專題02正方形中十字架模型

十字架模型

分別連接正方形的兩組對邊上任意兩點，得到的兩條線段(如：圖1中的線段AF

與BE,圖2中的線段EF與MN,圖3中的線段BE與AF)滿足：若垂直，則相等。

E

圖1

「Si典例精講

【典例1］問題情境：蘇科版八年級下冊數學教材第94頁第19題第(1)題是這樣一個問

題：

如圖1,在正方形ABC。中，點、E、歹分別在邊BC、CD上，且垂足為那

么AE與2尸相等嗎？

(1)直接判斷：AEBF(填“=”或"#")；

在“問題情境”的基礎上，繼續探索：

問題探究：

(2)如圖2,在正方形ABC。中，點E、F、G分別在邊BC、C￡＞和04上，S.GE±B

F,垂足為M.那么GE與8尸相等嗎？證明你的結論；

問題拓展：

(3)如圖3,點E在邊C￡＞上，MMNLAE,垂足為H,當“在正方形ABC。的對角線

3。上時，連接AN,將△AHN沿著AN翻折，點X落在點〃處.

①四邊形AHNH'是正方形嗎？請說明理由；

②若48=6,點尸在8。上，BD=3BP,直接寫出PH'+Y2AN的最小值為

2—

【變式1-1］如圖，在正方形ABC。中，點E、歹分別在邊CD,上，BE與CF交于點G,

若BC=4,DE=AF=1,則CG的長是（）

A.2B.V5C.3我D.12

25

【變式1-2】如圖，點￡、F、G分別是正方形ABC。的邊A。、BC、AB上的點，連接。G,

EF,GF.5.EF^DG,DE=2AG,NAOG的度數為a,則NE尸G的度數為（）

BFC

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

【變式1-3］如圖，E、尸分別是正方形ABC。的邊CO,上的點，S.CE=DF,AE,BF

相交于點。，下列結論①AE=8b；②AELBR?AO=OE；④SAA°B=S四邊形DEO尸中,

正確結論的個數為（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

制專題訓練

1.在矩形紙片A3CD中，AB=5,5c=8,可以裁出一個最大正方形的邊長是（）

A.4B.5C.6D.8

2.如圖所示，E、F、G、H分別為正方形A5CZ）的邊AB,BC,CD,D4上的點，且AE=

BF=CG=DH=LAB,則圖中陰影部分的面積與正方形ABC。的面積之比為（）

4

A.旦B.-Lc.-LD.-2-

17131714

3.如圖，正方形A8CD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1,CE=3,X是AF的

中點，那么CH的長是（）

A.2.5B.2C.1^/2D.V5

4.如圖，E、尸分別是正方形42C￡＞的邊C。、上的點，且CE=DF,AE與2尸相交于

O；下列結論：

(1)AE=BF；(2)AE1BF；(3)AD=OE-,(4)SAAOB=S四邊形OEOF.

C.2個D.1個

5.如圖，E、尸分別是正方形ABC。的邊C￡＞、上的點，5.CE^DF,AE、8/相交于點

O,下列結論：①AE=BF,②BO=OE,@AELBF,?ZABO^ZFAO,⑤S四邊形OE。尸

=S^AOB中，正確的有（）

B

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，正方形ABC。，點E,P在對角線AC上，連接BE、DF,滿足BE〃。人過點E

EG±DF,垂足為G,若。G=4,EG=3,則AZ)=_.

7.已知正方形ABC。的邊長為4,CE=DF=3,OE和A尸相交于點G,連接BG,點〃是

線段AE的中點，連接"G,若/HGB=NDAF,貝|GB=.

8.如圖，正方形ABCD的對角線AC、8。相交于點。M是4。上的一點，連接0M,過

點。作ONLOM,交CD于點、N,若四邊形MOND的面積是3,則AB的長為

9.如圖，在正方形ABCQ中，點E,產分別是BC,CD上的點，AE與8/相交于點G,連

接AC交于點"若CE=DF,BG=GH,AB=2,則△CM的面積為

10.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E、N分別在。C、BC上，點下在C2的延長線上.△

ADE名ADCN,將△ADE順時針旋轉〃度后，恰好與△A2F重合.

(1)請寫出〃的值；

(2)連結所，試求出NAFE的度數；

（3）猜想線段AE和。N的數量關系和位置關系，并說明理由.

11.【探索發現】（1）如圖1,正方形A8C。的對角線相交于點。，點。又是正方形

。的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，我們知道，無論正方形AbBi。。繞點。

怎么轉動，總、有AAEO烏ABFO,連接所，求證：AE2+CF2^EF2；

【類比遷移】（2）如圖2,矩形48CD的中心。是矩形A1B1C1。的一個頂點，40與邊

AB相交于點E,C。與邊相交于點E連接EF,矩形4B1C10可繞著點。旋轉，判

斷（1）中的結論是否成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

【遷移拓展】（3）如圖3,在RtZ\ACB中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,直角/E

。尸的頂點。在邊A8的中點處，它的兩條邊OE和OF分別與直線AC,BC相交于點E,

F,/EDF可繞著點D旋轉,當8F=lc7w時，直接寫出線段EF的長度.

12.如圖，已知四邊形ABC。是正方形，點尸是。C邊上的動點（不與端點重合），點E在

線段AF上，AD=m2+l,AE=2m,DE=m2-1,M為線段8尸的中點，點N在線段AF

上（不與點尸重合），且

2

（1）求證：BNLAF；

（2）隨著點P的運動，試猜想AB-AN的值是否是發生變化，若不變，請求出定值，若

變化，請說明理由.

13.(1)如圖1,在正方形ABC。中，AE,。尸相交于點。且AE_LZ)尸則AE和。尸的數量

關系為—.

(2)如圖2,在正方形A8CD中，E、F、G分別是邊A。、BC、C￡)上的點，BG±EF,

垂足為H.求證：EF=BG.

(3)如圖3,在正方形A2CD中，E、F、M分別是邊A。、BC、A8上的點，AE=2,B

F=5,BM=1,將正方形沿折疊，點M的對應點恰好與CD邊上的點N重合，求C

N的長度.

圖1圖2圖3

14.(1)如圖①，已知正方形A8C。的對角線AC、相交于點。，E是AC上一點，過A

點作AG_LEB,垂足為G,求證：OE=FO；

(2)如圖②，若點E在AC的延長線上，AGLEB,交班的延長線于G.AG的延長線

交。8的延長線于R其他條件不變，則結論“OE=OF”還成立嗎？若成立，請給予證

明，若不成立，請說明理由.

15.綜合與實踐:

如圖，在正方形A8C。中，點E是邊A8上的一個動點（點E與點A,8不重合），連接

CE,過點8作BPLCE于點G,交于點?

（1）如圖1,求證：AABF^ABCE；

（2）如圖2,當點E運動到A3中點時，連接。G,求證：DC=DG；

（3）如圖3,若AB=4,連接AG,當點E在邊AB上運動的過程中.AG是否存在最小

值，若存在，請直接寫出AG最小值，及此時AE的值；若不存在，請說明理由.

AEB

圖1圖2圖3

16.如圖1,P為正方形A8C。的邊BC上一動點（P與B、C不重合），點。在C￡）邊上，

且BP=C。，連接AP、BQ交于點E.

（1）求證：AP±BQ；

（2）當P運動到中點處時（如圖2）,連接OE,請你判斷線段。石與A。之間的關

系，并說明理由；

（3）如圖3,在（2）的條件下，過A點作于點H,交BQ、CD于點、N、M,

若AB=1y求QM的長度.

17.如圖，在正方形ABC。中，E是邊A8上的點，連接CE,過點。作。fUCE,分別交

BC,CE于點尸、G.

(1)求證：CE=DF；

(2)若AB=3,圖中陰影部分的面積和與正方形ABC。的面積之比為2：3,則△OCG

的面積為

_旦_,CG+DG的長為

—2—

連接BE,DG.

(1)請判斷8E與。G的數量關系與位置關系，并證明你的結論.

(2)如圖2,已知A2=4,AE八歷，當點尸在邊上時，求BE的長.

19.如圖1,在正方形ABC。中，AB=2遮，點E在邊BC上，連接AE，且NBAE=30°,

點尸是AE的中點.

(2)過點E作直線GH,分別交AB,C。于點G,H,J.GH=AE,求AG的長；

(3)如圖2,過點尸作AE的垂線，分別交AB,BD,C￡＞于點M,O,N,連接0E,求

NAEO的度數.

20.如圖，RtZvlBC兩條外角平分線交于點ZB=90°,過點。作。ELBA于點E,D

尸，BC于點?

(1)求證：四邊形8FDE是正方形；

(2)若3/=6,點C為B尸的中點，直接寫出AE的長.

21.在正方形ABC。中，P是邊BC上一動點（不與點3、C重合），E是AP的中點,

過點E作分別交A&CD于點M,N.

（1）判定線段與AP的數量關系，并證明；

（2）連接8。交于點F.

①根據題意補全圖形；

②用等式表示線段ME,EF,FN之間的數量關系，直接寫出結論EF=EM+FN

22.如圖1,正方形ABCO中，點尸為線段BC上一個動點，若線段垂直AP于點E,

交線段于CD于N,證明：AP=MN；

如圖2,正方形ABC。中，點P為線段8C上一動點，若線段MN垂直平分線段AP,分

另IJ交A3、AP.BD、0c于點M、E、F、N.

(1)求證：EF=ME+FN；

（2）若正方形ABC。的邊長為2,則線段所的最小值=，最大值=

專題02正方形中十字架模型

十字架模型

分別連接正方形的兩組對邊上任意兩點，得到的兩條線段（如：圖1中的線段AF

與BE,圖2中的線段EF與MN,圖3中的線段BE與AF）滿足：若垂直，則相等。

S1圖2圖3

回典例精講

【典例1］問題情境：蘇科版八年級下冊數學教材第94頁第19題第（1）題是這樣一個問

題：

如圖1,在正方形ABC。中，點、E、尸分別在邊BC、CD±,且AE_LBR垂足為那

么AE與8尸相等嗎？

（1）直接判斷：AE=BF（填“=”或"?"）；

在“問題情境”的基礎上，繼續探索：

問題探究：

（2）如圖2,在正方形A8C￡＞中，WE、F、G分別在邊BC、CD和上，S.GELB

F,垂足為那么GE與8月相等嗎？證明你的結論；

問題拓展：

（3）如圖3,點E在邊上，MMN1AE,垂足為H,當”在正方形ABCZ）的對角線

3。上時，連接⑷V,將△AHN沿著A2V翻折，點X落在點卬處.

①四邊形AHNH'是正方形嗎？請說明理由；

②若AB=6,點尸在8。±.,BD=3BP,直接寫出PH'+與AN的最小值為2717.

【答案】(1)=;

(2)相等，理由見解答部分；

(3)①四邊形是正方形;

@2^17.

【解答】解:(1)'：AE±BF,

：.ZEMB=90°,

ZFBC+ZBEM=90°,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZC=90°,

ZFBC+ZBFC=90°,

NBEM=ZBFC,

在△ABE和△BCF中，

，ZABC=ZC

<ZBEM=ZBFC>

AB=BC

:.△ABEdBCF(AAS),

；.AE=BF.

故答案為：=;

(2)GE=BF,理由如下：

如圖2,過點A作AN〃GE,交BF于點、H,交BC于點N,

AZFBC+ZBNH=90°,

???四邊形ABC。是正方形，

J.AD//BC,AB=BC,ZBAD=ZABC=ZC=90°,

\'AD//BC,AN//GE,

???四邊形ANEG是平行四邊形，

：?AN=EG,

VZC=90°,

AZFBC+ZBFC=90°,

???NBNH=NBFC,

:.AABN/ABCF(A4S),

:?AN=BF,

?：AN=EG,

：.GE=BF.

(3)①如圖3,連接CH,

由（2）的結論可知，AE=MN,

???四邊形ABC。是正方形，8。是正方形的對角線，

ZABD=ZCBD=45°,AB=BC,

,:BH=BH,

:.△ABgACBH(SAS),

/.ZBAH=ZBCH,AH=CH,

由折疊可知，AH=AH'，NH=NH',

:NABN+/AHN=18O°,

：.ZBAH+ZBNH=1SO°,

VZBNH+ZHNC=180",

ZBAH=ZHNC,

：.ZHNC=ZNCH,

：.NH=CH,

：.NH=CH=AH=AH'=NH',

四邊形A印由'是菱形，

VZAHN=90°,

；.菱形AHNW是正方形；

②如圖4,作交CB的延長線于點0,作班UBC于點

ZH'QN=ZHFB=90°,

由上知四邊形AHNH'是正方形，

：.H'N=HN,AH'NH=90°,AH'==AN,

2

ZH1NQ+ZHNF^ZHNF+ZNHF^90°,

：.ZHZNQ=ZNHF,

：.AHZQN"ANFH'(A4S),

：,H'Q=NF,QN=HF；

'：ZHBF^45°,NHFB=9Q°,

ABHF是等腰直角三角形，

：.HF=BF=NF+BN,

"：QN=QB+BN,

；.NF=QB=QH',

AAH'BQ=ZABH'=45°,

,則PH'=P'H',過點P'作PK±AB交AB

延長線于點K,

則apaK是等腰直角三角形，

：.PH'+亞4N=PH'+AH'=P'H'+AH1，即當A,H',P'三點共線時,

2

PH'+返最小，最小值為AP的長.

2

VAB=6,

:.BD=6?

,:BD=3BP,

：.BP=BP'=2圾，

：.PK=BK=2,

"K=8,

：.AP'=62+82=2717，即PH'+第4V的最小值為2近？.

故答案為：2百7

【變式1-1］如圖，在正方形ABCD中，點E、尸分別在邊CD,上，BE與CF交于點G,

若8C=4,DE=AF=1,則CG的長是（）

c.平

A.2B.D-f

【答案】D

【解答】解：：四邊形ABC。為正方形，BC=4,

:./CDF=NBCE=90°,AD=DC=BC=4,

^'：DE=AF=1,

:.CE=DF=3,

在△CD歹和△BCE中，

△CDF冬ABCE(SAS),

：.ZDCF=ZCBE,

VZDCF+ZBCF=90°,

/.ZCBE+ZBCF=9Q°,

：.ZBGC=90°,

在RtZkBCE中，BC=4,CE=3,

AB￡=VBC2+EC2=5,

:.BE?CG=BC,CE,

.BOCE4X312

BE55

故選：D.

【變式1-2】如圖，點、E、F、G分別是正方形ABC。的邊A。、BC、AB上的點，連接。G,

EF,GF.5.EF^DG,DE=2AG,NAOG的度數為a,則NEPG的度數為()

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

【答案】C

【解答】解：.??四邊形ABCD為正方形，

：.AB=BC=CD=AD,NA=NB=/C=NAOC=90°,

如圖，過點尸作也，AD于點X,

AEHD

HBFIC

則四邊形CDW為矩形，

:.FH=CD,DH=CF,ZFHE=9Q°,

:.FH=AD,

在RtAFHE和RtADAG中,

[FH=AD,

IEF=DG'

四Rt/XDAG(HL),

：.EH=AG,ZHFE=ZADG=a,

'：DE^AG,

：.DE=2EH,即點。為QE中點，

：.EH=DH=AG=CF,

：.AB-AG=BC-CF,即BG=BF,

...△BFG為等腰直角三角形，NBFG=45°,

；./EFG=90°-NBFG-NHFE=90°-45°-a=45°-a.

故選：C.

【變式1-3]如圖，E、尸分別是正方形A8C￡?的邊C￡>,上的點，>CE^DF,AE,BF

相交于點。，下列結論①AE=8F；②③AO=OE；④SAAOB=S四邊形OEOF中，

正確結論的個數為()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【解答】解：在正方形ABCD中，ZBAF=ZD=9Q°,AB=AD=CD,

'：CE=DF,

：.AD-DF=CD-CE,

即AF=DE,

，AB=AD

在AAB尸和△D4E中，，NBAF=/D=90°，

AF=DE

AAABF^ADAE（SAS）,

:.AE=BF,故①正確；

NABF=ZDAE,

'：ZDAE+ZBAO=90°,

：.ZABF+ZBAO=90°,

在△ABO中，180°-（ZABF+ZBAO）=180°-90°=90°,

：.AE±BF,故②正確；

假設AO=OE,

'：AE±BF（己證），

：.AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），

:在RtABCE中，BE>BC,

：.AB>BC,這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，

所以，假設不成立，AOWOE,故③錯誤；;△AB尸也△D4E,

??SAABF=SADAE,

??S/^ABF-SAAOF~S/\DAE~S/\AOFf

即SMOB=S四邊形OEOF,故④正確；

綜上所述，錯誤的有③.

故選：B.

篇專題訓練

1.在矩形紙片A8CD中，AB=5,BC=8,可以裁出一個最大正方形的邊長是（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【解答】解：：矩形的四個角都是直角，正方形的四個角都是直角、四條邊相等，

...只有沿著矩形長邊裁剪才能得到最大的正方形，

:在矩形紙片ABC。中，AB=5,BC=8,

...在AD上取一點E,使在2C上取一點R使8尸=A尸，

沿著直線EF裁剪即可得到最大的正方形ABFE,其中AB=5.

故選：B.

2.如圖所示，E、F、G、H分別為正方形ABCQ的邊AB,BC,CD,D4上的點，且A￡=

BF=CG=DH=LAB,則圖中陰影部分的面積與正方形ABC。的面積之比為()

4

A.aB.￡C.A.D.&

17131714

【答案】A

【解答】解：

...四邊形ABC。是正方形，

：.BC=AB=AD,ZDAB=ZABF=9Q°,

'：AE=^AB,BF=LC,

44

AADAE^AABF(SAS),

ZADM=ZBAN,

VZBAN+ZDAM^90°,

AZADM+DAM=90°,

AZAMD=90°,

同理：ZANB=90°,

NAMD=NANB,

：.ADAM出dABN(AAS),

:.AM=BN,

同理可以證明△BCP,△C。。，ADAM,△A8N是全等的直角三角形，它們的面積相等，

?：BE=-AB,DG=—DC,AB//DC,

44

四邊形EBGD是平行四邊形,

：.ED//BG,

：.AM：AN=AE：AB=1：4,

令正方形ABCD的邊長是a,AM=b,則8N=6,AN=4b,

：.正方形ABCD的面積是a2,AABN的面積是?1。?46=2必，

2

?：AB2=BN2+AN2,

：.a2=b2+l6b2=nb2,

:陰影的面積=/-4義2d=17廬-8b2=9b2,

2

陰影部分的面積與正方形A3CZ）的面積的比是也一=旦.

17b217

故選：A.

3.如圖，正方形ABCD和正方形CE產G中，點￡＞在CG上，BC=1,CE=3,五是AF的

中點，那么C8的長是（）

A.2.5B.2C.^2D.A/5

【答案】D

【解答】解：???四邊形A8C。和四邊形CEFG均為正方形，

AZABC=ZGCE=ZFEC=90°,AB=BC=l,EF=CE=3,

：.AB//GC//EF,

四邊形ABM為直角梯形，

過點H作HMLBE于點M,

則HM//AB//EF,

:點”為A尸的中點，

/.為直角梯形ABEF的中位線,

；?BM=EM=y(BC-K：E)X(1+3)=2，(AB+EF)X(1+3)=2，

：.CM=BM-BC=2-1=1,

在RtAJ/MC中，CM=1,HM=2,

由勾股定理得：CH』.

故選：D.

4.如圖，E、尸分別是正方形ABC。的邊CZX上的點，且CE=￡?RAE與2尸相交于

。；下列結論：

(1)AE=BF；(2)AEYBF-,(3)AD=OE；(4)SAAOB=S四邊形OEOF.

【答案】B

【解答】解：???四邊形ABC。是正方形,

：.AB=AD,ZBAF=ZADE=90°.

,:CE=DF,

C.AF^DE.

在△ABF和△D4E中，，

^ABF^/XDAE.

：.AE=BF,故(1)正確.

AABF^ADAE,

ZAFB=NAED.

,：ZAED+ZDAE=9Q°,

AZAFB+ZDAE=90°,

AZA(?F=90°,BPAE±BF,故(2)正確.

AABF^ADAE,

S/\,ABF=S/\ADE?

:?SAAOB=S/\ABF~S/\AOF9S四邊形DEOF=S^ADE~S/^AOFJKPS/^AOB=S四邊形OEOF.

如圖所示：過點石作EG,AB,則EG=AD.

9：HE>0E,GE>HE,

：.GE>OE.

：.AD>OEf故（3）錯誤.

故選：B.

5.如圖，E、尸分別是正方形A5C7）的邊CD、AO上的點，且CE=D尸,AE,3尸相交于點

O,下列結論：?AE=BFf②BO=OE,?AE±BFf?ZABO=ZFAO.⑤S四邊形。成m

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解答】解：???四邊形A8CO是正方形，

：.CD=AD

'：CE=DF

：.DE=AF

：.AADE^/\BAF

.?.AE=BF（故①正確），NAB0=NE10（故④正確），SAADE=S/\BAF,ZDEA=ZAFB,

ZEAD=ZFBA

?S/\AOB=S^\BAF~S/^AOFf

S四邊形DEOF—S^ADE-S^AOFf

，SAAOB=S四邊形DEOF（故⑤正確），

ZABF+ZAFB^ZDAE+ZDEA^90°

：.ZAFB+ZEAF=9Q°

.?.AE_LB尸一定成立（故③正確）.

假設AO=OE,

,：AELBF（已證），

：.AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），

:在RtZkBCE中，BE>BC,

：.AB>BC,這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，

，，假設不成立，BOWOE（故②錯誤）；

故錯誤的只有一個.

故選：D.

6.如圖，正方形A8C。，點E,尸在對角線AC上，連接BE、DF,滿足8E〃。「過點E

EG±DF,垂足為G,若。G=4,EG=3,則4￡>=_3旄_.

【答案】3泥.

【解答】解：如圖所示：連接8。，DE,

???四邊形ABC。是正方形，AC是其對角線,

：.AB=BC=DC=AD,ZBCA=ZDCA=ZDAF=45°,AC±BD,

:.BD=2DH,

在ABCE和△OCE中,

.?.△BCE1絲△DCE(SAS),

：.BE=DE,

'：EG±DF,

：.ZDGE=90°,

???DG=4,EG=3,

???DE=7DG2+EG2="+32=5,

9：BE//DF,

：.ZDFE=NBEF,

?I/AFD+/DFE=ZCEB+/BEF=180°,

???ZAFD=ZBEF,

在△AOb和中，

AAADF^/\CBE(A4S),

；.DF=BE=DE=5,

???￡>G=4,

：.FG=DF-DG=5-4=1,

EF=VFG2+EG2=Vl2+32=VTO'

7

SADEF-1-DF-EG=yEF'DH，

:?DF?EG=EF?DH,

5X3=W^DH，

DH-^VlO，

:.BD=2DH=3V10.

\"AD1+AB2=BD2,

AZ>2=45,

，AD=3心

故答案為：3^5?

7.已知正方形ABC。的邊長為4,CE=DF=3,OE和AF相交于點G,連接BG,點”是

行

線段AE的中點，連接8G,若NHGB=/DAF,貝UGB=4

~5~

【解答】解：：四邊形A8CO為正方形，邊長為4,

：.AD=DC=AB^BC=4,ZADC=ZC=9Q°,

在△AQF和△DCE中，

'AD=DC=4

,ZADC=ZC=90°-

CE=DF=3

AAADF^ADCE(SAS),

ZDAF=ZCDE,

'：ZADC^ZADG+ZCDE^90Q,

AZADG+ZDAF=90°,

：.ZAGD=90°,

即：AFLDE,

在RtZVIGE中，點X為斜邊AE的中點，

HG=yAE>

在RtZiABE中，AB=4,BE=BC-CE=4-1=3,

由勾股定理得：AE=VAB2+BE2=^42+121

HG=yAE=2^--

連接BH,過點〃作HTLBG于點T,

在RtAABE中，點H為斜邊AE的中點，

?'-BH蔣AE，

：.BH=HG,

即：為等腰三角形，

又HTLBG,

:.BT=GT,

：.GB=2GT,

VZHGB=ZDAF,ZHTG=ZADC=9Q°,

:.△HTGsAADF,

?.?-H-T=GT",

DFAD

即：打巫，

34

Q

HT吟G「

在RtZ\”TG中，由勾股定理得：HT1+GT1=HG2,

即：(-|GT)2-K；T2=(^p-)-

解得：GT里立，

5

，GB=2GT=生

b

故答案為：生叵.

5

8.如圖，正方形4BC。的對角線AC、8。相交于點O,M是上的一點，連接。過

點。作ONLOM,交CD于點N,若四邊形MOND的面積是3,則AB的長為，、巧

【答案】

【解答】解：過。作OE，A￡>,OF±DC,如圖:

:四邊形是正方形,

???5。平分NAOC,

：?OM=ON,NEO尸=90°,

VZMON=90°,

：.ZMOE=/NOF,

?；NOEM=NOFM=9U°,

:?△OEMQXOFN(ASA),

；?S四邊形MONO=s四邊形。或正方形agcD，

???四邊形MOND的面積是3,

???正方形ABCD的面積為12,

???A2=g=W§，

故答案為：2^3.

9.如圖，在正方形ABCD中，點E,尸分別是8C,CD上的點，AE與8尸相交于點G,連

接AC交于點"若CE=DF,BG=GH,AB=2,則△CW的面積為3折-4.

BEC

【答案】3A/2-4.

【解答】解：如圖：過點"作"垂足為M,

：.AB=BC=CD^2,AB//CD,ZABC=ZBCD=90°,NACO=45°,

:.AC=?AB=2

CE=DF,

：.BC-CE=CD-DF,

：.BE=CF,

工△ABEWABCF(SAS),

AZ1=Z2,

VZABC=Z2+Z3=90°,

???N1+N3=9O°,

AZAGB=180°-(Z1+Z3)=90°,

?:BG=GH,

：.AG是BH的垂直平分線，

???AB=A〃=2,

：.Z3=ZAHB,CH=AC-AH=242-2,

^AB//CD,

：.Z3=ZCFH,

'：ZAHB=ZCHF,

：.ZCFH=ZCHF,

:.CH=CF=2M-2,

在RtZV/MC中，a1/=翼=國^^=2-&,

V2V2

.?.△CF”的面積=工0"聞=」義(2&-2)X(2-V2)=3>/2-4,

22

故答案為：35/2-4.

10.如圖，四邊形A2C￡)是正方形，點￡、N分別在。C、8c上，點廠在CB的延長線上.△

ADE^/\DCN,將△ADE順時針旋轉w度后，恰好與重合.

(1)請寫出”的值；

(2)連結EF,試求出NAFE的度數；

(3)猜想線段AE和。N的數量關系和位置關系，并說明理由.

(2)ZAFE=45°；

(3)AE=DN,AELDN,理由見解析.

【解答】解：(1)二?四邊形A3CO為正方形，

：.ZDAB^90°,

由旋轉可知，旋轉角為ND4B=90°,

即將△?1￡)￡順時針旋轉90度后，恰好與△A2F重合,

?"=90；

(2)如圖，

由(1)知，將△A0E順時針旋轉90度后，恰好與重合,

：.ZEAF=90°,AE=AFf

???AAEF為等腰直角三角形，

???ZAFE=45

(3)AE=DN,AELDN.理由如下:

/\ADE^ADCN,

：.ZDAE=ZCDN,AE=DN,

.四邊形ABC。為正方形，

ZAD￡=90°,

AZDAE+ZAED=90°,

：.ZCDN+ZAED=90°,即NEDP+/PEO=90°,

：.ZDPE^9Q0,

：.AE±DN.

11.【探索發現】(1)如圖1，正方形ABC。的對角線相交于點。，點。又是正方形ALBICI

O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，我們知道，無論正方形A1B1C1。繞點。

怎么轉動，總有△AE。0△BF。，連接所，求證：AE2+CF2=EF2；

【類比遷移】(2)如圖2,矩形的中心。是矩形481C1O的一個頂點，4。與邊

AB相交于點E，C。與邊CB相交于點R連接所，矩形421cl。可繞著點。旋轉，判

斷(1)中的結論是否成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

【遷移拓展】(3)如圖3,在RtZXACB中，ZC=90°,AC=?>cm,BC=4cm,直角/E

DF的頂點D在邊AB的中點處，它的兩條邊OE和分別與直線AC,8C相交于點E,

F,/EDF可繞著點、D旋轉,當8尸=lcni時，直接寫出線段所的長度.

(2)見解答.

(3)EF=5\/^.或顯1_(cm),

62

【解答】(1)證明：：四邊形ABC。、421C1。都是正方形,

C.OA^OB,NOAE=NOBF=45°,ZAOB^ZEOF=ZABC=90°,AB=BC,

：.ZAOE=ZBOF,

：./\AOE^/^BOF(ASA),

：.AE=BF,

在RtABEP中，BF+BF2=EF2,

:.AE1+CF2=EF2.

(2)人質+^3二石穴仍然成立.

連接AC,

：。是矩形ABC。的中心，

二。在AC上，且AO=C。，

延長EO交CD于G,連接尸G,如圖:

:四邊形ABCZ)是矩形，

：.ZBCD=9Q°,AB//CD,

：.ZBAO=ZDCO,ZAEO=ZCGO,

'：△AOElCOG,

：.AE=CG,OE=OG,

又,矩形AiBiCi。中，CG2+Cp2=BG2,

:.AE2+CF2=EF2.

(3)當點/在邊8c上時，如圖：

：.CF=3,

設CE=_xcm,則AE=(3-x)cm,

則(3-x)2+12=X2+32,

解得尤=工，即CE=2，

66

...EF=VCE2-*CF2=J得產+32=.

當點尸在邊CB延長線上時，如圖：

同理可證.AE1+BF2=EF2,

設CE=x,貝[]AE=3+x,

??EF2=CE1+CF2=AE1+BF2,

.'.X2+52=(X+3)2+l2,

解得x=S，即CE=—,

22

EF=^52+(-|-)2=^2^(cm)，

綜上所述，■或至返(cm),

62

12.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，點尸是。C邊上的動點(不與端點重合)，點E在

線段A尸上，AD=m2+l,AE=2m,DE--1,M為線段8尸的中點，點N在線段Af

上(不與點尸重合)，且

2

(1)求證：BN1AF；

(2)隨著點P的運動，試猜想AB-AN的值是否是發生變化，若不變，請求出定值，若

變化，請說明理由.

【答案】(1)答案見解答過程；(2)AB-AN的值不發生變化，值為2.

【解答】(1)證明：：點M為的中點，

?■?MB=MF=yBF'

：.MB=MF=MN,

：.NBFN=ZMNF,/FBN=ZMNB,

：.NBFN+/FBN=ZMNF+ZMNB=ZFNB,

,：/BFN+NFBN+NFNB=180°,

即：2NFNB=18G,

：.ZFNB=9Q°,

即：BNLAF.

(2)解：猜想AB-AN的值不發生變化，AB-AN=2,理由如下：

"：AD=rrr+\,AE=2m,DE=m2-1,

'.AD1—(m2+l)2—m4+2m2+l,AEr=(2/w)2=4m2,DE1—(m2-1)2=m4-2m2+l,

.?.AE2+DE2=477?2+//Z4-2m2+l=m4+2m2+l

：.AE1+DE1=AD2,

...△AQE為直角三角形，即：ZAED=90°,

由(1)可知：BNLAF,

：.ZBNA=90°,

；.NBNA=NAED=90°,

???四邊形ABC。為正方形，

：.AB=AD=m2+l,ZBAD=90°,

AZDAE+ZBAN=9Qa,

又/BNA=90°,

:./ABN+/BAN=90°,

ZABN=ZDAE,

在△ABN和△&￡)￡中，

，ZABN=ZDAE

<ZBNA=ZAED=90°，

AB=AD

:ABN沿LADE(AAS),

.,.AN^DE^m2-1,

.'.AB-AN=nr+l-(7/72-1)=2,

：.AB-AN的值不發生變化，值為2.

13.(1)如圖1,在正方形ABC。中，AE、。廠相交于點。且/則AE和。尸的數量

關系為AE=DF.

(2)如圖2,在正方形42CD中，E、F、G分別是邊A。、BC、CZ)上的點，BGLEF,

垂足為求證：EF=BG.

(3)如圖3,在正方形ABCD中，E、F、M分別是邊A。、BC、AB上的點，AE=2,B

F=5,BM=1,將正方形沿EP折疊，點M的對應點恰好與C。邊上的點N重合，求C

N的長度.

【答案】(1)AE=DF；

(2)見解答;

(3)4.

【解答】解：(1)'：ZDAO+ZBAE=90°,ZDAO+ZADF=90°,

：.NBAE=ZADF,

fZBAE=ZADF

在AABE和中，,AD=AB

ZABE=ZDAF

.?.△ABE絲△D4F'(ASA),

：.AE=DF,

故答案為AE^DF；

(2)如圖1,故點后作期_18(7于點M,則四邊形ABME為矩形,

則AB=EM,

在正方形ABC。中，AB=BC,

：.EM=BC,

'：EM±BC,

；./MEF+NEFM=90°,

'：BC±EM,

：.ZCBG+ZEFM=90°,

；.NCBG=NMEF,

在ABCG和中，

'NCBG=NMEF

<BC=EM，

ZC=ZEMF=90°

:.叢BCG學AEMF(ASA),

；.BG=EF；

(3)如圖2,連接MN,

N關于EF對稱，

：.MN±EF,過點E作即_L2C于點H,

圖2

過點M作MG±CD于點G,則EHLMG,

由(2)同理可得：叢EHF"AMGN(ASA),

：.NG=HF,

'：AE=2,BF=5,

：.NG=HF=5-2=3,

又：GC=MB=1,

：.NC=NG+CG=3+1=4.

14.(1)如圖①，己知正方形ABC。的對角線AC、相交于點。，E是AC上一點，過A

點作AG_LEB,垂足為G,求證：OE=FO；

(2)如圖②，若點E在AC的延長線上，AGLEB,交￡8的延長線于G.AG的延長線

交。B的延長線于R其他條件不變，則結論“。￡=0k'還成立嗎？若成立，請給予證

明，若不成立，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析；

(2)結論成立.證明見解析.

【解答】(1)證明：?..四邊形ABC。為正方形，

：.OA=BO,ZA0B=ZB0C=9Q°,

5L'：AG±EB,

：.ZAG￡=90°,

；./2+/3=/1+/3=90°,

：.Z1=Z2,

在△A