專題6.2排列與組合【十大題型】

【人教A版(2019)]

A題型梳理

【題型1有關排列數的計算與證明】............................................................2

【題型2排列數方程和不等式】................................................................3

【題型3元素(位置)有限制的排列問題】......................................................5

【題型4相鄰問題的排列問題】................................................................7

【題型5不相鄰排列問題】.....................................................................8

【題型6有關組合數的計算與證明】...........................................................11

【題型7組合數方程和不等式】................................................................12

【題型8組合計數問題】......................................................................14

【題型9分組分配問題】......................................................................15

【題型10排列、組合綜合】...................................................................17

A舉一反三

【知識點1排列與排列數】

1.排列

(1)排列的定義

一般地，從”個不同元素中取出”，加eN*)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從w

個不同元素中取出m個元素的一個排列.

(2)排列概念的理解

①排列的定義中包含兩個基本內容，一是取出元素；二是按照一定的順序排列.

②兩個排列相同的條件：元素完全相同；元素的排列順序也相同.

③定義中“一定的順序”就是說排列與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件進行判斷,

這一點要特別注意.

(3)排列的判斷

判斷一個問題是不是排列問題的關鍵：判斷是否與順序有關，與順序有關且是從n個不同的元素中任

取相⑺&小個元素的問題就是排列問題，否則就不是排列問題.而檢驗一個問題是否與順序有關

的依據就是變換不同元素的位置，看其結果是否有變化，若有變化就與順序有關，就是排列問題；若沒有

變化，就與順序無關，就不是排列問題.

2.排列數

(1)排列數定義

從"個不同元素中取出"，機eN*)個元素的所有不同排列的個數，叫做從〃個不同元素中取出

%個元素的排列數，用符號47表示.

(2)排列數公式

=w("-l)(〃-2)…(〃-〃z+l).這里，n,mGN",并且

(3)排列數公式的理解

①排列數公式推導的思路：第1步，排第1個位置的元素，有w種排法；第2步，排第2個位置的元

素，有(〃-1)種排法；第3步，排第3個位置的元素，有(w-2)種排法；…；第加步，排第m個位置的元素，

有(小優+1)種排法.因此，由分步乘法計數原理知共有4：=”(小1)義(小2必.“(力-"計1)種不同的排法.

②排列數公式的特征:第一個因數是n,后面每一個因數比它前面一個因數少1,最后一個因數是n-m+1,

共有機個因數.

3.全排列和階乘

(1)全排列

特別地，我們把九個不同元素全部取出的一個排列，叫做"個元素的一個全排列，這時公式中機』，

即有&=wx(w-1)x(w-2)x…x3x2x1.

(2)階乘

正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘,用川表示將n個不同的元素全部取出的排列數可以寫成4；=次，

規定0!=1.

(3)排列數公式的階乘表示

4.排列應用問題的分類與求解思路

(1)有限制條件的排列問題：對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在

實際進行排列時一般采用特殊元素優先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類

過多的問題可以采用間接法.

(2)相鄰問題：對相鄰問題采用捆綁法；相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的

內部排列.

(3)不相鄰問題：不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面

元素排列的空檔中.

【題型1有關排列數的計算與證明】

【例1】(23-24高二下?山東荷澤?期中)neN*,n<20,貝4(21—n)…(100—n)等于()

A.A?oO_nB.A編2rlC.A?Q0_nD.A狄日

【解題思路】根據給定條件利用排列數公式的意義即可得解.

【解答過程】因JieN*且n<20,(21-n)(22-n)-(100-幾)表示80個連續正整數的乘積，

其中最大因數為100-71,最小因數為21-71,由排列數公式的意義得結果為A相0F，

所以(21-n)(22-n)…(100-n)=Afg0_n.

故選：A.

【變式1-1](23-24高二下.重慶黔江.階段練習)求A專+A?的值為()

A.12B.18C.24D.30

【解題思路】利用排列數的計算方法即可得解.

【解答過程】Ai+Ai=3X2+4X3=18.

故選：B.

【變式1-2](23-24高二下?寧夏吳忠?期中)計算：

(1)A：+A4+A4+A4；

(2)4A1+5A|；

(3)已知A卷=7A?_4,求?i

【解題思路】(1)(2)利用排列數公式計算即可.

(3)利用排列數公式化簡方程，再求解方程即得.

【解答過程】(1)A%++A；+A￡=4+4x3+4x3x2+4x3x2x1=64.

(2)4A?+5Ag=4x4x3+5x5x4x3=348.

(3)由AZ=7A"4，Wn-4>2,nEN*,即n26,?ieN*,貝比⑺-1)=7(n—4)(n-5),

整理得(3n-10)(n-7)=0,所以n=7.

【變式1-3](24-25高二?江蘇?課后作業)求證：

⑴的+4A?=A|；

I1

(2)A^+mArt.

【解題思路】(1)利用排列數公式化簡可證得等式成立；

(2)利用排列數公式化簡可證得等式成立.

【解答過程】⑴證明：A1+4A3=I：+=^=At.

(2)證明：端+m蹄-=—+=(n-”;+i)x小=A/+「

【題型2排列數方程和不等式】

【例2】(23-24高二下?河南鄭州?期末)不等式3AM<2A>]+6A^的解集為()

A.{3,4,5}B.{3,4,5,6}C.{%|3<x<5]D.[x|3<x<6}

【解題思路】利用排列數公式將不等式轉化為二次不等式求解.

【解答過程】易知x>3,XEN.

因為A*=x(x—1)(%—2),A。1=(%+1)%,A箜=x(x—1),

所以原不等式可化為3%(%—1)(%—2)<2x(%+1)+6x(%—1),

所以34%<5,

所以原不等式的解集為{3,4,5}.

故選：A.

【變式2-1](24-25高二下?全國?課后作業)不等式A百<6A『2的解集為()

A.[2,8]B.[2,6]C.(7,12)D.{8}

【解題思路】根據題意，利用排列數公式和排列數的性質，列出方程求得7<xW8,結合XCN*,即可求

解.

【解答過程】由A1<A「2,可得整理得——19久+84<0,解得7<%<12,

°°(8-x)!(10-x)!

又因為f解得2WxW8,

lx-2>0

綜上可得7<x48,又由xeN*所以x=8.

故選：D.

【變式2-2](23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習)(1)解關于x的不等式A€<6A/2；

(2)解不等式:3Az<2A]i+6A)

【解題思路】(1)(2)將排列數表示為階乘的形式，然后化簡計算即可得解，

【解答過程】(1)依題意，有.?.2WXW8,

由A[<6A/2,得—_<6x—即1<——-——，

88(8-x)!(10-%)!(10-x)(9-x)

整理得%2-19%+84<0,解得7<x<12,所以7<xW8,

又xeN*得x=8,

所以A百<6AM2的解集為{8}.

(2)因為3AM<2A>i+6A如

"V?X(*+1)!6x"fQ<7Xx+1_____|___?_

所以「(X-3)!*"*(XT)!十0*J)!,即『一"乂(一乂1)十(x_2),

Ix>3,xGN*Ix>3,xGN*

整理得,(3x—w。，解得[,故xe[3,4,5},

(x>3,xeNU>3,%GN*

所以不等式解集為{3,4,5}.

【變式2-3](24-25高二上?全國?課后作業)解下列方程或不等式.

(1)A短=2A"i；

⑵蜴<6AH2.

【解題思路】(1)根據條件，利用排列數公式即可求出結果；

(2)先利用排列數公式得到/-19X+84<0,從而得到7<x<12,對根據排列數公式要求，求出x的

范圍，進而求出結果.

【解答過程】(1)因為A猊=2AM「

?2n>3

由W+124,解得n23,

.n￡N*

由原式可得2n(2n-l)(2n-2)=2(n+l)n(n—l)(n—2),解得n=5或n=0或n=1.

又因為n>3,所以幾=5.

(2)因為A百<6A/,

?1<x<8

由1Wx-2W8，解得3<x<8且xeN*,

%eN*

由原不等式可得冷二<6x

(8-x)!(10-x)!

化簡可得——I9x+84<0,解得7<x<12,

又3WxW8且K€N*,所以x=8.

【題型3元素(位置)有限制的排列問題】

【例3】(23-24高二下?內蒙古?期中)從6人(包含甲)中選派出3人參加4B,C這三項不同的活動，且

每項活動有且僅有1人參加，若甲不參加力和B活動，則不同的選派方案有()

A.60種B.80種C.90種D.150種

【解題思路】分甲被選中和甲沒被選中兩種情況，結合排列數公式即可求解.

【解答過程】當甲被選中時，不同的選派方案有Ag=20種；

甲沒被選中時，不同的選派方案有Ag=60種.

故滿足條件的不同的選派方案有20+60=80種.

故選：B.

【變式3-1](23-24高二下.北京通州?期末)某工廠生產一種產品需經過一，二，三，四共4道工序，現要

從4B,C,D,E,F這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作(每道工序安排一人)，如果員工4不能

安排在第四道工序，則不同的安排方法共有()

A.360種B.300種C.180種D.120種

【解題思路】從6人中任取4人安排工作，去掉A安排在第四道工序工作的安排方法數即得.

【解答過程】從6名員工中任選4人，安排在4道工序上工作的安排方法數為A*種，

其中員工4在第四道工序工作的安排方法數為Ag種，

所以不同的安排方法共有A2-Ag=300（種）.

故選：B.

【變式3-2］（23-24高二下?四川綿陽?期末）某高校派出5名學生去三家公司實習，每位同學只能前往一家

公司實習，并且每個公司至少有一名同學前來實習，已知甲乙兩名同學同時去同一家公司實習，則不同的

安排方案有（）

A.48種B.36種C.24種D.18種

【解題思路】先安排甲乙，共有3種安排，剩下的3人分兩類：第一類三個人去三個公司，第二類是三個

人去除甲乙去的公司的另外兩個公司，然后用分類加法計數原理和分步乘法計數原理即可得解.

【解答過程】因為甲乙兩名同學要求同時去同一家公司實習，先安排甲乙，從三家公司中選一家公司共有3

種選法；

剩下的3人分兩類：第一類三個人去三個公司，一家公司一個人，共有Ag種安排方法；第二類三個人去除

甲乙去的公司的另外兩個公司，必有兩個人去一家公司，所以共有C弘纖中安排方法；

所以共有不同的安排方案有3x（A1+釐A分=36種，

故選：B.

【變式3-3］（23-24高二下?海南海口?期末）某大學2023年繼續開展基礎學科招生改革試點（以下簡稱強

基計劃），以“為國選才育才”為宗旨，探索多維度考核評價模式，選拔一批有志向、有興趣、有天賦的青年

學生進行專門培養，為國家重大戰略領域輸送后備人才.某市通過初審考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同

學成功入圍該大學強基計劃復試，參加學科基礎素質測試，決出第一到第五名的名次（無并列名次）.甲

和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”，對乙說：“你當然不會是最差的”從這

兩個回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況有（）

A.48種B.54種C.60種D.72種

【解題思路】依題意甲、乙都沒有排在第一名，且乙沒有排在第五名，分甲在第五名與甲不在第五名兩種

情況討論.

【解答過程】依題意甲、乙都沒有排在第一名，且乙沒有排在第五名，

①甲排在第五名，則有A1A1=18種排法；

②甲沒有排在第五名，則甲、乙有A專種排法，其余人全排列，故有A專Ag=36種排法；

綜上可得一共有18+36=54種不同的排法.

故選：B.

【題型4相鄰問題的排列問題】

【例4】（23-24高二下.內蒙古.期末）有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本.若將其

隨機擺放到書架的同一層上，則相同科目的書相鄰的排法有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【解題思路】利用捆綁法可求得結果.

【解答過程】將2本語文書捆綁、2本數學書捆綁，

則相同科目的書相鄰的排法種數為A'A,Ag=2X2X6=24種.

故選：C.

【變式4-1]（24-25高二下?全國?課后作業）春節是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村

晚”.通過海選，現有6個自編節目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節目的演出順序有

如下要求：“雜技節目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（）

A.240種B.188種C.144種D.120種

【解題思路】先將“相聲”與“小品”排在一起再與其它4個節目排序，最后考慮雜技節目在前三位或在后三位

情況一樣，即可得出答案.

【解答過程】先將“相聲”與“小品”排在一起，有A孑種排法，再與其它4個節目排序，有Ag種排法，

最后考慮雜技節目在前三位或在后三位情況一樣，所以有竽=120種.

故選：D.

【變式4-2]（23-24高二下?四川遂寧.階段練習）北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航

天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪

波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”.隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安.若

這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同

的排法有（）

A.144種B.204種C.156種D.240種

【解題思路】先應用捆綁解決相鄰，再分海鵬站位置分類，最后應用分步解決問題.

【解答過程】第一步，唐勝杰、江新林2人相鄰，有A2=2種排法；

第二步，分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論

第一種情況：景海鵬站最右邊，共有A：=24種排法；

第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有=54種排法，

故總共有2X（24+54）=156種排法.

故選：c.

【變式4-3］（23-24高二下?安徽?期末）為積極落實“雙減”政策，豐富學生的課外活動，某校開設了陶藝、

剪紙、插花等5門課程.分別安排在周一到周五，每天一節，其中陶藝課不排在周一，剪紙和插花課相鄰的

課程的安排方案種數為（）

A.18B.24C.36D.42

【解題思路】根據相鄰問題利用捆綁法即可求解.

【解答過程】剪紙和插花課相鄰的安排方法有組A,=48種，

剪紙和插花課相鄰且陶藝課排在周一的安排方法有AgA5=12,

故陶藝課不排在周一，剪紙和插花課相鄰的課程安排方法一共有48-12=36,

故選：C.

【題型5不相鄰排列問題】

【例5】（24-25高二下?全國?課后作業）一位語文老師在網上購買了四書五經各一套，四書指《大學》《中

庸》《論語》《孟子》，五經指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同

一層書架上，若四書，五經必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數

為（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

【解題思路】計算出所有情況后減去《大學》和《春秋》相鄰的情況即可得.

【解答過程】四書、五經必須分別排在一起，共有A決/芻=5760種，

若《大學》和《春秋》相鄰，則不符合條件，共有AgA3A5=288種，

則共有5760-288=5472種.

故選：D.

【變式5-1］（24-25高三上?山東濟南?開學考試）由0,I,2,3,4,5組成沒有重復數字的六位數，其中

任意兩個偶數都不相鄰，則滿足條件的六位數的個數為（）

A.60B.108C.132D.144

【解題思路】根據插空法先排奇數，再排偶數去除。在首位的情況計算即可.

【解答過程】先排3個奇數，有Ag=6種排法，

排完奇數后形成4個空，插入余下3個偶數，有A寵=24種排法，

但此時0放在首位的情況有A專=6種，故滿足條件的排法有6x（24-6）=108.

故選：B.

【變式5-2］（2024?湖南邵陽?模擬預測）“四書五經”是我國9部經典名著《大學》《論語》《中庸》《孟

子》《周易》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》的合稱.為弘揚中國傳統文化，某校計劃在讀書節活動

期間舉辦“四書五經，，知識講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學》《論語》《周易》均不相鄰，則排

法種數為（）

A.A|A|B.AgA/C.A^A鄉A,D.院蛤

【解題思路】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》這6次講座，

再將《大學》《論語》《周易》這3次講座插空，根據分步乘法計數原理，可得答案.

【解答過程】先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經》《禮記》《春秋》這6次經典名著的講座，

共有Ag種排法；

再從7個空位中選3個，排《大學》《論語》《周易》這3次講座，有A拜中排法，

故總共有線A?種排法；

故選：D.

【變式5-3］（23-24高二下?天津?階段練習）中國古代儒家提出的“六藝”指：禮、樂、射、御、書、數.某校

國學社團預在周六開展“六藝”課程講座活動，周六這天準備排課六節，每藝一節，排課有如下要求：“樂”

排在“書”與“數，，的前面，“禮”和“射”不相鄰且不排在最后面，則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共

有（）

A.48種B.72種C.96種D.144種

【解題思路】根據“樂”分別排在前四節，即可根據最后一位以及不相鄰問題，分類求解.

【解答過程】若“樂”排在第一節，則從御、書、數種選一節排最后一節，要滿足“禮”和“射”不相鄰，則有

3xA^A1=36種方法，

若“樂”排在第2節，則從書、數種選一節排最后一節或者“御”安排最后一節，要滿足“禮”和“射”不相鄰，則

有禺禺A,+?+=40種方法，

若“樂”排在第3節，則從書、數種選一節排最后一節，要滿足“禮”和“射”不相鄰，則有?最禺6=16種方

法，

若“樂”排在第4節，貝臚書”與“數”排最后兩節，要滿足“禮”和“射”不相鄰，則有人找g=4種方法，

故總的方法一共有36+40+16+4=96,

故選：C.

【知識點2組合與組合數】

1.組合

（1）組合的定義

一般地，從“個不同元素中取出加(祖"，祖eN*)個元素作為一組，叫做從〃個不同元素中取出相

個元素的一個組合.

(2)組合概念的理解

①組合的概念中有兩個要點：要求〃個元素是不同的；“只取不排”，即取出的加個元素與順序無關，

無序性是組合的特征性質.

②兩個組合相同：只要兩個組合中的元素完全相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.

(3)排列與組合的聯系與區別

聯系：都是從"個不同元素中取出加(《1&",個元素.

區別：排列是把取出的元素按順序排成一列，它與元素的順序有關系，而組合只要把元素取出來就可

以，取出的元素與順序無關.可總結為：有序排列，無序組合.

2.組合數與組合數公式

(1)組合數

從〃個不同元素中取出相O&W,力，wGN*)個元素的所有不同組合的個數，叫做從〃個不同元素中取出

加個元素的組合數，用符號。廣表示.

(2)組合數公式

①連乘表示：

絲_〃.—1).(〃一2).......(〃一相+1)

"A魯"(m—1)-(m—2)..........1

這里，n,mGN*,并且，

〃！

②階乘表示：c『=

ml(n—m)\'

規定：C°=l.

3.組合數的性質

(1)性質1：C[=CL

這個性質反映了組合數的對稱性，其實際意義：從〃個不同元素中取出根(祖《小/MdN*)個元素后，

剩下(止優)個元素，因而從九個不同元素中取"Z個元素的組合，與剩下的("-"2)個元素的組合是一一對應

的，因此取法是一樣多的.

利用這個性質，當機時，我們可以不直接計算C,：",而是改為計算GT%這樣可以簡化運算.

(2)性質2：C*=C，+C；L

這個性質可以理解為分類加法計數原理的應用，在確定從(”+1)個不同元素中取出n,mGN*)

個元素時，對于某一個特定元素，只存在取與不取兩種情況，如果取這個元素，則只需從剩下的n個元素

中再取(此1)個元素，有種取法；如果不取這個元素，則需從剩下的〃個元素中取出m個元素，有C,；"種

取法.

由分類加法計數原理可得：CM=C1+C『T.

在應用中，要注意這個性質的變形、逆用等.

4.分組分配問題

(1)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.

(2)分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數的階乘；②部分均勻分組，有機組元素個數相同，則

分組后除以加；③完全非均勻分組，只要分組即可.

(3)分配方法：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數

原理，先分組后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解.

【題型6有關組合數的計算與證明】

[例6](24-25高二下?全國?課后作業)田+蜀+禺+C$+C，=()

A.315B.330C.345D.360

【解題思路】根據組合數的性質即可求解.

【解答過程】程+爵+砥+C$+C，=髭+髭+第+原++Clo-C|=CJi-15=330-15=315.

故選：A.

【變式6-1](23-24高二下.山西長治?期中)已知瑞+1—4=瑞，則幾=()

A.11B.10C.9D.8

【解題思路】根據組合數的性質計算可得.

【解答過程】因為瑞+i—喘=瑞，所以瑞+i=瑞+C?,

又瑞+瑤=喘+1，所以C2+i=C-i，所以n+1=5+6,解得n=10.

故選：B.

【變式6-2](23-24高二下.江蘇淮安?期中)求值(用數字表示)

(1)A；+A4+A4+A4

⑵禺+心

⑶瑞5+A精

【解題思路】(1)根據排列數公式計算可得；

(2)根據組合數公式計算可得；

(3)首先確定n的值，再由排列、組合數公式計算可得.

【解答過程】(1)Ai+Al+A^+A：

=4+4x3+4x3x2+4x3x2x1=64；

(2)髭+第=髭+禺=簽+5=15；

(3)依題意可得h5：又neN*,解得幾=4或71=5,

L0<9—n<n+l

當n=4時，琮—+=C]+A於=4+5x4x3x2xl=124；

當n=5時，端—+=C^+At=14-6x5x4x3=361.

【變式6-3]（23-24高二上?江西?期末）已知m,7i,k€N*,m>k>n.

⑴證明：%邛1f=

(2)證明：=C?C^.

【解題思路】（1）由組合數公式計算即可;

（2）由組合數公式計算即可.

m!(m-k)\ml

【解答過程】（1）因為c1^_k=,--,

fc!(?n-fc)!n\(m-k-n)lfc!n!(?n-n-k)!

rnpk_汕(m-n)\_ml

55-71-n!(m_n)!k!(?n-n-k)!k\n\(m-n-k)lf

所以=-n?

（2）因為C*邛=m!k\_m\

n!(fc-n)!n!(m-fc)!(fc-n)!?

pnrk-nm\(m-n)l_m\

'-m'-m-nn!(m-n)!(fc-n)!(?n-/c)!7i!(7n-Zc)!(k-7i)!’

所以%及=4嘯與

【題型7組合數方程和不等式】

【例7】（24-25高二上?河南駐馬店?期末）關于x的方程C￡=C翌t的解為（）

A.久=3B.x=4C.x=3且尤=4D.久=3或無=4

【解題思路】根據題意結合組合數的定義與性質運算求解.

【解答過程】因為c￡=盤74,貝屹％=3%-4或2x+3x-4=U,解得x=4或％=3,

若x=4,可得C?i=Cf「符合題意；

若x=3,可得C?i=C?「符合題意；

綜上所述：x=3或久=4.

故選：D.

【變式7-1]（2024高二.江蘇.專題練習）若鬃>叫，貝切的取值集合是（）

A.{6,7,8,9}B.{6,7,8}

C.（n]n>6},neN*D.{7,8,9}

【解題思路】根據組合數的運算公式及性質化簡不等式求其解集即可.

【解答過程】：第>琮，

n!>n!

4!x（n-4）!6!x（n-6）!

{n>6

即「2-9『產<0,解得6口<10

ln>6,

VneN*,

An=6,7,8,9.

；.n的取值集合為{6,7,8,9}.

故選：A.

【變式7-2](23-24高二上.上海?課后作業)解關于正整數x的方程：

⑴噫T=C審；

⑵嗨:+C與

【解題思路】(1)(2)根據組合數的性質以及公式即可求解.

【解答過程】(1)尤為正整數，

由密r=C睛T可得/—%=5%—5或/—x+5%—5=16,

故小—6%+5=0或/+4x—21=0,解得x=1或x=5或％=3或%=—7(舍去)，

又——%,5x—5均為整數，且0<x2—x<16,0<5%—5<16,

所以％=1或%=3符合要求，x=5不符合要求，

故％=1或久=3

(2)由組合數的性質可得嘮布=仁+2,嘮二=C+2V+2+點+2=總+3

所以由C3+Cx+2=:A*+3可得田+3=:A?+3，進而可得今白=2,1=>x(x—1)=30,

4十/人十乙4汽十J汽十J4%十J5!(x-2)!4x\5!4x(x-l)n

解得第=6或久=—5(舍去)，

X+2>0

久+^11，所以久23,故只取x=6,x=—5舍去.

%—3>0

{%-2>0

【變式7-3](24-25高二下?江蘇?階段練習)求解下列方程和不等式.

(1)A1+1<6A.T(%>l,x￡N)；

117

(2)而一而=(m>0,meN).

b5b6"7

【解題思路】(1)根據排列數公式求解；

(2)根據組合數公式求解.

【解答過程】(1)由A/i<6Ar】，<6X

11(8-x)!(10-x)!

化簡得一一19x+84<0,解得7<x<12,①

X>1

又0<%+1工9,所以14%工8,②

0<%-1<9

由①②及久6N得X=8.

（2）由題意04zn<5,m6N,

11_7日n??i!（5-？n）!m!（6-?n）!7m\（7-m）\

.一至=硬，即FL=Z=_h1

化簡得巾2-17m+42=0,解得TH=14（舍去）或m=3.

故方程的解為爪=3.

【題型8組合計數問題】

【例8】（24-25高二下?全國?課后作業）某校計劃在五四青年節期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5

名男生4名女生中選4人，代表本班參賽，按照學校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共

有（）

A.80種B.90種C.100種D.120種

【解題思路】結合分類加法和分步乘法計數原理，利用組合數即可求得.

【解答過程】若恰有1名女生參加，則有髭瑪=10x4=40種，

若恰有2名女生參加，則有髭釐=10X6=60種,

所以共有40+60=100種不同的選派方式.

故選：C.

【變式8-1]（23-24高二下?吉林長春?期中）若一個四位數的各位數字之和為4,則稱該四位數為“廠數”，

這樣的“尸數，，有（）

A.17個B.19個C.20個D.21個

【解題思路】根據題意，得到4=4+0+0+0=3+1+0+0=2+2+0+0=24-1+1+0=1+1+

1+1,分五種情況討論，結合排列數、組合數的計算公式，即可求解.

【解答過程】由題意，可得4=44-0+0+0=3+1+0+0=2+2+0+0=2+1+1+0=1+1+1+

1,

當四位數為由4,0,0,0構成時，共有1種情況；

當四位數為由3,1,0,0構成時，共有禺禺=6種情況；

當四位數為由2,2,0,0構成時，共有瑪=3種情況；

當四位數為由2,1,1,0構成時，共有吟=9種情況；

Ai

當四位數為由LL1,1構成時，共有1種情況，

由分類計數原理，可得共有1+6+3+9+1=20種不同的“F數”.

故選：c.

【變式8-2］（2024?江西南昌?模擬預測）四面體的頂點和各棱的中點共10個點.在這10點中取4個不共

面的點，則不同的取法種數為（）

A.141B.144C.150D.155

【解題思路】求出從10個點中任取4個點的取法，減去不合題意的結果可得答案.

【解答過程】從10個點中任取4個點有C%種取法，其中4點共面的情況有三類.

第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有4篇種；

第二類，取任一條棱上的3個點及該棱所對棱的中點，這4點共面，有6種；

第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），

它的4頂點共面，有3種.

以上三類情況不合要求應減掉，...不同的取法共有-4髭-6-3=141種.

故選：A.

【變式8-3］（23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期中）學校夏季運動會需要從4名男生和3名女生中選取4名志

愿者，則選出的志愿者中至少有2名女生的不同選法種數為（）

A.20B.30C.22D.40

【解題思路】根據給定條件，利用兩個基本原理，結合組合計數問題列式計算即得.

【解答過程】選出的志愿者中，有2個女生2個男生時，選法種數為髭鬃=18種，

有3個女生1個男生時，選法種數為或禺=4種，

所以不同選法有18+4=22種.

故選：C.

【題型9分組分配問題】

【例9】（23-24高二下?江蘇鹽城?階段練習）甲、乙等5人去三個不同的景區游覽，每個人去一個景

區，每個景區都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區游覽，則不同的游覽方法的種數為（）

A.112B.114C.132D.160

【解題思路】先分組再分配，先將5人分成3組，有（1,1,3）、（2,2,1）兩種分組可能，求出所有游覽方法

總數，根據題意再減去甲乙去同一景區的方法總數即可.

【解答過程】去A,B,C三個不同的景區游覽，每個人去一個景區，每個景區都有人去游覽，因此先分組再

分配，

5個人可以分為3組,分別是（1,1,3）、（2,2,1）,

當為(1,1,3)時，有空屋=10種組合，

A2

當為(2,2,1)時，有嚶生=15種組合，

A2

再分配到三個不同的景區，有(10+15)XA1=150種；

以上情況包含甲乙去同一景區，需要再減去此種情況，

將甲乙捆綁起來作為一個元素，此時有四個元素去三個不同的景區，此時只有(1,1,2)這種組合，因此有

卑窈=6種組合，再分配給三個不同的景區，有6xA§=36種；

因此滿足題意的有：150—36=114種.

故選:B.

【變式9-1](23-24高二下.新疆烏魯木齊?期中)將5名大學生分配到3個鄉鎮當村官.每個鄉鎮至少一名，

則不同分配方案有()

A.240種B.150種C.60種D.180種

【解題思路】根據題意要求，有“2:2:1”或“3:1:1”兩種分配方案，因分配時出現部分平均分組，應在方法數

上除以相同數目組數的階乘.

【解答過程】依題意，要使每個鄉鎮至少一名，可以有“2:2:1”或“3:1:1”兩種分配方案.

按照“2:2:1”分配時，有阿筍-A1=90種方法；

按照“3:1:1”分配時，有害抖-A1=60種方法.

由分類加法計數原理，可得不同分配方案有90+60-150種.

故選：B.

【變式9-2](23-24高二下?江蘇連云港.期中)甲、乙等5人計劃去上海、蘇州及青島三個城市調查農民工

薪資情況.每個人只能去一個城市，并且每個城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數為()

A.150B.300C.450D.540

【解題思路】先分組再分配，結合排列組合即可求解.

【解答過程】把5人分組有兩類情況：1:1:3和2:2:1.

先把5人按1:1:3分組，有底種分組方法，

按2:2:1分組，有警種分組方法，

因此不同分組方法數為eg+等，

再把三組人安排到三個城市，有Ag種方法,

所以不同分配方法種數是(Cg+嬰)Ag=(10+15)x6=150.

A2

故選：A.

【變式9-3](23-24高二下?廣東云浮.階段練習)大連市普通高中創新實踐學校始建于2010年1月，以豐

富多彩的活動廣受學生們的喜愛.現有A,B,C,D,E五名同學參加現代農業技術模塊，影視藝術創作模

塊和生物創新實驗模塊三個模塊，每個人只能參加一個模塊，每個模塊至少有一個人參加，其中A不參加

現代農業技術模塊，生物創新實驗模塊因實驗材料條件限制只能有最多兩個人參加，則不同的分配方式共

有()種.

A.84B.72C.60D.48

【解題思路】分參加生物創新實驗模塊的為1人和2人兩種情況，結合排列組合知識和計數原理求解即可.

【解答過程】因為生物創新實驗模塊因實驗材料條件限制只能有最多兩個人參加，所以參加生物創新實驗

模塊的為1人和2人兩種情況，

(1)當參加生物創新實驗模塊的為1人時，若這個人為4則一共有號?A5+C上A5=14種不同的分配方式;

若這個人不是4貝M只能參加現代農業技術模塊，一共有第(1+C|-AD=28種不同的分配方式；

(2)參加生物創新實驗模塊的為2人時，若這兩人中有4,則一共有瑪?C|-A1=24,

若這兩人中沒有4則4只能參加現代農業技術模塊，一共有量(1+?)=18種不同的分配方式；

綜上，一共由14+28+24+18=84種不同的分配方式；

胡選：A.

【題型10排列、組合綜合】

【例10】(24-25高二下?全國?課后作業)現有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2

人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？

(1)老師站在最中間，2名女學生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學生兩邊各2人；

(2)4名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端；

(3)2名老師之間必要有男女學生各1人.

【解題思路】(1)根據特殊元素優先安排求解即可.

(2)利用插空法，先排老師和女學生，再排男學生甲，最后排剩余的3名男學生即可.

(3)先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，再排老師，最后利用捆綁法排列即可.

【解答過程】(1)由題意可得共人必到才=2x2x24=96種不同的站法.

(2)先排老師和女學生共有A1種站法，再排男學生甲有瑪種站法，

最后排剩余的3名男學生有A點種站法，

所以共有A犯到寵=24x3x24=1728種不同的站法.

（3）先任選一男學生一女學生站兩位老師中間，有禺禺A殲中站法，

兩老師的站法有A5種，

再將一男學生一女學生兩位老師進行捆綁與剩余的4個人進行全排列有Ag種，

所以共有禺禺A必2Ag=2x4x2x2x120=3840種不同的站法.

【變式10-1］（23-24高二下.江蘇宿遷.期中）某醫療小組有4名男性，2名女性共6名醫護人員，醫護人員

甲是其中一名.

（1）若從中任選2人參加A,B兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫護

人員甲不參加力項救護活動的選法種數；

（2）這6名醫護人員將去3個不同的地方參與醫療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不

能去往同一個地方，求不同的分配方案種數.

【解題思路】（1）分類，按甲是否參加活動分兩類；

（2）分步，第一步按排兩名女性，第二步按排與女性同去的男性，第三步剩余的兩名男性.

【解答過程】（1）分兩類：