第02講平面向量的線性運(yùn)算

BI學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

L借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加法

1.熟練運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行

運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解其幾何意義；

四邊形法則及其幾何意義進(jìn)行向量的加法2.通過實(shí)例，掌握向量減法的運(yùn)算，并理解其幾何意

義；

運(yùn)算；

3.了解平面向量的線性運(yùn)算率及其應(yīng)用；

2.理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行

4.通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，

的充要條件。

理解兩個(gè)平面向量共線的含義.

KH思維導(dǎo)圖

向■加法的定義及運(yùn)算法則

平面向■的線性運(yùn)算

向■加法的運(yùn)算律\線性運(yùn)算的幾何意義

r向■共線問題

向■的流法及其幾何意義.平面向量的線性運(yùn)算題型-一三點(diǎn)共線問就

＜線性運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用

向■的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律

線性運(yùn)算在幾何問題中的應(yīng)用

共線向■定理三角形重心、內(nèi)心的向?表示

知識清單

知識點(diǎn)01向量加法的定義及運(yùn)算法則

1.向量加法的定義

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

2.向量的加法運(yùn)算法則

(1)三角形法則：已知非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A,作贏a,BCb,向量公叫做。與》的和,

記作a+b,即a+bAB+BCAC

C

(2)平行四邊形法則：已知不共線的兩個(gè)向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作云a,b,以O(shè)A,OB

為鄰邊作“MC2,連接。C,則比OX+0^a+b,對角線求就是a與》的和.

圖不：

(3)對于零向量與任意向量。，我們規(guī)定：a+00+aa.

【解讀】(1)向量加法的三角形法則要注意三點(diǎn)：

①兩個(gè)向量一定苴屋根連；

②和向量的始點(diǎn)至第二±同量的始息T噫逐第三仝向量的經(jīng)息；

③當(dāng)務(wù)"時(shí)，可以使用三角形法則?

(2)向量加法的平行四邊形法則注意兩點(diǎn)：①兩個(gè)非零向量一定要有也國的差點(diǎn)；

②平行四邊形中的一個(gè)對角線所對應(yīng)的向量為和向量；

3.三角不等式：向量a,b的模與a-b的模之間的關(guān)系:\a\-\b\<\a+b\<\a\+\b\.

【解讀】①當(dāng)a與b不共線時(shí),+/?的方向與a,b都不相同，且|〃+。|<|〃|+|加。

②當(dāng)〃與Z?同向時(shí),〃+da力的方向相同，且|a+8|=|a|+|Z?|。

③當(dāng)“與反向時(shí)，若|〃必仇貝!ja+b與a的方向相同，且|〃+臼=|4卜依。

若同〈瓦貝1|a+b與方的方向相同，且|。+罰二|罰-同。

【即學(xué)即練1】下列判斷錯(cuò)誤的是()

AAB+BD+DCAC

B任意兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.

C兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加.

D任意兩個(gè)向量的和向量不可能與這兩個(gè)向量共線.

2.(多選)在平行四邊形A8C。中，下列結(jié)論中正確的是()

AL----------

A.ABDCB.AD+ABACC.ABBD+ADD.AB+CBAC

知識點(diǎn)02向量加法的運(yùn)算律

(1)交換律：a+bb+a

(2)結(jié)合律：a+S+c)(a+b)+c

【解讀】用交換律、結(jié)合律可以將多個(gè)向量相加轉(zhuǎn)化為首尾相接的形式，實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算.如而+近+而

MN+NQ+QPMP.

知識點(diǎn)03向量的減法及其幾何意義

1.相反向量

(1)我們規(guī)定，與向量〃長度相等，方向相反的向量，叫做Q的相反向量，記作一

(2)—(—?)?,?+(—?)(—a)+a0.

（3）零向量的相反向量仍是零向量，即0—0.

2.向量減法的定義

求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

我們定義，a-ba+（-b）,即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量

3.向量減法的幾何意義

（1）三角形法則

如圖，已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作UXa,OBZ?,則證a—"即a—可以表示為從向量8的終

點(diǎn)指向向量。的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義.

⑵平行四邊形法則

如圖①，設(shè)向量屈從ACa,則屈一"由向量減法的定義，知品a+（—4

又因?yàn)榍癮,所以前a一江

如圖②，理解向量加、減法的平行四邊形法則：

在qlBC。中，ABa,ADZ>,則前a+方，DBa-b.

【解讀】（1）兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量;

（2）向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法，減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。

（3）向量減法的三角形法則中，前表示W(wǎng)—I強(qiáng)調(diào)了差向量的“箭頭”指向被減向量H即作非零向量就&的

差向量M—I可以簡記為“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指被減”

【即學(xué)即練2】（1.（多選）下列判斷正確的是（）

A相反向量一定是共線向量.B兩個(gè)相反向量之差等于0.

C向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算.D兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量.

2.在平行四邊形中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AB-DCOB.AD-BAAC

C.AB-ADBDD.AID+CBO

知識點(diǎn)04向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律

1.向量數(shù)乘的定義

一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)力與向量。的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作癡.

(l)|/a|UI|a|.特別地，當(dāng)；10時(shí)，AaO.

(2)當(dāng)%>0時(shí)，癡的方向與a的方向相同；當(dāng)4<0時(shí)，4a的方向與a的方向相反.

【解讀】從兩個(gè)角度理解向量數(shù)乘

(1)代數(shù)角度

實(shí)數(shù)與向量的乘積瓶仍然是一個(gè)向量；助0T0或40.

(2)幾何角度

RI>1

2>1在原方向上伸長到原來的幾倍

—1在反方向上伸長到原來的一4倍

0<|A|<l

0<A<l在原方向上縮短到原來的2倍

—1<7<0在反方向上縮短到原來的一4倍

2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律

設(shè)九〃為實(shí)數(shù)，a,〃為向量，則滿足如下運(yùn)算律：

(1如)a；

(2)(/1+a：

(3)/(<z+bMa+%b；

(4)(—A)a—(/la)^(—a),-b)Xa—^b.

3.向量的線性運(yùn)算

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.

對于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)九〃i，〃2，恒有如1。±'25)%1。坳，24

J解讀L包量的線性.運(yùn)篡類似土多，項(xiàng)式的運(yùn)算,具有實(shí)數(shù)與多個(gè)向量和的乘積形式，計(jì)算時(shí)應(yīng)先去括

號.共線向量可以“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，這里的“同類項(xiàng)''"公因式''是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).

(1)實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差.

(2)/10或a0<=4a0.

【即學(xué)即練3】(24-25高二上,北京朝陽,階段練習(xí))J,+26-3c)-3(。-26-=()

A.——a-AcB.—Q+4b—2c

22

5r,3

C.—Q+7bH—cD.——a+5b--c

2222

知識點(diǎn)05共線向量定理

向量a(存0)與5共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使她.

【解讀】(1)判斷兩個(gè)向量是否共線的關(guān)鍵是看兩個(gè)向量是否滿足向量共線定理，即向量a("0)與b

共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使從〃.因此，在考慮問題時(shí)，不要忽略零向量.

（2）這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為。的一對實(shí)數(shù)t,使td+sbO,則一與B共線;若

兩個(gè)非零向量五與3不共線，且a+sb=6,則必有tso.

【即學(xué)即練41判斷下列各小題的向量江與B是否共線。

⑴a=^2e.b=2e\

（2）a=ex-e2,b=-2ei+2e2;

（3）a=e1-e2,b=ei+2^2o

題型精講

題型01平面向量的線性運(yùn)算

【典例1】（多選）下列能化簡為尸。的是（）

A.QC-QP+CQB.AB+（PA+BQ）

C.（42+尸0+網(wǎng)-℃）D.PA+AB-BQ

【變式1】（23-24高一下?江蘇?階段練習(xí)）（2。-6）-（°-26）=（）

A.a+bB.a—3bC.3a+36D.3a-b

【變式2】（23-24高一下?天津南開?階段練習(xí)）化簡AE+EB-CB等于（）

A.ABB.BAC.0D.AC

【變式3】下列各式中，化簡后不是零向量的是（）

A.AB+BC+CAB.AB+AC-BD+CD

C.OA-OD+ADD.NQ+QP+MN-MP

題型02線性運(yùn)算的幾何意義

【典例2］（23-24高一下?四川雅安?期末）如圖，在梯形A8CD中，AB=2DC,E在8c上，且CE=；匹,

設(shè)AB=a,AD=6,則OE=（）

33333333

【變式1】（23-24高一下?河南鄭州?期末）在「ABCD中，AB=2a,AD=3b,則AC=（)

A.a+bB-a-b

c.2a+3bD.2a-3b

【變式2］（23-24高一下?浙江?期中）如圖所示，D,石為VABC邊3。上的三等分點(diǎn)，且|通|=|左|則下

列各式中正確的是（）

C.AB+AE=AC+ADD.AB+AC=AD+AE

【變式3】設(shè)⑷=8,|例=12,則|〃+臼的最大值與最小值分別為,o

題型03向量共線問題

【典例314.（24-25高三上?山東日照?階段練習(xí)）已知向量。，〃不共線，且右=3+人d=a+（2X+l）b,

若。與d同向共線，則實(shí)數(shù)幾的值為（）

1

A.1B.-

2

一1一1

C.1或一一D.一1或一

22

【變式1］（2024?青海?一模）已知向量。/不平行，向量3〃+4匕與左〃一2。平行，則左=（）

8833

A.——B.-C.——D.—

3322

【變式2］（24-25高三上?浙江?期中）已知,，G是不共線的單位向量，若。=6+2/"=數(shù)-/,且〃//人

貝lj%=（）

11

A.2B.-2C.——D.-

22

【變式3］（23-24高一下?貴州安順?期末）已知,,與是兩個(gè)不共線的向量，a=2ex-e2,b=kex+2e2,若a與匕

是共線向量，則實(shí)數(shù)上的值為（）

A.1B.-1C.4D.-4

題型04三點(diǎn)共線問題

【典例4】（23-24高一下?廣東佛山?階段練習(xí)）已知平面向量”，。不共線，AB=4a+6b，BC=—4+3b，

CD=a+3b）則（）

A.AB,D三點(diǎn)共線B.A,民C三點(diǎn)共線

C.民C,D三點(diǎn)共線D.A,CD三點(diǎn)共線

【變式1】（24-25高二上?重慶九龍坡?期中）若AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b且向量&，。不

共線，則一定共線的三點(diǎn)是（）

A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D

【變式2】（23-24高一下?四川?期末）點(diǎn)M滿足向量20M=3OA-O8，則點(diǎn)M與AB的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)M為線段A3的中點(diǎn)B.點(diǎn)M在線段A3延長線上

C.點(diǎn)M在線段54的延長線上D.點(diǎn)M不在直線A3上

【變式3］（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知向量2,辦不共線，AB=Aa+b,AC=a+^ib,其中4>0,〃>0,

若A民C三點(diǎn)共線，則4+4〃的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

題型05線性運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【典例5］（23-24高一下?浙江臺州?期末）一條河的兩岸平行，河寬600m,一艘船從河岸邊的某處出發(fā)到

河對岸.設(shè)船在靜水中行駛的速度的大小為4km/h,水流速度的大小為2km/h.當(dāng)船以最短距離到對岸時(shí)，

船行駛所用的時(shí)間（保留兩位小數(shù)）為（）

A.0.17hB.0.15hC.0.13hD.0.1Oh

【變式1】（23-24高三上?廣東汕頭?期末）設(shè)。表示向東走了10km,b表示向南走了5km,貝0+2。所表

示的意義為（）

A.向東南走了10拒kmB.向西南走了10A/2km

C.向東南走了5#kmD.向西南走了5#km

【變式2】在水流速度10km/h的自西向東的河中，如果要使船以10V3knVh的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸,

則船出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小為（）

A.北偏西30。，20km/h

B.北偏西60°,10V2knVh

C.北偏東30。，10立km/h

D.北偏東60。，20km/h

【變式3］（23-24高一下?云南?階段練習(xí)）設(shè)d表示“向東走8km”,分表示"向南走4km",貝山+4+6所表示

的意義為（）

A.向東南走8j^kmB.向西南走801011

C.向東南走4#kmD.向西南走4A%km

題型06線性運(yùn)算在幾何問題中的應(yīng)用

【典例6］（23-24高一?上海?課堂例題）如圖，已知M,N是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，且

AM=CN,求證：四邊形加如N是平行四邊形.

【變式1］（23-24高一?上海,課堂例題）如圖，已知VA3C,。、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，求證；DE//BC.

【變式2］（23-24高一?上海?課堂例題）已知四邊形A8C￡>和點(diǎn)。在同一平面上，設(shè)向量=OB=b，

OC=c>OD=d，且:+;=力+》.求證：A8CD是平行四邊形.

【變式3］（23-24高一下?河北邯鄲?階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、/依次是對角線AC上

的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)AB=a,AD-b-

⑴請用“與萬表小DF；

（2）用向量方法證明：四邊形。皿是平行四邊形.

題型07三角形重心、內(nèi)心的向量表示

【典例7］。是平面上一定點(diǎn)，A、8、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)尸滿足：OP=OA+/l（AB+Acb

2>0,則直線AP一定通過VA3c的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【變式1】已知向量04、OBA3三點(diǎn)不共線），若20M=04+03，則點(diǎn)M是（）

A.的中點(diǎn)B.4。的中點(diǎn)C.3。的中點(diǎn)D.ABO的重心

（Ao八「）

【變式2】（24-25高一上,上海?課堂例題）已知VABC,若點(diǎn)P滿足人尸=幾二，其中北R，則

{\AB\|AC|J

點(diǎn)尸的軌跡一定通過VABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【變式3］（2024?全國?二模）點(diǎn)。，尸是VABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足OP=Q4+08+OC，則直線0P

經(jīng)過VA3c的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（24-25高一下?全國?隨堂練習(xí)）PM-PN+MN等于（）

A.MPB.NPC.0D.MN

2.（24-25高一下?全國?隨堂練習(xí)）已知非零向量a，b滿足a=46，貝!1（）

A.|〃|=|Z?|B.4\a\=\b\

C.4與匕的方向相同D.0與匕的方向相反

3.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）己知非零向量。與8同向，則a-b（）

A.必與。同向B.必與b同向

C.可能與。同向、反向也可能是0D.不可能與。同向

4.（23-24高一下?福建福州?期中）在VABC中，點(diǎn)。在邊A3上，BD=2D4,記CA=/CB=〃，則C￡>=（）

A.—m——nB.—m+—n

2233

1112

C.—m+—nD.—m+—n

2233

5.（23-24高一下?山東濟(jì)寧?期中）已知a,6是不共線的向量，S.AB=2a-5b,BC=a-3b,CD=a-2b,則

（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

6.（23-24高一下,海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）e；,e；是平面內(nèi)不共線兩向量，已知A5=e；-左令，

CB=2q+4，CD=3q—e；,若A,B,。三點(diǎn)共線，貝U%的值是（）.

A.3B.-3C.-2D.2

7.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）在四邊形ABCD中，AC^AB+AD，則一定有（）

A.四邊形ABCD是矩形B.四邊形ABCD是菱形

C.四邊形ABCD是梯形D.四邊形ABCD是平行四邊形

8.（23-24高一下?云南昭通?期中）已知。為VABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足。4+2。8+（4-1）。。=0,若的面積

與，Q4c的面積的比值為:，則幾的值為（）

二、多選題

9.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）已知q,e2是不共線的向量，下列向量a,。共線的為（）

A.。=，，b=—2qB.a=C]—3^2fb——2e1+64

C.〃=3,一1。2，b=2€］一丁2D.a=eX+e2,b=e{-3e2

10.（24-25高一下?全國?課堂例題）（多選）已知；I,〃￡R,且QWO,則在以下各命題中，正確的是（）

A.當(dāng)2<0時(shí)，4a的方向與a的方向一定相反

B.當(dāng)4=0時(shí)，4a的方向具有任意性

C.14al=4|a|

D.當(dāng)“/>0時(shí)，4a的方向與〃a的方向一定相同

11.（23-24高一下?福建泉州?期中）已知向量4,。不共線，若AB=4a+Z?,AC=a+A2b,且A,B,C三

點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)4，4的值可以是（）

111

A.2,-B.—3,—C.2,—D.—3,一

2323

三、填空題

12.（24-25高二上,山東濰坊?開學(xué)考試）化簡：2AB+23C+3CD+3D4+AC=.

13.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,。滿足54=208-2QC，貝。

AC

BC~,

14.（23-24高一下?廣東廣州?期末）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度為400m,一艘船從河岸邊的A地出

發(fā)，向河對岸航行.已知船的速度大小為5km/h,水流速度的大小為3km/h,當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完

全程共需要時(shí)間min.

_______Q

A

四、解答題

1.2

15.（24-25高一上?河北保定?期中）如圖，在VABC中，AM=-AB,CN=-CB.設(shè)=AC=b.

(1)用a,b表示AN，MN;

-41

⑵若P為VABC內(nèi)部一點(diǎn)，^BP=--a+-b.求證：M,P,N三點(diǎn)共線.

16.（23-24高一下?全國?課堂例題）已知q、62是兩個(gè)不平行的向量，向量AB=3G—24，8C=—2q+4弓，

CD=—2q—4%,

⑴求證：AC//CD;

（2）判斷4C、。三點(diǎn)的位置關(guān)系.

17.（24-25高一下?全國?課堂例題）如圖所示，四邊形OAD3是以向量OA=a,=6為鄰邊的平行四邊形.

又BM=gBC,CN=；CD,試用0,6表示OM,ON,MN.

18.（23-24高一下?河北,期中）已知非零向量q和e2不共線.

（1）如果45=弓+2e2,CB=3e1+e2,CD=e1-3e2,求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

⑵若向量3q-Ze2與2q-盛平行，求實(shí)數(shù)k的值.

19.（23-24高一下?北京大興?期中）如圖，在VA3C中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，AP=M<2(0<r<l),過點(diǎn)P的直

線分別交邊ARAC于M,N（不同于B,C）兩點(diǎn)，且A/=3AB,AN=ptAC.

（1）當(dāng)f=g時(shí)，用向量AB,AC表示A。，AP;

（2）證明：（+，定值.

第02講平面向量的線性運(yùn)算

「學(xué)習(xí)目標(biāo)

01

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加法

3.熟練運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行

運(yùn)算及運(yùn)算法則，理解其幾何意義；

四邊形法則及其幾何意義進(jìn)行向量的加法2.通過實(shí)例，掌握向量減法的運(yùn)算，并理解其幾何意

義；

運(yùn)算；3.亍解平面向量的線性運(yùn)算率及其應(yīng)用；

4.理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義，向量平行

4.通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算法則，

的充要條件。

理解兩個(gè)平面向量共線的含義.

02思維導(dǎo)圖

向■加法的定義及運(yùn)算法則

平面向■的線性運(yùn)算

線性運(yùn)算的幾何意義

向■共線問題

題型三點(diǎn)共線問題

線性運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用

線性運(yùn)算在幾何問題中的應(yīng)用

三角形重心、內(nèi)心的向?表示

03知識清單

知識點(diǎn)01向量加法的定義及運(yùn)算法則

1.向量加法的定義

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

2.向量的加法運(yùn)算法則

(1)三角形法則：已知非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A,作贏a,BCb,向量公叫做。與》的和,

記作a+b,即a+Z?晶+BCAC

圖示：A

(2)平行四邊形法則：已知不共線的兩個(gè)向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作況a,彷b,以O(shè)B

為鄰邊作口OAC8,連接OC,則比況+Oha+b,對角線求就是a與8的和.

（3）對于零向量與任意向量°,我們規(guī)定：a+00+aa.

【解讀】（1）向量加法的三角形法則要注意三點(diǎn)：

①兩個(gè)向量一定苴屋根連；

②和向量的始點(diǎn)至第二±同量的始息T噫逐第三仝向量的經(jīng)息；

③當(dāng)務(wù)"時(shí)，可以使用三角形法則?

（2）向量加法的平行四邊形法則注意兩點(diǎn)：①兩個(gè)非零向量一定要有也國的差點(diǎn)；

②平行四邊形中的一個(gè)對角線所對應(yīng)的向量為和向量；

3.三角不等式：向量a,b的模與a-b的模之間的關(guān)系:\a\-\b\<\a+b\<\a\+\b\.

【解讀】①當(dāng)a與b不共線時(shí),+/?的方向與a,b都不相同，且|〃+。|<|〃|+|加。

②當(dāng)〃與Z?同向時(shí),〃+da力的方向相同，且|a+8|=|a|+|Z?|。

③當(dāng)“與反向時(shí)，若|〃必仇貝!ja+b與a的方向相同，且|〃+臼=|4卜依。

若同〈瓦貝1|a+b與方的方向相同，且|。+罰二|罰-同。

【即學(xué)即練1】下列判斷錯(cuò)誤的是（）

AAB+BD+DCAC

B任意兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.

C兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加.

D任意兩個(gè)向量的和向量不可能與這兩個(gè)向量共線.

【答案】D

2.（多選）在平行四邊形中，下列結(jié)論中正確的是（）

AL----------fR

A.ABDCB.AD+ABACC.ABBD+ADD.AB+CBAC

【答案】AB

知識點(diǎn)02向量加法的運(yùn)算律

（1）交換律：a+bb+a

（2）結(jié)合律：a+S+c）（a+8）+c

【解讀】用交換律、結(jié)合律可以將多個(gè)向量相加轉(zhuǎn)化為首尾相接的形式，實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算.如而+原+而

MN+而+QPMP.

知識點(diǎn)03向量的減法及其幾何意義

1.相反向量

(1)我們規(guī)定，與向量”長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作一a.

(2)—(~a)a,a+(—a)(—a)+aO.

(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0—0.

2.向量減法的定義

求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

我們定義，a-ba+(-b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量

3.向量減法的幾何意義

(1)三角形法則

如圖，已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作前a,OB6,則麗”一方，即“一?可以表示為從向量力的終

點(diǎn)指向向量。的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義.

(2)平行四邊形法則

如圖①，設(shè)向量屈從ACa,則而一方，由向量減法的定義，知品a+(—Z>)a—4

又因?yàn)樽Ca,所以前。一尻

如圖②，理解向量加、減法的平行四邊形法貝U：

在BLBC。中，ABa,ADZ>,則配a+Z>,DBa-ft.

【解讀】(1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量;

(2)向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法，減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。

(3)向量減法的三角形法則中，前表示W(wǎng)—I強(qiáng)調(diào)了差向量的“箭頭”指向被減向量支即作非零向量工&的

差向量M—I可以簡記為“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指被減“

【即學(xué)即練2](1.(多選)下列判斷正確的是()

A相反向量一定是共線向量.B兩個(gè)相反向量之差等于0.

C向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算.D兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量.

【答案】ACD

2.在平行四邊形ABC。中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.AB-DC0B.AD-BAAC

C.AB-ADBDD.AD+CB0

【答案】D

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以魂玩，

.,.AB-DCO,AD-BAAEi+ABAC,AB-ADDB,AD+CBAD+DAO.

.??只有C錯(cuò)誤.

知識點(diǎn)04向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律

1.向量數(shù)乘的定義

一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)％與向量。的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作癡.

(l)|Aa||A||a|.特別地，當(dāng)40時(shí)，AaO.

(2)當(dāng)2>0時(shí)，〃的方向與a的方向相同；當(dāng)時(shí)，曲的方向與a的方向相反.

【解讀】從兩個(gè)角度理解向量數(shù)乘

(1)代數(shù)角度

實(shí)數(shù)與向量的乘積瓶仍然是一個(gè)向量；助0T0或aO.

(2)幾何角度

RI>1

A>1在原方向上伸長到原來的；1倍

2<一1在反方向上伸長到原來的一九倍

0<|A|<l

0<2<1在原方向上縮短到原來的2倍

-K/l<0在反方向上縮短到原來的一4倍

2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律

設(shè)九〃為實(shí)數(shù)，a,8為向量，則滿足如下運(yùn)算律：

(1濃〃〃)(女)〃;

(2)(2+；

(3)A(a+b)入a+入b；

(4)(一%)〃一(%〃)%(—a),X(a-b)Xa—Ab.

3.向量的線性運(yùn)算

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.

對于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)九川，〃2，恒有丸土%〃2》.

具有實(shí)數(shù)與多個(gè)向量和的乘積形式，計(jì)算時(shí)應(yīng)先去括

號.共線向量可以“合并同類項(xiàng)”提取公因式’‘，這里的"同類項(xiàng)''"公因式''是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).

⑴實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差.

(2)/10或aOTaO.

【即學(xué)即練3]（24-25高二上?北京朝陽?階段練習(xí)）|（a+2/-3c）-3（a-2^-c）=

?)

A.—a—AcB.—Q+4b—2c

22

5r73

C.——a+7b+—cD.——a+5b——c

2222

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加減法即可得到答案.

【詳解】；(a+26—3c)—3(a—26一e)=-￡a+7b+；c.

知識點(diǎn)05共線向量定理

向量a（存0）與b共線的充要條件是：存在唯---個(gè)實(shí)數(shù)人使她.

【解讀】（1）判斷兩個(gè)向量是否共線的關(guān)鍵是看兩個(gè)向量是否滿足向量共線定理，即向量。（分0）與b

共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使以a.因此，在考慮問題時(shí)，不要忽略零向量.

（2）這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實(shí)數(shù)t,s,使ta+sbO,則N與另共線；若

兩個(gè)非零向量江與3不共線，且齒+sU=6,則必有tsO.

【即學(xué)即練4】判斷下列各小題的向量2與3是否共線。

⑷a=-2e,b=2e;

（5）a=G_02]=_2q+2e2；

（6）a=eY-e2,b=e1+2e2?

【答案】（1）共線（2）共線（3）不共線

題型01平面向量的線性運(yùn)算

【典例1]（多選）下列能化簡為尸。的是（）

A.QC-QP+CQB.AB+[PA+BQ）

C.（AB+PC）+（BA-QC）D.PA+AB-BQ

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算分別判斷即可.

UUUULIUULUULUUL1U

【詳解】解：對于A,QC-QP+CQ=-QP=PQ，故A正確；

UUUUUULIULIUMUUULIU

對于B,AB+PA+BQ=AQ+PA^PQ，故B正確；

/Uimuun、/Uiruuin、uunuumumn

對于c,（AB+PCj+（BA-QCj=PC+CQ=PQ,故C正確；

對于D,PA+AB-BQ=PB-BQ,故D不合題意；

BC.

【變式1］（23-24高一下?江蘇?階段練習(xí)）（2。-6）-（。-26）=（）

A.a+bB.a-3bC.3a+38D.3a-b

【答案】A

【分析】利用向量加減法則計(jì)算即得.

［詳解］｛la-b］-（a-2b）=a+b.

【變式2】（23-24高一下?天津南開?階段練習(xí)）化簡AE+EB-C8等于（）

A.ABB.BAC.0D.AC

【答案】A

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】AE+EB-CB=AB+BC=AC，

【變式3】下列各式中，化簡后不是零向量的是（）

A.AB+BC+CAB.AB+AC-BD+CD

C.OA-OD+ADD.NQ+QP+MN-MP

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加法、減法運(yùn)算化簡即可得解.

【詳解】因?yàn)锳B+BC+C4=AC+CA=O，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)锳3+AC-3O+CO=A3+AO+D8=A8+AB=2AB，故B正確；

因?yàn)镺A-O￡>+AO=O￡）-OD=0，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镹Q+QP+MN-MP=NP+PN=0,故D錯(cuò)誤.

題型02線性運(yùn)算的幾何意義

【典例2］（23-24高一下?四川雅安?期末）如圖，在梯形A8CD中，Afi=2DC,E在BC上，且CE=gEB,

設(shè)AB=a,AD=6,則OE=（）

D-......?

E

AB

A.-ciH—bB.—a—bC.-“H—bD.-a—b

33333333

【答案】A

【分析】由平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.

【詳解】B￡=|BC=|(BA+AD+DC)=|^-AB+AD+1-AB^=|^-1<2+Z7^,

DE=DA+AB+BE^-AD+AB+BE^-b+a--a+-b=-a--b.

3333

【變式1】（23-24高一下?河南鄭州?期末）在oABCD中,AB=2a,AD=36,則4c=（）

A.a+bB.a-b

C.2a+36D.2a—3b

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法的平行四邊形法則求解即得.

【詳解】在rABCD中，AB=2a.AD=3b,貝UAC=AB+AO=2a+36.

【變式2]（23-24高一下,浙江?期中）如圖所示，D,E為VABC邊3C上的三等分點(diǎn)，且|通|=|而|則下

列各式中正確的是（）

C.AB+AE=AC+ADD.AB+AC=AD+AE

【答案】A

【分析】根據(jù)三等分點(diǎn)得出向量相等結(jié)合向量的方向即可判斷選項(xiàng).

【詳解】。，E為邊3C上的三等分點(diǎn)，所以CE=DB，

所以AE-AC=AB-AO,AE+AO=AB+AC,D選項(xiàng)正確；

AB+AE=AC+AD貝UAB-AC=A。一AE,CB=即不不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

A2AE方向不同不能相等，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

BDC月方向相反不能相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【變式3]設(shè)|。|=8,|例=12,則|〃+用的最大值與最小值分別為

【答案】204

【解析】當(dāng)a,b共線同向吐|a+6|=|a|+|b|=8+12=20,當(dāng)a,b共線反向時(shí),|a+b|=|間-例=4。當(dāng)a,b不共線

時(shí),|同-|加<心+冰間+依，即4<|a+*20,綜上知,4*+*20,所以最大值為20,最小值為4。

題型03向量共線問題

【典例3】4.（24-25高三上?山東日照?階段練習(xí)）已知向量入人不共線，且。=而+入d=a+（2X+l）6,

若2與d同向共線，則實(shí)數(shù)2的值為（）

1

A.1B.-

2

一1一1

C.1或——D.一1或一

22

【答案】C

【分析】先根據(jù)向量平行求參數(shù)力,再根據(jù)向量同向進(jìn)行取舍.

【詳解】因?yàn)閑與d共線，所以；1（22+1）—1=0,解得彳=一1或4=；.

若2=—1，貝1Jc=-a+Z?,d=a-b，所以d=-c，所以C與1方向相反，故舍去；

若4=（,則2=!〃+。，d=a+2b,所以d=2c，所以。與d方向相同，故力=!為所求.

【變式1]（2024?青海?一模）已知向量。泊不平行，向量3〃+4人與az—2人平行，則左=（）

8833

A.—B.-C.—