第02講二項式定理與楊輝三角

01學習目標

課程標準學習目標

1.利用計數原理分析二項式的展開過程，歸納、猜想

出二項式定理，并用計數原理加以證明；

1.能用多項式運算法則和計數原理證明二

項式定理，會用二項式定理解決與二項展開2.通過經歷二項式定理的探究過程，體驗“歸納、猜想、

式有關的簡單問題證明”的數學發現過程，提高自己觀察、分析、概括的

2.楊輝三角的性質.能力，以及“從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數學

思想的應用能力；

3.會應用二項式定理求解二項展開式.

02思維導圖

1.二項展開式的應用

2.求特定項

3.求特定項的系數

4.求展開式的有理項

5.二項式乘積問題

二項式定理6三.項式問題

7.已知特定項求參數

二項式系數的性質8.二項系數的最值問題

9.系數的最值問題

二項展開式的應用問題二項式定理與楊輝三角題型

10.展開式系數和問題

楊輝三角的性質11.整除與余數問題

12.近似計算問題

13.二項式定理與數列的交匯問題

14.二項式定理與比較大小問題

15.證明組合恒等式

16楊.輝三角

17.新定義問題

03知識清單

知識點01二項式定理

1.二項式定理

一般地，對于任意正整數小都有

（a+b）"=C°aH+C\an-'b+C^an-2b2+---+C^屋'-bk+--■+€；：b".（*）

公式（*）叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做（a+6）”的二項展開式，其中各項的系數｛0,1,2,

…,〃｝）叫做二項式系數，叫做二項展開式的通項，用T.+i表示，即通項為展開式的第k+1項：Tk+l

=C^a"-kbk.

（2）二項展開式的規律

①二項展開式一共有（力+1）項.

②5+1）項按a的降幕b的升幕排列.

③每一項中a和b的幕指數之和為n.

【即學即練1】

1.（23-24高二下?北京通州?期中）二項式（尤+2）3的展開式為（）

A.x，+6%2+6x+8B.彳3+6x~+12x+8

C.x*+12JV2+6x+8D.+12x2+12JV+8

2.（x+2）"的展開式共有11項，則”等于（）

A.9B.10C.11D.8

知識點02二項式系數的性質

對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等（即c：=crm）

當左〈十時，二項式系數逐漸增大；當左〉亍時，二項式系數逐漸減

增減性

小，因此二項式系數在中間取得最大值

當”是偶數時，展開式的中間一項3+1的二項式系數C,最大；當W是奇數

最大值

時，展開式的中間兩項與"+1的二項式系數c/，C干相等且最大

C+C+C"…+CX211

各二項式

系數的和c°+c^+c：+-=c：,+a+a+-=2f-1

【即學即練2］（24-25高二上?全國?隨堂練習）的展開式中二項式系數最大的項是（）

A.第3項B.第6項C.第6,7項D.第5,7項

知識點03二項展開式的應用問題

1.求二項展開式的特定項的解題策略

求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；

求有理項時，指數為整數等)，解出項數左+1,代回通項公式即可.

2.兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略

(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，

但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.

(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.

3.二項式系數的和與各項系數的和問題

(1)賦值法

"賦值法"普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+6)",(cu2+bx+cy^GbeR)的式子求其展

開式的各項系數之和，常用賦值法.

(2)系數之和問題的解題策略

若/(公=的+0工+的一+…+%x",則兀r)展開式中各項系數之和為穴1),奇數項之和為

而+的+,+-=/⑴,偶數項系數之和為?+%+%+???=/⑴JT).

(3)展開式的逆用

根據所給式子的特點結合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定

理求解.

4.二項式系數最大項問題

當n為偶數時，展開式中第y+1項的二項式系數最大，最大值為C：;當n為奇數時，展開式中第號

和第寧n4-項3的二項式系數開式中第最大，最大值為C—/或C—/.

【即學即練3】(23-24高二上?北京昌平?期末)若(l+x)5=4+生彳3+%*4+45^5,貝(]

+4+%+/+。4+。5=（）

A.8B.16C.32D.64

知識點04楊輝三角的性質

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數列1,2,3,4,…，第三層(含1,3)是三角形數列1,3,6,10,15,….

⑵對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數相等，即CKrl

(3)遞歸性：除1以外的數都等于肩上兩數之和，即cr^+a—i.

(4)第n行奇數項之和與偶數項之和相等，即d+cHcH-cHcHcH-.

(5)第n行所有數的和為2",即C2+CHCH-+C2".

(6)自左(右)腰上的某個1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續n個數的和等于最后一個數斜左(右)下方的

那個數.

【即學即練4】楊輝是我國南宋的一位杰出的數學家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫的一張表

示二項式展開后的系數構成的三角圖形，稱為“開方做法本源”.現在簡稱為“楊輝三角下面是

(a+6)"(〃eN*),當"=1,2,3,4,5時展開式的二項式系數表示形式.

(Q+bp11

(a+b)2121

(a+bp1331

(a+b)414A41

(a+b)515〃1051

借助上面的表示形式，判斷4與〃的值分別是()

A.5,9B.5,10

C.6,9D.6,10

題型精講

題型01二項展開式的應用

【典例1］(22-23高二下?江蘇宿遷?期中)設〃eN+，化簡C：+C；6+C：6+C：6+L+C：6"=().

A.6"B.6"-1C.1nD.T-1

【變式1］若N=16+32(X-1)+24(X-1)2+8(X-1)3+(X-1?，則汩()

A.(%-I)4B.(x+爐C.(x-3)4D.(x+3)4

【變式2】24-25高二?上海?課堂例題)計算3℃；+3《+9€：；+--+3匕：的值是.

【變式3】(24-25高二下?全國?課后作業)若(l+@"=a+6g(a，b為有理數)，貝U.

【變式4］化簡：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2.x+l)3-10(2.x+1)2+5(2x+1)-1.

題型02求二項展開式的特定項

【典例2](2024?浙江?三模)]工]的展開式的常數項為(

)

2xJ

333

A.——B.一C.一D.4

242

【變式1】(23-24高二下?浙江?期中)在的展開式中，第四項為()

X

A.240B.-240C.160x3D.-160A：3

【變式2】（2014?山東青島?一模），一展開式的常數項為.

【變式3］1/-/J的展開式中常數項是.（用數字作答）

題型03求二項展開式的特定項系數

【典例3】（2024.北京.模擬預測）在（刀-2?）5的展開式中，—項的系數為（）

A.-20B.20C.-40D.40

【變式1】在（：一?）”的展開式中，/的系數等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

【變式2］（23-24高二下.海南.期末）仁一?）6的展開式中，％4的系數為（）

A.-B.-C.-D.-

42416

【變式3】（2023?天津?高考真題）在（2丁-gj的展開式中，/項的系數為.

題型04求展開式的有理項

【典例4】（2024.河南.模擬預測）已知—袤（其中a>0）的展開式中的第7項為7,則展開式中的有

理項共有（）

A.6項B.5項C.4項D.3項

【變式1】寫出石/一上］展開式中的一個有理項為.

【變式2】在的展開式中，有理項有..項?

【變式3】2024?高三?江西?開學考試）已知的展開式中只有第5項的二項式系數最大，寫出展開

式中的一個有理項.

題型05二項式乘積問題

【典例5］（23-24高二下廣東深圳?階段練習）在（3彳-1）（尤+1）6的展開式中，Y的系數為（）

A.20B.25C.30D.35

【變式1X2022?全國?統考高考真題）［l-￡|（x+y）8的展開式中W的系數為（用數字作答）.

【變式2】（2024?西藏?模擬預測）在?-￡）0+丫）6的展開式中，的系數為（）

A.-4B.4C.-8D.8

【變式3】（2024高三?全國?專題練習）已知（a久+1）（2%-1）7的展開式中爐的系數為448,則該展開式中一

的系數為（）

A.580B.-98C.106D.-112

題型06三項式問題

【典例6】（2024,遼寧丹東?一模）（x+士-以的展開式中常數項為（）

X

A.24B.25C.48D.49

【變式1】卜列各式中，不是（42+2a-6）4的展開式中的項是（）

A.8/B.6a4b2C.-32&bD.-24a3/?2

【變式2］（2024.全國.模擬預測）在（％+1-卷丫的展開式中常數項為（）

A.721B.-61C.181D.-59

【變式3】（2024?河北滄州?二模）在（％-2y+3z）6的展開式中,孫?%?項的系數為（）

A.6480B.2160C.60D.-2160

題型07已知特定項求參數

【典例7］（23-24高三下?湖南婁底?階段練習）已知a>0,若［/+：］的展開式中，常數項等于240,則“=

（）

A.3B.2C.6D.4

【變式1】（2023?四川瀘州?二模）已知｛｛一標］的展開式中存在常數項，則〃的可能取值為（）

A.4B.5C.6D.8

【變式2】（22-23高二下?廣東揭陽?期中）在［x3+g］（〃eN*）的展開式中存在常數項，寫出一個滿足條件

的〃的值是.

【變式3】（23-24高三下?陜西?階段練習）在卜的展開式中，V的系數為84,則〃=.

b

【變式4】（23-24高三上?上海普陀?期末）3-的常數項為第3項，求〃=

題型08二項式系數的最值問題

【典例8］已知二項式（1-辦）”的展開式中只有第4項的二項式系數最大，且展開式中各項的系數和為64,

則正數a的值為.

【變式1】若的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中的x項為.

【變式2】已知二項式（2尤-1）”的展開式中僅有第4項的二項式系數最大，則〃=.

【變式3］的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則第四項為.

題型09系數的最值問題

【典例9】（2024?江西南昌?三模）若12尤2-￡|

的展開式中有且僅有第五項的二項式系數最大，則展開式中

系數最大的是（）

A.第二項B.第三項C.第四項D.第五項

【變式1】（2024?全國?模擬預測）的展開式中系數最大的項為)

56x3-56x570/

A.70B.580C.—1或D.

yy4

【變式2】二項式（1-》）4用（"€'"21）的展開式中，系數最大項的是（）

A.第2〃+1項B.第2"+1項和第2〃+2項

C.第2〃項D.第2〃+2項

【變式3］已知［x3+f［6g>0）的展開式中唯有第5項的系數最大，則。的取值范圍是（）

45

C.

3?3

題型10展開式系數和問題

【典例10］（多選）（23-24高三下?山東?開學考試）已知（工-2丁）的展開式中，各項的二項式系數之和為

128,貝！］（）

A.n=7B.只有第4項的二項式系數最大

C.各項系數之和為1D.犬5的系數為5800

2202

【變式1】（多選）（23-24高二下?福建南平?階段練習）設鏟2=%+q（x+l）+%（x+l）2+-+%H2（x+l）2,

則下列選項正確的是（）

A.〃］=—2022B.%—q+%—+。2022=22°22

/\2022

c1

-4+%+,一+/022=1D-y+|r+|r+---+|i5it-=^-j

【變式2】若、-;］的展開式中第3項的二項式系數是15,則展開式中所有項系數之和為.

【變式3】已知（2x—3）9=%+Q［（尤-1）+?（尤一1）2+…+。8（%—1）8+。9（%一1）9，則

+2i］+3a2+…+9/+10%=（）

A.9B.10

C.19D.29

【變式4】若（1+2九）（1-2光）7=%+%尤+/龍2+…+。8尤8，則4+4+。2+,,,+%的值為（）

A.-2B.-3C.253D.126

【變式5】已知對任意實數x,（2x-1）8=4+%（元+1）+%（%+1）2+…+4（x+l）8,則下列結論不成立的是（）

A.%+%+???+%=1

8

D3+1

D.%+%+〃4+〃6+〃8=-------

C.<20+—+—|-H--F*=256

022228

D.%+2%+3/+,??+86=16

題型11整除與余數問題

【典例11】（2024?湖北荊州?三模）己知（3工-1）.=40+卬；+4/2+1+出必工2必，則4+出+L+/。24被3

除的余數為（）

A.3B.2C.1D.0

【變式1］（2024?貴州黔南?二模）我國農歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12

種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的（1葉+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

【變式2］（2024?福建三明?三模）各種不同的進制在生活中隨處可見，計算機使用的是二進制，數學運算一

般使用的是十進制，任何進制數均可轉換為十進制數，如八進制數（3750）8轉換為十進制數的算法為

3x83+7x8?+5xU+0x8°=2024.若將八進制數工^3轉換為十進制數，則轉換后的數的末位數字是（）

6個7

A.3B.4C.5D.6

【變式3］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研

究，對于兩個整數a,6,若它們除以正整數巾所得的余數相同，則稱a和b對模相同余，記為a三b（modm）.若

217

a=Cj7x6+C?7x6+-+x6,aHh（mod8）,則b的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【變式4］（2024.黑龍江齊齊哈爾.一模）若最％+鬣％2+…+c""能被7整除，則x,n的一組值可能為（）

A.%=4,n=6B.%=4,九=8

C.%=5,n=7D.%=6,n=9

題型12近似計算問題

【典例12］（2024?湖南.二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入大額存款a0元，

按照復利計算10年后得到的本利和為的°,下列各數中與.最接近的是（）

aO

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

【變式1】（2024.安徽合肥.三模）某銀行大額存款的年利率為3%,小張于2024年初存入大額存款10萬元，

按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（）（單位：萬元，結果保留一位小數）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【變式2］（2024?高三?河北?開學考試）已知二項式（尤+0.01）"的二項式系數的和為1024,則〃=.

試估算x=l時，（尤+0。1）"的值為.（精確到0.001）

【變式3】（2024?高三?山西朔州?開學考試）（1.05）6的計算結果精確到0.01的近似值是.

題型13二項式定理與數列的交匯問題

【變式13】（23-24高二?全國?課后作業）已知（2-代）nO22,neN）,展開式中尤的系數為/（n）,則言+

232019

77+……+—7___等于（）

/（3）/（4）門2020）寸

.2019—2019—1009—1009

A.-----B.-----C.-----D.-----

1105051010505

【變式1】（2024?江西九江?二模）第14屆國際數學教育大會

（ICME-lnternationalCongreasofMathematicsEducation）在我國上海華東師范大學舉行.如圖是本次大會

的會標，會標中TCME-14"的下方展示的是八卦中的四卦一一3、7、4、4,這是中國古代八進制計數符號，

換算成現代十進制是3x8,+7x82+4x81+4x8°=2020,正是會議計劃召開的年份，那么八進制工二換算

10個7

成十進制數，則換算后這個數的末位數字是（）

A.1B.3C.5D.7

【變式2】（2003?全國?高考真題）已知數列｛劭｝（〃為正整數）是首項為內，公比為q的等比數列.

不口：——%c；+/C；—；

⑵由（1）的結果歸納概括出關于正整數〃的一個結論，并加以證明.

題型14二項式定理與比較大小問題

已知“=e°」，b=^,=><9,貝I()

【典例14］（2023?湖南株洲?統考一模）c

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【變式1】下列說法中，不正確的是（)

I1127

B.1+—

I>TT

in竺1

D.

11TT

題型15證明組合恒等式

2n-l,11

【典例15］（2024高三?全國?專題練習）求證：1(-0(CL)--

【變式1］（2024高三?全國?專題練習）求證：1+4C：+7C：+…+（3〃+l）C：=（3〃+2>2i

題型16楊輝三角

【典例171（2024高二下?全國?專題練習）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數學家.他在《詳解九章算法》

一書中，畫了一個由二項式（4+3"（77=1,2,3,…）展開式的系數構成的三角形數陣，稱作"開方作法本源"，這

就是著名的“楊輝三角在"楊輝三角"中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數值都是它上面的兩個數

值之和，每一行第左（左4"，4eN*）個數組成的數列稱為第左斜列.該三角形數陣前5行如圖所示，則該三角

形數陣前2022行第左斜列與第左+1斜列各項之和最大時，上的值為（）

第

1行

11

行

第2

121

行

第3

1331

行

第4

行

第14641

5

15101051

A.1009B.1010C.1011D.1012

【變式1】（24-25高二上?全國?課后作業）楊輝三角，又稱帕斯卡三角,是二項式系數在三角形中的一種幾

何排列，在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式

乘方展開的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1,1,1,1,2,1,1,

3,3,1,1,4,6,4,1,記作數列｛an｝.若數列｛an｝的前w項和為臬，則S’,等于（）

:四六

五I-I-五.

、.

A.235B.512C.521D.1033

【變式2］（多選）定義有"行的"楊輝三角"為〃階"楊輝三角",如圖就是一個8階〃楊輝三角〃.

第。行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

第7行172135352171

給出的下列命題中正確的是（）.

A.記第，（於N*）行中從左到右的第j（j￡N*）個數為因，則數列｛%｝的通項公式為為=弓

B.第左行各個數的和是2%

C.枕階，，楊輝三角〃中共有心D個數

2

D.w階"楊輝三角"的所有數的和是2"-1

【變式3】（多選）（23-24高二下?江蘇南通?期中）南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中畫了一張

表示二項式系數構成的三角形數陣（如圖所示），在"楊輝三角”中，下列選項正確的是（）

0行1

1行11

2行121

3行33

4行464

-

A.第10行所有數字的和為1024

B.C；+C：+C；+…+C；o=119

C.第6行所有數字的平方和等于C：?

n+1

D.若第〃行第，個數記為6,則2（2''"）=3"

i=l

【變式4】（23-24高二下，廣東佛山?階段練習）下圖所示的三角形數陣叫"萊布尼茲調和三角形”，它們是由

整數的倒數組成的，第“行有〃個數且兩端的數均為工色22）,每個數是它下一行左右相鄰兩數之和，如

n

rrrrrl-則第口行第5個數（從左往右數）為——

題型17新定義問題

【典例17］（22-23高三上?江蘇南京?期末）對于伯努利數有定義：線=1,線=￡c㈤（〃22）.則

k=0

（）

A.B?=wB.B4=—C.B6=—D.B2n+3=0

【變式1X23-24高三上?上海楊浦?階段練習）已知對任意正整數對（〃出，定義函數㈤如下：/。,力=1,

（z+1）/（z+1,；）=（；-;-）/O',J）-0，則下列正確的是（）

A.=lB.〃幻）=2（：7

C,土產〃1萬）］=［（2』）D.自/"四/）］=2'+〃-2

i=l,/=1z=l

【變式2】（22-23高二下?湖北黃岡?期中）定義：兩個正整數a,b,若它們除以正整數機所得的余數相等,

則稱a,b對于模機同余，記作a三b(mod〃z),比如：35三25(modl0).已知：

2310

n=C？o-C；0W+Cr010-C^olO+.??+C；°1O,滿足〃三p(mod7),則p可以是()

A.26B.31C.32D.37

【變式3】（23-24高二下?上海?期末）仿照二項式系數，可以定義"三項式系數"T：為（1+尤+/）”的展開式中

一的系數（0V左2〃），即（1+x+/）"=T>T*+EV+…+T廿鏟.其中T：,T：,T：,T；"eZ.

⑴求T；,T；,T；的值：

⑵對于給定的〃eN*,計算以下兩式的值：￡片與>

%=0%=0

⑶對于aeN*,記中偶數的個數為凡，奇數的個數為是否存在〃使得%-222024?

若存在，請給出一個滿足要求的〃并說明理由；若不存在，請給出證明.

05強化訓練

一、單選題

1.（23-24高二下,江蘇鹽城?期中）已知（a+6）”的展開式共有9項，貝吐=)

A.6B.7C.8D.9

2.（2023?山西?模擬預測）1xf的展開式中常數項為（）

A.112B.580C.28D.16

3.（18-19高二?全國?課后作業）化簡多項式（2X+1）5-5（2X+1）4+10（2X+1）3-10（2X+1）2+5（2X+1）-1的結

果是（）

A.（2尤+爐B.2X5C.（2元-I?D.32/

4.（23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期中）若（6+W）"展開式中只有第7項的二項式系數最大，則〃=（）

X

A.9B.10C.11D.12

5.（2023?廣東江門?一模）已知多項式=4+4（犬+1）+〃2（%+1）2+…+%0（%+1）"），則％=（）

A.-980B.980C.-480D.480

6.（23-24高二下?江蘇連云港?期中）C-+C短+C￡+…+C就被3除的余數為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期末）已知的二項展開式中二項式系數和為32,若

（%_=4+%（x+l）+〃2（x+l）2+,?，+a〃（x+l）〃，貝！J4于（）

A.80B.192C.-192D.-80

8.（23-24高二下?江蘇揚州?期中）若，+一1的展開式中第3項與第7項的系數相等，則展開式中系數最大

的項為（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

二、多選題

9.（23-24高二下?河南鄭州?期末）楊輝是我國古代數學史上一位著述豐富的數學家，著有《詳解九章算法》

、《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱

這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數字表示，楊輝三角的發現要比歐洲早700年左右，由此可見我國

古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.根據以上材料，以下說法正確的是（）

左右

積積

本積

商除

平方J二

第

行1

工

立

第

-1行

第2

乘

三I/—

四丁

乘

四

五464

乘

行

第5O

六

k六

第10

6,行6556

命

中

左

以

右20

實

藏

袤

廉

袤

而

者

乃

乘

第

乃

除

皆

積

商

隅

之

廉

數

方

算C

4亍

1a

圖1圖2

A.第2024行中，第1012個數最大

B.楊輝三角中第8行的各數之和為2580

C.記第"行的第，?個數為％,則±2%=3"

Z=1

D.在"楊輝三角"中，記每一行第七,eN*）個數組成的數列稱為第％斜列，該三角形數陣前2024行中第

左斜列各項之和為C；025

10.（24-25高三上?重慶?階段練習）若（2-3x）2024=%+%x+a/2+…+%024—24,則下列選項正確的有（）

A.?o=22024

B.|%|+|%|+同+…|4024〔=1

2024

%,”,&..”2024

C.I-22024

1■初初…落1

D.q+2%+3/+,,,+2023%023+2O24%024=6072

IL（24-25高三上?重慶?階段練習）已知二項式126-的展開式中各項系數之和是，，則下列說法正

確的是（）

A.展開式共有6項B,二項式系數最大的項是第4項

C.展開式的常數項為540