第03講用樣本估計總體

學習目標

課程標準學習目標

1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢

參數（平均數、中位數、眾數），理解集中趨

勢參數的統計含義.

2.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度

參數（標準差、方差、極差），理解離散程度1.能用樣本的數字特征估計總體的數字特征.

參數的統計含義.2.用樣本的分布估計總體的分布

3.結合實例，能用樣本估計總體的取值規3.通過用樣本估計總體提升數據分析素養、數學運算素

律.養和邏輯推理素養.

4.結合實例，能用樣本估計百分位數，理解

百分位數的統計含義

5.結合具體實例，掌握分層抽樣的樣本均值

和樣本方差.

02思維導圖

1.用樣本數估計總體數

2.樣本平均數估計總體平均數

3.樣本方差估計總體方差

4.樣本分布估計總體分布

03知識清單

知識點01用樣本估計總體

1.用樣本估計總體

⑴前提

樣本的容量恰當，抽樣方法合理.

⑵必要性

①在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本估計總體，這樣能節省人力和物力等.

②有時候總體的數字特征不可能獲得，只能用樣本估計總體.

（3）誤差

估計一般是有誤差的.但是，大數定律可以保證，當樣本的容量越來越大時，估計的誤差很小的可能

性將越來越大.

【即學即練1】（多選）對于用樣本分布估計總體分布的過程，下列說法不正確的是（）

A.總體容量越大，估計越精確

B.總體容量越小，估計越精確

C.樣本容量越大，估計越精確

D.樣本容量越小，估計越精確

知識點02用樣本的數字特征來估計總體的數字特征

（1）一般來說，在估計總體的數字特征時，只需直接算出樣本對應的數字特征即可.

（2）樣本是用分層抽樣得到的，由每一層的數字特征估計總體的數字特征.以分兩層抽樣的情況為例.

條件假設第一層有m個數，分別為XI,X2,…，Xm，平均數為禮方差為s2；第二層有n個數，

分別為yi，y2,…，yn,平均數為歹，方差為t2.

結論

如果記樣本均值為a，樣本方差為b2,則五=些變,力2=」_（租$2+九嚴）+叵一歹）2,

m+nm+nm+n

【即學即練2】李大伯承包了一個果園，種植了100棵櫻桃樹，今年己進入收獲期，收獲時，從中任

選并采摘了10棵樹的櫻桃，分別稱得每棵樹所產櫻桃的質量如下表：

序號12345678910

質量/千克14212717182019231922

據調查，市場上今年櫻桃的批發價格為每千克15元，用所學的統計知識估計今年此果園櫻桃的總產量

與按批發價格銷售櫻桃所得的總收入分別約為（）

A.200千克，3000元

B.1900千克，28700元

C.2000千克，30000元

D.1870千克，27770元

知識點03用樣本的分布來估計總體的分布

如果總體在每一個分組的頻率記為兀1，兀2，…，?！ǎ瑯颖驹诿恳唤M對應的頻率記為pi，P2,…，Pn，一

般來說，（陽不等于零.當樣本的容量越來越大時，上式很小的可能性將越來越大.

nZ=1

【即學即練3】（多選）下列說法中正確的為（）

A.數據的極差越小，樣本數據分布越集中、穩定

B.數據的平均數越小，樣本數據分布越集中、穩定

C.數據的標準差越小，樣本數據分布越集中、穩定

D.數據的方差越小，樣本數據分布越集中、穩定

知識點04“大數據”簡介

凡是可以被“數據化”的信息載體都可以看成數據.信息載體包括的數據量達到一定的規?；蛘哌_到

一定的復雜程度，都可以被認為是“大數據”.

'P____________________

題型精講

題型01用樣本數估計總體數

【典例1】我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得

米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（）

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

【變式1】從某市的中學生中隨機調查了部分男生，獲得了他們的身高數據，整理得到如下頻率分布直方圖,

則a的值為—，該市中學生中的全體男生的平均身高的估計值為—cm.

O140150160170180190200身高/cm

【變式2】為了了解某學校學生的身體發育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據所得數據畫

出樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據此圖，估計該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數為（）

A.300B.380C.420D.470

【變式3】某校240名學生參加某次數學選擇題測驗（共10題每題1分），隨機調查了20個學生的成績如

下:

成績1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分

人數6002423210

（1）求樣本的均值；

（2）請問估計有多少學生可達7分（包括7分）以上?

題型02樣本平均數估計總體平均數

【典例2】某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取80名學生，將其數學成績（均為整數）分成六組

[90,100）,[100,110）,…，口40,150]后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題:

頻率

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O9010010120130140150分數

（1）求分數在口20,130）內的頻率;

（2）若在同一組數據中，將該組區間的中點值（如組區間[100,110）的中點值為皿產2=105）作為這組

數據的平均分，據此，估計本次考試的平均分.

【變式1】（24-25高一上?四川成都?開學考試）廖老師為了了解學生周末利用網絡進行學習的時間，在所任

教班級隨機調查了10名學生，其統計數據如下表:

時間（單位：小時）43210

人數34111

則這10名學生周末利用網絡進行學習的平均時間是小時.

【變式2】某公司為了了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷

售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從

0開始計數的.

（1）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

（2）估計該公司在若干地區各投入4萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值（以各組的區間中點值代表

該組的取值）.

【變式3】了解某醫院急救中心病人的等待時間，現隨機抽取20位病人，對他們的等待時間記錄如下表：

等待時間/分鐘[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

頻數48521

用上述數據估計該醫院急救中心病人的平均等待時間為分鐘.

【變式4】新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從本地居民中隨機抽取若干

居民進行評分（滿分為100分），根據調查數據制成如下頻率分布直方圖.

頻率

0.035

a-------------------------

0.020----------------------

0.014----------------1—

OO

OS.OO

f

分1

4050607080

（1）求頻率分布直方圖中a的值；

（2）根據頻率分布直方圖估計本次評測分數的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，并精

確到0.1）.

題型03樣本方差估計總體方差

【典例3】（2024?浙江?三模）在對某校高三學生體質健康狀況某個項目的調查中，采用樣本量比例分配的分

層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15,10,由此估

計樣本的方差不可熊為（）

A.11B.13C.15D.17

【變式1】（2024?遼寧葫蘆島?二模）某地為了了解學生的睡眠時間，根據初中和高中學生的人數比例采用分

層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調查發現初中生每天的平均睡眠時間為8小時，方差為2,高

中生每天的平均睡眠時間為7小時，方差為1.根據調查數據，估計該地區中學生睡眠時間的總體方差約為

（）

A.1.3B.1.5C.1.7D.1.9

【變式2】（23-24高一下?福建福州?期末）在對某中學高一年級學生身高（單位：cm）調查中，抽取了男生

20人,其平均數和方差分別為174和12,抽取了女生30人，其平均數和方差分別為164和30,根據這些

數據計算出總樣本的平均數為，方差為.

【變式3］（25-26高一上?全國?課后作業）2023年10月22日，2023襄陽馬拉松成功舉行，志愿者的服務

工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的

面試成績,并分成五組：第一組［45,55）,第二組［55,65）,第三組［65,75）,第四組［75,85）,第五組［85,95］,

繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.

⑴估計這100名候選者面試成績的平均數.

（2）現從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔任本次宣傳者.若本次宣傳者中第二組面試者的面試成

績的平均數和方差分別為62和40,第四組面試者的面試成績的平均數和方差分別為80和70,據此估計這

次第二組和第四組所有面試者的方差.

題型04總體百分數的估計

【典例4］（24-25高三上?江蘇蘇州?開學考試）"綠水青山就是金山銀山"的理念深入人心，人民群眾的生態

環境獲得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級舉行環保知識競賽，共700人參加，若參賽學生成績

的第80百分位數是80分，則關于競賽成績不小于80分的人數的說法正確的是（）

A.至少為300人B.至少為200人

C.至多為300人D.至多為200人

【變式1】（24-25高二上?重慶?開學考試“綠水青山就是金山銀山”的環境治理要求，

重慶市政府積極鼓勵居民節約用水.計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x

(噸)，一位居民的月用水量不超過X的部分按平價收費，超出X的部分按議價收費.為了了解居民用水情

況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數據按照[0,1),[1,2),…，[8,9)

分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中0.4“=6.

⑴求直方圖中人的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數(每組數據用該組區間中點值作

為代表);

⑵設該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數，并說明理由；

⑶若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由.

【變式2](2024?四川南充?一模)甲同學近10次數學考試成績情況如下：103,106,113,119,123,118,

134,118,125,121,則甲同學數學考試成績的第75百分位數是()

A.118B.121C.122D.123

【變式3】(2024?貴州遵義期末)某景點某天接待了1270名游客，老年有625人，中青年有700人，少年有

125人,該景點為了提升服務質量，采用分層抽樣從當天游客中抽取100人，以評分方式進行滿意度回訪.將

統計結果按照[70,80),[80,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5組，制成如下頻率分布直方圖：

(1)求抽取的樣本中老年、中青年、少年的人數；

(2)求頻率分布直方圖中a的值；

(3)估計當天游客滿意度分值的75%分位數；

(4)估計當天游客滿意度分值不低于80分的人數.

題型05樣本分布估計總體分布

【典例5】一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據制作了樣本的頻率分布

直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關系，要從這10000人中再用分層隨

則在［2500,3000）段應抽出（）

A.25人B.70人C.100人D.125人

【變式1】為了了解高一學生的體能情況，某校抽取部分學生進行1分鐘跳繩測試，將所得數據整理后，畫

出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小矩形面積之比為2:4:17:15:9:3,第二小組頻數為12.

（2）若次數在H0以上（含110）為達標，試估計該校全體高一學生的達標率是多少.

【變式2】某校為了解學生第一個“雙減”后的暑假最期待什么活動，校學生會隨機對該校七年級部分學生進

行了問卷調查，調查結果分為四個類別：A表示“廣泛閱讀”，B表示“勞動實踐”，C表示“戶外運動”，。表

示“其他”，每個同學只能選擇其中的一項，根據調查統計結果，繪制成兩種不完整的統計圖.請結合統計圖,

回答下列問題.

“雙減”后的暑假最期待活動“雙減”后的暑假最期待活動

扇形統計圖

A；

(2)將條形統計圖補充完整;

(3)該校七年級有800名學生，估計全校七年級學生中最期待“勞動實踐”的約有多少名？

【變式3】為保障食品安全，某地食品藥監管部門對轄區食品企業進行檢查，從甲企業生產的某種同類產品

中隨機抽取了100件作為樣本，并以樣本的一項關鍵質量指標值為檢測依據.已知該質量指標值對應的產品

等級如下：

質量指標值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]

等級次品二等品一等品二等品三等品次品

根據質量指標值的分組，統計得到了甲企業的樣本頻率分布直方圖（其中。＞0）.現從甲企業生產的產品中

任取一件，估計該件產品為次品的概率為.

05強化訓練

一、單選題

1.（23-24高三上?天津?階段練習）為了解某校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，對所得的體重數據

（單位：kg）進行分組,區間為[50,55）,[55,60）,[60,65）,[65,70）,[70,75],將其按從左到右的順序分別編號

為第一組，第二組，……，第五組.畫出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的頻率

之比為1:2:3,且第一組的頻數為6,則報考飛行員的學生人數是（）

1頻率/組距

0.037...............----

O505560657075體重/kg

A.48B.5C.54D.80

2.（23-24高三下?河南?階段練習）高二年級進行消防知識競賽，統計所有參賽同學的成績，成績都在[50,100]

內，估計所有參賽同學成績的第75百分位數為（）

3.（2024高二下?湖北?學業考試）習近平總書記在致首屆全民閱讀大會的賀信中指出："閱讀是人類獲取知

識、啟智增慧、培養道德的重要途徑，可以讓人得到思想啟發，樹立崇高理想，涵養浩然之氣；希望全社會

都參與到閱讀中來，形成愛讀書、讀好書、善讀書的濃厚氛圍."為落實關于閱讀的重要指示，復興中

學開展了"讀名著、品經典"活動.現從全校學生中隨機抽取了部分學生，并統計了他們的閱讀時間f（單位：h）,

分組整理數據得到如圖所示的頻率分布直方圖，據此估計該校學生閱讀時間不少于40h的概率為（）

C.0.470D.0.870

4.（24-25高二上?海南海口?階段練習）某學校高一年級在校人數為600人，其中男生350人，女生250人,

為了解學生身高發展情況，按分層隨機抽樣的方法抽出的男生身高為一個樣本，其樣本平均數為172cm,抽

出的女生身高為一個樣本，其樣本平均數為160cm,則該校高一學生的平均身高為（）

A.162cmB.167cmC.164cmD.169cm

5.（24-25高二上?山東青島?階段練習）某校舉行勞動技能大賽，統計了100名學生的比賽成績，得到如圖

所示的頻率分布直方圖，已知成績均在區間［40,100］內，不低于90分的視為優秀，低于80分的視為不及格.

若同一組中數據用該組區間中間值做代表值，則下列說法中錯送的是（）

A.a=0.15B.優秀學生人數比不及格學生人數少15人

C.該次比賽成績的平均分約為70.5D.這次比賽成績的69%分位數為78

6.（24-25高三上?江蘇蘇州?開學考試）"綠水青山就是金山銀山”的理念深入人心，人民群眾的生態環境獲

得感、幸福感、安全感不斷提升.某校高一年級舉行環保知識競賽，共700人參加，若參賽學生成績的第80

百分位數是80分，則關于競賽成績不小于80分的人數的說法正確的是（）

A.至少為300人B.至少為200人

C.至多為300人D.至多為200人

7.（23-24高三上?河南?期中）某班男生人數是女生人數的兩倍，某次數學考試中男生成績（單位：分）的

平均數和方差分別為120和20,女生成績的平均數和方差分別為123和17,則全班學生數學成績的方差為

（）

37

A.21B.19C.18D.—

2

8.（24-25高二上?河北邢臺?開學考試）已知數據玉，馬,無3，…，仆，滿足：尤,■-尤T=1（2<?<10）,若

去掉巧，心后組成一組新數據，則新數據與原數據相比，下列說法錯誤的是（）

A.中位數不變B.第35百分位數不變C.平均數不變D,方差不變

二、多選題

9.（24-25高二上?海南省直轄縣級單位?階段練習）以下命題為真命題的是（）

A.若樣本數據毛，%，%,x41尤5，%的方差為2,則數據2%-1,2X2-1,2%一1,2%-1,2x5-1,

2%T的方差為8

B.一組數據8,9,10,11,12的第80百分位數是11.5

C.數據0,1,2,4的極差與平均數之積為6

D.已知一組不完全相同的數據均，％,L,當的平均數為七，在這組數據中加入一個數七后得到一組

新數據％,4，%，L,Xn,其平均數為x，則X=X0

10.（2024?貴州黔東南?二模）某學校為了解學生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機抽樣的方法從4000

名學生（該校男女生人數之比為3:2）中抽取了一個容量為100的樣本.其中，男生平均身高為175,方差為

184,女生平均身高為180,方差為179.則下列說法正確的是參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、

樣本平均數和樣本方差分別為：％,無，s；,n2,歹，s；.記總的樣本平均數為了，樣本方差為S?,則（）

A.抽取的樣本里男生有80人

B.每一位學生被抽中的可能性為工

40

C.估計該學校學生身高的平均值為170

D.估計該學校學生身高的方差為236

1L（24-25高三上?江蘇蘇州?開學考試）已知一組數據再,無2,…，%的平均數為元，另一組數據為%，…，%

的平均數為了.若數據尤1，%,...,xm,%,%,...,y“的平均數為2,貝!1（）

A.當機="時，z=》吵B.當2=土土上時，m=n

22

C.當無=9時，』=七包D.當N>〒時，了>亍

2

三、填空題

12.（24-25高二上?北京平谷?階段練習）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時

情況

加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）

2024年9月1日1237000

2024年9月15日80358000

注:"累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為升.

13.（24-25高一上?四川成都?開學考試）已知一組數據5、。、2、-1、6、8的中位數是4,則。的值是

14.同學甲用公式S2=*〔（占-5）?+（尤2-5『+L+（%0G-5月計算一組樣本數據的方差，那么

再+工2+…+工100=?

四、解答題

15.在黨中央領導下，我國經濟社會發展取得顯著成效，商業模式創新發展，消費結構升級持續發展.某主

打線上零售產品的企業隨機抽取了70名銷售員，統計了其2023年的月均銷售額(單位：萬元)，將數據按照

[12,14),[14,16),[16,18),[18,20),[20,22),[22,24]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方

圖.已知[14,16)組的頻數比[12,14)組多4.

(1)求頻率分布直方圖中。和b的值；

(2)該企業為了挖掘銷售員的工作潛力，對銷售員實行沖刺目標管理，即給銷售員確定一個具體的沖刺目標，

完成這個沖刺目標，則給予額外獎勵，若公司希望恰有20%的銷售人員能夠獲得額外獎勵，求該企業應該

制定的月銷售沖刺目標值.

16.某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行了調查.通過抽樣，獲得了某年100戶居民每人的

月均用水量(單位：噸).將數據按照[005),[051),…，[4,4.5]分成9組，制成了如下圖所示的頻率分

(1)求直方圖中a的值;

(2)用每組區間的中點作為每組用水量的平均值，這9組居民每人的月均用水量前四組的方差都為0.3,

后5組的方差都為0.4,求這100戶居民月均用水量的方差.

17.(24-25高二上?安徽阜陽?開學考試)某市教育局組織全市170名校園安全員參加校園安全知識競賽，競

賽后對其成績(滿分1。。分)進行統計，將數據按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分為5

組，其頻率分布直方圖如圖所示.

（1）試估計這170名安全員競賽成績的平均分；（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）

（2）教育局擬對競賽得分不低于85分的安全員進行表彰，試估計本次競賽受表彰的安全員有多少位；

（3）該教育局準備對本次安全知識競賽成績較差的15%的安全員開展校園安全知識講座，則需要參加講座的

安全員的分數不超過多少分（結果四舍五入成整數）.

18.如下莖葉圖記錄了某籃球隊內兩大中鋒在六次訓練中搶得籃板球數的記錄，現有一個數據被污損，在

圖中以X表示，但知道乙球員搶得籃板球數的平均數為10.

甲乙

6990X898

411142

（1）求X的值和乙球員搶得籃板球數的方差；

（2）如果你是該球隊的教練，在正式比賽中你會派誰上場？請說明理由（用數據說明）.

19.（22-23高一下?山東臨沂?期末）某市文旅局為激發夜間文旅市場的活力，共設置夜市攤點700個，為調

查這些夜市攤點的服務情況，該文旅局隨機抽取了100個夜市攤點進行評分，評分越高，服務越好，滿分

為100分.將分數以20為組距分為5組：［0,20）、［20,40）、［40,60）、［60,80）、［80,100］,得到100個夜

市攤點得分的頻率分布直方圖，如圖，已知［40,60）組的頻數比［20,40）組多8.

⑴求直方圖中。和匕的值；

（2）為進一步提升夜市經濟消費品質，提高服務質量，該文旅局準備對剩下的所有夜市攤點進行評分，并制

定一個評分分數，給達到這個分數的攤位頒發“服務優秀”榮譽證書.若該文旅局希望使得恰有70%的攤位

獲得榮譽證書，求應該制定的評分分數.

第03講用樣本估計總體

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學習目標

課程標準學習目標

1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢

參數（平均數、中位數、眾數），理解集中趨

勢參數的統計含義.

2.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度

參數（標準差、方差、極差），理解離散程度1.能用樣本的數字特征估計總體的數字特征.

參數的統計含義.2.用樣本的分布估計總體的分布

3.結合實例，能用樣本估計總體的取值規3.通過用樣本估計總體提升數據分析素養、數學運算素

律.養和邏輯推理素養.

4.結合實例，能用樣本估計百分位數，理解

百分位數的統計含義

5.結合具體實例，掌握分層抽樣的樣本均值

和樣本方差.

02思維導圖

用樣本估計總體

用樣本的數字特征來估計總體的數字特征1.用樣本數估計總體數

4-2.樣本平均數估計總體平均數

用樣本估計總體一題型

用樣本的分布來估計總體的分布V3.樣本方差估計總體方差

4.樣本分布估計總體分布

“大數據”簡介

03知識清單

知識點01用樣本估計總體

1.用樣本估計總體

⑴前提

樣本的容量恰當，抽樣方法合理.

(2)必要性

①在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本估計總體，這樣能節省人力和物力等.

②有時候總體的數字特征不可能獲得，只能用樣本估計總體.

⑶誤差

估計一般是有誤差的.但是，大數定律可以保證，當樣本的容量越來越大時，估計的誤差很小的可能

性將越來越大.

【即學即練1](多選)對于用樣本分布估計總體分布的過程，下列說法不正確的是()

A.總體容量越大，估計越精確

B.總體容量越小，估計越精確

C.樣本容量越大，估計越精確

D.樣本容量越小，估計越精確

【答案】ABD

【解析】樣本為所研究的具體對象，樣本容量越大，越能反映總體情況，估計越精確.總體容量不影

響樣本估計結果.

知識點02用樣本的數字特征來估計總體的數字特征

(1)一般來說，在估計總體的數字特征時，只需直接算出樣本對應的數字特征即可.

(2)樣本是用分層抽樣得到的，由每一層的數字特征估計總體的數字特征.以分兩層抽樣的情況為例.

條件假設第一層有m個數，分別為XI，X2,…，xm,平均數為禮方差為s2；第二層有n個數，

分別為yi，y2，…，yn，平均數為歹，方差為t2.

結論

如果記樣本均值為a，樣本方差為b?,則a-mx+ny

m+nm+n''m+n'''

【即學即練2】李大伯承包了一個果園，種植了100棵櫻桃樹，今年己進入收獲期，收獲時，從中任

選并采摘了10棵樹的櫻桃，分別稱得每棵樹所產櫻桃的質量如下表：

序號12345678910

質量/千克14212717182019231922

據調查，市場上今年櫻桃的批發價格為每千克15元，用所學的統計知識估計今年此果園櫻桃的總產量

與按批發價格銷售櫻桃所得的總收入分別約為()

A.200千克，3000元

B.1900千克，28700元

C.2000千克，30000元

D.1870千克，27770元

【答案】D

【解析】樣本平均數為（14+21+27+17+18+20+19+23+19+22）+1020（千克）.

由此可估計每棵櫻桃樹所產櫻桃質量平均約為20千克，所以這100棵櫻桃樹所產櫻桃的質量約為20X1002

000（千克）.根據櫻桃批發價格為每千克15元，可得總收入約為15義200030000（元）.

知識點03用樣本的分布來估計總體的分布

如果總體在每一個分組的頻率記為兀1，兀2，…，電”樣本在每一組對應的頻率記為pi，P2，…，P"，~

般來說，-Pi）?不等于零.當樣本的容量越來越大時，上式很小的可能性將越來越大.

"Z=1

【即學即練3】（多選）下列說法中正確的為（）

A.數據的極差越小，樣本數據分布越集中、穩定

B.數據的平均數越小，樣本數據分布越集中、穩定

C.數據的標準差越小，樣本數據分布越集中、穩定

D.數據的方差越小，樣本數據分布越集中、穩定

【答案】ACD

【解析】由數據的極差、標準差、方差的定義可知，它們都可以影響樣本數據的分布和穩定性，而數

據的平均數則與之無關，故B不正確，ACD正確.

知識點04“大數據”簡介

凡是可以被“數據化”的信息載體都可以看成數據.信息載體包括的數據量達到一定的規?；蛘哌_到

一定的復雜程度，都可以被認為是“大數據

E題型精講

題型01用樣本數估計總體數

【典例1】我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得

米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（）

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

【答案】C

【解析】根據樣本比例關系等于總體比例關系進行計算.

【變式1】從某市的中學生中隨機調查了部分男生，獲得了他們的身高數據，整理得到如下頻率分布直方圖，

則a的值為，該市中學生中的全體男生的平均身高的估計值為cm.

【解析】根據題意得(0.005+a+0.02+0.04+0.02+0.005)x10=1,解得。=0.01；

估計該市中學生中的全體男生的平均身高為

145x0.05+155x0.1+165x0.2+175x0.4+185x0.2+195x0.05-172.5(cm).

【變式2】為了了解某學校學生的身體發育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據所得數據畫

出樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據此圖，估計該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數為()

A.300B.380C.420D.470

【答案】C

【分析】由題意，根據頻率分布直方圖得出高中男生中體重大于70.5公斤的人數在總體中所占的比例，再

根據總人數是2000,即可求出人數得出答案.

【詳解】由圖可知，高中男生中體重大于70.5公斤的人數在總體中所占的比例是

2X(0.04+0.035+0.015)=0.18,故該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數為2000x0.18=

360,.

【變式3】某校240名學生參加某次數學選擇題測驗(共10題每題1分)，隨機調查了20個學生的成績如

下：

成績1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分

人數6002423210

(1)求樣本的均值；

⑵請問估計有多少學生可達7分(包括7分)以上?

【答案】(1)4.6

(2)72

【分析】(1)根據平均數的計算公式求解即可；

（2）先求出抽樣的20名學生中，可達7分（包括7分）以上的學生頻率，再估計可達7分（包括7分）

以上的學生人數即可.

【詳解】⑴樣本的均值為：^（1x6+4x24-5x4+6x2+7x3+8x2+9x1）=4.6.

（2）抽樣的20名學生中，可達7分（包括7分）以上的學生頻率為*=總，

所以估計可達7分（包括7分）以上的學生有240X卷=72人.

題型02樣本平均數估計總體平均數

【典例2】某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取80名學生，將其數學成績（均為整數）分成六組

［90,100）,［100,110）,…，口40,150］后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題:

頻率

礪

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O9010010120130140150分數

（1）求分數在［120,130）內的頻率;

（2）若在同一組數據中，將該組區間的中點值（如組區間［100,110）的中點值為處等竺=105）作為這組

數據的平均分，據此，估計本次考試的平均分.

【答案】（1）0.3；（2）121

【解析】（1）分數在190,100）內的頻率為0.01x10=0.1；

分數在口00/10）內的頻率為Q015x10=0.15；

分數在口10,120）內的頻率為。015*10=0.15；

分數在［130,140）內的頻率為0.025x10=0.25；

分數在［140,150］內的頻率為0.005x10=0.05；

則分數在［120,130）內的頻率為1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1一0.7=0.3.

故分數在［120,130）內的頻率為0.3.

（2）樣本平均數295x0.1+105x0.15+115x0.15+125x0.3+135x0.25+145x0.05=121.

故估計本次考試的平均分為121.

【變式1】（24-25高一上,四川成都?開學考試）廖老師為了了解學生周末利用網絡進行學習的時間，在所任

教班級隨機調查了10名學生，其統計數據如下表:

時間(單位：小時)43210

人數34111

則這10名學生周末利用網絡進行學習的平均時間是小時.

【答案】2.7

【分析】依據加權平均數的概念求解可得.

【詳解】這10名學生周末利用網絡進行學習的平均時間是：

4x3+3x4+2xl+lxl+0xl”

------------------------=2.7.

10

故答案為：2.7

【變式2】某公司為了了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷

售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從

0開始計數的.

(1)根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；

(2)估計該公司在若干地區各投入4萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值(以各組的區間中點值代表

該組的取值).

【答案】⑴2；(2)5

【解析】(1)設各小長方形的寬度為加，

則(0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02)〃7=1,解得：m=2,

即各小長方形的寬度為2.

(2)對應銷售收益的平均值為(1x0.08+3x0.10+5x0.14+7x0.12+9x0.04+11x0.02)x2=5.

【變式3】了解某醫院急救中心病人的等待時間，現隨機抽取20位病人，對他們的等待時間記錄如下表：

等待時間/分鐘[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

頻數48521

用上述數據估計該醫院急救中心病人的平均等待時間為..分鐘.

【答案】9.5

【變式4】新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對當地防疫工作的滿意度，從本地居民中隨機抽取若干

居民進行評分(滿分為100分)，根據調查數據制成如下頻率分布直方圖.

頻率

0.035

o2

o1

OO

OO

f

分數

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)根據頻率分布直方圖估計本次評測分數的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，并精

確到0.1).

【答案】(1)0.025；(2)80.7

【解析】(1)由題意可得：(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)xl0=l,解得。=0.025.

(2)估計本次評測分數的平均數

J=(45x0.002+55x0.004+65x0.014+75x0.020+85x0.035+95x0.025)x10=80.7.

題型03樣本方差估計總體方差

【典例3】(2024?浙江?三模)在對某校高三學生體質健康狀況某個項目的調查中，采用樣本量比例分配的分

層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15,10,由此估

計樣本的方差不可能為()

A.11B.13C.15D.17

【答案】A

【分析】根據題意，設男生體質健康狀況的平均數為捻，女生的平均數為5,總體的平均數為方差為S2,

結合方差的公式，分析選項，即可求解.

【詳解】設男生體質健康狀況的平均數為最，女生的平均數為工，總體的平均數為方差為S2,

80120—2—3—

則w=---------x-\-----------y=—%+一,,

80+12080+12055

80120

[15+(x-w)2]+[10+G—而2]

80+12080+120

2o__34__A——

=—[15+—(x-y)2]+-[10+—(x-y)2]=12+—(x-3/)2>12,

J乙。J乙D乙J

結合選項，可得A項不符合.

【變式1】（2024?遼寧葫蘆島?二模）某地為了了解學生的睡眠時間，根據初中和高中學生的人數比例采用分

層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調查發現初中生每天的平均睡眠時間為8小時，方差為2,高

中生每天的平均睡眠時間為7小時，方差為1.根據調查數據，估計該地區中學生睡眠時間的總體方差約為

（）

A.1.3B.1.5C.1.7D.1.9

【答案】A

【分析】根據給定條件，求出該地區中學生每天睡眠時間的平均數，再利用分層抽樣方差的計算方法求得

結果.

402023

【詳解】該地區中學生每天睡眠時間的平均數為：-HX8+-^X7=^（小時），

60603

40「（2320「（2351

該地區中學生每天睡眠時間的方差為：Gx2+8-彳+—x1+7--=—?1.9.

60\3160V3127

【變式2】（23-24高一下?福建福州?期末）在對某中學高一年級學生身高（單位：cm）調查中，抽取了男生

20人，其平均數和方差分別為"4和12,抽取了女生30人，其平均數和方差分別為164和30,根據這些

數據計算出總樣本的平均數為,方差為.

【答案】16846.8

【分析】利用分樣本平均數和方差與總樣本的平均數和方差的關系，代入計算即可得出結論.

【詳解】易知總樣本的平均數為20家174+3&0164=168,

代入公式可得總樣本的方差為部2+（174-168月+第30+（164-168月=46.8；

因此總樣本的平均數為168,方差為46.8；

故答案為：168；46.8.

【變式3】（25-26高一上,全國?課后作業）2023年10月22日，2023襄陽馬拉松成功舉行，志愿者的服務

工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的

面試成績，并分成五組：第一組［45,55）,第二組［55,65）,第三組［65,75）,第四組［75,85）,第五組［85,95上

繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.

（1）估計這100名候選者面試成績的平均數.

⑵現從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔任本次宣傳者.若本次宣傳者中第二組面試者的面試成

績的平均數和方