專題10平行線與三角形

選擇題

1.（2022?內(nèi)蒙古通遼）如圖，一束光線A8先后經(jīng)平面鏡。“，ON反射后，反射光線8與A3平行，當(dāng)

NABA/=35。時，/DCN的度數(shù)為（）

A.55°B.70°C.60°D.35°

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得：SABM^OBC,SBCO^DCN,然后平行線的性質(zhì)可得勖CD=70。，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：0ABM=0（9BC,SBCOSDCM

EI0ABM=35O,H3OBC=35°,ffl0ABC=18O°-EABM-EIOBC=18O°-35o-35o=llOo,

0CZHAB,a0ABC+[3BCD=18Oo,EHBCD=180°-0ABe=70°,

^EBCO+SBCD+SDCN^180°,^BCO^DCN,

EINOCN=1（180°—NBCO）=55°.故選：A

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?河北）要得知作業(yè)紙上兩相交直線AB,C。所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點(diǎn)不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直

接測量.兩同學(xué)提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2）：對于方案回、0,說法正確的是（

方案I方案n

①作一直線G4,交AB,CD于點(diǎn)、E,F；①作一直線G",如B,CD于點(diǎn)、E,F；

②利用尺規(guī)作圖作ZHEN=ZCFG；②測量和ZCFG的大小；

③計(jì)算180°-ZAEM-ZCFG即可.③計(jì)算1S0°-Z.AEH-ZCFG即可.

A.El可行、回不可行B.回不可行、國可行C.回、國都可行D.回、團(tuán)都不可行

【答案】C

【分析】用夾角可以劃出來的兩條線，證明方案團(tuán)和團(tuán)的結(jié)果是否等于夾角，即可判斷正誤

【詳解】方案機(jī)如下圖，N8PD即為所要測量的角

0ZHEN=NCFG包MN//PDBZAEM=NBPD故方案團(tuán)可行

方案回：如下圖，ZBPD即為所要測量的角

在,.EP產(chǎn)中：ZBPD+Z.PEF+Z.PFE=180°

貝U：/3尸0=180。一//團(tuán)一/。陽故方案回可行故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和；本題的突破點(diǎn)是用可畫出夾角的情況進(jìn)行證明

【答案】B

【分析】根據(jù)垂直的定義可得NCOE=90。，根據(jù)平角的定義即可求解.

【詳解】解：EOSCD,:.ZCOE^90°,

■Zl+ZC<9E+Z2=180°,Z2=180°-90°-54°=36°.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，平角的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?湖北鄂州）如圖，直線〃〃/2,點(diǎn)C、A分別在小12上,以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑畫弧，交〃

于點(diǎn)8,連接48.若回8。4=150。，則回1的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】B

【分析】由作圖得AABC為等腰三角形，可求出乙鉆。=15。，由"〃〃得/1=NABC,從而可得結(jié)論.

【詳解】解：由作圖得，CA=CB,回AABC為等腰三角形，SZABC^ZCAB

00BCA=150°,EZABC=1（180°-ZACB）=1（180°-150°）=15°

她〃碗4=ZABC=15。故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，求出NABC=15。是解答本題的

關(guān)鍵.

5.（2022?湖南郴州）如圖，直線。〃b,且直線a,6被直線c,1所截，則下列條件不熊判定直線c〃4的

是（）

A.Z3=Z4B.Zl+Z5=180°C.Z1=Z2D.Z1=Z4

【答案】C

【分析】利用平行線的判定條件進(jìn)行分析即可得出結(jié)果.

【詳解】解：A、當(dāng)/3=/4時，c〃d；故A不符合題意;

B、當(dāng)/1+/5=180。時，c〃d；故B不符合題意；

C、當(dāng)N1=N2時，a//b：故C符合題意；

D、Sa//b,貝I|N1=N2,0/1=/4,則Z2=Z4,Bc//d；故D不符合題意；故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件并靈活運(yùn)用.

6.（2022?山東濰坊）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面AB與8平行，入射光線/

與出射光線機(jī)平行.若入射光線/與鏡面A2的夾角4=40。10，，則N6的度數(shù)為（）

A.100°40JB.99。80'C.99°40,D.99°20,

【答案】C

【分析】由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得m=回2,可求出回5,由/〃〃/可得回6=回5

【詳解】解：由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得回仁回2,

0Z1=4001O,EIZ2=4OO1O,0Z5=180°-Zl-Z2=180°-40°10'-40°1O'=99°40'

0///w0Z6=Z5=99°4O,故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解答本題的關(guān)鍵.

7.（2022?北京）如圖，利用工具測量角，則/I的大小為（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】利用對頂角相等求解.

【詳解】解：量角器測量的度數(shù)為30。，

由對頂角相等可得，4=30。.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查量角器的使用和對頂角的性質(zhì)，掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?黑龍江）如圖，ABC中，AB=AC,平分ZBAC與2C相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)、F

是。C的中點(diǎn)，連接取交于點(diǎn)P.若ABC的面積是24,PD=L5,則PE的長是（）

【答案】A

【分析】連接DE,取AD的中點(diǎn)G,連接EG,先由等腰三角形"三線合一"性質(zhì)，證得ADMC,BD=CD,

再由E是AB的中點(diǎn)，G是A￡）的中點(diǎn)，求出SAEGER,然后證（AAS）,得GP=CP=1.5,從

而得。G=3,即可由三角形面積公式求出EG長，由勾股定理即可求出PE長.

【詳解】解：如圖，連接。E,取小》的中點(diǎn)G,連接EG,

0AB=AC,平分NS4c與BC相交于點(diǎn)。，

EIADHBC,BD=CD,

11

^ABD=-Sabc=-x24=12,

2

SE是AB的中點(diǎn)，

1c1

^AED=-SABD=-x12=6,

2

團(tuán)G是AD的中點(diǎn),

1c1,

^\SAEGD=-SAED——x6=3,

2

ae是AB的中點(diǎn)，G是A。的中點(diǎn),

^\EG//BC,EG=3BD=；CD,

00EGP=EF￡)P=9O°,

BF是8的中點(diǎn)，

0DF=^-C￡),

國EG二DF,

團(tuán)團(tuán)石PG二團(tuán)尸產(chǎn)。，

^\EGP^FDP(AAS),

^GP=PD=1.5,

團(tuán)GD=3,

^\SAEGD=—GD-EG=3,即一EGx3=3,

22

團(tuán)EG=2,

在我詹EGP中，由勾股定理，得

PE=VEG2+GP2=V22+1.52=2.5，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形

中線分三角形兩部分的面積相等是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?貴州遵義）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會QCME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直

角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形Q4BC.若AB=BC=1,4408=30。，則點(diǎn)8到OC的距離

為（)

D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求得03=2,進(jìn)而求得OC=VL進(jìn)而等面積法即可求解.

【詳解】解：在RtAB0,Rt_80C中,

ZAOB=30°,AB=BC=1,

/.OB-2,

OC=YIOB2+BC2=75，

設(shè)8到0C的距離為〃,

:.-OCh=-BCBO,

22

加5

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?廣西）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如

己知0ABe中，0A=30。，AC=3,0A所對的邊為G，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖

的0ABe是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）

C.2若或6D.2班或2癢3

【答案】C

【分析】分情況討論，當(dāng)EA2C是一個直角三角形時，當(dāng)0AHe是一個鈍角三角形時，根據(jù)含30。的直角三

角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可.

【詳解】如圖，當(dāng)財(cái)BC是一個直角三角形時，即/C=90。，

ZA=3O°,BC=y/3,

AB=2BC=2A/3；

如圖，當(dāng)0A8/C是一個鈍角三角形時,

過點(diǎn)C作CD^ABi,

:.ZCDA=90°=ZCDB,

CB=CB],

BD=BQ,

ZA=30°,AC=3f

13

:.CD=-AC=-,

22

BC=6,

21

B】D=^BXC-CD=與=BD,

BB}=5/3,

AB]=AB—BB}=A/3，

綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長為2班或石，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)已知條件作三角形，涉及含30。的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)

是解題的關(guān)鍵.

1L（2022?山東煙臺）如圖，某海域中有A,B,C三個小島，其中A在B的南偏西40。方向，C在8的南偏

東35。方向，且2,C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（）

A.北偏東70°B.北偏東75°C.南偏西70°D.南偏西20°

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得EABC=75。，AD^BE,AB=AC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EA8C=囪C=75。，從

而求出aBAC的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)可得aDAB=a4BE=40。，從而求出MMC的度數(shù)，即可解答.

【詳解】解：如圖：由題意得：

ElABC=a4BE+ElCBE=40°+35°=75°,AD^BE,AB^AC,

ffla4BC=EC=75°,

00BAC=180°-EIABC-ElC=30°,

EIAD0BE,

0aDAB=0ABE=4Oo,

0EZ）AC=^DAB+BBAC=40°+30°=70°,

回小島C相對于小島A的方向是北偏東70。，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?河北）如圖，將AABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕/,貝心是△42。的（)

BC

A.中線B.中位線C.高線D.角平分線

【答案】D

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/C4Q=/瓦1。，作出選擇即可.

【詳解】解：如圖，

團(tuán)由折疊的性質(zhì)可知ZCAD=ABAD,

EIA。是ZBAC的角平分線，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)和角平分線的定義，理解角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵.

13.（2022?廣西賀州）如圖，在R/AA8C中，0C=9O°,西=56。，則0A的度數(shù)為（）

A.34°B.44°C.124°D.134°

【答案】A

【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可得出0A的度數(shù).

【詳解】解：EIR/AA8C中，0C=9O",08=56°,

國她=90°-02=90°-56°=34°；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，并能

進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2022?湖南永州）如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,NC=60°,點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，BD=2,則BC

的長為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得0A=30。，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=2BD=4,再利用含

30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：H3ABC=90°,13c=60°,

0EL4=3O°,

回點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，BD=2

EIAC=2BD=4,

財(cái)C」AC=2,

2

故選：c.

【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形

的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

15.（2022?湖南永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）

【答案】D

【分析】利用三角形具有穩(wěn)定性直接得出答案.

【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩(wěn)定性,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的特性，牢記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?廣西玉林）請你量一量如圖一ABC中邊上的高的長度，下列最接近的是（）

0.7cmC.1.5cmD.2cm

【答案】D

【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AOSBC,

用刻度尺直接量得A。更接近2cm,故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查利用刻度尺量取三角形高的長度，作出三角形的高是解題關(guān)鍵.

17.（2022?黑龍江大慶）下列說法不正卿的是（）

A.有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形

B.有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有兩個角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形

【答案】A

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，對各選項(xiàng)逐項(xiàng)分

析可得出正確答案.

【詳解】解：A、設(shè)回1、回2為銳角，

因?yàn)椋?1+02+03=180°,

所以：明可以為銳角、直角、鈍角，所以該三角形可以是銳角三角形，也可以是直角或鈍角三角形，故A

選項(xiàng)不正確，符合題意；

B、如圖，在A48C中，B￡0AC,CD^AB,且BE=CD

EECQB=EIBEC=90°,

在RmBCD與RthCBE中,

[CD^BE

\BC^CB，

^Rt^BCD^Rt^CBE（HL）,

00ABC=E1ACB,

^AB=AC,即AABC是等腰三角形.，

故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、根據(jù)直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形,，

故C選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，

故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，要求

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中掌握三角形的各種性質(zhì)及推論，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.

18.（2022?廣西梧州）如圖，在ASC中，AB=AC,AD是...ABC的角平分線，過點(diǎn)。分別作

DE^AB,DF^AC,垂足分別是點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論母送的是（）

A

A.ZADC=90B.DE=DFC.AD=BCD.BD=CD

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即

可判斷求解.

【詳解】解：^\AB=AC,AQ是，ASC的角平分線，

ElADABC,BD=CD,

團(tuán)ZADC=90,故選項(xiàng)A、D結(jié)論正確，不符合題意；

又AD是NBAC的角平分線，DE^AB,DFAC,

團(tuán)DE=DF,故選項(xiàng)B結(jié)論正確，不符合題意；

由已知條件推不出4）=3C,故選項(xiàng)C結(jié)論錯誤，符合題意；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握其性質(zhì)即可.

19.（2022?四川樂山）如圖，等腰AABC的面積為2g,AB=AC,BC=2.作AE〃BC且AE=gBC.點(diǎn)P是線

段AB上一動點(diǎn)，連接PE,過點(diǎn)E作PE的垂線交BC的延長線于點(diǎn)F,M是線段EF的中點(diǎn).那么，當(dāng)點(diǎn)P

從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)時，點(diǎn)M的運(yùn)動路徑長為（）

BCF

A.6B.3C.2A/3D.4

【答案】D

【分析】當(dāng)P與八重合時，點(diǎn)F與C重合，此時點(diǎn)M在/V處，當(dāng)點(diǎn)P與8重合時，如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動軌

跡是線段MN.求出CF的長即可解決問題.

【詳解】解：過點(diǎn)4作3c于點(diǎn)D,連接CE,

*：AB=ACf

1

..BD=DC=-BC=1,

2

1

*：AE=-BC,

2

：.AE=DC=lf

9

：AE//BCf

???四邊形八ECD是矩形，

S^ABC=；BCxAD=；x2xAD=2石,

：.AD=273,貝1JCE=AD=273,

當(dāng)P與4重合時，點(diǎn)F與C重合，此時點(diǎn)M在CE的中點(diǎn)/V處，

當(dāng)點(diǎn)P與8重合時，如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是線段

VBC=2,CE=2y/3,

由勾股定理得BE=4,

,BCBE24

cosNEBC==，即nn-=>

BEBF4BF

BF=8,

??,點(diǎn)A/是CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn),

M/V=-BF=4,

2

.??點(diǎn)M的運(yùn)動路徑長為4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋

找點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡,屬于中考填空題中的壓軸題.

20.（2022?四川涼山）下列長度的三條線段能組成三角形的是()

A.3,4,8B.5,6,11C.5,6,10D.5,5,10

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理（任意兩邊之和大于第三邊）逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】解：A、3+4=7<8,不能組成三角形，此項(xiàng)不符題意;

B、5+6=11,不能組成三角形，此項(xiàng)不符題意;

C、5+6=11>10,能組成三角形，此項(xiàng)符合題意;

D、5+5=10,不能組成三角形，此項(xiàng)不符題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解題關(guān)鍵.

21.（2022?四川成都）如圖，在一ABC和.DEF中，點(diǎn)A,E,B,D在同一直線上，AC//DF,AC=DF,

只添加一個條件，能判定的是（）

C.ZA=ZD￡FD.AABC=ZD

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形全等的判定做出選擇即可.

【詳解】A、BC=DE,不能判斷△ABC/ADEF,選項(xiàng)不符合題意;

B、AE=DB,利用SA5定理可以判斷△ABC絲選項(xiàng)符合題意;

C、ZA=ZDEF,不能判斷△ABC/選項(xiàng)不符合題意;

D、ZABC=ND,不能判斷四△￡>￡7%選項(xiàng)不符合題意;

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，根據(jù)SSS、SAS、ASA,AAS判斷三角形全等，找出三角形全等的條件

是解答本題的關(guān)鍵.

22.（2022?山東聊城）如圖，ABC中，若/B4C=80。，ZACB=10°,根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以

下結(jié)論錯誤的是（）

A.ZBAQ=40°B.DE=-BDC.AF=ACD.NEQF=25°

2一

【答案】D

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)判斷即

可.

【詳解】I2ZBAC=80°,ZACB=70°,00B=18Oo-0BAC-a4CB=3Oo,

A.由作圖可知，AQ平分NBAC,0ZBAP=ZCAP=-ABAC=40°,

2

故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

B.由作圖可知，是的垂直平分線，0ZDEB=9O°,

0ZB=3O°,SDE=^BD,故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

C.回/3=30°,ZBAP=40°,0ZAFC=7O°,

0ZC=7O°,回AF=AC,故選項(xiàng)C正確，不符合題意；

D.[3NEFQ=ZAW=70°,NQE尸=90°,回/E。尸=20°；

故選項(xiàng)D錯誤，符合題意.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息.

23.（2022?海南）如圖，直線加〃“，ASC是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線〃上，直線相交AB于點(diǎn)E,交AC

于點(diǎn)R若/I=140°,則Z2的度數(shù)是（)

A.80°B.100°C.120°D.140°

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得朋=60。，再由三角形外角的性質(zhì)可得ME代回1-財(cái)=80。，從而得到

然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：回，ABC是等邊三角形，

00A=6O",

001=140°,

0EAEF=I31-I?]A=8OO,

EBBE尸=180°-0AEF=lOO°,

^m//n,002=0BEF=1OO°.故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的

性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.（2022?黑龍江齊齊哈爾）如圖所示，直線a助，點(diǎn)A在直線。上，點(diǎn)8在直線b上，AC=BC,0C=12O°,

01=43°,則回2的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出NABC=30。，可得出NABC+/1=73。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)

論.

【詳解】解：0AC=BC,回AABC是等腰三角形，

0ZC=120°EZABC=-(180°-ZC)=-(l80°—120°)=30°

22

0ZABC+N1=30°+43°=73°

加助，0Z2=ZABC+Z1=730故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，求出NABC+4=73。是解答本題

的關(guān)鍵.

25.(2022?湖北恩施)已知直線乙〃/2，將含30。角的直角三角板按圖所示擺放.若Nl=120。，則/2=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得國3=如=120。，再由對頂角相等可得西前3=120。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì),

即可求解.

【詳解】解：如圖，

根據(jù)題意得：05=30°,

//k,003=01=120°,004=03=120°,

002=04+05,032=120°+30°=150°.故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，對頂

角相等，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題

26.（2022?遼寧錦州）如圖，在ABC中，AB=AC,/ABC=30。，點(diǎn)。為3C的中點(diǎn)，將.ABC繞點(diǎn)。逆

時針旋轉(zhuǎn)得到VAEG,當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)4落在邊A3上時，點(diǎn)C'在班的延長線上，連接若加=1,

則ABB'D的面積是____________.

【分析】先證明,AND是等邊三角形，再證明A'OLBC,再利用直角三角形30。角對應(yīng)的邊是斜邊的一般

分別求出和A'O,再利用勾股定理求出。。，從而求得△班D的面積.

【詳解】解：如下圖所示，設(shè)AE與3。交于點(diǎn)O,連接和AO,

o/D

回點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，AB=AC,ZABC^30°,

^ADA-BC,A'D1B'C,A。是NB'A'C'的角平分線，AO是44C,

團(tuán)ZB'AC=120°,ABAC=120°

0ZBAD=ZB'A'D=60°

0A,D=AD,

回AAD是等邊三角形，

SAA=AD=AD=1,

團(tuán)ZBA'B'=ISO°-ZB'A'C'=60°,

BZBA'B'=ZAAD,

SAB,//AD,

AOIBC,

^A'O^-A'D=-,

22

0OD=Jl--=—

V42

^AB,=2A!D=2

^ZA'BD=ZA'DO=3(f,

1330=0。

13f-

^OBr=2--=~,BD=2OD=V3,

,

RB,n=-xBZ)xB0=-x>/3x-=^.

BBD2224

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，證明，A4>是等邊三角形是解本題的關(guān)

鍵.

27.(2022?湖南郴州)如圖.在ABC中，ZC=90°,AC=BC.以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧交

AB,AC于￡>,E兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)。，E為圓心，以大于:。E長為半徑作弧，在的C內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)P；

作射線AP交8c于點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作/GLA5,垂足用G.若AB=8cm,貝。3FG的周長等于cm.

【答案】8

【分析】由角平分線的性質(zhì)，得到CF=GF,然后求出班G的周長即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，

在,ABC中，ZC=90°,AC=BC,

由角平分線的性質(zhì)，得CF=GF,

03尸G的周長為：

BG+BF+FG=（AB-AG）+BC=AB-AC+BC^AB^8；

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì).

28.（2022?江蘇常州）如圖，在一ABC中，E是中線AD的中點(diǎn).若△AEC的面積是1,則△板）的面積是

【分析】根據(jù)AACE的面積=ADCE的面積，A的的面積=AACD的面積計(jì)算出各部分三角形的面積.

【詳解】解：4D是BC邊上的中線，E為4D的中點(diǎn)，

根據(jù)等底同高可知，AACE的面積=ADCE的面積=1,

AASD的面積=AACD的面積=2AAEC的面積=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進(jìn)行計(jì)算.

29.（2022,黑龍江哈爾濱）在,ASC中，AD為邊BC上的高，ZABC=30°,ZCAD=20°,則ZBAC是

___________度.

【答案】40或80##80或40

【分析】根據(jù)題意，由于ABC類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角

形外部討論求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：

①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：

.在AABD中，AD為邊BC上的高，ZABC=30°,

:"BAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

vZCAD=20°,

ABAC=ABAD+ACAD=60°+20°=80°；

②高在三角形邊上，如圖所示:

C（。）

可知NC4D=0。，

.ZC4D=20°,

故此種情況不存在，舍棄；

③高在三角形外部，如圖所示:

.在A/的中，4D為邊3c上的高，ZABC=3O°,

:.ZBAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCW=20°,

ZBAC=ABAD-ACAD=60°-20°=40°；

綜上所述：N54C=80。或40。，

故答案為：40或80.

【點(diǎn)睛】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據(jù)題意分情況討

論是解決問題的關(guān)鍵.

30.（2022?四川成都）如圖，在.ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8和C為圓心，以大于;的長

為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線交邊AB于點(diǎn)E.若AC=5,BE=4,ZB=45°,則AB

的長為

A

【答案】7

【分析】連接EC,依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得￡B=EC.由已知易得/3E3NCE4=90。，在R3AEC中運(yùn)用

勾股定理求得AE,即可求得答案.

【詳解】解：由已知作圖方法可得，MN是線段8c的垂直平分線，

連接EC,如圖，

所以BE=CE,

所以NECB=/B=45。,

所以NBEC=NCEA=90°,

因?yàn)锳C=5,BE=4,

所以CE=4,

在AAEC中，AE=-JAC2-EC2=A/S2-42=3，

所以AB=AE+3E=3+4=7,

因此A5的長為7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查中垂線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握中垂線上一

點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等，由勾股定理求得AE即可.

31.（2022?內(nèi)蒙古通遼）在HA3C中，ZC=90°,有一個銳角為60。，AB=6,若點(diǎn)P在耳線AB上（不

與點(diǎn)A,8重合），且/PCB=30。，則AP的長為

9

【答案】（或9或3

【分析】分0ABe=60、S4BC=3O。兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)0ABe=60。時，則EI54C=30。，

^BC=-AB=3

2f

^AC=YJAB2-BC2=3y/3，

當(dāng)點(diǎn)尸在線段AB上時，如圖，

0ZPCB=3O°,

^BPC=90°,BPPC^AB,

0AP=ACCOSZBAC=3A/3X—=-；

22

當(dāng)點(diǎn)尸在A5的延長線上時，

IEZPCB=30o,回尸30回尸C3+團(tuán)CP3,

團(tuán)團(tuán)。尸3=30°,

^CPB^PCB,

回PB=BC=3,

^\AP=AB+PB=9；

當(dāng)0A5030。時,貝胞84c=60。，如圖，

B

P/

AC

團(tuán)AC」AB=3,

2

回/PCB=300,

釀APC=60°,

酮4c尸=60°,

防A尸O團(tuán)鞏OMCP,

團(tuán)0Ape為等邊三角形，

^1PA=AC=3.

Q

綜上所述，AP的長為己或9或3.

2

g

故答案為：2或9或3

【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的

判定和性質(zhì)等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵.

32.（2022?湖南岳陽）如圖，在一ABC中，AB=AC,AD_LBC于點(diǎn)。，若BC=6,則CD=.

【答案】3

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知。是3c的中點(diǎn)，即可求出CO的長.

【詳解】解：SAB=AC,AD±BC,

團(tuán)CD=BD,

團(tuán)BC=6,

團(tuán)CD=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵.

33.（2022?江蘇無錫）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△QCE是邊長為3的等邊三角形，直線與直線

AE交于點(diǎn)F.如圖，若點(diǎn)。在△ABC內(nèi)，回。3020。，貝崛84/=°；現(xiàn)將△OCE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)1周，

在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段Ab長度的最小值是.

B

【答案】804-V3##-V3+4

【分析】利用SAS證明△8DC13AAEC,得至胞。BC=aEAC=20。，據(jù)此可求得回54尸的度數(shù)；利用全等三角形的

性質(zhì)可求得她尸8=60。，推出A、B、C、尸四個點(diǎn)在同一個圓上，當(dāng)8尸是圓C的切線時，即當(dāng)COSBb時,

MBC最大,貝靦EBA最小，此時線段長度有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：回0ABe和AOCE都是等邊三角形，

SAC^BC,DC=EC,0BAC=EACB=SDCE=6O°,

00￡?CB+EL4CD=0ECA+0ACZ)=6OO,

即EIDCB=EECA,

CD=CE

在"C。和CE中，＜/BCD=ZACE,

BC=AC

EBACEEBBCD(SAS),

^BEAC^DBC,

00￡)BC=2O°,

aaEAC=20°,

00BAF=0BAC+[3EAC=8OO；

設(shè)B尸與AC相交于點(diǎn)H,如圖：

團(tuán)△AC?回BCD

0AE=BD,國EAC二團(tuán)DBC,且MHF二國BHC,

0EL4FB=[?1ACB=6OO,

M、B、a尸四個點(diǎn)在同一個圓上，

回點(diǎn)。在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)3尸是圓。的切線時，即當(dāng)CZMB尸時，回良。最大，則回產(chǎn)84最

小，

團(tuán)此時線段A方長度有最小值，

在放△BCD中，805,8=3,

^BD=y/§2-32=4,BPAE=4,

團(tuán)團(tuán)尸￡)E=180°-90°-60°=30°,

0EL4FB=6O°,

00FDE=0FEZ)=3OO,

aFD=FE,

過點(diǎn)尸作以葡￡>E于點(diǎn)G,

0DG=GE=-,

2

DGr-

BFE=DF=------=V3,

cos30°

^\AF=AE-FE=4-^/3,

故答案為：80；4-百.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本

題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

34.(2022?湖南永州)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅〃趙爽弦圖〃，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明.

如圖所示，"趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面

積是25,小正方形的面積是1,則AE=.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,設(shè)AF=DE=CH=BG=x,結(jié)合圖形得出AE=*1,

利用勾股定理求解即可得出結(jié)果.

【詳解】解：回大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,

SAB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=\,

根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x,

貝l|

在R/AAED中，

AE2+ED2^AD2>

BP（x-1）2+X2=52,

解得：x=4（負(fù)值已經(jīng)舍去），

Elx-1=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，一元二次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用

這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

35.（2022?黑龍江齊齊哈爾）在0ABe中，AB=3瓜,AC=6,48=45,則3C=.

【答案】3行+3或36-3

【分析】畫出圖形，分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可.

【詳解】解：情況一：當(dāng)0ABe為銳角三角形時，如圖1所示：

AA

45。/

H

C

圖2

過A點(diǎn)作。于H,

005=45°,

團(tuán)財(cái)為等腰直角三角形，

0AH=BH=半=^~=3瓜

y/2A/2

在RfflA。？中，由勾股定理可知：CH=VAC2-AH2=A/36-27=3>

^BC=BH+CH=3y[3+3.

情況二：當(dāng)MBC為鈍角三角形時，如圖2所示:

_AB_3aA

由情況一知：AH=BH「正一再斗3,CH=[ACJAH?=J36-27=3,

SBC=BH-CH=3力-3.

故答案為：3百+3或3V^-3.

【點(diǎn)睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是能將0ABe分成銳角三角形或

鈍角三角形分類討論.

36.（2022?貴州遵義）如圖，在等腰直角三角形ABC中，N54C=90。，點(diǎn)M,N分別為3C,AC上的動

點(diǎn)，且4V=。/,AB=近.當(dāng)AM+3N的值最小時，的長為.

【答案】2-V2

【分析】過點(diǎn)A作AD〃5C,且4)=AC,證明△WVDZzXCW,可得AM=DN,當(dāng)aN,。三點(diǎn)共線時,

5N+AM取得最小值，證明=即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AD〃5C,且4)=AC,連接DN,如圖1所示，

.\ZDAN=ZACM9

又AN=CM,

:.AND練CMA,

;.AM=DN,

:.BN+AM=BN+DN>BD,

當(dāng)氏N,。三點(diǎn)共線時，5N+AM取得最小值，

此時如圖2所示，

「在等腰直角三角形A8C中，ZBAC=90°,AB=6

/.BC=^AB=2,

AAND%公CMA,

:.ZADN=ZCAM,

AD=AC=ABf

:.ZADN=ZABNf

AD//BC,

:.ZADN=ZMBN,

:.AABN=/MBN,

設(shè)NMAC=cc,

,\ZBAM=ZBAC-a=90°-a,

:.ZABM=ZABN+ZNBM=2a=45。,

a=22.5°,

ZAMB=180°-ZBAM-ZABM=180。—90。+a—45°=67.5°,ZBAM=90°-22.5°=67.5°,

:.AB=BM=41,

:.CM=BC-BM=2-6,

BPBN+AM取得最小值為2-

故答案為：2-叵.

DD

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵.

37.（2022?廣西）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么回ZMC的大小為

【答案】1350##135度

【分析】根據(jù)三角板及其擺放位置可得/BAO=180o=/BAC+NQ4C,NOAC=45。，求解即可.

【詳解】ZBAO=180°=ABAC+ZOAC,ZOAC=45°,

ABAC=180°-45°=135°,

故答案為：135。.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一個角的補(bǔ)角，即兩個角的和為180度時，這兩個角互為補(bǔ)角，熟練掌握知識點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

38.（2022?廣西桂林）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，若AC=2cm,則AB=cm.

I____________I_____________I

ACB

【答案】4

【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義可得AB=2AC=4c%

【詳解】解：根據(jù)中點(diǎn)的定義可得：AB=2AC=2X2=4CMJ,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)的定義，熟知中點(diǎn)的定義是解題關(guān)鍵.

39.（2022?貴州遵義）數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28。，求北緯28緯線的長度.

小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：

信息一：如圖1,在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；

信息二：如圖2,赤道半徑。4約為6400千米，弦以3C為直徑的圓的周長就是北緯28。緯線的

長度；（參考數(shù)據(jù)：TT?3,sin28o*0.47,cos28°?0.88,tan28°?0.53）

根據(jù)以上信息，北緯28。緯線的長度約為千米.

圖1圖2

【答案】33792

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知/3=4。4=28。，在H3QD中，利用銳角三角函數(shù)求出8D,即為以

為直徑的圓的半徑，求出周長即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作垂足為

根據(jù)題意03=04=6400,

SBC//OA,

0ZB=ZBOA=28°,

團(tuán)在歷.BOD中，ZB=28°,

團(tuán)3。=03cos28°,

團(tuán)8八BC,

團(tuán)由垂徑定理可知：BD=DC=^BC,

團(tuán)以3c為直徑的圓的周長為27x3Z）y2x3x6400x0.88=33792,

故答案為：33792.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練三角函數(shù)的含義與解直角三角形的方

法.

三.解答題

40.（2022?廣東）如圖，已知N4OC=NBOC,點(diǎn)P在。C上，PD1OA,PELOB,垂足分別為。，E.求

證：VOPD^VOPE.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PD=PE,再用乩證明絲

【詳解】證明：^ZAOC=ZBOC,

回OC為NAQB的角平分線，

又回點(diǎn)尸在OC上，PDLOA,PELOB,

S\PD=PE,NPDO=NPEO=90。,

又回尸O=P。（公共邊），

0OPD^<9PE（HL）.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，利用合適的條件證明三角形全等是本題的關(guān)鍵.

4L（2022?廣西）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實(shí)地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖

的四邊形ABCD其中A3=CD=2米，4￡>=2。=3米，SB=30°

4.D

（1）求證：0ABC00CZ）A；⑵求草坪造型的面積.

【答案】（1）見解析

（2）草坪造型的面積為3m2

【分析】（1）根據(jù)‘SSS〃直接證明三角形全等即可；

（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出A￡的長度，繼而求出ABC的面積,

3

再由全等三角形面積相等得出SMC=Son=：，即可求出草坪造型的面積.

⑴在一ABC和二CDA中,

AB=CD

<AC=CA,

BC=AD

:..ABC三CDA(SSS)；

.\ZAEB=90°,

ZB=30°,A5=2m,

/.AE=—AB=lm,

2

BC=3m,

113

??S=—BC-AE=-x3xl=-m9",

ABBCr222

ABC±CDA,

32

SABC=SCDA=5m,

二草坪造型的面積=SMe+S%=3m2,

所以，草坪造型的面積為3m2.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

42.（2022?貴州銅仁）如圖，點(diǎn)C在上，=求證：AABC^ACDE.

****/

D

C

【答案】見解析

【分析】直接根據(jù)一線三垂直模型利用AAS證明A4BC會△€!）￡即可.

【詳解】解：0AB0BD,ED^BD,ACSCE,

00B=0D=EL4CE=9O",

00BAC+0BCA=9O°=0BCA+0￡>C￡,

00BAC=0DCE,

在E1ABC和EICDE中，

NB=ND

<ABAC=ZDCE,

AC=CE

00ABC00C￡)￡(AAS).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知一線三垂直模型是解題的關(guān)鍵.

43.（2022?四川宜賓）已知：如圖，點(diǎn)A、。、C、E在同一直線上，AB//DE,ZB=ZE,BC=EF.

求證：AD=CF.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)AB〃DE,可得44=N￡Z*,根據(jù)AAS證明△ABC絲砂，進(jìn)而可得AC=。/，根據(jù)線

段的和差關(guān)系即可求解.

【詳解】證明：B