第四章三角形

重難點08幾何熱考題二三角形熱考模型

（10種模型匯總+專題訓練+10種方法解析）

【題型匯總】

1.（2021九年級?全國?專題練習）如圖，△力BC中，ZX=65°,直線DE交AB于點交力C于點E,貝！UBDE+

MED=().

C.235°D.245°

2.（2023?陜西西安?西安高級中學校考模擬預測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若

zl=125°,則N2的度數為（）

3.（2020?四川廣安?中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30。的角后得到一個六邊形BCDEMN,

4.（2023?廣東廣州?統考一模）在“玩轉數學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發現得

到的N1與N2的和總是一個定值.則N1+42=度.

5.（2023?貴州貴陽?統考一模）如圖,在四邊形紙片中，4。=50。,若沿圖中虛線剪去乙0,則41+42='

結論NA+NB=NC+ND,AD+BOAB+CDZP=1(ZB+ZD)

1.如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,C力組成的平面圖形中，ND=28。，則〃+NB+NC+NF的度數為（）.

A.262°B.152°C.208°D.236°

2..（2023臨汾市模擬預測）（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：乙4+NB=NC+ND.

（2）如圖（2）,AP,CP分另IJ平分NBA。，乙BCD,若/ABC=36。，zXDC=16°.求NP的度數.

（3）如圖（3）,直線4P平分NB4D,CP平分NBCD的夕卜角ABCE,猜想NP與NB、的數量關系是；

（4）如圖（4）,直線AP平分NB力。的夕卜角NF4D,CP平分立BCD的夕卜角NBCE,猜想NP與NB、AD的數量關

系是.

A

P

A

D

圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)

3.（2020九年級?全國?專題練習）閱讀材料:

如圖1,AB,C￡＞交于點O,我們把△A。。和ABOC叫做對頂三角形.

結論：若△A。。和△20C是對頂三角形，則/A+/Z）=NB+NC.

結論應用舉例：

如圖2：求五角星的五個內角之和，即/A+NB+NACE+/AD8+/E的度數.

解：連接C。，由對頂三角形的性質得：ZB+ZE=Z1+Z2,

在△AC。中，VZA+ZACZ)+ZADC=180°,

即ZA+Z3+Z1+Z2+Z4=18O°,

ZA+ZACE+ZB+ZE+ADB=1SO°

即五角星的五個內角之和為180°.

解決問題：

(1)如圖①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF^_；

(2)如圖②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG^_；

(3)如圖③，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH^_-,

(4)如圖④，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZM+ZN^

請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程.

4.（2024八年級上?全國?專題練習）閱讀材料，回答下列問題:

“八字型”是數學幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構成.

【探索研究】

探索一：如圖1,在八字型中，探索乙4、乙B、NC、ND之間的數量關系為；

探索二：如圖2,若NB=36。，ND=14。，求NP的度數為；

探索三：如圖3,CP、2G分別平分/BCE、^FAD,4G反向延長線交CP于點P,貝吐P、乙B、”之間的數量

關系為.

【模型應用】

應用一：如圖4,延長8M、CN,交于點4在四邊形MNCB中，設NM=a,NN=0,a+0>180。，四邊

形的內角NMBC與外角NNCD的角平分線BP,CP相交于點P,則乙4=（用含有a和￡的代數式表

示），NP=.（用含有a和￡的代數式表示）

應用二：如圖5,在四邊形MNC8中，設NM=a,NN=￡,a+0<180°,四邊形的內角NMBC與外角NNCD

的角平分線所在的直線相交于點P,乙P=.（用含有a和0的代數式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如圖6,若設4。=工，ZB=y,^CAP=^CAB,^CDP=^CDB,試問NP與NC、NB之間的數

量關系為.（用x、y表示NP）

拓展二：如圖7,4P平分NBA。，CP平分NBCD的鄰補角NBCE,猜想NP與48、的關系，直接寫出結論

1.（2024內江市模擬預測）如圖①，有結論：ND=N2+NB+NC,因為這個圖形像飛鏢，所以我們往往

把這個模型稱為“飛鏢模型”，如圖②，在飛鏢模型中分別作NABC和NACB的平分線交于點位，易得4%=

f,如圖③，在飛鏢模型中作乙4BD靠力B的三等分線，作NACD靠4C的三等分線，兩條三等分線交于點

乙E2,……,依次方法，在飛鏢模型中作乙48。靠2B的〃等分線，作N2CD靠4C的〃等分線，兩條”等分線

交于一點，貝1JNEJI-I=.

AAA

2.(20-21八年級上.安徽亳州.階段練習)如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接A瓦BC,我們把四邊形ABCZ)

叫做“飛鏢模型

(1)求證：^ADC=4DAB+乙DCB+乙ABC；

(2)如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點、D,若NEDF=120。，求+NC+NG+

NE+NF的度數.

3.(21-22八年級?全國?假期作業)利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果.

幾何模型：如圖(1),我們稱它為“A”型圖案，易證明：ZEDF=ZA+ZB+ZC.

運用以上模型結論解決問題：

(1)如圖(2),“五角星''形，求N4+NA2+NA3+N4+NA5=?

分析：圖中是“A”型圖，于是所以NA/+NA2+N4+/4+NA5=;

(2)如圖(3),“七角星”形，求/A/+/A2+/A3+NA4+NA5+/A6+/A7的度數.

4.（20-21七年級下.江蘇鎮江?期中）模型規律：如圖1,延長CO交4B于點。，則NB。。=Nl+AB=+

NC+NB.因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有2BOC=NA+NB+NC”這個規律，所以我們把這個

模型叫做“箭頭四角形”.

圖7

模型應用

(1)直接應用：

①如圖2,N4=60°,=20°,ZC=30°,貝!J/BOC='

②如圖3,+zB+zC+ZD++zF=°；

(2)拓展應用：

①如圖4,N4B。、N4C。的2等分線（即角平分線）BO”CO[交于點0],已知NB0C=120°,ABAC=50°,

則/8。母=°；

②如圖5,BO、CO分另U為N4B。、乙4C。的10等分線（i=1,2,3,...,8,9）.它們的交點從上到下依次為0〉02,

。3、…、。以已知N80C=120°,ABAC=50°,則ZB。7。=°；

③如圖6,NAB0、NB4C的角平分線交于點。，已知NB0C=120°,ZC=44。,貝IJN/WB=°；

④如圖7,ABAC、NB0C的角平分線4。、。。交于點。，貝此仄上C、ND之間的數量關系為.

1.（2023?廣東珠海?模擬預測）如圖，將AABC沿著DE翻折，使B點與B點重合，若/1+/2=80。,則NB的度

A.20°B.30°C.40°D.50°

2.（2022上?湖北恩施?八年級期末）如圖，把△ABC沿所對折，折疊后的圖形如圖所示=60。,41=96°,

則42的度數為（）

A

2

c

A.30°B.24°C.25°D.26°

3.（2023杭州市模擬）如圖，將AABC紙片沿OE折疊，點A的對應點為4,若N3=60。，ZC=80°,則N

1+N2等于（）

60°C.80°D.140°

4.（2022下?河南南陽?七年級校考階段練習）如圖，在四邊形紙片ABC。中，乙4=80。，乙B=75°,將紙片

折疊，使點C,。落在邊上的點L,?處，折痕為EF,則41+』2=（）

C.60°D.70°

5.（2023下?河南鄭州?八年級校考開學考試）折紙是我國一項古老的傳統民間藝術，這項具有中國特色的傳

統文化在幾何中可以得到新的解讀.已知在△/8C中，請根據題意，探索不同情境中N1+N2（或乙1-N2）

與乙4的數量關系.

c

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若乙4=60。，沿圖中虛線DE截去乙4,則Nl+N2=_.

(2)如圖②，翻折后，點A落在點4處，若Nl+N2=110。，求AB+NC的度數.

(3)如圖③，△?1也紙片沿DE折疊，使點A落在點4處，若41=80。，42=28。，貝吐4的度數為

6.(2022下?山東煙臺?七年級統考期中)折紙是我國一項古老的傳統民間藝術，這項具有中國特色的傳統文

化在幾何中可以得到新的解讀.已知在△ABC中，請根據題意，探索不同情境中/1+N2(或Nl—N2)與

/A的數量關系.

CCC

圖①圖②圖③

(2)如圖②，若/A=80。，沿圖中虛線。E將/A翻折，使點A落在8C上的點4處，則/1+/2=

(3)如圖③，翻折后，點A落在點4處，若/1+/2=80。，求N3+NC的度數

(4)如圖④，△ABC紙片沿折疊，使點A落在點々處，若Nl=80。，N2=24。，求/A的度數.

題型05三角形翻折模型

向內翻折向外翻折

②Nl+N2=90。；③N1=N2；④0FII4B.其中一定正確的結論有（）

2.（20-21七年級下?江蘇泰州?期末）如圖，將△A8C紙片沿QE折疊,使點A落在點A處，且A'B平分/ABC,

AC平分若NA4'C=120。，則N1+N2的度數為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

3.（21-22七年級下.江蘇南京?期末）己知△ABC中，乙4=65。,將NB、〃按照如圖所示折疊，若乙4。夕=35。,

貝吐1+42+43=°.

4.(24-25八年級上?全國?階段練習)如圖，AAOB=a,點M是射線04上的一個定點，點N是射線OB上的

一個動點，連接MN,把N40B沿MN折疊，點。落在NAOB所在平面內的點C處.

(1)如圖1,點C在乙40B的內部，若NCMA=20。，Z.CNB=60°,則a=_.

(2)如圖2,若a=45。，ON=V2,折疊后點C在直線0B上方，CM與。B交于點E,且MN=ME,求N0MN的

度數及折痕MN的長.

(3)如圖3,若折疊后，直線MC108,垂足為點E,且。M=5,ME=3,直接寫出此時ON的長.

5.(2024八年級上?黑龍江?專題練習)新考向【動手操作】一個三角形的紙片4BC,沿DE折疊，使點4落在

點4處.

(1)如圖①，若乙1=40°,則41+Z2=c

若乙4=55°,則N1+42=°；

若N4=n°,貝!Ul+Z2=°；

【探索證明】

(2)利用圖①，探索N1,42與乙4的關系，并說明理由;

【拓展應用】

（3）如圖②，把AABC折疊后，BA平分Z_ABC,C4平分”C8,若41+N2=108。，利用（2）中的結論

求ABAC的度數.

6.（2024?貴州貴陽?二模）綜合與實踐

問題情境：在綜合與實踐課上，老師要求同學們以“折紙中的數學”為主題開展活動.

獨立思考：

（1）如圖①，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點4落在四邊形BCDE內點4的位置，貝叱2與N1+N2之間的

數量關系為請說明理由；

深入探究：

（2）如圖②，若點4落在四邊形8CDE的邊C。下方時，試猜想此時乙4與41,乙2之間的數量關系，并說明

理由；

結論運用：

（3）如圖③，在四邊形4BCD中，NA=NC=90。，E,F分另!j是4B,CD邊上的一點，沿EF將四邊形A8CD折

疊，點力的對應點G恰好落在BC邊上，且N1=75°,Z2=15°.

①乙8的度數為

②若BE=2V2,AD=|X￡,求點H到BC的距離.

題型06三角形雙角平分線模型

兩內角平分線模型兩外角平分線模型一內一外角平分線

條件已知BD、DC分別平分NABC、已知BD、DC分別平分NEBC、ZBCFBE、EC分另IJ平分NABC、ZACD

ZACB

(1)如圖1,BO平分△ABC的內角/ABC,CO平分△ABC的外角/ACD,試證明：ZBOC=|ZA；

【變式應用工

(2)如圖2,直線PQLMN,垂足為點O,作/PON的角平分線OE,在OE上任取一點A,在ON上任

取一點B,連接AB,作/BAE的角平分線AC,AC的反向延長線與NABO的平分線相交于點F,請問：

ZF的大小是否隨著點A,B位置的變化而變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請求出其度數;

(3)在(2)的基礎上，若FC〃MN,則AB與OE有何位置關系？請說明理由.

2.(22-23七年級下?江蘇鹽城?期中)如圖，是一個缺角(右4)的三角板模型，現要知道N4的大小.數學活動課

上，小李沒有采用先直接量得NMBC和NNCB的度數，再求得乙4的度數，而是分別畫出NMBC的角平分線與

NNCB的外角平分線相交于點P,測得4P=26。，請告知乙4=°.

p

3.（22-23七年級下?吉林長春?期末）【探索發現】在一次數學學習活動中，劉華遇到了下面的這個問題:

如圖①，在△4BC中，BP平分N4BC,CP平分N4CB,請你判斷N力和”間的數量關系并說明理由.

劉華對這個問題進行了判斷并給出了證明過程，下面是部分證明過程，請你補全余下的證明過程.

解：結論：乙P=.

理由：：BP平分N28C,CP平分Z71CB,

乙PBC=-^ABC,乙PCB=-Z.ACB.

22

：./.?=180°-乙PBC-APCB

1

=180°--{/.ABC+ZXCB）

1

=180。-2（180。-4）

【模型發展】如圖②，點P是△力BC的外角平分線BP與CP的交點，請你判斷乙4和NP間的數量關系并說明

理由.

【解決問題】如圖③，在AABC中，BP平分CP平分N4CB,點。是△PBC的外角平分線BQ與CQ的

交點.若乙4=68°,則NQ=度.

圖①圖②圖③

4.（1）如圖（1）,在AA8C中，/BAC=70。，點。在BC的延長線上，三角形的內角/A8C與外角NAC。

的角平分線BP,CP相交于點P,求/P的度數.（寫出完整的解答過程）

【感知】：圖（1）中，若/8AC=M。，那么/尸三。（用含有m的代數式表示）

【探究】：如圖（2）在四邊形MNCB中，設NM=a,ZN=/3,a+/>180。，四邊形的內角/M8C與外角/NC￡）

的角平分線BP,CP相交于點P.為了探究/尸的度數與a和夕的關系，小明同學想到將這個問題轉化圖

（1）的模型，因此，他延長了邊BM與CN,設它們的交點為點A,如圖（3）,則NA=_（用含有a

和P的代數式表示），因此/尸=_.（用含有a和￡的代數式表示）

【拓展】：將（2）中的a+夕>180。改為a+/<180。，四邊形的內角/MBC與外角NNCD的角平分線所在

的直線相交于點P,其它條件不變，請直接寫出NP=.（用a,//的代數式表示）

5（22-23七年級下?江蘇蘇州?期中）在我們蘇科版義務教育教科書數學七下第42頁曾經研究過雙內角平分

線的夾角和內外角平分線夾角問題.聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進行了深入的研究，他的研

究過程如下：

（1）【問題再現】如圖1,在中，"BC、"CB的角平分線交于點P,若乙4=50。，貝ikP=:

⑵【問題推廣】如圖2,在A4BC中，NB4C的角平分線與A4BC的外角NCBM的角平分線交于點P,過點8

作BH14P于點H,若乙4cB=80°,求的度數.

（3）如圖3,在A/IBC中，AABC,N4CB的角平分線交于點P,將△ABC沿DE折疊使得點A與點P重合，若

Nl+N2=100°,則N8PC=；

（4）【拓展提升】如圖4,在四邊形BCDE中，EB||CD,點P在直線ED上運動（點廠不與E,D兩點重合），

連接8F,CF,乙EBF、NDCF的角平分線交于點0,若NE8F=a,乙DCF=B，直接寫出/Q和a,/之間

的數量關系.

題型07三角形面積比問題

1.（22-23八年級下?河北唐山?開學考試）小明學習了角的平分線后，發現角平分線4。分得的ATIBD和AaDC

的面積比與兩邊長有關，在圖中，若AB=10,AC=6,你能幫小明算出下面兩個比值嗎？

2.（24-25七年級上?廣西南寧?開學考試）如圖；在A4BC中，LABE.ABEF、△BCF和四邊形的面

積都相等.若DF:FC=3:2,AABC的面積為728.（注：符號“△”表示“三角形”三個字）

（2）AGEF的面積是.

3.（2023?山東青島.二模）【模型】

同高的兩個三角形面積之比等于底邊長度之比.

圖1

S&ABDBD

己知，如圖1,△ABC中，。為線段BC上任意一點，連接4。，則有:

S"CDCD

【模型應用】

(1)如圖2,任意四邊形ABCD中，E、尸分另IJ是48、CD邊的中點，連接CE、AF,若四邊形A8CD的面積為

S，貝|S四邊形4ECF=------------

(2)如圖3,在任意四邊形力BCD中，點E、尸分別是邊48、CD上離點2和點C最近的三等分點，連接2尸、CE,

若四邊形ABCD的面積為S,則S四邊形AECF=-

(3)如圖4,在任意四邊形2BCD中，點E、F分別是邊48、CD上離點B和點。最近的幾等分點，連接4尸、CE,

若四邊形ABCD的面積為S,貝US四邊形AECF=.

【拓展與應用】

(4)如圖5,若任意的十邊形的面積為1。0,點、K、L、M、N、0、P、Q、R分別是4B、CD、DE、EF、FG、HI、

〃、邊上離點4、C、E、E、F、H、/、4最近的四等分點，連接BL、DK、DR、MJ.NJ、FQ、OKGP,

則圖中陰影部分的面積是.

4閱讀與理解：

三角形的中線的性質：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1,AD是2V1BC中BC邊上的中線，貝=

SAACD=2SA4BC.

理由：BD=CD，；.SAAB。=5BDxAH=-CDxAH=S^QD=，

即：等底同高的三角形面積相等.

操作與探索

在如圖2至圖4中，AABC的面積為a.

⑴如圖2,延長乙4BC的邊8c到點。，使CD=BC,連接ZM.若A2CD的面積為S「則S1=（用

含a的代數式表示）；

（2）如圖3,延長&4BC的邊BC到點D,延長邊C4到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若ADEC的面積

為S2,則S2=（用含a的代數式表示），并寫出理由；

（3）在圖3的基礎上延長力B到點尸，使BF=4B,連接FD,FE,得到ADEF（如圖4）.若陰影部分的面積為S3,

則S3=；（用含a的代數式表示）

拓展與應用：

（4）如圖5,已知四邊形2BCD的面積是a,E、F、G、”分別是4B、BC、CD、D4的中點，連接FH,EG交于

5.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習）如圖，△ABC為等邊三角形，點。為BC延長線上一點，連接4D,

點E為4D上一點，連接CE,Z.DEC=60°,

圖1圖2

⑴求證：BE平分N4EC

（2）如圖2,點尸是4B上一點、CD=BF,連接CF交BE于點M.求證：點M為CF中點.

(3)在(2)的條件下，若黃=|，直接寫出AAEC與ABCM面積的比值.

6.閱讀下面資料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,對面積為a的△ABC逐次進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至Ai、

Bi、Cl,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,順次連接Ai、Bi、Ci，得到△AJBI。，記其面積為Si，

求Si的值.

小明是這樣思考和解決這個問題的：如圖2,連接AC、BiA、CiB,因為AiB=2AB,BiC=2BC,CiA=2CA,

根據等高兩三角形的面積比等于底之比，所以由此繼續推

&41BC=SAB1CA=SAA1BC=SACIAB=2SAABC=2a,

理，從而解決了這個問題.

(1)直接寫出Si=_(用含字母a的式子表示).

請參考小明同學思考問題的方法，解決下列問題：

(2)如圖3,P為△ABC內一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F,則把

△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，求△ABC的面積.

(3)如圖4,若點P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點，求SAAPE與SABPF的比值.

題型08雙腰上的高求定值

類型點D在BC上點D在BC的延長線上

條件在4ABC中,AB=AC在4ABC中,AB=AC

面積用不同方式計算結果相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為“等面積

法”.如圖1,在等腰三角形48c中，AB=AC,AC邊上的高記為h,M是底邊BC上的任意一點，M到腰力B、

AC的距離ME、MF分別記為h1、h2.

圖1圖2圖3

(1)興趣小組現需要證明h=刈+電，請根據所學知識幫助其完成如下證明過程(將正確答案填在相應的橫

線上).

證明：連接4M,由題意得BD=h,ME=h1,MF=h2,

__11

,SfBC=+S_,S^ABM=萬義ABXME=Xhl，

S—MC=5xACxMF—34cx后，SAABC~萬"。xBD--i4Cxh,

111

??—ACxh——ABxh-t4—ACxh2,

2212z

又?.,AB=AC,

：.-ACxh=-ACxh+-ACxh=-AC(),

2212z22-

h=M+&?

(2)當點M在BC延長線上時(M點在C點的右邊)，電、殳、九之間又有什么樣的結論，請你寫出結論，并說明

理由(可利用圖2作圖進行證明).

(3)利用以上結論解答：如圖3,在平面直角坐標系中有兩條直線小y=^x+6,y=-3x+6,若%上

的一點M到匕的距離是2,請直接寫出點M的坐標.

2.(23-24八年級上?廣西南寧?期中)我們發現，“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決計算線段的

有關問題，這種方法稱為等面積法.

(1)如圖1,BC是4C邊上的高，CD是4B邊上的高，我們知道工=(x底X高，貝US-BC=\AC-BC=.

(2)如圖1,若乙4cB=90。，AC=3,BC=4,AB=5,CD是斜邊AB上的高線，用等面積法求CD的長.

(3)如圖2,在等腰三角形2BC中，AB=AC=13,BC=10,過A作力H1BC于點0且AH=12,P為底

邊BC上的任意一點，過點P作PM1AB,PN1AC,垂足分別為M,N,連接力P,利用S型BC=S^ABP+S^ACP,

求PM+PN的值.

3.(23-24九年級上?四川成都?期中)教材再現：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰△48C中，SMBC=

SA4PB+SAAPC--DC=^AB-MP+^AC-PN,'：AB=AC,：.DC=SP+PN,MP+PN是個固定值.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在矩形ABCD中，AC與DB交于。，AB=3,AD=4,P是4D上不與A和。重合的一個動點，過

點尸分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E,F,貝IJPE+PF的值為.

知識應用：

(2)如圖2,在矩形A8CD中，點M,N分別在邊AD,BC±,將矩形48CD沿直線MN折疊，使點。恰好與點

B重合，點C落在點心處.點P為線段MN上一動點(不與點N重合)，過點尸分別作直線BM,BC的垂

線，垂足分別為后和￡以PE,PF為鄰邊作平行四邊形PEQF,若DM=13,CN=5,團PEQF的周長是否為

定值？若是，請求出團PEQF的周長；若不是，請說明理由.

(3)如圖3,當點P是等邊.AdBC外一點時，過點P分別作直線AB、AC.BC的垂線、垂足分別為點E、。、

F.若PE+PF—PD=3,請直接寫出△ABC的面積.

4.(22-23八年級下?山東濟南?期末)已知△ABC^,AB=AC,BM14c于點M,點。在直線BC上,DE1AB,

垂足為點E,DFLAC,垂足為點尸.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點。在邊BC上時，小明同學利用①三角形全等知識和②圖形等面積法兩種方法發現了DE,DF,

BM三線段之間的數量關系，請直接寫出三線段之間的數量關系是；

(2)如圖2,圖3,當點。在點B左邊或者在點C右邊的直線上時，問題(1)中DE,DF,8M三線段的數量

關系是否還成立？若成立請選擇一個圖形進行證明，若不成立，請在圖2或圖3中選擇一個圖形，寫出三

線段新的數量關系，并進行證明.

題型09維維亞尼模型

1.(2023?寧夏銀川?二模)等面積法是一種常用的、重要的數學解題方法.它是利用“同一個圖形的面積相

等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等

性質解決有關數學問題.在解題中，靈活運用等面積法解決相關問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡

便快捷.

請用等面積法的思想解決下列問題:

（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角