專題02平行線的判定與性質

1.（2022秋?項城市期末）如圖，已知ZEDC=ZGFB,GFL4B,求證：CDLAB.把以下

證明過程補充完整，并在括號內填寫理由或數學式.

證明：

;NB=NADE（已知）

/.DE//BC（同位角相等，兩直線平行）

：./EDC=/DCB（兩直線平行，內錯角相等）

又/EDC=/GFB（已知）

/DCB=/GFB（等量代換）

GF//CD（同位角相等，兩直線平行）

【分析】根據平行線的判定與性質即可證得.

【解答】證明：（已知），

C.DE//BC（同位角相等；兩直線平行），

AZEDC=ZDCB（兩直線平行，內錯角相等），

又/EDC=/GFB（已知），

:.NDCB=NDFG（等量代換），

C.GF//CD（同位角相等，兩直線平行），

故答案為：DE,BC,同位角相等，兩直線平行，兩直線平行,內錯角相等，NGFB,GF,CD,同位角

相等，兩直線平行.

2.（2023秋?道里區校級期中）將下面的解答過程補充完整：如圖,已知。￡〃3C,EF平分NCED,ZA=Z

CFE,那么EF與48平行嗎？為什么？

解：因為。￡〃BC（已知），

所以NDEF=/CFE（兩直線平行，內錯角相等①）,

因為跖平分/CED（已知），

所以/。跖=/CFE②（角平分線的定義），

所以NCFE=/CEF（等量代換⑶）,

因為N/=NC77E（已知），

所以//=/CEF④（等量代換），

所以環〃N8（同位角相等，兩直線平行⑤）.

【分析】先根據兩直線平行，內錯角相等，得到/。口=NCF￡,再根據角平分線得出

進而得到/CFE=NCEF,再根據NZ=NCEE,即可得出N4=NCEF,進而根據同位角相等，兩直線

平行，判定E尸〃5c.

【解答】解：因為DE〃3C（已知），

所以/DEF=NCFE（兩直線平行，內錯角相等①），

因為EF平分NCE￡）（已知），

所以②（角平分線的定義），

所以NCFE=NCEF（等量代換③），

因為N/=NC/7￡（己知），

所以/4=NC斯④（等量代換），

所以所〃48（同位角相等，兩直線平行⑤）

故答案為：兩直線平行，內錯角相等，ZCFE.等量代換，ZCEF,同位角相等，兩直線平行.

3.（2022秋?尤溪縣期末）如圖，Zl+Z2=180°,Z5=Z3.

（1）求證：DE//BC-,

（2）若/C=76°,NAED=2/3,求/。￡戶的度數.

【分析】（1）由已知條件可證得48〃石戶,從而有NB=NEFC,則得N3=N

EFC,DE//BC-,

（2）由（1）得DE〃BC,利用兩直線平行，同旁內角互補可求解.

【解答】(1)證明：VZ1+Z2=18O°,Z2=Z4,

：.AB//EF,

：.ZB=ZEFC,

'：Z5=Z3,

：.Z?>=ZEFC,

：.DE//BC；

(2)解：-JDE//BC,/C=76°,

：.ZC+ZDEC^l?,Qa,NAED=NC=76°,

；N4ED=2N3,

；.N3=38°

VZDEC^180°-/C=104°,

ZCEF=ZDEC-Z3=104°-38°=66°.

4.（2023秋?懷寧縣期中）如圖，己知所〃CD,數學課上，老師請同學們根據圖形特征添加一個關于角的

條件，使得NBMn/CDG,并給出證明過程.

小明添加的條件：/B=/ADG.

請你幫小明將下面的證明過程補充完整.

證明：'.,EF//CD（已知）

/BEF=/BCD（兩直線平行，同位角相等）

?：/B=/ADG（添加條件）

：.BC//DG（同位角互補，兩直線平行）

/CDG=/BCD（兩直線平行，內錯角相等）

:.NBEF=/CDG（等量代換）.

【分析】證明8C〃DG即可解答.

【解答】證明：尸〃（已知），

:"BEF=NBCD（兩直線平行，同位角相等），

,/ZB=ZADG,

J.BC//DG（同位角相等，兩直線平行），

:./CDG=/BCD（兩直線平行，內錯角相等）,

AZBEF=ZCDG（等量代換）；

故答案為：ABCD,兩直線平行，同位角相等；DG,同位角互補，兩直線平行；/BCD,兩直線平行,

內錯角相等，等量代換.

5.（2022秋?長春期末）請把以下證明過程補充完整，并在下面的括號內填上推理理由:

已知：如圖，Z1=Z2,/A=/D.

求證：Z5=ZC

證明：；N1=N2,（已知）

又：=對頂角相等

；.N2=N3,（等量代換）

：.AE//FD同位角相等，兩直線平行

/.//=ZBFD兩直線平行，同位角相等

?；/A=/D（己知）

ND=/BFD（等量代換）

/.AB//CD內錯角相等，兩直線平行

AZ5=ZC兩直線平行，內錯角相等.

【分析】先根據題意得出N2=N3,故可得出i^ZA=ZBFD,再由N/=/￡>可得出NZ>=N

BFD,

故可得出4B〃CO,進而可得出結論.

【解答】證明：=（已知），

又???/：!=/3對頂角相等，

；.N2=N3（等量代換），

J.AE//FD（同位角相等，兩直線平行），

ZA=ZBFD（兩直線平行，同位角相等）.

VZA=ZD（已知），

ZD=ZBFD（等量代換），

'.AB//CD（內錯角相等，兩直線平行）.

AZB^ZC（兩直線平行，內錯角相等）.

故答案為：對頂角相等；Z3；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；ZBFD；AB,內

錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等.

6.（2022秋?閩清縣期末）如圖，AB//CD,E是2c的延長線上的一點，4E交CD于點、F,N1=N2,Z3

=N4.求證：

（1）ZB=ZD；

（2）AD//BE.

【分析】(1)根據N3=N4,可得N4FD=N3,再由三角形內角和定理，即可求證；

(2)根據平行線的性質可得/2+/2。=180°,從而得到/8CD+/O=180°,即可求證.

【解答】證明：(1)：N4FD=N4,/3=N4,

ZAFD=Z3,

VZ5=180°-Z1-Z3,ZZ)=180°-Z2-ZAFD,

又/l=/2,

NB=ND；

(2)'JAB//CD,

.,./8+N2CD=180°,

,/ZB=ZD.

：.ZBCD+ZD^\80°,

J.AD//BE.

7.（2023春?石城縣期末）如圖，已知N/8C=180°-于。，EFLCD于E.

(1)求證：AD//BC-,

(2)若N/OB=36°,求NEFC的度數.

【分析】（1）求出N4BC+N4=180°,根據平行線的判定推出即可；

（2）根據平行線的性質求出ND8C,根據垂直推出8。〃￡尸，根據平行線的性質即可求出NEFC.

【解答】（1）證明：VZ^5C=180°-

ZABC+ZA=180°,

：.AD//BC-,

⑵'：AD//BC,NADB=36°,

：.ZDBC=ZADB=36°,

\'BD±CD,EFLCD,

J.BD//EF,

ZDBC=ZEFC=36°

8.（2022秋?淇縣期末）如圖，已知/。〃尸￡,Z1=Z2.

（1）試說明。G〃/C；

（2）若/b4c=70°,求//GO的度數.

【分析】（1）只要證明/2=ND/C即可.

（2）利用平行線的性質解決問題即可.

【解答】解：⑴VAD//EF,

：.Zl=ZDAC,

VZ1=Z2,

N2=NDAC,

：.DG//AC.

(2)'JDG//AC,

：.ZAGD+ZBAC=^0°,

VZBAC=1Q°,

：.ZAGD^110°

9.(2022秋?禪城區期末)已知：如圖，點。，E,尸分別是三角形N2C的邊2C,CA,N8上的點，DF//

CA,/FDE=NA；

(1)求證：DE//BA.

(2)若NBFD=/BDF=2NEDC,求的度數.

【分析】(1)根據平行線的性質與判定方法證明即可；

(2)設/E￡>C=x°,由NBFD=/BDF=2NEDC可得NBFD=NBDF=2x°,根據平行線的性質可得

ZDFB=ZFDE=2x°,再根據平角的定義列方程可得x的值，進而得出的度數.

【解答】解：(1)證明：尸〃。，

ZDFB=ZA,

又；/FDE=NA,

：.ZDFB=ZFDE,

:.DE〃AB；

(2)設/EZ)C=x°,

,/NBFD=ZBDF=2ZEDC,

ZBFD=ZBDF=2x°,

由(1)可知。

:.NDFB=NFDE=2x°,

/.ZBDF+ZEDF+ZEDC=2x°+2x°+x°=180°,

.".x—36,

5L,：DE//AB,

：.ZB=ZEDC=36°.

30.(2023春?驛城區校級期末)如圖，AB//DG,Zl+Z2=180°.

(1)試說明：AD//EF；

(2)若DG是N/DC的平分線，Z2=142°,求N8的度數.

A

【分析】（1）由平行線的性質可得/氏從而可求得/9。+/2=180。，即可判斷；

（2）由題意可求得/1=38°,再由角平分線的定義可得NCDG=N1=38°,再利用平行線的性質即可

求解.

【解答】（1）證明：

ZBAD=Z1,

VZ1+Z2=18O°,

...N84D+N2=180°,

J.AD//EF；

（2）解：VZ1+Z2=18O°,/2=142°,

AZ1=38°,

?.?OG是N4DC的平分線，

.\ZC￡）G=Z1=38°,

'.,AB//DG,

：.4B=NCDG=38°.

11.（2023秋?香坊區校級期中）完成下面推理過程，并在括號里填寫推理依據：

如圖，已知：AB//EF,EPLEQ,NEQC+NAPE=9Q°,求證：AB//CD.

證明：；48〃￡尸（已知），

/APE=/PEF,

'：EPLEQ（已知），

ZPEQ=90°）,

即/0￡尸+/尸￡尸=90°,

AZQEF+ZAPE=90°,

VZEQC+ZAPE=90°（已知），

：.4EOC=NOEF（同角的余角相等）,

：.EF//CD（內錯角相等，兩直線平行）,

又；AB〃EF,

.-.AB//CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）.

P

AB

CQD

【分析】根據平行線的性質、判定填空即可.

【解答】解：：/^〃加；

，ZAPE=ZPEF.

'：EP±EQ,

：.ZPEQ=90°（垂直的定義）.

即尸+/尸斯=90°.

/.ZAPE+ZQEF=90°.

VZEQC+ZAPE^90°,

/.ZEQC=ZQEF（同角的余角相等）.

：.EF//CD（內錯角相等，兩直線平行）.

：.AB//CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）.

故答案為：PEF；ZQEF；同角的余角相等；CD,內錯角相等，兩直線平行；如果兩條直線都與第三條

直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

12.（2022秋?鄧州市期末）如圖，點M在CO上，已知,AE平分/BAM,M/平

分/AMC,請說明/￡〃"尸的理由.

解：因為（已知）,

ZAMC+ZAMD=180。（平角的定義）,

所以（等量代換）.

因為/￡平分

所以/1卷/BAM（角平分線的定義）.

因為板平分乙4A/C,

所以N24NAMC,

得/1=/2（等量代換）,

所以AE//MF（內錯角相等，兩直線平行）.

AB

1

CMD

【分析】根據角平分線的定義，平行線的判定定理完成填空即可求解.

【解答】解：因為/B4W+//〃￡>=180°（已知），ZAMC+ZAMD=1SO°（平角的定義），

所以（等量代換）.

因為/￡平分

所以（角平分線的定義）.

因為血田平分N41/C,

所以N2總

得/1=/2（等量代換），

所以NE〃及r（內錯角相等，兩直線平行）

故答案為：已知；平角的定義；等量代換；ZBAM；角平分線的定義；NAMC；Z1=Z2；等量代換;

AE//MF；內錯角相等，兩直線平行.

13.（2022秋?桐柏縣期末）完成下面推理過程.

如圖：已知，N/=112°,N/2C=68°,BDLDC于點、D,EF_LDC于點F,求證：Nl=/2.

證明：：N/=112°,/4BC=68°（己知）

ZA+ZABC=ISO°

J.AD//BC（同旁內角互補，兩直線平行）

Z1=Z3（兩直線平行，內錯角相等）

'：BD±DC,EF1DC（已知）

:.NBDF=90°,NEFC=90°（垂直的定義）

/BDF=/EFC=90°

J.BD//EF（同位角相等，兩直線平行）

；./2=N3（兩直線平行，同位角相等）

?.Z1=Z2（等量代換）

【分析】根據推理過程，填上依據即平行線的性質或者判定.

【解答】證明：=,/4BC=68°（已知），

/.ZA+ZABC=180°.

：.AD//BC（同旁內角互補，兩直線平行）.

.*.Z1=Z3（兩直線平行，內錯角相等）.

■:BD1DC,EF±DC（已知），

:.NBDF=90°,ZEFC=90°（垂直的定義）.

AZBDF=ZEFC=90°.

斯（同位角相等，兩直線平行）.

：.Z2=Z3（兩直線平行，同位角相等）.

.\Z1=Z2（等量代換）.

故答案為：同旁內角互補，兩直線平行；N3；兩直線平行，內錯角相等；垂直的定義;

同位角相等，兩直線平行；N3；兩直線平行，同位角相等；等量代換.

14.（2023秋?天山區校級期中）已知，GP平令~/BGH,HP平分NGHD,ZGPH=90°.

（1）求證：AB//CD；

（2）若//GE=60°,求/4的度數.

【分析】（1）依據三角形內角和定理，即可得到Nl+/3=90°,再根據角平分線的定義，即可得到/

BGH+ZDHG=2（Z1+Z3）=180°,進而得出CD；

（2）依據對頂角相等以及平行線的性質，即可得到N￡>//G=180°-60°=120°,再根據印3平分/

GHD,即可得到結論.

【解答】解：（1）,:NGPH=90°,

.,.△G//P中，Zl+Z3=90°,

又,：GP平分乙BGH,HP平分NGHD,

：.ZBGH=2Z1,ZDHG=2Z3,

/.ZBGH+ZDHG=2(Z1+Z3)=180°,

J.AB//CD-,

(2)VZBGH=ZAGE=6Q°,

AZDHG^180°-60°=120°,

又,：HP平分4GHD,

：.Z4=-^-ZDHG=^X120°=60°.

15.(2023春?覃塘區期末)如圖：已知，/HCO=NEBC,/BHC+NBEF=18。

(1)求證：EF//BH；

(2)若BH平分NEBO,EF_L4O于F,/HCO=64°,求NC7/O的度數.

【分析】（1）要證明跖〃8”,可通過NE與NE8”互補求得，利用平行線的性質說明

可得結論.

（2）要求NC7/O的度數，可通過平角和/尸“C求得，利用（1）的結論及角平分線的性質求出NEH8

及N8//C的度數即可.

【解答】證明：（1）VZHCO=ZEBC,

J.EB//HC.

：.AEBH=ZCHB.

■:NBHC+NBEF=180°,

；./EBH+/BEF=18Q°.

J.EF//BH.

（2）解：VAHCO=ZEBC,

：.ZHCO=ZEBC=64°,

,:BH平分4EBO,

:./EBH=NCHB=L/EBC=32。.

2

?.,跖_1_/。于尸，EF//BH,

:.NBHA=90°.

:.NFHC=NBHA+NCHB=122°.

VZC77O=180°-ZFHC

=180°-122°

16.（2023春?新化縣期末）如圖，點E,尸分別在加9,CD上，AF±CE,垂足為點。.已知/1=/8,Z

/+/2=90°.

（1）求證：AB//CD；

（2）若/尸=12,BF=5,/2=13,求點尸到直線N5的距離.

【分析】（1）應用平行線的判定與性質進行求解即可得出答案；

（2）設點廠到直線42的距離為人根據等面積法可得&詆=暴呻8=扣2，代入計算即可得出〃

的值，即可得出答案.

【解答】（1）證明：因為//=/?（已知），

所以CE〃臺F（同位角相等，兩直線平行），

因為/P_LCE（已知），

所以/尸_L3/（垂直的性質），

所以NNE8=90°（垂直的定義），

又因為乙仔C+N4ra+N2=180°（平角的定義）.

即NN尸。+/2=90°,

又因為//+/2=90,

所以//尸C=N4（同角的余角相等），

所以（內錯角相等，兩直線平行）；

（2）解：因為//（己證），且/尸=12,BF=5,48=13.

設點尸到直線N8的距離為兒

所以52尸8=/您叩B=，"AB"h,

所以4xi2X5=、X13h，

即人也，

13

所以點尸到直線AB的距離為也.

13

17.（2023春?溫州月考）如圖，已知C1=N3,Z2=ZB.

（1）試判斷與3C的位置關系，并說明理由；

（2）若DE平分N4DC,Nl=3/B,求/斯C的度數.

【分析】（1）根據已知條件判定/8〃￡尸，再結合平行線的性質可得從而判定出最終結論.

（2）設NB=x,結合已知條件，分別把Nl,ZADE,N4DC表示出來，根據N4D2是平角列出方程,

求出x的值，進而求出/斯C的度數.

【解答】解：（1）DE//BC,理由如下：

VZ1=Z3,

：.AB//EF,

：.Z2=ZADE,

?：N2=/B,

NADE=/B,

：.DE//BC

（2）設N8=x,則Nl=3N8=3x,

'JDE//BC,

/.ZADE=NB=x,

???Z）E平分N4）C,

???ZADC=2ZADE=2x,

.".ZBDC+ZADC=180°

.,.3x+2x=180°

；.x=36°,

:.NADC=2x=12°,

,:AB〃EF,

ZEFC=ZADC=72°

18.（2023春?仙居縣期末）如圖是一個漢字“互”字，其中，AB//CD,HF//GE,NHGE=NHFE,M、

H、G三點在同一直線上，N、E、尸三點在同一直線上.

求證：（1）GH〃EF；

（2）ZCMH^ZBNE.

【分析】（1）根據“兩直線平行，同旁內角互補”和“同旁內角互補，兩直線平行”證明即可;

（2）延長ER與CD交于點/.根據“兩直線平行，內錯角相等”和角的等量代換證明即可.

【解答】證明：（1）\'HF//GE,

；.NHFE+NGEF=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

又：ZHGE=ZHFE,

：.ZHGE+ZGEF^1800,

.?.GW〃防（同旁內角互補，兩直線平行）.

（2）延長斯，與CD交于點/.

ZCMH=ZMIF.

又■:AB//CD,

：.ZMIF=ZBNE.

：.ZCMH=ZBNE.

19.（2022秋?東陽市期末）如圖，長方形紙片中，G、，分別是N8、CD邊上的動點，連G”，將長

方形紙片N3CD沿著G8翻折，使得點2,C分別落在點E,廠位置.

(1)若/BGH=110°,求N/GE的度數.

(2)若NFHD=20。,求/CHG的度數.

(3)已知N3G8和NCHG始終互補，若/BGH=a,請直接寫出NFHC的度數(含a的代數式).

備用圖

【分析】(1)根據折疊得到/夙汨=/或?”=110°,再根據平角的定義，利用

-180°計算可得;

(2)根據折疊得到/SG=/E?7G,再根據平角的定義計算即可；

(3)根據互補得到/反汨+/56=180°,從而求出/C7/G=NF〃G=180°-a,繼而可得結果.

【解答】解：(1)由折疊可得：NBGH=/EGH=110°,

VZBGH+ZAGH=180°,

AGE=ZBGH+ZEGH-180°=40°；

(2)由折疊可得：ZCHG=ZFHG,

?e?ZCHG=y(1800-ZFHD)=80°；

(3)???/86〃和/。次？始終互補，

；?/BGH+/CHG=180°,

?.*/BGH=cc,

???NC〃G=180°-a,

AZF//G=180°-a,

:?/FHC=/FHG+/CHG=360°-2a.

20.(2023春?金牛區校級期中)如圖1,直線G8與直線3打分別交于5,4兩點，點。在直線6上，射

線/。平分NA4c交直線(于點E,ZGBE=2ZBAE,

(2)如圖2,點。在直線/i上(2點左側)，平分/A40交4于點跖過點M作MAa/D交/。于

點N,請猜想NBQ4與N/MN的關系；并證明你的結論；

(3)若點尸是線段48上一點，射線￡尸交直線辦于點尸，/62片=130°.點N在射線40上，且滿足

/EBN=/EFC連接BN,請補全圖形，探究/BN4與/FE/滿足的等量關系，并證明.

【分析】(1)根據角平分線的定義可得/8/C=24B/E,等量代換可得/G3E=NA4C,根據平行線的

判定定理，即可得證；

(2)設/D4B=/DAC=<x,ZBAM=ZQAM=^,根據三角形的內角和定理以及平行線的性質得出/

BQA,ZAMN,即可求解；

(3)根據題意補充圖形，分兩種情況討論，①當N在/E上時，設/班"=/跳匕=。，根據平行線的

性質以及三角形的外角的性質，分別表示出ZFEA,可的結論；②當點N在/￡的延長線上時,

根據平行線的性質，即可求解.

【解答】(1)證明：：射線平分NR4C交直線A于點E,ZGBE=2ZBAE,

：.ZBAC^2ZBAE,

：.ZGBE=ZBAC,

(2)解：NBQA=2NAMN；理由如下，

平分NA4C,4W平分NA40,

ZDAB=ZDAC^-ZCAB,ZBAM=ZQAM=1-ZQAB-

設/DAB=ZDAC=a,ZBAM=ZQAM=0,

\9MN.LAD,

:?NMNA=90°,

貝|JN4AW=9O°-ZMAD=90°-QNMAB+NDAB)=90°-(a+p),

,:

：.ZBQA=\^O°-ZQAC=1SO°-2(a+p),

:./BQA=2/AMN：

(3)解：NBNA+/FEA=T30°,理由如下，

補全圖形，如圖所示，①當N在/E上時，

備用圖

ZEBN=NEFC,

沒/EBN=ZEFC=Qf

,：h〃h，NGBE=130°,

：?4BEF=/EFC=S,ZBAC=ZGBE=130°,

9：AD平分NH4C,

ZDAB=ZDAC-^ZCAB=65°，

?：h〃h，

：.ZBEA=ZEAC=65°,

：.ZBNA=ZNBE+ZBEN=65°+0,/FEA=/NEB-/BEF=65°-6,

：?/BNA+NFEA=130°,

②如圖，當點N在4E的延長線上時，ZBNA=ZFEA,

備用圖

???/1〃勿

；?/BEF=/EFC,

*.*/EBN=/EFC,

：.ZBEF=/EBN,

:,BN〃EF,

：.ZBNA=ZFEA.

21.（2023春?義烏市校級期中）今年除夕夜長江兩岸的燈光秀璀璨奪目，照亮山城的山水橋梁城市樓閣，

人民歡欣鼓舞.觀看表演的小語同學發現兩岸的燈光運動是有規律的，如圖1所示，燈4射出的光線從

4。開始順時針旋轉至4尸便立即回轉，燈5射出的光線從5M開始順時針旋轉至便立即回轉，兩燈

不停旋轉.

假設長江兩岸是平行的，即尸點4在尸。上，B、C、D在MN上,連接45、AC.AD,已知

AC平分NBAP,4。平分NC4尸.

M'

(1)如圖1,若乙4BD=40°,則NC40=110°；

(2)如圖2,在尸0上另有一點E,連接CE交4D于點尸，點G在上，連接NG,若NC4G=工/

6

CAE,ZEFD+^-ZDAG^lSQ°,試證明：EC//AB.

4

(3)如圖3,已知燈/射出的光線旋轉的速度是每秒10°,燈8射出的光線旋轉的速度是每秒30°,

若燈8射出的光線從3/出發先轉動2秒，燈/射出的光線才從N0出發開始轉動，設燈/轉動的時間

為/秒，在轉動過程中，當0W/W12時，請直接寫出燈/射出的光線與燈2射出的光線相交且互相垂直

時的時間t的值.

【分析】(1)根據兩直線平行內錯角相等，得出/。42=//2。=40°,再根據平角的定義，得出NA4產

=140°,再根據角平分線的定義，得出NA4c=70°,再根據角之間的數量關系，計算即可得出答案；

(2)根據角平分線的定義，得出NG4E=2NC4凡進而得出NCAG=^NCAF，再根據對頂角相等和三

3

角形的內角和定理，得出/C,ZAFC+ZACE+ZCAF=180°,進而得出

/EFD+^-ZDAG=ZAFC+ZACE+ZCAf-再根據等量代換，得出/4CE=NC4E,即NNCE=NC4P,

4

再根據角平分線的定義，得出NC4P=NC4B,再根據等量代換，得出N4CE=NC4B,再根據內錯角相

等兩直線平行，即可得出結論；

(3)根據題意，分三種情況：當0W/W4時、當4<fW10時、當10<fW12時，分別畫出圖形，根據角

之間的數量關系，列出方程進行計算即可.

【解答】解：(1),:PQ//MN,ZABD=40°,

：.ZQAB=ZABD=40°,

AZBAP=\SOQ-ZQAB=\S0°-40°=140°,

平分NB/P,

?,-ZBAC=yZBAP=70°，

：.ZCAQ=ZBAC+ZQAB=10°+40°=110°；

故答案為：110°；

(2)平分NC4P,

:.NCAE=2/CAF,

,?■ZCAG=-^ZCAE-

6

?■?ZCAG=4ZCAF'

VZEFD=ZAFC,ZAFC+ZACE+ZCAF=180°,

q

又???NEFD+INDAG=18。。，

q

???ZEFD+rZDAG=ZAFC+ZACE+ZCAI-

4

q

：(NCAF+NCAG)=/ACE+NCAF，

q

?,-Tx(3ZCAG+ZCAG)=ZACE+ZCAF-

4

qii

?"--J-X(3XaNCAF吟NCAF)=/ACE+NCAF，

OO

A3ZCAF=ZACE+ZCAF,即N4CE=2NC4/，

:?NACE=NCAE,即NNCE=NC4P,

,.?/C平分NB/P,

:?/CAP=NCAB,

：.NACE=NCAB,

：.EC//AB；

(3)當0W/W4時，如圖，

9：AQLBM,

：.ZW^=90°-10°t,

FPQ//MN,

???NMW+N/M5=180°,

即30°(2+力+(90°-10°/)=180°,

解得：

T2

■:AQ1BN,

:?/BNA=90°-10°t,

?:/NBN=30°(Z-4),

.,.90°-10°t=30°(?-4),

解得:

當10V/W12時,如圖,

ZAQ'M=90+30(t-10),

ZQAQ'^lOt,PQ//MN,

/.90+30Ct-10)=10?,

解得：，

綜上所述，f的值3秒或21秒或21或9.75秒.

242

(1)如圖1,若AD〃BC,求證：AC//BD；

(2)如圖2,若BD：LBC,垂足為8,BD交CE于點、G,請探究NEME與NC的數量關系，寫出你的探

究結論，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點。作。k〃BC交射線CE于點R當/BAC=NBAD,NDFE=8

ZONE時，求N8/D的度數.

【分析】(1)根據4D〃BC,可得/D4E=/C,再根據NC=N/D2,即可得到NZX4E=N4D5,即可

得證；

(2)ZDAE+2ZC^90°.根據三角形外角的性質，可得到NCG8=N4D8+ND4E,根據直角三角形兩

銳角互余，有NCG3+NC=90°,再根據NC=N4D2即可得到NONE與NC的數量關系；

(3)設乙D/E=a,則/。巫=8式，Z^FD=180°-8a,根據。尸〃BC,即可得到NC=N/FD=180

-8a,再根據ND/E+ZNCugO。，即可得至lja+2(180°-8a)=90°,求得a的值，即可運用三角形

內角和定理得到/A4。的度數.

【解答】(1)證明：

/DAE=/C,

又：/C=AADB,

/DAE=ZADB,

：.AC//BD；

(2)解：ZDAE+2ZC=90°

理由如下：是△NDG的外角，

/.ZCGB=ZADB+ZDAE,

；BD_LBC,

：.ZCBD=90°,

.,.在ABCG中，ZCGB+ZC^90°,

：.ZADB+ZDAE+ZC=90°,

又；NC=/ADB,

：.ZDAE+2ZC=90°；

(3)解：設ND4E=a,則/DEE=8a,

，N4FD=180°-8a,

'：DF//BC,

.*.NC=N4FD=180°-8a,

又；/。/￡+2/。=90°,

：.1(180°-8a)+a=90°,

.,.a=18",

AZC=180°-8X18°=36°,

ZADB=ZC=36°,

又：ZBAC=ZBAD,

：.ZABC=ISO°-ZC-ZBAC=180°-NADB-ZBAD=ZABD,

YNCBD=90°,

ZABC=ZABD-^ZCBD=45°，

.,.在中，ZBAD=1800-45°-36°=99°,

...NB4D的度數為99°.

23.(2022秋?鯉城區校級期末)如圖①，已知一條直線分別交AB、CD于點、E、F,NEFB=N

B,FHLFB,點。在3尸上，連接Q8.

圖1圖2

(1)已知NEFD=70°,求48的度數；

(2)求證：FH平分NGFD.

(3)在(1)的條件下，若NFQH=30°,將繞著點尸順時針旋轉，如圖②，若當邊r轉至線

段所上時停止轉動，記旋轉角為a,請求出當a為多少度時，。〃與△即廠某一邊平行？

(4)在(3)的條件下，直接寫出/。尸0與/GW之間的關系.

【分析】(1)由4B〃CD,得NB=/BFD,又NB=NEFB,得證NEFB=NBFDVNEFD=35。；

(2)由(1)NEFB=/BFD,由尸〃_1_尸8,得NBFD+/DFH=90°,ZEFB+ZGFH=90°,由等角的

余角相等，得/DFH=/GFH,命題得證；

(3)由。〃分別與的三邊分別平行，分情況討論處理；

(4)在(3)的各種情況下，分別計算NDFQ與NGM的度數，可得結論NDP0與NGEHr相差20°.

【解答】解：(1)'CAB//CD,

：./B=/BFD,

又/B=/EFB,

?*-ZEFB=ZBFD=yZEFD=35°，

:.NB=35°；

(2),:FHLFB,

：.ZBFD+ZDFH=90°,ZEFB+ZGFH=90°,

ZDFH=ZGFH,

:.FH平分/GFD.

(3)①。"與△￡■/吆的邊8尸平行時，如下圖1及圖4,

如圖1,'JBF//HQ,

；.NH+/BFH=180°,

又NH=60°,

/.ZBFH=nO°,a=ZBFQ=l20°-ZHFQ=nO°-90°=30°；

如圖4,NHFB=NH=60°,

a=Zl+Z2+Z3=360°-CZHFB+ZHFQ)=360°-(60°+90°)=210°；

②07與△EF8的邊平行時，如下圖2,

Z1=Z3=35°,Z2=Z4=30°,

圖2

③”與△EF8的邊防平行時，如下圖3,

Z3=Zg=30°,

：.a=ZBFQ=Z1+Z2+Z3=35°+110°+30°=175°,

「

Q

G

圖3

綜上，旋轉角為a=30°或65°或175°或210°.

(4)a=30°時，NDFQ=NDFB-NBFQ=35°-30°=5°,/GFH=90°-ZEFB-ZBFQ^9Q°

-35°-30°=25°；

a=65°時，/DFQ=65°-35°=30°,NGFH=90°-NGFQ=90°-(180°-35°-65°)=

10°；

a=175°時，ADFQ=\15°-35°=140°,ZGFH=1SQ0-60°=120°；

a=210°時，ZDFQ=2W-35°=175°,NGFH=360°-110°-35°-60°=155°；

綜上，/。尸。與NGF"相差20°.

24.(2023秋?香坊區校級期中)如圖1,直線MV與直線45、C。分別交于點￡、F,Zl+Z2=180°.

(1)求證：AB//CD；

(2)如圖2,N8E尸與NEED的角平分線交于點P,延長交CD于點G,點//是上一點，且

GHLEG,求證：PF//GH-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接尸〃，NHPQ=45°,K是G8上一點，連接PK,作尸0平分/

【分析】(1)根據同旁內角互補，兩條直線平行即可判斷直線N3與直線CD平行；

(2)先根據兩條直線平行，同旁內角互補，再根據所與NEFD的角平分線交于點尸，可得/EPF=

90°,進而證明尸尸〃GH；

(3)根據直角三角形的性質求出/HPG=75°,根據角的和差及鄰補角定義求出/取。=60°,根據角

平分線定義求解即可.

【解答】(1)證明：VZ1+Z2=18O°,

又；/1=NAEF,Z2=ZCFE,

：.ZAEF+ZCFE=180°,

：.AB//CD；

(2)證明：由(1)知，AB//CD,

；./BEF+NEFD=l8Q°,

又,：NBEF與/EFD的角平分線交于點P,

/.ZFEP+ZEFP=—(/BEF+/EFD)=90°,