人教版八年級上冊數學期末復習：填空壓軸題專題練習題

1.如圖，△ABC^,ABAC=90°,AB=22,AC=28,點P以每秒1個單位的速度按B-A-C

的路徑運動，點Q以每秒2個單位的速度按C-A-B的路徑運動，在運動過程中過點P作

2尸11于點尸，點。作。611于點6,兩點同時出發，只要一個點到達終點兩點即同時停止運

動.設運動t秒時AP凡4三ANGQ,則t的值是.

2.我們把兩個不全等但面積相等的三角形叫做一對偏等積三角形.已知A4BC與ADEF是

一對面積都等于S的偏等積三角形，且力B=AC=DE=DF,BC=a,那么EF的長等于—

（結果用含a和S的代數式表示）.

3.如圖，在AABC中，點。、點E分別是邊4B、AC的點，將4。和BD分別沿DE和DC折疊

至4D.已知N4C4=36。且NB+鳥用=90°,則N4DC為°.

4.將長方形紙帶先沿EF折疊成圖1,再沿PQ折疊成圖2,此時PB"恰好經過點F,若乙4FE=

乙FQP=^A"MF=a,貝b的度數為度.

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5.在RtAABC中，NC=90。，Z.B=30°,BC=6,。為48的中點，P為8c上一動點，連接

AP,DP,貝IMP+DP的最小值是.

6.如圖，等邊三角形40B中，B(-4,0),點。是。B上一點，且BD=a.若點E是y軸正半

軸上一動點，尸是線段力B上一動點.當DE+EF的值最小時，點尸的橫坐標為.(用含

a的式子表示)

7.如圖，分另(j以△ABC的邊力B、BC為邊向外作等邊AABE和等邊△BCD,連接AD,EC,EC

交AB于點M交4。于點若SAMAN=4SAMBN，ME=25,貝的長度為.

8.一個四位數2=MXN,其中M、N均為兩位數，M、N的十位數字相同且|M-N|=2,

則力的最小值是—；將M放在N的左邊形成一個新的四位數B,我們稱B為4的“合構數”，

若B的百位數字與它的個位數字相乘所得的積能被它的百位數字加4的和整除，且4能被17

整除，則滿足條件的B的最小值是.

9.已知a,b,c為整數，滿足a+b+c=10,S=(10a+Z)c)(10b+ac)(10c+ah')>2019,

則S的最小值是.

10.已知1(+'I”+2+￡=O,則馬+1+目的值為

abcxyzaz

(a-2x<0

11.若關于久的一元一次不等式組卜二+工〈工無解，關于y的分式方程7白+三=1的解為

(6十2-6yy

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整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是.

12.我們知道假分數可以化成整數或者整數與真分數的和的形式.如果一個分式的分子的次

數大于或等于分母的次數，那么這個分式可以化成一個整式或整式與“真分式”的和的形

式.(我們規定：分子的次數低于分母的次數的分式稱為“真分式”).

r-2x+32x,2,2T74X2+2X+3

如——=-+-=%+-;又如1rl:絲宜‘=絲宜+—=%+1+3.若

XXXXx+1x+1x+1x+lX+1

學簾可以寫成一個整式與“真分式”看的和的形式，則0十八一

13.某校舉行運動會時，由若干名同學組成一個13列的長方形彩旗隊陣.如果原隊陣中增

加16人，能組成一個正方形隊陣；如果原隊陣中減少16人，也能組成一個正方形隊陣，則

原長方形彩旗隊陣中有同學—人.

14.(1)若多項式m久3+九久2—61萬—36能被2久+1和3x—4整除，則m—n=.

(2)如圖，在AABC中，NB2C=NBC4=44。，M為△ABC內一點，使得NMC4=30。，

^MAC=16°,則N8MC的度數為

15.如圖，在等腰RtAABC中，AB=AC,在4C邊上取一點D,連接BD,點E為線段RD上

一點，以BE為斜邊作等腰RtABEF.連接AE、AF,CE,力尸交8。于G,M為CE上一點,連

接2M；在下列結論中：

?￡.EAD=^ABD-,

②若4E垂直平分GD,則N4FE+乙ABD=45°；

③若4E垂直平分GD,貝！MD+GF=AB-,

④若NF4M=45。，貝IJEC=2EM；

其中正確的結論有.(填寫正確結論的序號)

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16.如圖，點尸在N40B內部，點M,N分別是邊。4,0B上的動點，點M,N不與點。重

（1）若將點P在NAOB的內部移動位置，使。P平分N力0B,當PNII04ON=2時，PN的長

等于

（2）若乙4OB=60。，OP=a,隨著點N位置的變動，當APMN周長最小時，點。到

直線MN的距離等于—.（用含a的代數式表示）

17.如圖，在四邊形4EDC中，/.EAC+Z.EAD=180°,且N4DE=30。，^ADC=120°.若

^DAC=40°,貝吐￡7力的度數為.

18.如圖，己知：四邊形48CD中，對角線平分乙48C,乙4cB=72。，ZXBC=50°,并

且NBA。+/.CAD=180°,那么乙BDC的度數為

19.若一個三角形中一個角的度數是另一個角的度數的3倍，則稱這樣的三角形為“和諧三

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角形”.例如,三個內角分別為120。，40。，20。的三角形是“和諧三角形”，如圖，直角三角

形ABC中，ACAB=90°,AABC=60°,。是邊CB上一動點.當△4DC是“和諧三角形”時，

NZMB的度數是.

20.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZC=90°,AB=BC=2,CD=1,Fi是BC的中點，連接

AFi，DFi，得到△AFiD;點F2是CFi的中點，連接AF2，DF2,得到△AF?D；點F3是CF?

的中點，連接AF3,DF3,得到AAF3D；.…；按照此規律繼續進行下去，則AAFnD的面積

為.（用含正整數n的式子表示）

21.如圖，在△ABC中，ZACB=60°,NABC=a（2（）o<a<120。）,AE平分△ABC的外角NBA。，

CF將分成1：2兩部分.若AE、CF交于點G,則NAGC的度數為（用含a的

代數式表示）.

22.已知：在AABC中，ZB=ZC,D,E分別是線段BC,AC上的一點，MAD=AE,

（1）如圖1,若NBAC=90。，。是8C中點，則N2的度數為；

（2）借助圖2探究并直接寫出/I和/2的數量關系—.

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A

A

圖1

二、解答題

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參考答案:

1.6或三

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、垂線的定義、一元一次方程的應用，分類討論:

①當點尸在上，點。在2C上，②當點尸在4C上，點。在B4上，③點P與。重合在B2上,

根據題意結合全等三角形的性質得出P4=AQ,再分別用f表示出P力和力Q的長，列出等式,

解出即可，熟練掌握全等三角形的判定與性質，并利用分類討論的思想是解決問題的關鍵

【詳解】(1)當尸點在84上，點。在AC上，如圖1,

?/△PFAmA4GQ,

：.PA=AQ,

即22-t=28-23

解得：t=6,

即P點運動6秒；

(2)當點P在AC上，點。在84上，如圖2,

則4P=t-22,AQ=2t-28,

?/△PFA三AAGQ,

：.PA=AQ,

即t-22=2t-28,

解得t=6,

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此時不符合題意；

(3)點尸與。重合在B4上，如圖3,

：.AP=AQ,

即22-t=2t-28,

解得：t=?，

，綜上可知：1=6或1=日，

故答案為：6或停

2.-

a

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形的面積等知識，由

面積相等可得相應等式，作出三角形的高，作出輔助線構造三角形全等，證明三角形全等是

是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖：AB=AC=DE=DF,過C作CM1AB于M,過F作FN1ED交ED延長

線于N,延長BA到K使2K=AB

11

S-BC=-AB,CM=S,S^DEF=~DE^FN=S

??.CM=FN

???AC=DF

???Rt△AMC=RtADNF(HL)

.??/-MAC=乙NDF

???Z.CAK=180°-zMi4C,乙EDF=180°一乙NDF

??.Z.CAK=乙EDF

vAK=AC=DE=DF

ACK=△DFE(SAS)

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EF=CK,S^KBC=2s

AK=AC=DE=DF

AABC=^ACB,乙K=LACK

1

???乙ACB+乙ACK=乙ABC+=-x180°=90°

???乙BCK=90°

1

?4,S^KBC=qBC.CK=2S

BC=a

4s

CK=—

?L??LEF=4s—.

a

故答案為：竺.

a

3.54

【分析】本題考查了基本圖形變換折疊，三角形的內角和定理，換元的思想方法，關鍵是利

用換元的思想方法，使分析思路更清晰.

設乙4CD=a,貝IJ乙4'C。=+=a+36。，設乙B=0,由翻折可知，乙A'DC=

人BDC/BCD=乙ACD=a+36°,再根據三角形的內角和定理，即可得出結果.

【詳解】解：^ACD=a,則N4CD=44CE+NACD=a+36。，設乙B=0,

rr

由翻折可知，/-A'DC=ABDCf^BCD=^ACD=a+36°,/-A=Z.EAD,

LEA!C=z.EArD+Z-DArC=Z-A+Z-B=Z-A+0,乙ACB=2a+36,

由NB+^^=90。，得=180?！?0,

在△4EC中，/-A'EC=180°-/.A'CE-^EA'C=180°-36°-/?-zX=144。一￡—NA,

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144°一￡一Z71=180°-26,

解得：44=。一36。①，

在44BC中，乙ACB=180°-ZX-ZB=180°一〃-0=2a+36,

解得：ZX=144°-2a-/?@

由①②得a+0=90。，

在4BCD中，乙CDB=180°-ZB-乙BCD=180°-/?-(?+36°)=144°一(a+￡)=

144°-90°=54°,

???^A'DC=乙CDB=54°.

故答案為:54.

4.72

【分析】本題考查了折疊問題，三角形的內角和定理，平行線的性質，根據平行線的性質可

得“EF=4AFE=a,根據三角形內角和定理可得出NEQF=180。-2a,進而根據平行線

的性質可得NEQM=4EQF+乙FQM=AA"MF=a,得出NPQM=4FQP+乙FQM=4a—

180°,根據折疊得出NA'QP=NPQM=4a-180。，進而根據平角的定義得出NAQP+

乙PQF=5a-180°=180°,即可求解.

【詳解】解:'：/.AFE=乙FQP=AA"MF=a,AD\\BC

?,Z-QEF=Z-AFE—a,

???折疊

:.乙QFE=Z.AFE=a,

在AEFQ中，/.EQF=180°-2a,

\'AD\\BC,

C./.EQM=4EQF+乙FQM=AA"MF=a

:.乙FQM=a-(180°-2a)=3a-180°

\'/.FQP=a

J.^PQM=乙FQP+4FQM=4a-180°

???折疊，

：.^A'QP=乙PQM=4a-180°

又乙PQF=a

J.^A'QP+乙PQF=5a-180°=180°

解得：a=72。

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故答案為：72

5.6

【分析】本題主要考查了軸對稱中的光線反射問題（最短路線問題），直角三角形的兩個銳

角互余，含30度角的直角三角形，軸對稱的性質，等邊三角形的判定與性質，三線合一，

三角形的面積公式，等式的性質2,線段垂直平分線的性質，垂線段最短等知識點，熟練掌

握用做對稱的方法解決最短路線問題是解題的關鍵.

作A關于BC的對稱點4,連接由乙4cB=90。，乙48c=30?？傻肗C4B=60°,

AB=24C,根據軸對稱的性質可得4c=AC,BC是44的垂直平分線，進而可得力B=AA',

于是證得AaN'B是等邊三角形，則44'=AB,由三線合一可得AD1AB,進而利用三角形

的面積公式可得4D=BC=6,由垂直平分線的性質可得2P=4P,于是可得4P+DP=

AP+DP,根據垂線段最短可知4P+DP24。=6,于是可得答案.

【詳解】解：如圖，作4關于BC的對稱點4,連接AB,A'P,A'D,

A

乙ACB=90°,^ABC=30°,

???乙CAB=90°-/.ABC=90°-30°=60°,AB=2AC,

???4是4關于BC的對稱點,

???根據軸對稱的性質可知，A'C=AC,BC是44的垂直平分線,

???AA'=AC+A'C=AC+AC=2AC,

???AB=AA',

???△44'8是等邊三角形,

：.AA'=A'B,

。為AB的中點,

A'DLAB,

SA4HB=--AB-A'D=--AA'-BC,且AB=AA',

A'D=BC=6,

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BC是44的垂直平分線,

AP=A'P,

AP+DP=A'P+DP,

???垂線段最短,

A'P+DP>A'D=6,

即：AP+DP>6,

4P+DP的最小值是6,

故答案為：6.

8+a

6.

4

【分析】本題考查了軸對稱-最短路徑以及含30。的直角三角形的性質，根據題意得出。E+

EF的值最小時的情況是解本題的關鍵.作點。關于y軸的對稱點過點E作EF14B,過

點尸作尸”1OB,如圖，此時DE+EF的值最小，然后根據30。所對的直角邊等于斜邊的一半

進而得出答案.

【詳解】解：作點。關于y軸的對稱點過點E作EF1AB,過點尸作如圖，此

???等邊三角形40B中，5(-4,0),點。是。8上一點，且

BD=a.

DO=4—(z,OB—4,Z-AOB=60°,

???點。關于y軸的對稱點是

??.OM=DO=4—a,

BM—8—CLj

EF1AB,

???Z.BMF=30°,

BcFri=-1BcMn/=8———Cl，

22

???FH1OB,

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???乙BFH=30°,

???BH=-BF=—,

24

—

cr*八cerrA8Q8+tl

OH=OB-BH=4-------=—,

44

??.點尸的橫坐標為一歲，

4

故答案為：-號

4

7.5

【分析】利用等邊三角形的性質證明AEBCmAABD,得到NBEC=NB4D,進而推出

^EMA=60°,將4BEM繞點8旋轉60。得到△BAG,過點B作BF1MN,過點M作MH1BG,

過點4作4L1BG,交CE于點K,推出△BMG為等邊三角形，得到MN||BG,進而推出近=

5MH,得到SA?=5SABMG，進而得到”G="G,可得出結果.

【詳解】解：：等邊△ABE和等邊△BCD,

：.^EBA=ADBC=60°,BE=BA,BD=BC,

:.乙EBC="BD,

貝UAEBC三△ABD(ASA),

."BEC=ABAD,

:4BNE=乙ANM,

J./.EMA=/.EBA=60°.

過點B作BF1MN,過點M作MH1BG,過點2作AL1BG,交CE于點K,將4BEM繞點B旋

轉60°得至IjABAG,貝！I：AG=EM25,Z.BAG=ABEM,AMBG=60°,BM=BG,

...△BMG為等邊三角形，

:.乙BGM=60°,BM=MG,

=^BAM,

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"BEM=LBAG,

9：/LAME=乙BGM=60°,

：.EM||BG,

：.AKLEM,KL=BF=MH,

?S^MAN=4s^MBN，

：.-MN^AK=4x-MN-BF,

22

：.AK=4BF=4MH,

：.AL=5MH,

?：S&ABG=|BG?AL,SKBMC=|BG.M”，

??^LABG=5s"MG，

?S^ABG_4G_匚

?.——D,

S^BMGMG

：.MG=)G=5,

：.BM=MG=5；

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定性質、全等三角形的判定和性質、平行線的判定和

性質，同高(同底)三角形的面積比.解題的關鍵是構造全等三角形，利用等積法進行求解.

8.10233436

【分析】本題考查因式分解的應用，整除，根據當最大數不超過32時，2W960,當k=33

時，A=1023,根據4能被17整除，可知M,N中必有一個是17的整數倍，即為34,68,85,

然后根據“B的百位數字與它的個位數字相乘所得的積能被它的百位數字加4的和整除”逐一

檢驗即可解題.

【詳解】解：設較大的兩位數是匕則較小的兩位數是k-2,

則力=k(k-2)=fc2-2k,

是四位數，

當kW32時，AW960不符合題意；

當k=33時，A=1023,符合題意；

4的最小值是1023,

能被17整除，

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：.M,N中必有一個是17的整數倍，即為34,68,85；

當M=34時,N=32,數B=3234,這時2x4=8不能被2+4=6整除，不符合題意;

當M=68時,N=66,數B=6668,這時6x8=48不能被6+4=10整除，不符合題意;

當M=85時,N=83,數B=8385,這時3x5=15不能被3+4=7整除，不符合題意;

當M=34時,N=36,數B=3436,這時4X6=24能被4+4=8整除，符合題意;

當M=68時,N=70,不符合題意;

當M=85時，N=87,數B=8587,這時5x7=35不能被5+4=9整除，不符合題意;

故滿足條件的B的最小值是3436,

故答案為:1023,3436.

9.2116

【分析】本題考查整式的運算，因式分解的應用.解題關鍵是利用因式分解把已知和所求整

式變形.根據已知條件把已知和所求式子進行整理變形，即可解答.

【詳解】解：a+6+c=10.

a—10—b—c,b=10—a—c,c=10—CL—b,

S=(10a+bc)(10b+ac)(10c+ah')

=(100-10b-10c+Z)c)(100-10a-10c+ac)(100-10a-10b+ab),

100-10b-10c+be可因式分解，變為(b-10)(c-10),

同理100-10a-10c+ac=(a-10)(c-10),

100—10a—10￡>+ab=(a-10)(/?-10),

二原式=(b-10)(c-10)(a-10)(c-10)(a-10)-10)

=(a-10)2(6-10)2(c-10)2

=[[a-10)(b-10)(c-10)]2,

故S為一個平方數，

a+b+c=10_S.a,b,c為整數，

??.a,b,c至少有一個是偶數，于是S為偶數，

-.?S>2019,

S2462H2116.

故答案為：2n6.

10.1

【分析】本題考查的是分式的求值，考查對換元法的理解和運用，掌握完全平方公式的應用

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是解本題的關鍵.設”仙衿人-=t.可得7H+?i+t:=l,nt+mt+mn=0,再利

c

用完全平方公式進行計算即可.

y

【詳解】解：設”如-=t.

L,c

Va-+7b+-c=1，

.?-m+n+t=1.

?之+”=0,

xyz

111

—I----1—=0,

mnt

nt+mt+mn八

>=0,

mnt

-'-nt+mt+mn=0.

222

.^7+^7+^7=m2+n2+t2=(m+n+t)2—2(mn+nt+mt)=l2—0=1.

azb"cz

故答案為：1.

11.9

【分析】本題考查了一元一次不等式組無解的問題，分式方程的整數解，先由一元一次不等

式組無解求出a得取值范圍，再求出分式方程的解，根據分式方程的解為整數求出a滿足條

件的整數值，即可求解，由一元一次不等式組無解求出a得取值范圍以及根據分式方程的解

的情況求出a的值是解題的關鍵.

【詳解】解：工〈工、，

由①得，%>p

由②得，%<-1,

fa-2%<0

一元一次不等式組在T工1V1無解，

+2-6

2

**?CL>—2,

由方程--+烏*=1得，y=“7，

1-yy-1'a-1

??,分式方程A+R=l的解為整數，。>-2且a為整數,

l-yy-1

：.a-l=-2或一1或0或1或2或3或6,

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：.a=-1或0或1或2或3或4或7,

XVy-1豐0,

U-1

?'aW7,

：.a=-1或0或1或2或3或4,

???所有滿足條件的整數a的值之和為一1+0+14-2+3+4=9,

故答案為：9.

12.1

【分析】由真分式的定義得安詈-3的結果是整式,對此進行化簡得片瓷磬,

要使其為整式a、b需滿足的條件，即可求解.

【詳解】解：由題意得

x3+ax2+2%+bx

%2+%+1%2+%+1

x3+ax2+%+b

%2+%+1

%(%2+ax+1)+b

%2+x+1

x(x2+ax+l)+b

l是整式,

x2+x+l

a=1,6=0,

a+b

=1+0

=L

故答案：L

【點睛】本題考查了新定義，分式的減法，求代數式值，理解新定義，根據新定義將問題轉

化為分式的減法運算是解題的關鍵.

13.65

【分析】本題考查平方差公式的應用，解二元一次方程組設原長方形隊陣中有同學16x（x為

正整數）人，根據增加或減少16人就能組成一個正方形隊陣，設正方形方陣的邊長分別為他，

n,列式后得出爪2—足=32,再用平方差公式分解因式，建立二元一次方程組求解即可.

【詳解】解：設原長方形隊陣中有同學13支（工為正整數）人，貝I」由已知13%+16與13%-16

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均為完全平方數，設正方形方陣的邊長分別為優，“，可得口乎+；￡=吟其中〃2,W為正

(13%-16=n2

整數.

兩式相減，得62一n2=32,

即(m+n)(m—n)=32.

V32=1x32=2x16=4x8,

m+九和租—ri同奇或同偶，

.Cm+n=16pP-Cm+n=8

**Im—n=2Im—n=4?

解得｛機=?或｛巾

I九=7In=2

當m=9時，13%=92-16=65,x=5,

當m=6時，13久=6z-16=20,%不合題意，舍去；

故原長方形隊陣中有同學65人.

故答案為：65.

14.(1)-10；(2)150°

【分析】(1)設多項式的第三個因式為以+9,根據題意得出(加+9)(2*+1)(3“—4)=

6tx3+(54—5t)久2—(4t+45)x-36=mx3+nx2—61%—36,從而得出m=6t,54—

5t=n,4t+45=61,求出zn、n>t,代入計算即可得出答案；

(2)作BD14C于D,延長CM交BD于E,連接力E,先證EC=EA,得NEG4=Z.EAC=30°,

再證明△BR4=△M瓦4(AAS)得A8=AM,貝UNBAM=76°,然后求出NCM4=134°,即可

得出答案.

【詳解】解：(1)設多項式的第三個因式為垃+9,

由題意得：(tx+9)(2%+1)(3久-4)=6tx3+(54—St')%2—(4t+45)久—36=mx3+

nx2—61x—36,

m=6tf54-5t=n,4t+45=61,

解得：t=4,m=24,n=34,

.*.m—n=24-34=—10,

故答案為：—10；

(2)如圖，作于D,延長CM交于E,連接AE,

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B

U：^LBAC=乙BCA=44°,

???△ABC是等腰三角形，AB=CB,AABC=180°-/-BAC-^BCA=92°,

?：BDLAC,

???80垂直平分"，乙CBD=乙ABD=46°,

：.EC=EAf

：./.ECA=Z.EAC=30°,

'：Z.EAC=乙EAM+Z.MAC=30°,乙BAC=2BAE+LEAD,

：.^EAM=AEAC-^MAC=30°-16°=14°,乙BAE=ABAC一乙EAC=44°-30°=14°,

：.^EMA=乙EAM=14°,

U：^EMA=^ECA+^MAC=30°+16°=46°,

：.^EMA=AEBA=46°,

U：AE=AE,

：.△BEA三△MEA(AAS),

：.AB=AM,

???△ZBM為等腰三角形，

9：^BAM=Z-BAE+乙EAM=14°+14°=28°,

J./.BMA=1X(180°-Z-BAM}=76°,

\"^CMA=180°-^MCA-AMAC=134°,

:.乙BMC=360°-ACMA-^.BMA=150°,

故答案為：150。.

【點睛】本題考查了多項式乘以多項式、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性

質、三角形內角和定理、線段垂直平分線的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，

添加適當的輔助線是解此題的關鍵.

15.②③④

【分析】對于①，由于點的位置不確定，無法說明NR4D=乙48。，故①錯誤；對于②，

第13頁共29頁

過點F作FK1BE于點、K,由4。=AG,知=Z2,顯然N1=45,由FK||AE得至IJN2=Z4,

故=z2=z4=z5,顯然NEFK=45°=z3+z4,故〃FE+4ABD=45°,故②正確；

對于③，先證明NAFB=N4BF,貝iMF=4B,故力G+GF=4B,即TW+GF=4B,故③

正確；對于④，過點尸作力F的垂線交4M延長線于點N,連接NE,先證明△FEN三4FBA(SAS),

則NE=AB,Z.7=Z8,再證明ANME=A/1MC(AAS),則EM=MC,繼而EC=2EM,故④

正確.

【詳解】解：對于①，由于點D,E的位置不確定，無法說明N瓦4D=乙4BD,故①錯誤；

對于②，過點尸作FK1BE于點K,

：.AD=AG,

.\zl=N2,

:等腰Rt△4BC,即N84C=90°,

.\zl+BAE=^BAE+Z5=90°,

z.1=z5,

9：FK1BD,AE1BD.

：.FK||AE,

z2=z4,

z.1=z2=z4=z5

???等腰

：.FE=FB,Z.EFB=90°,

9：FK1BD

.?.zEFK=45°=z3+z4,

???乙4尸E+匕ABD=45°,故②正確；

對于③，如圖：

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???△是等腰直角三角形，

：.FE=FB/EFB=90°,

?；FK1BD

工匕KFB=45°,

???△KFB是等腰直角三角形，

：.KF=KB/KFB=乙KBF=45°,

Vz4=Z5,

???Z4+KFB=z5+乙KBF

：.^AFB=匕ABF,

：.AF=AB,

：.AG+GF=AB,

9CAD=AG,

：.AD+GF=AB,故③正確；

對于④，過點F作AF的垂線交AM延長線于點N,連接NE,

:.乙AFN=乙BFE=90°,

z6=Z.BFA,

9：FNIFA,AFAM=45°,

：.^FNA=/.GAM=45°,

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：.FA=FN,

9：FE=FB,

.'.△FEN三△FBA(SAS),

；?NE=AB/7=Z8,

9CAB=AC,ACAB=90°,

：.NE=AC,Z8+/-MAC=90°-Z.FAM=45°,

Vz7+z9=zF^=45°,

?"9=Z.MACf

■:乙NME=^.AMC,

：.△NME=△ZMC(AAS),

：.EM=MC,

：.EC=2EM,故④正確，

故答案為：②③④.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定與

性質，垂直平分線的性質，解題的關鍵在于添加輔助線構造全等三角形，難度較大.

16.2-a

2

【分析】本題考查了軸對稱最短線路問題、平行線性質、等腰三角形的判定和性質等知識點，

作輔助線找到M，N的位置是解題的關鍵.

(1)如圖：OP平分/20B,當PNIIOA,,得到乙NOP=4NPO,根據等腰三角形的判定即可

解答.

(2)如圖：作P關于04。8的對稱點C,D連結CD,交。4。8于跖N兩點，作OE1CD

于E.此時當APMN周長最小時，OC=OP=OD=a/COD=120°,可求垂線段。E的長

即可.

【詳解】解：⑴如圖：：OP平分乙4OB,

:.乙BOP=/.AOP,

,：PN\\OA,

：./.AOP=乙NPO,

:.4BOP=4NPO,

：.ON=PN=2.

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B.

OMA

故答案為：2.

(2)如圖：作P關于。a,OB的對稱點C,D連結CD,交04。8于N兩點，作OE1CD

：.NC=NP,MD=MP,

：.△PMN周長=PM+PN+MN=NC+MD+MN=CD,

假設隨著點M,N位置的變動，M',"不在C￡>上時，CN'+MN+DM'>CD,

；.△PMN周長的最小值=CO.

:作P關于04OB的對稱點C,D,

，0B垂直平分PC,

：.0C=OP,乙COP=LBOP,

同理：OP=OD,乙40P=4DOP,

/.AOB=60°,

:.乙COD=120°,

VOC=OD=a,

，乙OCD=ZODC=30°,

OE1CD,

1

OE=-a,

2

.?.點。到直線MN的距離等于1a.

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故答案為：|ci-

17.10710度

【分析】本題考查了三角形的外角的性質，角平分線的性質與判定，分別延長CD,CA,過

點E作EG1CD交CD于G,EH1CA^CA^H,EPlAD^AD^P,然后證明EA、ED、EC是

△ADC內角或外角的角平分線，再根據三角形的外角的性質和角平分線的性質進行解答即可.

【詳解】解：分另U延長CD,CA,過點E作EG1CD交CD于G,EH1C2交C2于H,EP1AD交

力。于P,

???/.EAH=/-EAD,即EA平分N/MD,

:EH1CA,EP1AD,

EH=EP,

'：^ADE=30°,^ADC=120°,

:.乙EDG=180°-AADC-/LADE=180°-120°-30°=30°,

:.乙EDG=^ADE=30°,^ADG=4EDG+^ADE=60°,

平分NADG,

"：EG1CD,EPLAD,

：.EP=EG,

■.EP=EG=EH,

EC平分以CD,

:.乙ECD=-^ACD,

2

9：/-DAC=40°,

：.^ACD=AADG-^DAC=60°-40°=20°,

:.LECD=-^ACD=10°,

2

故答案為：10°.

18.29°

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【分析】延長84和BC,過。點作DE184于E點，過。點作DF1BC于尸點，根據是“8C

的平分線可得出ABDEmzkROF,UDE=DF,過。點作DG1AC于G點，可得出AADE三

AADG,ACDGSACDF,進而得出CD為NACF的平分線，得出ADG4=54°,再未艮據NADC=

180。-AEMC-NDCA即可得出結論.本題考查了角平分線的性質，以及三角形的全等和三

角形的內角和定理，注意知識點的綜合運用.

【詳解】解：延長84和BC,過。點作DE1B4于E點，過。點作DF1BC于尸點，

BD是N4BC的平分線

在ABDE與ABDF中，

2ABD=乙CBD

BD=BD,

./.AED=ZDFC

?-?ABDE三△BDF(ASA),

???DE=DF,

又；/.BAD+^CAD=180°

^BAD+Z.EAD=180°

???Z.CAD=Z.EAD,

???4)為㈤C的平分線，

過。點作DG14;于G點，

在Rt△ADE與Rt△ADG中,

(AD=AD

(DE=DG'

ADE三△ADG(HL),

DE=DG,

???DG=DF.

在RtzXCDG與RtZkCDF中，

(CD=CD

[DG=DF'

Rt△CDG=RtACDF(HL)

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???CD為乙4CF的平分線

乙ACB=72°

???Z.DCA=54°,

在△48C中，

???乙ACB=72°,/-ABC=50°,

???^BAC=180°-72°-50°=58°,

1800-58°

Z.DAC==61°,

2

???乙ADC=180°-ADAC-ADCA=180°-61°-54°=65°,

???乙BDC=180°-25°-54°-72°=29°.

故答案為：29。.

19.30°或52.5°或80°.

【分析】分三種情況討論，①當NCZM=3NC時，②當/C=3NCW時，③NCZM=3NCAD

時，由“和諧三角形”定義可求解；

【詳解】解：'：^CAB=90°,AABC=60°,

AzC=30°

①當NCZM=3NC時，ZCDA=90°,

AZCAD=60°,

ZBAD=30°；

②當NC=3NCA。時，

：.ZCAD=1Q°,

：.ZDAB=80°；

③/CD4=3/CA。時，

ZCAD=-x(l80°-30°)=37.5°,

4

：.ZDAB^52.5°,

故答案為：30。或52.5。或80。.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內角和定理，理解“和諧三角形”定義，并能運

用是解決本題的關鍵.

2n+1

20.中

2n

【分析】由題意可知，四邊形ABCD為直角梯形，故可求梯形ABCD,△48&與4。。&的

第20頁共29頁

面積，由中點面積關系可得△力&尸2與面積，以此類推進而可得△4與△DC盤的

面積，觀察圖形可知，△AFnD的面積可由梯形與三角形面積作差可得，運算進而可得結論.

【詳解】：在四邊形ABCD中，ZB=ZC=90°,AB=BC=2,CD=1,

：?