模塊三平面向量（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項:

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知點A（l,0）,3（2,2）,向量A（j=4C3,則AC=（）

A.（1,2）B,1力C,D,（-3,-1）

【答案】B

【解析】依題意，由定比分點公式得力=：,

4

2.若兩個單位向量生方滿足卜-3w=|2。+?,則“與。夾角的余弦值為（）

A.-B.-C.-D.—

6532

【答案】D

【解析】由1一3同=忸+同,得用2-61%+912=4黯+4〃5+戶.

因為a,Z?為單位向量，所以化簡可得：1-6〃2+9=4+4〃?。+1,解得〃力=,,

則4與b夾角的余弦值為3.

故選：D.

3.己知a=（一2,1,3）力=（一1,1,1）,若a_L（a-助），則實數4的值為（）

147

A.—2B.------C.—D.2

33

【答案】C

【解析】因為向量￡=（—2,1,3）出=（—1,1,1）,

又—,貝IJa-(a—Xb)=Q2—XQ?Z?=(4+l+9)—4(2+l+3)=0,

7

整理得到14—64=0,解得A=—,

故選：C.

4.已知在平行四邊形A5CD中，AC與5。交于點0,點E滿足石，記機二AD,〃=AC，則

OE=()

21

A.-m——nB.—m+—n

3636

c12

C.—iti—nD.—m+—n

6363

【答案】A

【解析】因為0c=3OE，所以0E=00+02=00+；0C,

因為0D=AD-gaC,DC=AC-AD,

11r\i01

所以OE=4￡)—/>^+1(4。一4。)=§4。一%4。=耳相一％〃.

故選：A

5.已知向量a/,c,滿足同=1,忖=2,同=3,〈〃,b〉=〈〃+》,e〉=g，則a+〃在c方向上的投影向量為（）

A2a14.「幣n7.

A.------cBD.—cC.cD.—c

3366

【答案】c

【解析】因為同=l，W=2,|d=3,.a,b.="|,

所以卜+6卜\/a2+2,a-b+b2=卜+2x1x2xcosy+22=不，

所以…在0方向上的投影向量為丁.才葉￡=答0=樂.

故選：c.

6.在VABC中，角B,C所對的邊分別為6,c,。為邊BC上的點.已知

hr

P：AD=——AB+——AC,q：AD平分NBAC,則P是4的（）

b+cb+c

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】充分性：因為=1也AB+4AC,手1也

b+cb+cb+cb+cb+c

所以（6+c）Ar）=ZM3+cACn6（AD—A3）=c（AC-Ar＞）,

cBDc

可得BO=—OCn—=一，

bDCb

所以^AABD'S/XACD=C'.b.

假設點D到邊AB與邊AC的距離分別為%,h2,

則％3。：528=函：她，所以％=%,所以AD平分-54C.

必要性：因為4。平分ZBAC,則九=為，

SS

所以^ABD:AACD=*:bh2=c:b,

BDcchc

所以F=7，從而BD—DC,AD=--AB+--AC.

DCbbb+cb+c

所以P是4的充要條件.

故選：B.

7.八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2的正八邊形

ABCDEFGH,其中。4=2,貝ijAE?AB+G/=j=（）

圖1圖2

A.4B.4A歷C.8D.85/2

【答案】C

【解析】由題知八邊形ABCDEFG”為正八邊形，則/AOC=90°,NOAC=45°,

因為。4=2,所以4。=2忘，

所以AE(AB+GF)：AE(AB+BCInAE-ACnZACrACnZkoHAcFcosNOACng.

故選：C

8.已知。，。為單位向量，且卜-2可=々,向量c滿足c,-4a-c+3=0,則-a)的最大值為()

A.73-1B.73+1C.6-3D.一百+3

【答案】C

【解析】由"，》為單位向量，且,一24=近，貝［］卜-2.=問2-4°.6+4忖-5-Aa-b-7,解得

-,?1

ab-——,

2

,a-b1如

設。涉的夾角為6,則8$0，6=鬧”=一萬，解得。8=子，

(?n、

不妨設d=(l,o),b=,C=(x,y),

k?

由。2—4Q?C+3=0,則J+y2—4X+3=0,整理可得(%—2)2+y2=i,易知圓心(2,0),半徑為1,

設c?僅_q)=左，由c?(/?.a)=(x,,)?——=_］X+^^y,貝"3x—石y+2左=0,

\/

易知當直線3x-&y+2k=0與圓(%一2)2+;/=1相切時，左取得最值，

可得妝j；：；4=l,整理可得42+6左+6=0,解得左=-3土石，

所以僅一°)的最大值為6-3.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設q,4是兩個相互垂直的單位向量.若向量a=G-2/,人=G+2/，貝I()

A.\a\=\b\B.alb

C.(a-b)//4D.|2<7-/?|=3

【答案】AC

【解析】由題q,e2是兩個相互垂直的單位向量，且&=61-2/,匕=9+202.

2

對于A,同=-Ze2)=-4g1-e2+4e2=6,忖=J(q+2%)=+4q?+4e；=有,

所以同=網，故A正確；

對于B,a-b={ex-2e^-{ei+2e^=e^=-3,所以a涉不垂直，故B錯誤；

對于C,a-b=^el-2e7^-{el+2e^=-Ae2,所以(。-q/心，故C正確；

X\j,D,2a-B=2(G-2e2)-(q+2e?)=q-6e°,

所以12d一.=—Ge?)=yfe1_-12q-e2+36e?=-\/37,故D錯誤.

故選：AC.

10.如圖，在四邊形ABCD中，BC=2AD，E為CD的中點，BE與AC交于點尸，與AC交于點G,

設AB=a,AD=b>則下列結論正確的是()

BC

A.GD=-BD

3

B.GF=FC

13

C.BE=——a+-b

22

D.若BF=aa+〃5,則2彳-〃=-l

【答案】AC

【解析】對于選項A,因為3W=2AD,所以AD//3C,且AD=ggC,

所以GO=ggG=g8。，所以GD=gg￡>,故選項A正確，

對于選項B,若GJ^=FC，則尸為CG的中點，因為E為C。的中點，

所以EF//DG,與ERDG相交于點B矛盾，故選項B錯誤，

對于選項C,因為石為。。的中點，所以BE=彳（2C+BD）=—（26+6—a）=—aH—b,故選項C正確,

對于選項D,解法一：由題意可設AP="7AC，加e（O,l）,

所以BF=AF-AB=mAC—AB=m^AB+BC^—AB=（m—1）AB+mBC=（m—l^a+2mb,

XBF=Aa+jLib,所以4=%一1,jd=2m,所以2X-〃=-2機=-2,故選項D錯誤，

解法二：因為ARC三點共線，所以B方=%R4+*C,且％+y=l,

XxBA+yBC=-xa+2yb,BF=4a+,所以4=一1，"=2y,2%—4=一2,故選項D錯誤,

故選：AC.

11.定義：〃,6兩個向量的叉乘々><6的模卜乂6卜時少卜山（他6）,則下列命題正確的是（）

A.若平行四邊形ABCD的面積為4,貝u|A3xAU=4

B.在正VA5c中，若Ar>=kBxAc|（AB+AC）,則￡=|

1lv7\BC\2

C.若|axb卜百，a,b=i,則卜+2可的最小值為12

D.若卜乂6卜1,|bxc|=2,且。為單位向量，貝||axc|的值可能為2+2石

【答案】ABD

【解析】對于A,因為平行四邊形ABC。的面積為4,所以|AB|x|AO|sinNBAO=4,

所以,3x44=4,故A正確;

2

對于B,因為AD=刖xAC]（A2+AC）=\AB\-|AC|sin60°（AB+AC）=^-\BC\（AB+AC）,

2

|AD|^|BC||AB+AC|43\AB+AC\代百閘3

所以阿-2\BC^~一河一~2M~2所以B正確;

對于C,因為|商義同=6,溫)=1,所以何.同sin(&冉同同cos他9=1,

所以tan(a,6)=5因為(a,b)e[0,7t],所以卜,6)=三，所以|葉|6=2,

所以U+2.=1d「+4a力+4忖22,142(2忖)+4=4同忖+4=12,

當且僅當時Ia1=2|勿=2等號成立，所以卜+2川的最小值為2?,所以C錯誤；

對于D,若kx〃=l,卜Xd=2,且6為單位向量，

則當|《=應,(a,6)=：,同=4,卜，9=看時,億。〉=＞：=|^,

.5兀./兀兀、.兀兀兀.兀A/2+^6

sin—=sin(—I—)=sin-cos—\-cos—卜sin——-----------,

126464644

此時|axc|=kHdsin〈a,c)=40x.；"=2+2幣,所以D正確.

故選：ABD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知平面向量a，匕滿足忖=什=卜-6卜2,則.

【答案】2

【解析】由卜-0=2,可得卜_d=4,所以/_2。.6+/=4，

所以忖—24乃+卜|=4,又〃=/?=2,所以4—2a?Z?+4=4,

所以a.b=2.

故答案為：2.

13.已知點。尸均在VABC所在平面內，以下所有正確說法的序號是.

①若動點P滿足。尸=。4+P5+尸。，則點P為VABC的重心；

/_____、

②若動點尸滿足。尸+同+用J^ER),則動點夕的軌跡一定經過VABC的內心；

/__________\

Afi

③若動點尸滿足OP=Q4+2?~,—+「——(2eR),則動點尸的軌跡一定經過VABC的重心；

|AB|sinB|AC|sinC

(______\

ARAr

④若動點尸滿足。戶=04+2I~I——+「——(2eR),則動點尸的軌跡一定經過VABC的垂心.

|AB|cosB|AC|COSC

【答案】①②③④

【解析】對于①，因為動點P滿足OP=OA+PB+PC，所以AP=PB+PC，則點尸是VABC的重心，①正

確./、/、

ABACABAC

對于②，OP=OA+A,(2eR),所以AP=X----1----(AeR),

M+H網lACU

所以點在胡的平分線所在直線上，所以動點P的軌跡一定經過的內心,②正確.

P1C、VA5c、

ABACABAC

對于③，OP=OA+A(/LeR),所以AP=X(AeR),

AB\sinB\AC\sinCAB\sinBlAcIsinC

77

過點A作AD上3C,垂足為O,如下圖:

則網sinB=|Ac|sinC=A￡),所以=a(AB+Ac),

則點尸在BC邊上的中線所在直線上，因此動點P的軌跡一定經過VA3C的重心，③正確.

c

ABACABAC

對于④，OP=OA+A?(2eR),所以AP=X（2GR）,

|A51cosBAc|cosCAC|cosC

、\AB\COSB

AB1AC

所以APBC=2-BC=A(-\BC\+\叫)=0,

\AB\COSBAc|cosC

所以APLBC，所以動點尸的軌跡一定經過VABC的垂心，④正確.

故所有正確說法的序號是①②③④.

故答案為：①②③④.

14.在VABC中，ZBAC=120,43=2,?^=1,￡＞是8（7邊上靠近8點的三等分點，E是BC邊上的動點,

則AE-C￡＞的取值范圍為

410

【答案】

3'T

AB|2+AC|2-|BC|2

【解析】由cos/BAC=解得■]=#■,

2ABAC

BDEC

^CE=2CB,O</1<1,

則AECD=^AC+CE)CD

r\

=(AC+2CB)-CB

222

=-ACCB+-ACB

33

。1A

=-AC(AB-AC)+y2

22214

=-ACAB——AC+——4

333

2214

=--21cosl20°--l+—2

333

414.「410一

33L33_

以冰…「4IO-

故答案為：-n

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

已知向量0=(1,2),萬=(-3㈤.

(1)若。〃。，求W的值；

(2)若a■1(a+2匕)，求實數上的值；

(3)若。與8的夾角是鈍角，求實數％的取值范圍.

【解析】(1)因為向量°=(1,2),6=(-3㈤，且“〃b,

所以lx"2x(—3)=0,解得上=—6,

所以W=J(-3)2+(-6)2=34.

(2)因為a+26=(-5,2+2左)，且a_L(&+26),

所以lx(-5)+2x(2+2Z)=0,解得笈=；.

(3)因為分與。的夾角是鈍角,

則。/<0且4與。不共線，

即lx(-3)+2x左＜0且左片一6,

所以女且左w-6.

2

16.(15分)

1?

如圖，在VABC中，AM=—AB,CN=—CB.設AB=a,AC=b-

41

(2)若P為VA5C內部一點，S.BP=--a+-b.求證：M,P,N三點共線.

【解析】(1)由題可知，

22

AN=AC+CN=AC+-CB=AC+-{AB-AO

=-AC+-AB=-b+-a,

3333

MN=AN-AM=(-b+-a)--a=-b+-a

33236

(2)MP=MB+BP=-a+{--a+-b)=-b+—a

299918

MN=3MP，且有公共點M

：.M,P,N三點、共線.

17.(15分)

在VABC中，已知tanA+tanBuV^tanAtanB-l).

⑴求C；

(2)記G為VABC的重心，過G的直線分別交邊C4C3于兩點，沒CM=^CA,CN=/aCB.

(i)求＜+'的值；

Z4

(ii)若C4=C5,求，CMN和VA5C周長之比的最小值.

【解析】(1)由題可知tanCMtanm-A-Bju-tanlA+Bju-taM+tanB=石,

''''1-tanAtanB

又Ce(O,7r),所以C=g；

(2)(i)設。為AB的中點，則C￡>=[C4+1C8,

22

又因為CG=]C。，所以CG=1CA+!CB=[CM+4CN,

3333X3〃

因為M,G,N三點共線，所以士+；=1,所以<+'=3；

TT

(ii)由C4=CB,C=~,可得VABC為等邊三角形，

設VABC的邊長為1,_CMN與VABC周長分別為G，Cz，則C?=3,

MN=d"+以C]=X+〃+J丸2+金一九N,

由;+)=3可得，=2+(當且僅當幾=〃時等號成立),

4

解得〃/之易知函數y=%+上單調遞增,

44_2

所以+

9^3-3

2

所以4cW和VABC的周長之比的最小值為

18.(17分)

如圖，設Ox、S是平面內相交成i(O<a<兀)的兩條射線，％、％分別為公、同向的單位向

量，定義平面坐標系xOy為a-仿射坐標系，在a-仿射坐標系中，若。「二人6+'色，則記。。二(%,丁).

(1)在;-仿射坐標系中，若0=(虛,1),求口；

(2)在a-仿射坐標系中，若4=(-1,3),。=(-3,1),且°與。的夾角為:，求cosa；

(3)如圖所示，在巳-仿射坐標系中，B、C分別在x軸、丁軸正半軸上，［8C|=1,OD=^OC,E、

廠分別為2。、BC中點，求的最大值.

【解析】(1)由題意可知，e；、e；的夾角為

由平面向量數量積的定義可得e/q=同?"gs：=孝，

因為a=(應,1),則。=血6+02，.

則片二(血弓+02『MZeJ+zgejez+e??=2+2a?，+]=5,所以同=石.

(2)由〃=(-1,3),b=(-3,1),得a=-q+3e2，b=-3ex+e2,

且6=lxlxcosa=cosa,

1?

所以，a=^-e1+3e2j-6e1-e2+9e2=10-6cosa,

b2=卜3G+4)=9e：-6,.q+1=10-6coscr,貝lj=網=J10-6cos。,

a-b=(~ex+3e2Y(-3^+e2]=3er+3e2-10^e2=6-10coscr,

qr7ia-b6-10coscr1i

因為a與。的夾角為§，則8S丁而=io_6cosa=1,解得cosa=].

(3)依題意設3(犯°)、C(0,n)(m>0,n>0),

“c=of

OF=OB+BF=OB+~BC=OB+-(OC-OB\=-OC+-OB=~me.+-

22、'22212

1117

因為E為B。中點，同理可得0￡=彳。。+7。3=7加6+—ne,

2223o2

.(11Af1711227-2f71

所以,OE?OF=—me,+—ne、?一me,----ne,\--me,-----n2e+——mn+—mn

u122J(213824176021764

由題意可知，=e^=1，，=/xcos§=5,

…八廠八廠1272(71)1127213

則OE?Or=—mHn+——mn+—mn—=—mHnHmn,

476(764J247676

2

在△06。中依據余弦定理得W+/2-mn-1,所以加+〃2—],

代入上式得，—m2+—n2--=—(8m2+5n2)--.

19197619v)76

BCOBOC

在△OBC中，由正弦定理.兀—sin/CO」-sinNBCG，

sin—

3

9jr

設ZBCO=。,則sinZCBO=sin0+1_ao<0<—,

3

l—cos12e+g

i20J7i\322032l-cos28

8m92+5n2=—sin26+—+——sin920=—x十一x------------

3I332

2^-sin2。

8(1—cos26)+51H—cos26+

32

nc/QIio

=-13+^y-sin26>-ycos26>=-[13+7sin(2^-^)],

。為銳角，且tan。二不后，

2兀4兀

因為則一夕＜26一夕＜曰-一夕，

故當2”='時，8療+5/取最大值|(13+7)=y

則0￡"二(8療+5昌一也工竺13121

19v77619376~228

19.(17分)

已知平面直角坐標系中，點4(a,0),點3(0,6)(其中a,6為常數，且必片0),點。為坐標原點.

⑴設點P為線段AB上靠近A的三等分點，OP=XOA+(l-X)OB(2eR),求彳的值;

（2）如圖所示，設點片，p2,A，…，只―是線段AB的〃等分點，其中“CN*,〃22,

①當〃=2028時，求|。4+。6+。6++OLi+O用的值（用含。，6的式子表示）;

②當a=6=l,〃=8時，求OPL(OR+OB)(lVi,/W/Ti,/eN*)的最小值.

(說明：可能用到的計算公式：1+2+3+