速度從點B出

發(fā)沿數(shù)軸向右運動，求點E、點尸同時出發(fā)，幾秒后點E與點尸相距4個單位長度？

(3)在(2)的條件下，點P以每秒4個單位長度的速度從原點出發(fā)沿數(shù)軸向右運動，求點E、點/、點P同

時出發(fā)，幾秒后點尸到點E的距離與點尸到點F的距離相等?

3.（2023秋,陜西西安?七年級統(tǒng)考期末）問題提出：

（1）如圖，點AC在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a,c,且滿足卜+12|+（。-10）2=0,貝lja=,c=.

BAOCD