專題8-2立體幾何中平行的證明與應(yīng)用

模塊一1熱點(diǎn)題型解讀（目錄）

【題型1］平行關(guān)系的判斷

【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系

【題型3】由中位線得出平行關(guān)系

【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）

【題型5】由面面平行得出線面平行

【題型6】?jī)蓚€(gè)平面交線相關(guān)的平行證明

【題型71證明線線平行

【題型8】通過(guò)平行證明四點(diǎn)共面

【題型9】平行關(guān)系的應(yīng)用：等積變形求體積

【題型10］平行的存在性問(wèn)題（確定點(diǎn)的位置）

【題型11］平行的存在性問(wèn)題（確定動(dòng)點(diǎn)軌跡）

【題型12】截面問(wèn)題（通過(guò)作平行線或延長(zhǎng)線補(bǔ)全截面）

模塊二1核心題型?舉一反三

平行關(guān)系思維導(dǎo)圖

序號(hào)圖形展示符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言

①垂直于同一平面的兩個(gè)直線平行

1②如果兩條直線分別與第三條直線平行則

這兩條直線平行

③線段成比例兩直線平行（中位線）

④平行四邊形對(duì)面平行

a_____aBa平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平

行，則該直線與此平面平行

2bua,na〃a

allb

a//a一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的

任一平面與此平面的交線與該直線平行

3QU,>=>a〃b

ac/3=b

a,bua一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)

的兩條相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面

ar\b-A

平行

4/m,nu/3>=>a//P

men=B

a//m,b//n

a//p'如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，

那么它們的交線平行

5acy=a>=a//b

(3cy=b

a,bu0一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平

6aob—P面平行，則這兩個(gè)平面平行

=>a//(3

//a//a

b//a

a〃/兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一

>na//p

7aua,條直線與另一個(gè)平面平行

【題型1】平行關(guān)系的判斷

基礎(chǔ)知識(shí)

常用結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a_La,arp,則a〃萬(wàn).

(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若a〃人p//y,則a〃/.

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a_La,bLa,則a〃8.

(4)若a〃4，，wUa,則

【例1】(2024?山東淄博?二模)己知a,B，y為三個(gè)不同的平面，a,b,/為三條不同的直線.

若/3=l,oc}y^a,/3")y—b,l/1y,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.a與/相交B.b與/相交C.a//bD.a與夕相交

【答案】C

［分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于AB,///7,/u平面a,a\y=a,則〃/a,

同理可得〃/6,則AB錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由AB知道a/Y,則C正確；

對(duì)于D,由A知道///a,a平面￡,/u平面￡,則a//Q,故D錯(cuò)誤.

【例2】已知機(jī)、”是兩條不同的直線，a、夕、/是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若aJL￡,/31丫，則a"7;

B.若“z〃〃，〃ua,則mJla；

C.若加、”是異面直線，utz,ml1/3,nu/3,nlla,則a//〃；

D.平面a內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面力的距離相等，則&//〃.

【答案】C

［分析］利用直觀想象判斷直線與平面的位置關(guān)系可判斷ABD：利用線面平行的性質(zhì)定理與面面平

行的判定定理可判斷C,從而得解.

【詳解】因?yàn)闄C(jī)、”是兩條不同的直線，。、/、/是三個(gè)不同的平面，，

對(duì)于A,若a，#,B工丫,則a與7可能相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若加〃“，〃ua,則機(jī)可能在a內(nèi)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)樾tz,所以機(jī)

又相〃〃，所以由線面平行的性質(zhì)定理可知在月內(nèi)存在〃/m，

則/①a,進(jìn)而可得/〃a,

因?yàn)楦?“是異面直線，nu/3,所以/與w相交，

又九〃a,所以由面面平行的判定定理得a〃力,故C正確；

對(duì)于D,平面a內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面￡的距離相等，則a與4可能相交，故D錯(cuò)誤.

【例3】（多選）己知平面a,月,且ac，=/,￡c7=m,/ctz="，則下列結(jié)論正確的是（）

A.機(jī)與〃可能是異面直線B.若〃/加，則機(jī)〃〃

C.若mn=O,則Oe/D.若兩兩垂直，則/,m,w也兩兩垂直

【答案】BCD

【分析】利用異面直線的意義判斷A;利用線面平行的判定性質(zhì)推理判斷B;利用平面的基本事實(shí)

推理判斷C;利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定性質(zhì)推理判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由m,/Ia=〃，得加因此加與〃不可能是異面直線，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,Him,ac/3=l,/3cy=m,則/ua,根于是

又muy,yla=n,因此相〃“，B正確；

對(duì)于C,由mn=O,得■Oem,Oen,由/Iy=tz="，得muj3,nua,

則又a/3=l,因此Oe/,C正確；

對(duì)于D,令/7=0,a_L7,尸_L7,在平面/內(nèi)取點(diǎn)P（不與點(diǎn)。重合），并在/內(nèi)作尸。-L”,PR_L機(jī)，

而01y=m,yla=n,則尸Q_L（z,PR_L￡,又a￡=/,于是/_LPQ」_LPR,

而PQcPR=P,則/_L7,入H%nuy,因此/則NQOR是二面角a—/—￡的平面角，

由aJ_#,得NQOR=90,即〃_?LM,因此/,m,w兩兩垂直，D正確.

故選：BCD

【鞏固練習(xí)1】下列關(guān)于平面平行的命題，正確的是（）

A.若一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

B.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

C.若兩個(gè)平面與同一個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面平行

D.若兩個(gè)平面與同一條直線平行，則這兩個(gè)平面平行

【答案】B

【分析】對(duì)A,兩面相交，另一平面有無(wú)數(shù)條直線和交線平行也和該平面平行，故可判斷；對(duì)B,

根據(jù)平面平行的判定定理即可判斷；對(duì)C,根據(jù)墻面三個(gè)角可判斷；對(duì)D,兩面相交一條直線，和

直線平行的直線都平行兩平面，故可判斷.

【詳解】對(duì)A,假設(shè)兩個(gè)面相交于一條直線，則其中一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與交線平行也與另一

個(gè)平面平行，故A不正確；

對(duì)B,根據(jù)平面平行的判定定理，可知一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平

面平行，故B正確；

對(duì)C,若兩個(gè)平面與同一個(gè)平面垂直，不一定得出兩平面平行，例如墻角的三個(gè)面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,兩個(gè)平面與同一條直線平行，不一定能得出兩面平行，例如兩面相交與一條直線，存在與交

線平行的直線平行于兩個(gè)面，故D錯(cuò)誤.

【鞏固練習(xí)2】設(shè)私〃是兩條不同的直線，名力是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若加//〃，根//cz,則///aB.若alIB，mua,nuf3,則加//〃

C.若m//n,nu/3,則D.若機(jī)貝！|〃_La

【答案】D

【分析】對(duì)于A,根據(jù)已知條件推出〃ua或〃//夕，對(duì)于B,可以推出相〃〃或異面，對(duì)于C,可以

推出〃//c或小ua,對(duì)于D,根據(jù)判定定理可以得到結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A,由機(jī)〃〃，機(jī)〃a,則wua或”//&,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,a11/3,mua,nu0,則m〃〃或加與〃是異面直線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,mlln,nu（3,則加〃a或〃zutz,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,m1/n,mla,則“_Lc,故D正確.

【鞏固練習(xí)3]已知機(jī)，"為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列命題正確的是（）

A.m（^a,nca,m//（3,n///3=>a//[3

B.a〃B，mua=m〃B；

C.n////a

D.機(jī)〃a,nuamn//n.

【答案】B

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理可判定A,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可判定B,根據(jù)線面平行的

判定定理可判定C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可判定D.

【詳解】選項(xiàng)A:由面面平行的判定定理可知，由于他，〃不一定相交，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由面面平行的性質(zhì)定理可知B正確；

選項(xiàng)C:由線面平行的判定定理可知，他可能在。內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D:由線面平行的性質(zhì)定理可知，m,"可能異面，故D錯(cuò)誤

【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

【方法技巧】構(gòu)造平行四邊形找線線平行

【例1】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E、/及G分別為棱8為、。。和CC|的中

點(diǎn).求證：C///平面。EG；

【解析】在正方體ABC。一中，E,F,G分別為棱8仇,和CC的中點(diǎn),

DFHCfi,且。F=￡G,

四邊形DGCZ是平行四邊形，:.C\FIIDG,

DGu平面DEG,CpU平面DEG,

，GF//平面DEG.

【例2】（2024.江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐尸-ABC。中，上4,底面ABCD,AD//BC,

鉆=45=4。=3,"=8。=4,以,可分別為線段?1￡>,「。上一點(diǎn)，AM=2MD.

若N為尸C的中點(diǎn)，證明：MV〃平面B4B；

【解析】證明：由已知AM=2A?得4以=2,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,力V,

由N為尸C的中點(diǎn)知TN//BC,

TN=3BC=2.義ADIIBC,故7NMM,且=

四邊形AAWT為平行四邊形，MN//AT,

???ATu平面上43,W平面上43,

??.MN〃平面PAB.

【鞏固練習(xí)1】如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADJ.AB,AB//DC,PA1.

底面A8C。，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，AD=DC=AP=2AB=2.證明：BE〃平面B4D；

（解析］在PD上取中點(diǎn)G,連接AG,EG,如圖：

：G和E分別為PD和PC的中點(diǎn),.-.EG//CD3.EG=-CD,

2

又?.?底面ABC。是直角梯形，CD=2AB,ABIICD,

:.AB〃GE旦AB=GE.即四邊形A2EG為平行四邊形,

.-.AG//RE,

AGu平面PAD,BE<z平面PAD,

.?.BEV/平面PAD

【鞏固練習(xí)21（24-25高三上?青海西寧?期中）如圖，PZU平面A3CD,AD±CD,AB!/CD,PQ//CD,

仞=口＞=￡＞「=2鼻2=2"=2,點(diǎn)及尸，“分別為AP,C￡）,8Q的中點(diǎn).求證：族〃平面CPM

【分析】(1)連接EM,可證明四邊形MEFC為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證得;

【詳解】(1)連接EM,因?yàn)锳B7CD,PQ//CD,

所以AB〃PQ.又因?yàn)镻Q=AB,所以四邊形PQ8A為平行四邊形，

又因?yàn)辄c(diǎn)分別為AP,8Q的中點(diǎn)，所以且=

因?yàn)镃D=2A/B,AB//CD,所以CD//EM且EM=gCD,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸分別為CO的中點(diǎn)，

所以CFIIEM且EM=CF,

所以四邊形MEFC為平行四邊形，

所以MCHEF,

又因?yàn)榉繸平面CPU,MCu平面CPM,

所以EF〃平面CPM.

【鞏固練習(xí)3】如圖，在正三棱柱ABC-AB?中，3,尸分別是3C,B,C,,的中點(diǎn)，BC=4BE，

,.ABC的邊長(zhǎng)為2.求證：：班〃平面ADR4；

【解析】證明：取42的中點(diǎn)G,連接FG,DG,

根據(jù)題意可得尸G//B|R,且/G=ga。，DE=^BD,

由三棱柱得性質(zhì)知BD//,所以FG//BD,則四邊形DGEF是平行四邊形,

所以EFIIDG,

因?yàn)槁椋╖面ADD^,OGu面ADD^,

所以￡F〃面A￡?AA.

【題型3】由中位線得出平行關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

涉及中點(diǎn)條件時(shí)考慮利用三角形中位線找線線平行.

【例1】如圖，已知四棱錐尸-A8C。的底面A8CD是平行四邊形，M,N分別是棱PB,PC的中點(diǎn),

Q是棱以上一點(diǎn)，且&。=3。尸，求證:NQ//平面

【解析】取PA的中點(diǎn)S,連接SM,SD,SC,因?yàn)椤盀镻B的中點(diǎn)，

所以SM//AB,又AB〃CD,所以5M//CD,故S,M,C,D四點(diǎn)共面，

由題意知Q,N分別為PS,PC的中點(diǎn)，故NQ//SC,

又NQ,平面MCD,SCu平面MCD,因此N。//平面MCD

【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐S-ABCD中，四邊形A3CZ）是

矩形，平面SCDL平面ABCD,/SDC=90。，點(diǎn)M是線段SC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段S3上，且MVLSS

s

求證：&4//平面MBD

【分析】（1）連接AC交8。于G,則G是AC的中點(diǎn)，連接MG,由中位線性質(zhì)知SAMG,根據(jù)

線面平行的判定可證SA//平面AffiD;

【詳解】（1）連接AC交3￡>于G,則G是AC的中點(diǎn)，連接MG,

因?yàn)锳f是線段SC的中點(diǎn)，所以MG是S4c的中位線，則SAMG,

又因?yàn)镾4<Z平面AffiD,MGu平面MBD,所以SA//平面

【鞏固練習(xí)2】（2024?浙江金華?一模）如圖,三棱錐A—3a）中，AO_L平面BCD,AD=DB=DC=BC,

E為AB中點(diǎn)，/為DE中點(diǎn)，N為DC中點(diǎn).

求證：MN//平面A3C；

【分析】連EC,利用三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.

【詳解】連EC,由/為OE中點(diǎn)，N為DC中點(diǎn),得MN//EC,

又ECu平面ABC,MNz平面ABC,

所以A/N//平面ABC.

【鞏固練習(xí)3】已知在正四棱柱ABCO-ABCiQ中，AD=3,=4,點(diǎn)f是CD］的中點(diǎn)，求證:

ADJ/平面EBD

【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)可得。E〃AR,由線面平行的判定定理即可證明;

【詳解】連接AC,交BD于點(diǎn)、0,則。為AC的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋為C?的中點(diǎn)，連接OE,則。E//AR,

AD層平面EBD,OEu平面EBD,

..A￡>|〃平面EBD

【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）

基礎(chǔ)知識(shí)

解析：模型鋪墊：AB〃平面B聞AB〃DE

C

【例1】如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面ACGA為菱形，側(cè)面C8與G為正方形.點(diǎn)M為AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB的中點(diǎn).

證明：MN〃平面BCG4

【簡(jiǎn)析】找一點(diǎn)和MN構(gòu)成平面，該平面與平面BCG4有2個(gè)位置確定的交點(diǎn)，圖中去掉MN和平

面BCQB]中的點(diǎn)后滿足條件的點(diǎn)只有A點(diǎn)了，AM與平面BCG4交于點(diǎn)Ci,AN與平面BCG4交

于點(diǎn)B,故MN〃BG,找出了平面BCG4中和MN平行的那條線

【詳解】連接AG，2G,如圖所示：

因?yàn)锳CC]A為菱形，點(diǎn)M為4C的中點(diǎn)，所以AC]C4C=M,

又點(diǎn)M■為AG的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB中點(diǎn)，所以MN//BCT,

而2Gu平面BCCJBJ,MNN平面BCCXB],

所以MN〃平面BCGg.

【例2】如圖，在四棱錐尸-A5co中，底面ABCD是正方形，點(diǎn)/在棱出上（不與端點(diǎn)重合），E,

尸分別是尸。，AC的中點(diǎn).

證明：EF//平面PBC.

【解析】連接3￡）,

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以歹是3D的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以石尸是△PBD的中位線,

版以EFIIPB,

因?yàn)樗?平面PBC,PBu平面尸BC,

所以EF//平面PBC

P

【例3】（2024?浙江?一模）如圖，在三棱錐尸-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PC1

平面A3C,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段CE上且CF:EF=2:1,G為三角形ABC的重心.

求證：GP〃平面上4B

【分析】（1）根據(jù)重心性質(zhì)以及線段比可知產(chǎn)是△PBC的重心，再利用線段比例關(guān)系以及線面平行

判定定理可得結(jié)論；

【詳解】（1）連接AG交BC于點(diǎn)。，由重心性質(zhì)可得。是8C的中點(diǎn)，

又點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段CE上且CF:EF=2:1,可知尸是△PBC的重心；

連接PD,可知點(diǎn)尸在P￡>上，如下圖所示：

由重心性質(zhì)可得D尸：P尸=1:2,DG:AG=\:2,所以G尸〃PA;

文GF0平面PAB,上4<=平面R1B,

所以GP〃平面RW

法二：連接CG交AB于H,易證FG〃EH

【鞏固練習(xí)1］（2024?山東濟(jì)南?三模）如圖所示，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面尸DCE，平面

ABCD,NBAD=ZADC=90。,AB=AD=gcD=l,PD=6.

若點(diǎn)Af為R1的中點(diǎn)，證明:AC//平面MDE；

［解析］連接PC,交。E于N,連接MN

「PDCE為矩形:.N為PC的中點(diǎn)、

在，PAC中，M,N分別為以，PC的中點(diǎn)

.-.MN//AC,

因?yàn)镸Nu平面MDE,AC仁平面MDE,

所以AC//平面MOE.

【鞏固練習(xí)2】在直三棱柱ABC-A4G中，已知。為A8的中點(diǎn).求證：〃平面A。。.

【分析】連接AG交AC于點(diǎn)。，連接0D,利用中位線的性質(zhì)可得出0D/8G,再利用線面平行的

判定定理可證得結(jié)論成立.

【詳解】證明：連接AG交AC于點(diǎn)。，連接0D,如下圖所示：

在三棱柱ABC-AAG中，A4J/CG且AA=CQ,則四邊形AAXCXC為平行四邊形,

因?yàn)锳GcA|C=O,則。為AG的中點(diǎn)，

又因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，所以，ODHBC、,

因?yàn)锽Ga平面AC。，ODu平面AC。，因此，BQ〃平面A。。.

【鞏固練習(xí)3】(24-25高三上?福建泉州?期中)如圖，在直三棱柱A3C-44C|中，ZACB=90°,

CA=CB=CCl=3,。是棱8片的中點(diǎn)，尸是CQ的延長(zhǎng)線與Q?的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).

⑴求證："〃平面AC。；

(2)若點(diǎn)E在線段AP上，且點(diǎn)E為靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),求直線\E與平面AtCD所成的角的正弦值.

【分析】利用全等思想來(lái)證明中點(diǎn)，從而得證線線平行，即可證明線面平行；

【詳解】連接AG交4。于點(diǎn)M,連接如下所示：

G-5,

D

忌

；b

因?yàn)锳BC-A4G是直三棱柱，故可得AQCA是矩形，

故M為AC]的中點(diǎn)，又。是的中點(diǎn)，所以B[D=BD,

又ZBQG=/BDP,ZCjB.D=NPBD=90°,與。G與BDP,

：.C,D=PD,即。是C/的中點(diǎn)，

故在△GAP中，M,。分別為GA,GP的中點(diǎn)，

故可得又MDu平面ACD,APZ平面4C。，故AP〃面ACO.

【鞏固練習(xí)4】如圖，三棱柱ABC-48?中，E,P分別是B|G和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱片瓦上,

且用歹=2凡/，證明：AP〃平面EFC.

【答案】證明：連結(jié)PB1,交CE于點(diǎn)D,連結(jié)DF,EP,CB1,

因?yàn)镋,P分別為B1C1,CC1的中點(diǎn)，故EP〃:CB1JLEP=gcBl,

PD1AF1

故西=2又B-2,A1B1=3,故西=5，

所以FD〃A1P,又FDu平面EFC,A1PC平面EFC,

故A1P〃平面EFC;

【題型5】由面面平行得出線面平行

基礎(chǔ)知識(shí)

本法原理：已知平面.〃平面分，則平面/?里的任意直線均與平面a平行

思路比較簡(jiǎn)單不過(guò)書(shū)寫(xiě)步驟會(huì)繁瑣一些，一般不做第一選擇

［例1］如圖，已知三棱柱ABC為直三棱柱，AAl=AB=2AC,AB，AC,。為AC的中點(diǎn).

證明：4C//平面BA。

【簡(jiǎn)證】取AG中點(diǎn)

【例2X2024?貴州貴陽(yáng)?二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中,

瓦戶分別為A。,A3的中點(diǎn)，AB=2A4=4,側(cè)面82CC與底面ABCD所成角為45。.

求證：22〃平面ME尸；

【解析】連接3D、B.M,由及戶分別為的中點(diǎn)，則EF//BD,

又斯（2平面B8QD,BDu平面故EF〃平面BBRD,

正四棱臺(tái)ABCD—ABIGD中，AB|//AB且=}-AB=BF,

則四邊形4尸為平行四邊形，故AFI!BB\,

又4尸（Z平面BBQQ,33jU平面8BQ。，故A/〃平面BBQ。，

又A尸c￡F=F,且A/u平面A]EF,EFu平面為石尸，

故平面4石尸〃平面BBQQ,又BRu平面BBRD,故B，//平面尸；

【鞏固練習(xí)1】（2024.廣東深圳?高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，多面體ABCDE尸中，四

邊形ABCD為矩形，二面角A—CD—尸的大小為45，DE//CF,CDYDE,AD=2,DC=3.

（1）求證：BF〃平面ADE；

【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以，BC//AD,

因?yàn)?Cu平面BCF,AO<Z平面BCF,所以AD〃平面BCF,

因?yàn)镈E/ICF,CFu平面8c尸，DEcZ平面BCF,所以￡>￡7/平面8c尸,

因?yàn)锳Dc￡>E=。，AD.DEu平面ADE,則平面8C尸〃平面ADE,

因?yàn)锽bu平面所以，BF//平面ADE.

【鞏固練習(xí)2】（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，在直角梯形A8CD中，AD//BC,AB±BC,

AB=BC=1AD，把梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至ABC.D,,E,尸分別為A3,CQ中點(diǎn).

AD

證明：EF〃平面CRA；

【解析】證明：設(shè)AG中點(diǎn)為G,連接FG,EG,

又CDtu平面CD{A,FG平面CQA,

二戶G〃平面CRA,

EG為梯形ABC.D,中位線，EG//AD,,

又AQu平面CD|A,EG<Z平面CRA,

:.EG〃平面CRA,

EG\FG=G,FGu平面EFG,EGu平面EFG,

二平面EFG〃平面CRA,

EFu平面EFG,

.?.￡7”平面C2A.

【鞏固練習(xí)3】（2024?江蘇南京?二模）如圖，AD//BC,ADJ,AB,點(diǎn)、E、R在平面ABC。的同側(cè),

CF//AE,AD=1,AB=BC=2,平面AC尸平面ABC。，EA=EC=6.求證：3尸〃平面ADE；

【解析】因?yàn)镃尸〃AE,CF6平面ADE,

所以CF〃平面AOE,同理8c〃平面A￡>￡,

叉BC,CFu平面BCF,BCCF=C,

所以平面8CB〃平面ADE,BPu平面A￡）E,

所以〃平面ADE

【題型6】?jī)蓚€(gè)平面交線相關(guān)的平行證明

基礎(chǔ)知識(shí)

兩個(gè)平面交線相關(guān)的平行證明可以考慮補(bǔ)全圖形得到交線，也可以先找一個(gè)線面平行，得出線線平

行來(lái)代換交線，原理是由線面平行得出線線平行

【例1】如圖，四棱錐尸一2次少的底面為正方形，且％，面ace.設(shè)平面勿7與

平面尸灰的交線為《證明：（〃C13

【證明】證明：因?yàn)椋瑓^(qū)％為正方形，BC//AP,

又：3G平面PAD,2"*平面PAD.

：.宛力平面PAD

又?.?詠14平面PCB,平面分。n平面PCB=I,

：.m（x）.

【例2】（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，AD//BC^.AD=2BC,ADLCD,EG//AD^.EG=AD,

CD/IFG豆CD=2FG,DGl^ABCD,D4=OC=OG=2,設(shè)平面3CF與平面EFG的交線為/,

求證：BC//1；

［分析］由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；

【詳解】因?yàn)锳D//3C,EGHAD,所以3C//EG,

"BC①平面EFG,EGu平面EFG,

所以BC//平面跖G,又BCu平面BCF,平面BCFc平面￡FG=/,

所以3C7//.

【鞏固練習(xí)1】在圓柱中，AB是圓。的一條直徑，C。是圓柱的母線，其中點(diǎn)C與AB不

重合，M,N是線段33的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且BM=MN=ND.若平面COM和平面CAN的交線為/,

證明：〃/平面

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】利用三等分點(diǎn)得中位線可得線線平行，再應(yīng)用線面平行判定與性質(zhì)定理證明即可;

【詳解】由BM=MN知M為BN中點(diǎn)、,又。為A8中點(diǎn)，

所以O(shè)M/IAN,0Mz平面CAN,ANu平面CAN,

所以。M〃平面C4N,又(Wu平面COM,

由平面COM平面C4N=/,且Ce/,

故由線面平行的性質(zhì)定理可得OM//1,

由點(diǎn)。與A3不重合，可知C任平面ABD,故/(Z平面ABD,

又OMu平面A3O,所以〃/平面ABZ>

【鞏固練習(xí)2】(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC=BC^C=\B,

側(cè)面BBC。為矩形.記平面AB。與平面ABC交線為/,證明：AC///；

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)AC〃平面ABG,進(jìn)而根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)樵谌庵鵄BC-AB|G中，AC//AG,

由于ACa平面A8G,AC|U平面A8C1,

所以AC〃平面ABG,

又因?yàn)锳Cu平面ABC,平面ABC平面

所以AC///

【鞏固練習(xí)3】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，設(shè)平面R4D與平面尸BC的交線為加,

M，N分別為PC,A3的中點(diǎn).

(1)求證：MN//平面上40；

(2)求證：BCHm.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)取PD的中點(diǎn)E,利用中位線的性質(zhì)先證明四邊形AWE為平行四邊形，由線線平行

證線面平行即可；

(2)利用線線平行先證線面平行，再由線面平行的性質(zhì)證線線平行即可.

【詳解】(1)

p

c

ANB

取尸。的中點(diǎn)E,連接EAf,AE,

因?yàn)镸,N分別為PC,AB的中點(diǎn)，底面ABCD為平行四邊形,

則9=3℃=；42=何，SLEM//DC//AN,

所以四邊形AWE為平行四邊形，即MN//AE,

顯然AEu平面PAD,W平面R4￡>,

貝MN//平面PAD:

(2)易知ADUBC,J?C<Z平面上4￡>,ADu平面上4。，

所以3c〃平面上4D,

又BCu平面尸BC,平面上4。與平面P2C的交線為m,

所以BCHm.

【題型7】證明線線平行

基礎(chǔ)知識(shí)

利用線面平行和面面平行證明線線平行

【例1】如圖，平面ABCD,BFH平面ADE,CF//AE.求證：AD//BC.

【解析】CF//AE,CF<s平面ADE,u平面AOE,二C尸〃平面ADE.

.?5F〃平面ADE,BFcCF=F,BF,CFu平面BCF,

平面ADE〃平面BC尸.

又平面ADE,?平面ABC￡>=AD,平面Bbc平面ABCE>=BC,

AD//BC.

【例2】如圖，直四棱柱A8CO-被平面a所截，截面為CDEF,^.EF=DC,

DC=2AD=4AiE=2,ZADC=,平面石尸。與平面ABCD所成角的正切值為《石.證明：AD//BC.

33

【解析】在直四棱柱ABCD-481GQ中，平面ABCD〃平面用CR,

平面A5CDa=CD,平面44GRcor=EF,就EF/ICD,

而GDJ/CD且C\D]=CD,叉EF=CD,因此和乙〃所且GQ=E廠，

則四邊形E尸￡口是平行四邊形，所以A2〃8JG,又A2//AD,BCUBG,

所以AD//BC.

【鞏固練習(xí)1]如圖所示，圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為2cm和3cm,44,14為圓臺(tái)的兩條不同的

母線.。卜。分別為圓臺(tái)的上、下底面圓的圓心，且△OAB為等邊三角形.求證：A5i//AB.

【解析】證明：圓臺(tái)可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，

所以圓臺(tái)的母線也就是生成這個(gè)圓臺(tái)的圓錐相應(yīng)母線的一部分.

母線AA與母線8坊的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，A,A,8,隹四點(diǎn)共面.

?圓面圓面O,且平面一圓面O]=4四，平面ABB]A圓面O=AB.

:.\BJ/AB.

【鞏固練習(xí)2】（2024?甘肅.一模）如圖，空間六面體中,AD/ABC,EH〃/G,

/BCD=NFGH=90，平面ABCD//平面所GH,COHG為正方形，平面HDCG，平面

ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.求證：AE//BF；

【解析】AD//BC,AZ)平面BCGF,3Cu平面BCGF,

:.4)//平面3。3戶.

CDHG為正方形,:.HD//CG,

同理可得印)〃平面3CG尸.

ADcHD=D,ADu平面ADHE,HDu平面ADHE,

???平面ADHE//平面BCGF.

平面ADHEc平面ABFE-AE,

平面BCG產(chǎn)c平面ABFE=BF,

,-.AE/1BF.

【題型8】通過(guò)平行證明四點(diǎn)共面

基礎(chǔ)知識(shí)

通過(guò)線線平行得出四點(diǎn)共面

【例1】如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，ABJ.AC,AA=AB=AC=2,M,N,P分別為A3,

BC,AS的中點(diǎn)

(1)求證：3P〃平面C]AfN；(2)求證：P、M>c、G四點(diǎn)共面;

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）先證四點(diǎn)共面，再證明成〃由線線平行得到線面平行.

（2）連接C]P,PM,MC,結(jié)合條件可證PM〃CC,從而證明.

連接因?yàn)镸,N分別為AB,BC的中點(diǎn)，所以MV//AC

在三棱柱ABC-44C]中，AC//AG.所以MN//AG，M,N,C]，4四點(diǎn)共面.

因?yàn)锳B//AB],A3=AB1,M,尸分別為的中點(diǎn)，所以BM//&P,BM=AlP.

所以四邊形8肱1,尸為平行四邊形.

所以//.因?yàn)槠矫鍯XMN,M\u平面CtMN,

所以3P//平面G"N.

連接GRPM,VC,因?yàn)锳BC-A耳G為直三棱柱，且尸,M分別為A4，AB的中點(diǎn)，

所以PM〃A4],又9//CG,所以尸M//CG,所以P、M>C、C]四點(diǎn)共面.

【鞏固練習(xí)1】（2024?內(nèi)蒙古包頭.一模）如圖，在四棱錐尸-ABCO中，PC_L平面ABCD,AB//CD,

點(diǎn)E在棱PB上，PE=2EB,點(diǎn)F,〃是棱上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G是棱PZ）的中

點(diǎn).PC=CB=CD=qAB=2,AC=713.

證明：HD〃平面CFG,且C,E,F,G四點(diǎn)共面；

【分析】由中位線得FG〃印入結(jié)合線面平行的判定定理即可證得X。〃平面CPG,要證C,E,

F,G四點(diǎn)共面，只、需CE〃FG,只、需CE〃HD,連接"E,結(jié)合條件證明四邊形HECD是平行四

邊形即可；

【詳解】（1）因?yàn)榫覩分別為的中點(diǎn)，

所以FG〃/TO,

又尸Gu平面CFG,HDa平面CFG,

所以HD//平面CFG.

連接HE,在一皿中，=黑=2,

EBHA

所以HE〃&B,且HE=^AB,

2

因?yàn)锳B〃CD,CD=-AB,

所以CD=HE,且CD〃HE,

所以四邊形HECD為平行四邊形.

所以CE〃印），

又PG〃HD,所以CE〃FG,

故C,E,F,G四點(diǎn)共面.

【鞏固練習(xí)2】如圖，多面體ABCGDEF中，AB,AC,AD兩兩垂直，平面ABC//平面。石尸G,平

面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.判斷點(diǎn)B,C,F,G是否共面，并說(shuō)明理

由.

【詳解】取DG中點(diǎn)P,連接PA,PF,如圖示:

在梯形EFGD中，F(xiàn)P〃DE且FP=DE.

又AB〃DE且AB=DE,AB〃PF且AB=PF

四邊形ABFP為平行四邊形，；.AP〃BF

在梯形ACGD中，AP〃CG,；.BF〃CG,

AB,C,F,G四點(diǎn)共面.

【鞏固練習(xí)3】如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—A4GR中，點(diǎn)E,尸分別在棱OR,8片上,2DE=ED1,

BF=2FB1,證明：點(diǎn)G在平面AEB內(nèi).

【解答】證明：在441上取點(diǎn)A7,使得4〃=24V,逐底EM、B\M、EC\、FC?

在長(zhǎng)方體431G2中，有72〃/L4i//夕耳，且以A=ZZi="

又2DE=ED”A\M=2AM,BF=2FB?：.DE=AM=FB\.

...四邊形61月4%口四邊形“NA；都是平行四邊形.

AF//M&dAF=MB\ADH"且AD=ME.

又在長(zhǎng)方體4%。-中，有27〃AG,且力7=AG,

：.13C〃MENBC.ME,則四邊形質(zhì)為平行四邊形，

；.時(shí)〃“,，且不=”區(qū)

又/"MB5AF^MB?：.AFHEC0AF=EC、,

則四邊形為平行四邊形，

.?.點(diǎn)G在平面2分內(nèi)

【題型9】平行關(guān)系的應(yīng)用：等積變形求體積

基礎(chǔ)知識(shí)

等積變形求體積，即形狀改變但體積不變。通過(guò)計(jì)算變形前后的體積相等

【例1】已知正方體ABC。-ABJGA的棱長(zhǎng)為1,尸是線段用C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐A-PCQ的

體積是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由

【答案】是定值

【詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，CD//A.B,,且CO=A|B1,

所以，四邊形為平行四邊形，則用C/M,。.

因?yàn)锳13u平面AG。，與。0平面^4^。，

所以，4C//平面AG。.

又Pe4C,所以點(diǎn)尸到平面4G。的距離為定值.

又iAG。的面積確定，J-PCQ=匕-4G。,

所以，三棱錐A-PG。的體積為定值.

【例2】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AMGA中，M,N,尸分別是GA，GC,的中點(diǎn),

則三棱錐P—MNB的體積為

【詳解】易得2尸〃8N,因?yàn)?尸（Z平面MNB,MNu平面MNB,

所以2。//平面MNB,所以=VD、-MNB==耳*/*1*1義2=3

【例3】（多選）如圖，在正方體A3CD-A4GA中，相=血,尸為線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.BXD1AP

B.DP〃平面4BQ

C.三棱錐尸-AC，的體積為定值④

D.AP+PC的最小值為6+1

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,由線面垂直的判定定理證明平面A8G即可;對(duì)于B,根據(jù)面面平行的判定定理

證明平面BOC]〃平面AB|2即可;對(duì)于C,根據(jù)線面平行將點(diǎn)尸到平面ACD1的距離等于點(diǎn)8到平面

ACDJ的距離，再利用等體積法求解即可;對(duì)于D,將平面ABG和平面BCG沿直線BG展開(kāi)為一個(gè)平

面，利用余弦定理求解即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,連接4尸,4民BQ,與C,如圖：

CDJ_平面BCC向，BC[U平面BCQB,,

:.CD±BCX,

文BCiLB\C,BiC€'。=08(<=平面20。，8匚平面2°。,

5G，平面可。。，

BQu平面BXCD,

BC..LB.D,

連接4人，同理可得±BXD,

ABcBC]=B,A^Bu平面\BCX,BC{u平面\BCX,

4O_L平面ABC1，

A『u平面

.?.4O_LAP,故A正確；

對(duì)于B,連接3D,CQ,如圖:

AB"GD\,AB=GD\,

：.四邊形ABCR為平行四邊形，

:.ADJ/BC-

BC】u平面BDC],AD]u平面BOQ,

/.AD/平面BDC1,

同理四邊形Aoq與為平行四邊形，

/.ABJ/DC,,

DC】u平面BDC],AB]（Z平面BDC],

:.ABJ/平面&）G,

AB】cADX=A,AB1u平面ABXDX,ADXu平面ABXDX,

平面//平面AB[D],

DPu平面BDC1,

???DP〃平面A42,故B正確；

由B知AD、〃BC[,

QADXu平面ACDi,BC\(Z平面ACD1,

??.BC"/平面ACR,

二.點(diǎn)尸到平面AC。1的距離等于點(diǎn)6到平面ACR的距離，

：.Vp_ACD'=VB.ACD'=VD「ACB=；x1x6乂也X也=^~

【鞏固練習(xí)1】在正方體ABC。—A耳GA中，E為8月的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足的=XBG，Ae[o,l],

則三棱錐P-ARE的體積與2的值是否有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】無(wú)關(guān)

【詳解】因?yàn)樵谡襟wABCD-ABGA中，A3〃CQ且AB=G2,

所以四邊形A8G2為平行四邊形,因此BCJIAD、,

又BQ<Z平面AED1,AD】u平面AEDt,所以BQ〃平面AED,,

因此棱2C1上的所有點(diǎn)到平面AE。］的距離都相等，又尸是棱3G上的動(dòng)點(diǎn),

所以三棱錐尸-AE2的體積始終為定值

【鞏固練習(xí)2】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-4gGA中，點(diǎn)E,尸分別為棱DR,G9的中

點(diǎn)，三棱錐B-AEF的體積為

【答案】|2

【詳解】正方體中有A8〃SG,ABu平面ABE,QG。平面ABE,AG〃平面ABE,

====

^B-AEF^F-ABE^I\-ABE^B-AEDl^V