重難點01利用導函數研究恒（能）成立問題

明考情?知方向

三年考情分析2025年考向預測

2024年，第20題第（2）問，考察不等式恒成立求利用導數研究不等式恒（能）成立問題，是導數應用

的重點，常涉及函數單調性，最值，常使用變量分離

參數

法，分類討論法，今后也是天津高考重點考點。

重難點題型解讀

題型1不等式恒成立問題（變量分離法）

用分離參數法解含參不等式恒成立問題，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，

另一端是變量表達式的不等式；

步驟：

①分類參數（注意分類參數時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向）

②轉化：若a>/（x））對恒成立，則只需。>/（X）max；若“</（x）對恒成立，則只需

a</（X）mm.

③求最值.

1.（2023?天津紅橋?一模）己知函數/（x）=也-h

X

⑴當左=。時，求曲線y=/（x）在點（e"（e））處的切線方程：

⑵若/（x）W0恒成立，求實數％的取值范圍；

2.(2023?天津河西?模擬預測)已知/(x)=f—4x—61nx.

⑴求〃x)在(L7?⑴)處的切線方程；

(2)對Vxe(l,+⑹，有礦(“-〃尤)>/+6(1-￡|-12恒成立，求％的最大整數解;

3.(2017?安徽?三模)已知函數/(x)=xlnx

⑴求的單調區間和極值；

⑵若對任意xe(O,+e),〃X)XT2+'”-3成立,求實數機的最大值.

4.(2023?天津河北?一模)已知函數〃x)=x-lnx-2.

⑴求曲線y=/(x)在點(L〃l))處的切線方程；

(2)討論函數〃x)的單調性；

(3)若對任意的xe(l,+oo),都有xlnx+x>%(x-l)成立，求整數上的最大值.

5.(2022?天津?模擬預測)已知函數〃x)=l+ln,+l)(x>0).

⑴試判斷函數在(0，+s)上單調性并證明你的結論；

(2)若f(x)>擊對于Vxe(0,e)恒成立，求正整數k的最大值;

⑶求證：(l+lx2)(l+2x3)(l+3x4)-1l+〃("+l)]>e2'T.

題型2不等式恒成立問題(分類討論法)

如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以

考慮二次項系數與判別式的方法(a>0,A<0或a<0,A<0)求解.

1.72024.關澤.模擬預測tf(x)=sin%+ln(l+x)-ar,aeR.

⑴求于(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

⑵若/(x)V0恒成立，求。的值；

2.(2024?天津?二模)已知函數/(x)=asinx-ln(l+x).

⑴當a=2時，求曲線y=/(尤)在x=O處的切線方程；

⑵若對Vxe(-1,0]時，f(x)>0,求正實數。的最大值；

3.(2024?天津?二模)已知函數/(%)=1-6，aeR.

⑴若曲線y=〃x)在尤=1處的切線的斜率為2,求。的值；

1丫

(2)當a=0時，證明：Vxe(O,l),f(2x}<——；

1-x

⑶若“對+sin無>1在區間(0,+巧上恒成立，求。的取值范圍.

4.(2024高三下?天津?專題練習)己知函數/(x)=axz-21nx.

(1)當。=1時，求>=/(元)在點。，/⑴)處的切線方程；

⑵若對Vxe[l,3],都有恒成立，求。的取值范圍；

5.(2023?天津河西?二模)已知函數〃x)=6a-lnx,a^R.

⑴若a=L求函數的最小值及取得最小值時的x值；

e

(2)求證：lnx<e*-1;

⑶若函數”力工屁尤―(a+l)lnx對x?0,y)恒成立，求實數〃的取值范圍.

題型3不等式能成立(有解)問題(變量分離法)

00國卷

用分離參數法解含參不等式恒成立問題，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數,

另一端是變量表達式的不等式；

步驟：

①分類參數(注意分類參數時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉化：土e￡>,使得a>/(x)能成立oa〉/(x)min；

BxeD,使得a<f(x)能成立。a</(x)max.

③求最值.

1.(2021?天津寧河?一模)已知函數=aeR.

⑴當a=l時，求函數〃x)的單調區間；

(2)當。=0時，證明工("一"*)Wlnx；

2

(3)若關于x的不等式/(x)V0有解，求實數。的取值范圍.

2.（24-25高三上?天津西青?期中）已知函數/'（無）=lnx+26（aeR）.

（1）當。=e時，求函數/（x）在（1,7（1））處切線方程；

⑵求函數，（尤）的單調區間；

⑶若g（x）=/（尤）一2/，不等式g（x）2-1在口,+?）上存在實數解，求實數。的取值范圍.

3.（2024?浙江金華?三模）已知函數/（%）=依+xlnx在X=e（e為自然對數的底數）處取得極值.

（1）求實數。的值；

⑵若不等式/詈＞%（1+[]恒成立，求人的范圍.

4.（2024高二上?全國?專題練習）已知函數〃x）=lnx-gx2.

⑴求函數〃無）在1,2上的最大值和最小值；

⑵若不等式〃x）＞（2-。）必有解，求實數。的取值范圍.

5.(22-23高三上?天津濱海新?期末)已知函數/(x)=xlnx,g(x)=(。+1)尤-。.

⑴當。=1時,求函數h(x)=f(x)-g(x)的單調區間；

⑵若存在x?l,e］時，使依-3成立，求a的取值范圍.

題型4不等式能成立(有解)問題(分類討論法)

如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以

考慮二次項系數與判別式的方法(a>0,△<0或。<0,A<0)求解.

1.(24-25高三上?天津濱海新?期中)設函數/(x)=］+alnx.

(1)若。<0,求f(x)的單調區間和最小值;

⑵在(1)的條件下，若〃無)存在零點，則討論在區間他人］上零點個數

⑶若存在"1,使得一歲一<六("1),求a的取值范圍.

2.(2023?江西南昌?模擬預測)已知函數/(x)=e*+(l-。)x—lna-lnx(a＞0).

⑴若”=e,求函數的單調區間；

(2)若不等式/(x)＜1在區間(1,也)上有解，求實數。的取值范圍.

3.(24-25高三上?天津南開?階段練習)設函數/(x)=3+alnx.

(1)若。＜0,求/(x)的單調區間和極值；

⑵在(1)的條件下，證明：若存在零點，則，(彳)在區間(0,G］上僅有一個零點;

⑶若存在七21,使得〃尤)一3/一％＜二(4，1),求a的取值范圍

2a—1

4.(2024?貴州安順?二模)己知函數/(x)=e'T-左口-1),丘R.

(1)討論了(尤)的單調性；

⑵若對任意的左＞0,存在xeR,使得好■(力＜苗+。，求實數a的取值范圍.

5.（2023?甘肅金昌?模擬預測）已知函數〃無）=廣一6（.20）.

⑴若。=0,求函數的單調區間；

（2）若存在為右卜工?],使〃%）成立，求實數。的取值范圍.

題型5不等式能成立（有解）問題（最值定位法）

|0000

(1)3%!eA,\/々eB,使得/(xjNg?)成立=/(xJmax2g(X2)max

(2)Vx；eA,川eB,使得/(為)"(々)成立=/(xJmin2g(X2)min

(3)3XjeA,川eB,使得/(xjNg?)成立=/(%)1mxNgGLn

(4)V%1eA,V%e3,使得/(X1)2g(X2)成立=/(X])mmNg(X2)max

1.(24-25高三上?福建龍巖?期中)已知函數/(x)=：依2-(2a+l)x+21nx+4a(a>0).

⑴求f(x)的單調區間;

⑵設g(x)=d—2x,若對任意占e(0,2],均存在4e(0,2],使得,求實數。的取值范圍.

2.(24-25高三上?湖北?期中)己知x=2為函數/(尤)=x(x-c)2-J的極小值點.

e

⑴求C的值；

kx

(2)設函數g(x)=W，若對V占e(0,+co),加eR,使得了區)一(%)20,求上的取值范圍.

e

3.(2024高三?全國?專題練習)已知函數〃x)=got2-(2a+l)尤+21n尤(a>0)

⑴求的單調區間；

⑵設g(x)=/-2x,若對任意ae(0,2],均存在(0,2],使得〃石)<8(々)，求實數。的取值范圍.

4.(23-24高二下.天津.期中)已知函數/(x)=e￡-xT,g(x)=alnx-x

⑴求的單調區間和極值；

⑵若力(x)=-g(x)在[1,2]單調遞增，求實數。的取值范圍；

⑶當a<0時，若對任意的玉€!,1,總存在-,1,使得〃士尸8伍)，求實數。的取值范圍.

ee

5.（23-24高三上?云南曲靖?階段練習）已知函數/（x）=x+xcosx-2sinx.

（1）求曲線y=/0）在》=兀處的切線方程；

（2）g（x）=x2-3x+a（aeR）,若對任意再e[0,7t],均存在/eR2],使得/（不）<8（當），求實數”的取

值范圍.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（24-25高三上?貴州?階段練習）已知函數/（x）=g尤2-or+lnx,oeR.若有兩個極值點玉，龍?，且

/（藥）+/（赴）<2&+嶗恒成立，則實數力的取值范圍為（）

A.——,+°°^B.5'+0°]C.[―A/^,+8）D.^^/2,+coj

2.（2024高三?全國?專題練習）已知對于\/x>0,都有e?+a4上坦，貝山的最大值為（）

A.-1B.--C.--D.-e

2e

3.（24-25高三上仞川成都?期中）函數/z（x）=+房丁不等式從公2-2）+〃（2以）42對VxeR恒成

立，則實數。的取值范圍是（）

A.（—2,+oo）B.（—<x）,2）C.2）D.[—2,0]

4.（2024.全國.模擬預測）若關于x的不等式（e-D（lnx+Q"xe"-l在xe1,1內有解，則正實數。的取

值范圍是（）

1

A.（0,2+21n2]C.(0,4]D.

2e

二、填空題

5.(2024?浙江?三模)已知函數"x)=(x-2)e*+lnx,g(x)=ax+b,對任意ae,存在xe(0,l)使

得不等式/(x)Ng(x)成立，則滿足條件的6的最大整數為.

6.(2024.云南.一模)已知函數/(尤)=。?b%g(x)=lnx+x+2,用M(x)表示“X),g(x)中的較大者,

記作M(x)=max{〃x),g(x)},若M(x)=/(x),則實數。的取值范圍是.

三、解答題

7.(23-24高二下?天津靜海?階段練習)已知函數/(x)=ln(2x+〃?)(〃?€R).

2x

(1)當小=1時，討論函數g(x)=〃尤的單調性；

(2)若不等式/(x)W2x恒成立，求機的取值范圍；

⑶在(1)的條件下，設q=g,??+1=/(??)(?eN*),且。“>0.求證：當〃22,且weN*時，不等式

5-2),+1〈工-？成立.

2"an

8.(2024?天津武清?模擬預測)已知〃％)=優-靖(x>0,。>0且awl).

⑴當。=2時，求〃x)在x=0處的切線方程；

⑵當a=e時，求證：〃尤)在(e,+a>)上單調遞增；

(3)設a>e,已知有不等式"x"。恒成立，求實數。的取值范圍.

9.(23-24高三下?重慶?階段練習)定義：若/7(尤)是，7(x)的導數，//(x)是"(x)的導數，貝I］曲線y=〃(x)在

“(尤)|

點(x,/?(x))處的曲率K已知函數/(X)=e'sinf^+x(g(x)=x+(2a-1)cosx,fa<^-j,曲

［1+恨(尤)『『

線y=g。)在點(o,g(0))處的曲率為也;

4

⑴求實數〃的值；

TT

(2)對任意xe--,0，〃礦(元)Ng，(%)恒成立，求實數機的取值范圍;

(3)設方程/(%)=g'(x)在區間［2”n+1,2〃兀+5eN*)內的根為演,馬,當，…比較%與匕+2兀的大小,

并證明.

10.(2022?天津西青.模擬預測)已知函數/(x)=e'-ax-a,g(x)="皿"一次+”e(/。)，