重難題型?解題技巧攻略

專題03三次函數的圖像與性質

*>----------題型歸納?定方向-----------<>

目錄

題型01三次函數的零點.........................................................................1

題型02三次函數的極值、極值點.................................................................7

題型03三次函數的切線........................................................................14

題型04三次函數的對稱性......................................................................19

?>-----------題型探析,明規律-----------O

題型01三次函數的零點

【解題規律?提分快招】

一、三次函數概念

定義：形如/(%)=CLX3+bx2+ex+d(aH0)叫做三次函數

尸(%)=3ax2+2bx+c,把/=4b2-12QC叫做三次函數導函數的判別式

當/>0時，令/。)=0,記兩根為小=土孚至，土孚圣

、,3a3a

二、三次函數的零點個數

若三次函數/■(>)=a/+b%2+c*+4缶K0)存在極值時，其圖像、零點、極值的關系如下:

三次函數圖像

性質說明

a>0a<0

零b2—3ac>0

點三Lh/(Xl)-f(X)<0

2

個個rAtrI兩個極值異與

數VTT,圖像與久軸有三個交點

【典例訓練】

一、單選題

1.(24-25高三上?遼寧?期中)已知函數/(%)=丁+辦？+bx+c的三個零點分別為1,占，/(。〈再〈尤2)，

若函數滿足"2尤+1)=-〃1-2無)，則〃3)的取值范圍為()

A.[2,4]B.(4,6)C.(6,8)D.[4,8]

【答案】C

【分析】根據題設得函數關于(1,0)對稱，進而有。=-(。+6+1)、%+%=2,且結合

/(x)=(x-l)[x2+(a+l)x+(a+ft+1)],得至!)和芍是g(x)=r+(a+l)x+(a+6+l)的兩個零點，根據二次函數

性質求得。=-3、2Vb＜3,即可求/(3)的范圍.

【詳解】由“2尤+1)=-〃1-2可，gp/(x+l)+/(l-x)=0,故函數關于(1,0)對稱，

所以/(l)=l+a+b+c=0,則c=-(a+6+l),

故/"(x)=+ax2+bx-(a+6+1)=(%-l)[f+(a+l)x+(a+6+1)],

令g(x)=—+(a+l)x+(a+6+l),且開口向上，對稱軸為芯=-號上

由題意占+%=2,且0＜再＜1＜々＜2,它們也是g(x)的兩個零點，

g(0)=a+b+\=b-2>0

所以一=1=a=-3,故2<b<3,貝!)c=2-6,

g⑴=2a+b+3=b-3<0

所以〃3)=2(b+l)￡(6,8).

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：應用因式分解及已知得到再,％2是g(x)=x2+(a+l)x+(a+b+l)的兩個零點，且

西+工2=2,且0＜玉＜1＜工2＜2為關鍵.

二、多選題

2.(24-25高三上?遼寧沈陽?期中)已知函數/(%)=/-G+2(QER),則()

A./(-2)+〃2)=4B.若”>0,則〃x)的極大值點為x=。

C.若/'(x)至少有兩個零點，則。之3D.〃x)在區間(-叫-0-1)上單調遞增

【答案】ACD

【分析】A選項，代入計算，得至11/(-2)+〃2)=4；B選項，求導，得到函數單調性，得到片戊為極小

值點，B錯誤；C選項，分和。>0兩種情況，結合B選項，得到函數極值情況，從而得到不等式，求

出。之3；D選項，分aW0和”>0兩種情況，得到-卡>-"1，得到D正確.

【詳解】A選項，2)=_8+2a+2=_6+2aJ(2)=8_2a+2=10_2a,

故〃-2)+〃2)=4,A正確;

B選項，f\x)=3x2-a,若a>0,當無>5或x<-R時，f'(x)>0,

當時，f'(x)<0,

故/(x)在］?，+—1一「一上單調遞增，在［-占，占)上單調遞減,

故x=祗為極小值點，B錯誤;

C選項，nx)=3x2-a,當。<0時，r(x)>0,故在R上單調遞增，不會有兩個零點，舍去;

當a>0時，由B選項知，/(x)在

在卜郎機a上單調遞減,

7

/(x)在》=狀處取得極小值，在尤=-點取得極大值，

且當X趨向于時，/(X)趨向于-8,當X趨向于+8時，〃x)趨向于+8,

解得。23,C正確；

D選項，由C選項知，當〃W0時，/(X)在R上單調遞增，滿足在區間(-8,-a-1)上單調遞增,

故_＞-a-1＞所以/（x）在區間-a-1）上單調遞增，

綜上，/（X）在區間（-叫-a-1）上單調遞增，D正確

故選：ACD

【點睛】三次函數是近兩年高考常考考點，需要對三次函數圖象理解到位，由于三次函數的導函數為二次

函數，故常常利用二次函數的性質來研究三次函數的性質，比如三次函數零點問題，極值點情況等.

3.（24-25高三上?甘肅蘭州?階段練習）已知三次函數/（x）=ax3+6x2+cx+d有三個不同的零點

X],X2，X3（X]＜彳2＜%），函數g（x）=/（x）-l也有三個零點九小匕也＜，2＜匕），則（）

A.b1＞3ac

B.若再,迎廣3成等差數列，貝1K=-二

3a

C.再+%3＜%+/3

D.X：++%3=片+片+.

【答案】ABD

【分析】求導根據兩個極值點即可求解A,根據f（x）關于對稱，結合等差中項即可求解

B,根據圖象即可求解C,利用因式分解可得《+芍+%=$+々+%3，*2+垃3+印3=XlX2+X2X3+X1X3，即可利

用三元平方關系求解D.

【詳解】由/（X）=+而+CX+4可得=3辦2+2bx+c,

要使/（%）有三個不同的零點再,工2/3（王＜工2＜七），

則/（X）=3辦2+2及+C=0有兩個不相等的實數根,故A=4/_12QC〉0,

即b1＞3ac9A正確，

由于r（x）=3a/+26x+c為二次函數，關于-對稱，因此

3c1

/口-靜八-上小-二十小-11）+。1一—1+d-cix^+bt-ex+d

3a)

_'3,262丫（26丫1J2_4bBL

x-3—x+3—x——+Z?xx+

=Q13aJ13a

+。卜一11）+"93+.-""="-!!）+彳-|1）+[-愛12"=募+[-等）+2—[一曰，

故/3關于HPCU對稱，

因此再,乙，當成等差數列，故卜2，〃切）是〃X）的對稱中心，則3=-（，故B正確，

當。＜0時，作出/（x）的圖象，則/（無）的圖象與y=l的圖象交點如圖所示，

由于再＞4，%＞/3，故再+七＞。+￡3，故C錯誤,

2

對于D,根據4(工一工1)(工一工2)(工一工3)=a/+bx+cx+df

2XXXXX_ax

展開可得辦3-a(^Xl+X2+X3^X+a(玉超+23+l3)辦112%3=i+bx2+cx+d9

XX

故-a+x2+x3^=b,a(石馬+23+再/)=*-ax1x2x3=d,

同理可得/(X)-1="3+而+%+d—1=0的三個實數根為."2/3(4<%2<%3)，

貝!|辦3+加+cx+d_]=Q(x_.)(x_q)(x_/3)=0,

_Q+/2+,3)=仇〃(4/2+/2*3+不3)二°,一。帛213=>一1,

XXXX+XX

因此。+%2+‘3=玉+%+13，,1‘2+'2%3+幫3=\2+23\3，

+

故（玉+/+%3J—2（演工2+X2X3+演工3）=（%+%2+/3）之一2（%也,2,3+A4），

即得x；+￥+x；=/；+/；+4,故D正確，

故選：ABD

關鍵點點睛：根據因式分解可得4+t2+t,=Xx+X2+丫3，區+3+%=叱2+X2X3+X1X3,進而根據

2+'2+/3)~-2++Z/)

(X]+X?+鼻-2(國》X2X3+X]Xj)=(%+2(巾12t33求解.

三、填空題

x3+3x2-2,x<0,

已知/(x)=<Jlnx若函數g(x)=〃x)-加有兩個零點,

4.（24-25高三上?廣東?階段練習）則m

---,x>0,

,x

的取值范圍為

【答案】（一鞏-2）U1：,2

【分析】首先利用導數說明函數在各段的單調性與最大值，即可畫出函數圖象，依題意可得〉=加與y=f(x)

的圖象有兩個交點，數形結合即可得解.

【詳解】當xWO時，/口)=/+3/_2,則/(X)=3x2+6x=3x(x+2),

所以當xe(_s,_2)時，f(x)>0,函數單調遞增；

當xe(-2,0)時，f(x)<0,函數/(x)單調遞減.

32

所以當xWO時，/(^)max=/(-2)=(-2)+3x(-2)-2=2.

當x>0時，〃x)=(，則/(耳=匕詈，

當xe(O,e)時，f(x)>0,函數〃x)單調遞增；當尤e(e,+s)時,f(x)<0,函數〃x)單調遞減.

所以時，

x>0、/iiiax=/(、e/)=—e=e-.

畫出函數/(X)的圖象如圖所示：

因為函數g(x)=/(x)-加有兩個零點，所以〉=機與y=f(x)的圖象有兩個交點，

由圖可知加<-2或加<2,

e

所以加的取值范圍為(-碼-2)ug,2j.

故答案為：(---2)ug,2)

5.(24-25高三上?天津?階段練習)已知函數〃x)=“一2》/:0,若方程〃同+〃_"=0有且僅有兩不

[x+a,x>0

等實根，則實數。的取值范圍是.

【答案】[0,+動。{一2}

_丫3?o?X(0

一3,'八，方程〃x)+/(f)=0有且僅有兩不等實根，即直線y=

x—3x,x>0

與函數y=g(x)的圖象有兩個交點，作出函數的圖象，根據交點的情況得到答案.

【詳解】當x<0時，方程/3+/(-月=0可化為*3—2x—X+Q=0,即a=—+3x9

當尤>。時，方程/(無)+/(-x)=0可化為x+a+(-x)3-2(-x)=0,即0=/一3%，

_丫3+§丫Y<0

令g(x)=-3I'c，方程/(x)+〃f)=0有且僅有兩不等實根，即直線與函數y=g(x)的圖象

[x-3x,x>0

有兩個交點，

當x<0時，g(x)=-/+3x,g<x)=-3x2+3,

當T<x<0時，g'(x)>0,g(x)單調遞增;當x<-l時,g")<0,g(x)單調遞減;當x=-l時,g(x)取極

小值-2.

當尤>0時，g(x)=x3-3x,g,(x)=3x2-3,

當0<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調遞減;當x>l時,g'(x)>0,g(x)單調遞增；當x=l時，g(x)取極小值

根據以上信息，作出g(x)的圖象如圖，

由圖可知，當或。=-2時，直線歹=。與函數y=g(x)的圖象有兩個交點，即方程〃x)+/(-x)=0有

且僅有兩不等實根.

故答案為：［0,+8)。卜2}.

題型02三次函數的極值、極值點

ro)<o恒成立

fa<0fa<0

121<0U2<3acf(x)在R上遞減

/(x)無極值

f(x)有兩個極值點

極大值fOD，極小值f(%2)

【典例訓練】

一、單選題

1.(2024?四川瀘州?一模)已知函數/(x)=x(x-a)2在x=l處取得極大值，貝的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據極值點求參數，再由所得參數驗證在x=l處是否取得極大值，即可得答案.

【詳解】由題設/'(x)=3f-4"+/,貝1⑴=3-4。+/=0,可得。=i或°=3,

當a=1時(x)=3x2—4x+1=(3x—l)(x—1),

當X<g或X>1時/''(x)>。，則“X)在(-哈》和(1,+◎上遞增，

當;<X<1時/(x)<0,則〃X)在(；,1)上遞減，

此時在x=l處取得極小值，不符；

當a=3時/'(X)=3X2_]2X+9=3(-3),

當X<1或尤>3時_f(x)>0,則〃x)在(一s,l)和(3,+8)上遞增，

當l<x<3時/'(“<0,則/\x)在(1,3)上遞減，

此時在x=l處取得極大值，符合；

綜上，a=3.

故選：C

2.(24-25高三上?吉林長春?階段練習)若x=0是函數〃x)=+3_(a+g卜2+3+爪_1的極小值點，則

fM的極大值為()

,5225

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】根據題意，由條件可得/''(0)=0,即可得到。的值，然后代入檢驗，再由函數極值的求解，代入

計算，即可得到結果.

【詳解】由〃x)=；/-Q+1)x2+(q2+a)x-l可得/''(x)=x2-21+；>+,2+0),

又x=0是函數〃x)的極小值點，所以((0)=/+a=0,解得q=o或"_1,

當a=0時，f'(x)=x2-x=x(x-l),

當xe(-8,o)時,r(x)>0,此時〃X)單調遞增，

當尤e(O,l)時，r(x)<0,此時/(X)單調遞減,

即x=0是/(x)的極大值點，不符合題意，故舍去；

當(2=-1時，f'(x)=X2+X=X(X+1),

當xe(-叫-1)時，r(x)>0,此時單調遞增，

當L時,r(x)<0,此時/(X)單調遞減,

當xe(0,+8)時,r(x)>0,此時〃龍)單調遞增，

即x=-l是〃x)的極大值點，x=0是/(x)的極小值點，符合題意，

此時〃X)=；x3,

所以“X)的極大值為=+=

32o

故選：D

3.(24-25高三上?遼寧?階段練習)已知函數〃x)=/-2辦2+法+。(。也ceR),/'(x)是〃x)的導函數,

則下列說法錯誤的是()

A.“a=c=0”是“/(x)為奇函數”的充要條件

B.“a=6=0”是“/(x)為增函數”的充要條件

C.若不等式/(x)<0的解集為{x|x<l且XN-1},則/(X)的極小值為一萬

D.若為、入2是方程/(x)=0的兩個不同的根，且不+7=1，貝!Ja<0或々>3

【答案】B

【分析】利用奇函數的定義可判斷A選項；利用函數的單調性與導數的關系可判斷B選項；利用不等式解

集與方程的關系可得出函數/(X)的解析式，利用導數求出函數的極小值，可判斷C選項；利用根與系數的

關系結合A>0可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，若函數/(x)=/-2辦2+6x+c(a,瓦ceR)為奇函數，

則/(-x)f(x),

日f(—x)—(一龍)一2a(一尤)~+b*(—x)+c——彳3_2ax~—bx+c,

以,一無3_26tx2_bx+c=_(工3_2cix~+bx+c)=_+2ux-_bx—c,

_f-4a=0

即一4G2+2C=0對任意的xeR恒成立，貝葉。,可得a=c=0,

[2。=0

所以，M=c=0”是“/⑺為奇函數”的充要條件,A對；

對于B選項，易得/'(x)=3x2-4ax+6,

因為函數/(x)為增函數，則A=16a2_126N0,可得4a2_3bN0,

所以，，，4=/,=0"="4/_3此0”，

若取a=6=2,則4a2-3620成立,即“a=6=0"位"4/-3620”,

所以，"a=b=0”是“/(x)為增函數”的充分不必要條件，B錯；

對于C選項，因為不等式/(x)<0的解集為{x|x<1且xN-1},

則-1、1為方程〃x)=0的兩個根，設方程/(x)=0的第三個根為%,

則〃x)=(xT)(x+l)(x-x()),

若/<-1,則不等式〃x)v0的解集為(-8,X0)U(-M),不合乎題意;

若毛=-1,則不等式〃x)<0的解集為(-s,T)U(-U),合乎題意；

若-則不等式/(x)<0的解集為(-%不合乎題意；

若％=1,則不等式/(力<。的解集為不合乎題意；

若%>1,則不等式/(x)<0的解集為(fo,-DU。,/),不合乎題意.

所以，x()=T,則/(x)=(xT)(元+1)2,

廠(x)=卜+以+2(x-l)(x+l)=(3x-l)(x+l),列表如下：

X(-8,-1)-1

3

/'(X)

+0-0+

“X)增極大值減極小值增

所以，函數〃x)的極小值為嗎卜-+曰=-||,C對；

對于D選項，若占、9是方程/'(%)=3/_4^+6=0的兩個不同的根，

由韋達定理可得再+%=￡，XxX2=y,

~1I+居4q1.

所以，一+—=」~-=-=1,可得6=4%

X］無2X1X2b

由于A=16a2-126=16/-48a>0,解得"0或。>3,D對.

故選：B.

【點睛】思路點睛：利用導數求函數極值的步驟如下：

(1)求函數的定義域；

(2)求導；

(3)解方程/'(%)=0,當/'(%)=0；

(4)列表，分析函數的單調性，求極值：

①如果在天附近的左側/'(x)<0,右側/'(x)>0,那么/(%)是極小值;

②如果在毛附近的左側/'(x)>0,右側/'(x)<0,那么〃/)是極大值.

二、多選題

4.(24-25高三上?江西南昌?階段練習)已知函數/(x)=(x-a)2(x-6)(a<6),2為〃x)的極大值點，則下

列結論正確的有()

A.〃=2

B.若4為函數〃x)的極小值點，貝服=4

C.若/⑴在(等，”內有最小值，則b的取值范圍是(|,+丁|

D.若/(x)+4=0有三個互不相等的實數解，則b的取值范圍是(5,+co)

【答案】AD

【分析】先求得f(x),然后根據函數的極值、最值、方程的解等知識對選項進行分析，從而確定正確答

案.

【詳解】對于A,/'(X)=2(x-q)(x-6)+(x-〃)2=(x-q)(2x-26+x-q),

=(X-6Z)(3X-6Z-2ZJ),/r(x)=0,則x=a或",而則q<三”,

令？(x)>0,得或x<---,令f<x)<0,得a<x<--—,

故〃X)在(-叫單調遞增，卜^^|單調遞減，單調遞增；，

??一位)的極大值點為。，；々=2,A對.

對于B,若4為極小值點，則上產=4,貝(］6=5,B錯.

對于C,〃x)在［三,“內有最小值，則〃尤)在手處取得最小值(彳),

/(x)=(x-2)(x-b),/［彳J,

伍-3)%?僅-2)3,:"當，故C錯誤.

對于D,〃x)=-4有三個互不相等的實數解，"2)=0,

則-<-4,故"5,故D正確；

故選：AD

【點睛】關鍵點睛：導數的準確求解與符號分析：通過求導并分析導數的符號變化，是判斷函數單調性和

極值點的關鍵步驟.確保每一步的符號處理準確，是得出正確答案的基礎.

條件驗證的完整性：對于多項選擇題，通過完整地驗證每個選項的條件，可以確保答案的準確性.尤其是涉

及極值點和方程解的條件時，要特別注意每個條件的符號和數量判斷.

5.(24-25高三上?江蘇?階段練習)已知三次函數/(無)="(》-6)2,貝U()

A.函數/(x)一定有兩個極值點B.當a<0<6時，/(a)>/(a+Z?)

C.當ab>0時，〃x)的極小值為0D.出力€11"(>)在區間［見可上的值域為［凡6］

【答案】BCD

【分析】對于AD,利用特例法可判斷其正誤，對于B,利用作差法可判斷其正誤，對于C,判斷導數的符

號可判斷其正誤.

【詳解】對于A,當6=0,a=l時，f(x)=x3,該函數在R上為增函數，無極值點，故A錯誤;

對于B,f(a)-f{a+b)=a1^a--a3^a+b^=crb(Z>-3a),

而a<0<6,故。%>0,伍-3。)>0,故/6優-3。)>0,所以/(a)>/(a+6),

故B正確；

對于C,f'(x)=a(x-b)2+2辦(工一6)=3a,

若a>0,貝!|6>0,此時當或時，f,(x)>0,

當g<x<6時，f，(x)<0,故/(x)在x=b處取極小值〃6)=0；

若。<0,貝!]6<0,此時當x<6或x>|■時，f(x)<0,

當6Vx時，f(x)>0,故在x=b處取極小值"6)=0；

故C正確；

對于D,當Q<0,b>0時，

貝[|當或x〉b時，f(x)<0,當時，f(x)>0,

故〃x)在a,：為減函數，在gb上為增函數,

24〃

取6=3,3,貝曠3=/—6ZX----—CL

mm27

(_2\2_2

考慮方程/x-3-2^-3?2行=0在(-8,0)上是否有解，

\7

2

<_2\_22

設s(x)=%2x-3-23-3-23,則s(0)=-3-21<0，

\7

(_2\2_2_2

s(-3)=93+3-2"-3-2-?>9-3-2^>0,

\7

由零點存在定理可得s(x)在(-8,0)上存在零點，設該零點為。，則〃“)=6>0,

則f(x)在回句上的值域為回司,

故D成立，

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：對于三次函數中定義域與值域一致的問題，我們先利用導數判斷函數的單調性，再

結合函數在閉區間上端點處、在區間內的最值的關系來判斷處理即可.

三、填空題

6.(24-25高三上?四川攀枝花?階段練習)已知函數/(x)=]x3+」i上V+x+2兩個極值點分別為橢圓與雙

曲線的離心率，則實數加的取值范圍是.

【答案】m<\

【分析】根據題意可得方程/''(》)=0有兩個不相等的實數根西廣2,且占€(0,1),%€(1,+8),根據一元二次

方程根的分布可得結果.

【詳解】橢圓離心率ee(0,1),雙曲線離心率e'e(l,+8).

由題意得，/'口)=/+(%-3)x+l.

?.?函數/'(X)兩個極值點分別為橢圓與雙曲線的離心率,

方程((x)=0有兩個不相等的實數根%,超，且再e(0,1),x2e(1,+⑹,

|/(0)=1>0

[r⑴=1+加-3+i<o解得m<\.

故答案為：m<\.

題型03三次函數的切線

【典例訓練】

一、單選題

1.(23-24高三上?廣東汕頭?階段練習)若過點("〃)(加>0)可作曲線了=無3-3無三條切線，貝U()

A.n<—3mB.n>m3—3m

C.〃="/—3承或〃=—3加D.—3m<n<m3—3>m

【答案】D

【分析】設出切點河(%，%),求導,得到切線方程，將>0)代入切線方程，得到說-3蛆；+3加+"=0,

故-3g：+3機+〃=0有三個實數根，令g(x0)=2x；-3機片+3機+〃，求導，得到其單調性和極值點情況，

從而得到不等式，求出答案.

【詳解】設切點為初(無。，％),則為=/(%)=XQ-3x0,

r(x)=3/_3,故廣(x°)=3片-3,且切線方程為y-%=(3x—°),

因為(m,n)[m>0)在切線上，故〃-(x；-3x0)=(3x；-3)(m-x0),

整理得2x；-3mx：+3m+n=0,

因為過點(加,〃)(">0)可作曲線y=/-3x三條切線，

故2'-3加X：+3抑+〃=0有三個實數根，

f

設g(x0)=2x?-3mx?+3m+n,則g(x0)=6x；-6mx0=6x0(x0-zn),

由g'(x())=0得,或加，

因為加>0,由g'(xo)=6xo(x0-加)>0得無0>機或x0<0,此時g(x())單調遞增，

由g'(x())=6xo(xo-機)<0得。<機，此時g(xo)單調遞減，

所以g(x())=2x；-37MX；+3m+n的極大值點為％=0,極小值點為％,

,,g(0)>0

故2x-3*+3加+〃=0要有三個實數根的充要條件為，(。,

g(/77)<0

13m+n>0

即_療+3"+”<0,解得-3…<33機

故選：D

【點睛】應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：

(1)已知切點求斜率七即求該點處的導數左=/'(%)；

⑵已知斜率先求切點/(再J(再)),即解方程/'(占)=%;

⑶已知切線過某點(不是切點)求切點，設出切點4%,[(尤。)),利用

k==/由)求解.

再—x0

二、多選題

2.(24-25高三上?河北張家口?開學考試)已知函數"x)=：x3-辦2+J,則()

A.。>0時，x=0是〃x)的極大值點

B.若/Xx)存在三個零點，貝

C.當。=0時，過點(0,0)可以作“X)的切線，有且只有一條

D.存在。，使得了(——1)+/(——2)+/(^3)+---+/(2-0^2—2)=3—37

20232023202320232

【答案】ACD

【分析】求出極大值點判斷A；/(X)有三個零點，求出4的范圍判斷B；利用導數的幾何意義求解判斷C；

取”=求出函數圖象對稱中心計算判斷D.

【詳解】對于A,當。〉0時，/z(x)=x2-2ax=x(x-2a),當x<0或x>2。時，/z(x)>0,

當0<X<2Q時，/V)<0,因此x=0是/(x)的極大值點，A正確；

2

對于C,當。=。時，〃刈=：/+：,f'(x)=x>0,設切點為億/'?)=產，

3636

則切線方程為y-(7+3=〃(x-),由切線過點(0,0),得此方程有唯一解，

因此過點(0,0)可以作/(X)的切線，有且只有一條，C正確；

對于B,當。>0時，〃x)在尤=0上取得極大值/■(())=：,在x=2a處取得極小值〃24=-㈣+L

636

函數〃X)存在三個零點，則"2a)=-㈣+4<0,解得

362

當。=0時，〃x)在R上單調遞增，〃X)最多一個零點；

當"0時，當xv2a或x>0時，f\x)>0,當2Q<X<0時，/'(x)<0,

因此—2“處取得極大值心--耳+3。，在x=。上取得極小值

則/Xx)最多一個零點，于是〃x)存在三個零點，?>1,B錯誤;

對于D,取。=彳，貝!l/(x)=彳無3—彳x~+工，/(l-x)+/(x)=-(l-x)3--(l-x)~+■7+-+T=7'

232o3zo3Z00

1232022

令AS:/(——)+/(——)+/(——)+-??+/(——),

2023202320232023

20222021202011337

貝！=+++-+2S=-x2022=337,5=—

202320232023202362

11232022337

因此當4=7時，/(——)+/(——)+/(——)+-??+/(——)二——，D正確.

220232023202320232

故選：ACD

3.(24-25高三上?廣東廣州?階段練習)已知函數〃幻=；/+/+辦+b(a/eR),貝|()

A.。=-3時，若“X)有3個零點，則實數6的取值范圍是1-9,￡|

B.。=6=0時，過(L0)可作函數〃x)的切線有兩條

C.若直線/與曲線》=/(無)有3個不同的交點/(再,“)，B(x2,y2),且則

石+馬+￡=3

D.若“X)存在極值點/，且〃其中無0片花，貝！|%+2%+3=0

【答案】AD

【分析】求導后分析函數的單調性，利用極大值大于零，極小值小于零可得A正確；設切點(匕，%)，由導

數的意義求出斜率，再由點斜式得到直線方程，然后由點在切線上代入解方程，由根的個數可得B錯誤；

再次構造函數g(x),從而求出對稱中心點即可得C錯誤；根據函數存在極值點遍,再結合令

x1+2x0=t,求出t即可得D正確；

【詳解】對于A,當。=-3時，/(X)=1X3+X2-3X+Z>>f\x)=x2+2x2-3=(x+3)(x-1),

令/''(x)=0，解得占=-3,%=1,

所以/(x)在(-8,-3),(1,+8)上為單調遞增函數，在(-3,1)上為單調遞減函數，

若〃x)有3個零點，則極大值〃-3)=9+6>0=6>-9,極小值〃i)=b-g<Onb<g,

所以實數6的取值范圍是1-9,］，故A正確；

對于B,當。=6=0時，/(x)=^-x3+x2,

設切點為(Z，%),貝lj_f(x)=x?+2x,所以切線的斜率后=3+2乙，

切線方程為y-乂=(其+2項)(%-七)，

又點(1,0)在切線上，且為=；x；+x；,

代入可得一，V+x[=(X：+2匕)。一%),

2

整理可得一]右+2匕=0,解得Z=。或±6，

所以應該有三條切線，故B錯誤；

對于C,令g(x)=f，(x),貝1|g'(x)=2x+2=0,得x=-l,貝！|三次函數〃x)的對稱中心是

當直線/與曲線y=f(x)有3個不同的交點A(Xi，yQ,B(x2,y2)，。(%,力),且|/8|=|/口時，

所以點A一定是對稱中心，所以占+無2+W=3%=-3,故C錯誤；

2

對于D：若存在極值點%,則/(x)=(x+l)2+a-l=0,a<\,(x0+1)=l-d-,

令J1+2%0=」,得再二￡一2%,

因為〃/)=/(再),于是/(3)=/("2/),

J132

以—XQ+XQ+CLXQ+b=§（"-2x（））+（，-2XQ）+q（/-2x0）+6,

化簡得:仁+1卜3x°y=0,

因為％NX1，故3%-//0,于是公-3,即再+2%+3=0,故D正確;

故選：AD.

4.(24-25高三上?浙江?開學考試)三次函數/@)=苫3+辦2+》+1敘述正確的是()

A.函數〃x)可能只有一個極值點

B.當。=。時，函數/(x)的圖象關于點(0」)中心對稱

C.當天=-三時，過點卜。,/(%))的切線可能有一條或者兩條

D.當/*-三時，在點卜。,/(%))處的切線與函數y=/(x)的圖象有且僅有兩個交點

【答案】BD

【分析】求導，令/'(x)=0,利用△結合二次函數的圖象可判斷A；利用y=x3+x是奇函數，可判斷B；

設切點(Xi，f(xQ),切線方程為了-/(再)=/'(占')(_?-為)，結合已知可得(％-再)2伉+4+2不)=0,求解可

判斷C；在點(Xo,f(Xo))處的切線為了-/國)=/伉)?-再)，與曲線方程聯立方程求解可判斷D.

【詳解】對于A選項：/,(X)=3X2+2?X+1,令/(X)=0,

即3/+2ax+1=0,A=4〃-12,

當A>0時，方程/'("=0有兩個不同根，/(x)有兩個極值點；

當A40時，/(x)無個極值點，故A錯誤；

對于B選項：〃x)=d+x+l,又>是奇函數，關于點(0,0)對稱，

所以函數/(x)的圖象關于點(0,1)中心對稱，故B正確；

對于C選項：設切點(xi,f(x0),貝!)切線方程為尸/(%)=/'(xj(xf),

因為過點(Xo，f(Xo)),所以/(%)-/(再)=/'(再)(％-西),

即XQ—x；+ci(xj-x；)+x。-X]=(3x；++1)(x0—占)，

整理得(工()-%)2(%+。+2占)=0,所以再=%,或&,由于

則兩根相等，即只有一個切點，即只有一條切線，故C錯誤；

對于D選項：在點(x(),f(X。))處的切線為了-/(%)=/'(%)(x-占)，

與曲線聯立方程組P二小):/(X。)(》一/)化簡得，(尤_/)2(再+q+2x)=0,

[y=x+ax+x+1

所以X=X。，或》=-專匕由于則方程組有兩個不同解，

即有兩個不同交點，故D正確.

故選：BD.

三、填空題

5.(23-24高三上?四川內江?期末)己知函數〃X)=7+2X2_X+1,若過點尸(1J)可作曲線y=〃x)的三

條切線，貝曙的取值范圍是.

【答案】(1,多

【分析】設出切點坐標，利用導數的幾何意義求出切線方程，將問題轉化為方程有三個實數根的問題，再

利用導函研究函數的極值求解作答.

【詳解】設過點網10作曲線>=/(x)的切線的切點坐標為(％,-4+2焉-%+1),

由/(x)=-/+2尤2_x+l求導得：r(x)=-3x2+4x-l,貝!J切線斜率％=-3x；+4x0-l,

切線方程為>—(一x；+2x；-x。+1)=(―3XQ+4X0—1)(X—X0),

于是，=(—3xg+4x0—1)(1—x0)+(—x；+2XQ—JC0+1),整理得t=2XQ—5xg+4x0,

令g(x)=2x3-5x2+Ax-t,求導得g'(無)=6尤2-lOx+4=2(3x-2)(尤-1),

22

由g<x)>0,得或x>l,由g'(x)<0,得

22

因此函數g(X)在(-8,§),(1,+8)上單調遞增，在(§,1)上單調遞減，

當'時，函數g(x)取得極大值gg)=||T,當x=l時，函數g(x)取得極小值g⑴=1-

因為過點尸(1#作曲線V=/⑺的切線有三條，則方程"+4%有3個不等實根，

[28

____{>0AOQ

即函數g(x)有3個零點，由三次函數的性質知，27,解得1<",，

1t<027

所以，的取值范圍是(1,II).

故答案為：

題型04三次函數的對稱性

【解題規律?提分快招】

二丁二次菌藪的韋達比迪

2

設/(%)=+bx+cx+d(aW0)的三個零點分別為％1，x2,x3,則

(l)xi+%2+%3=

(2)%1%2+%2%3+%3%1=(

(3)X1X2X3=一(

,111c

(4)五+R+京=一百

二、三次函數的對稱性

結論1三次函數/(久)=口爐+6久2+CK+d(aH0)的圖象關于點(-2，/(一2))中心對稱

結論2已知三次函數/(x)=ax3+bx2+ex+d(a豐0)中心對稱點的橫坐標為沏，兩個極值點分別為處,

X2,則二一=#3>)=一5(巧一支2)2

結論3若y=/(x)圖像關于點(m,7?)對稱，則丫=尸(久)圖像關于軸x=m對稱

點對稱函數的導數是軸對稱函數，軸對稱函數的導數是點對稱函數

奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數

彳麗加綠i

一、多選題

1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數/(x)=d-x+i,貝U()

A./(x)有兩個極值點B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=〃x)的對稱中心