難點04坐標系與函數(shù)中的規(guī)律、圖象、動點、面積問題（4大熱考題型）題型一：坐標系中點的坐標規(guī)律問題題型二：實際生活中函數(shù)圖象問題題型三：動點的函數(shù)圖象問題題型四：平面直角坐標系中的面積問題題型一：坐標系中點的坐標規(guī)律問題11.解決與點坐標變化有關的規(guī)律問題一般方法：1)若點的坐標在坐標軸上或象限內循環(huán)(周期)變化時，先求出第一個循環(huán)周期內相關點的坐標，然后找出所求點經(jīng)過循環(huán)后位于第一個循環(huán)周期內的哪個位置，從而求出坐標；2)點的坐標是成倍遞推變化時，先求出前幾個點的坐標，然后歸納出后一個點坐標與前一個點坐標之間存在的規(guī)律．2.解決與點坐標變化有關的規(guī)律問題的注意事項：1）求什么找什么的規(guī)律；2）變化規(guī)律最好用算式而不是得數(shù)表示；3）找算式中數(shù)字與序號間的變化規(guī)律；4）找坐標的變化規(guī)律，分兩步進行：先找位置規(guī)律再找數(shù)字規(guī)律（點的坐標題型首先用這一條）.【中考母題學方法】【典例1】（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環(huán)．當時，點的坐標是(

)

A． B． C． D．【變式1-1】（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點A的坐標為，是以點B為圓心，為半徑的圓弧；是以點O為圓心，為半徑的圓弧，是以點C為圓心，為半徑的圓弧，是以點A為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點B，O，C，A為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點的坐標是．

【變式1-2】難點同時分析周期變化和遞增變化的規(guī)律（2023·湖南懷化·中考真題）在平面直角坐標系中，為等邊三角形，點A的坐標為．把按如圖所示的方式放置，并將進行變換：第一次變換將繞著原點O順時針旋轉，同時邊長擴大為邊長的2倍，得到；第二次旋轉將繞著原點O順時針旋轉，同時邊長擴大為，邊長的2倍，得到，…．依次類推，得到，則的邊長為，點的坐標為．

【變式1-3】難點結合函數(shù),利用函數(shù)解析式求點坐標1.（2024·江蘇無錫·模擬預測）如圖，，，，是分別以，，，為直角頂點，一條直角邊在軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點，，，，均在反比例函數(shù)的圖象上，則點的橫坐標為，點的橫坐標為．2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）在平面直角坐標系中，拋物線的圖象如圖所示，已知A點坐標為，過點A作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點……，依次進行下去，則點的坐標為．

【變式1-4】難點結合三角形，利用相似三角形求面積（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形，，，，…都是平行四邊形，頂點，，，，，…都在軸上，頂點，，，，…都在正比例函數(shù)（）的圖象上，且，，，…，連接，，，，…，分別交射線于點，，，，…，連接，，，…，得到，，，…．若，，，則的面積為．

【中考模擬即學即練】1．（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖，在直角坐標系中每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點為位似中心作正方形，正方形……按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形的頂點坐標分別為，，，，則頂點的坐標為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中有一系列格點，其中，且，是整數(shù)．記，如，即，，即，，即，，以此類推．則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，，過點1,0作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，，依次進行下去，則點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）直角坐標系中，的三個頂點都在邊長為的小正方形的格點上，關于軸的對稱圖形為，與組成一個基本圖形，不斷復制與平移這個基本圖形，得到如圖所示的圖形．若是這組圖形中的一個三角形，當時，點的橫坐標是（

）A． B． C． D．5．（2024·河南省直轄縣級單位·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角的斜邊，且在x軸的正半軸上，點落在第一象限內．將繞原點O逆時針旋轉，得到，再將繞原點O逆時針旋轉，又得到；依此規(guī)律繼續(xù)旋轉，得到，則點的坐標為（

）A． B． C． D．6．（2024·山東臨沂·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一只螞蟻從點A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度沿循環(huán)爬行，問第2023秒螞蟻所在點的坐標為．7．（2024·山東東營·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，有一邊長為的正方形，點在軸的正半軸上，如果以對角線為邊作第二個正方形，再以對角線為邊作第三個正方形，，照此規(guī)律作下去，則的坐標是；的坐標是．8．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，點O為正六邊形的中心，P、Q分別從點同時出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，則第1次相遇地點的坐標為，則第2024次相遇地點的坐標為．

9.（2024·浙江·模擬預測）生活中很多圖案都與斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…相關，如圖，在平面直角坐標系中，依次以這組數(shù)為半徑作90°的圓弧，得到一組螺旋線，若各點的坐標分別為，，，則點的坐標為．10．（2024·山東聊城·三模）如圖是從原點開始的通道寬度為1的回形圖，，反比例函數(shù)與該回形圖的交點依次記為、、、……，則的坐標為．11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）如圖，在拋物線的內部依次畫正方形，使對角線在軸上，另兩個頂點落在拋物線上，按此規(guī)律類推，第個正方形的邊長是．題型二：實際生活中函數(shù)圖象問題讀取圖象中的關鍵信息,包含坐標軸、起點、最高點、拐點、水平線等,并作出正確的結論判斷.具體分析如下:讀取圖象中的關鍵信息,包含坐標軸、起點、最高點、拐點、水平線等,并作出正確的結論判斷.具體分析如下:關鍵信息函數(shù)意義坐標軸弄清楚橫軸與縱軸所表示的函數(shù)變量拐點圖象上的拐點既是前一段函數(shù)的終點,又是后一段函數(shù)的起點,反映函數(shù)圖象在這一時刻開始發(fā)生變化水平線函數(shù)值隨自變量的變化而保持不變【中考母題學方法】【典例2】（2024·江蘇常州·中考真題）在馬拉松、公路自行車等耐力運動的訓練或比賽中，為合理分配體能，運動員通常會記錄每行進所用的時間，即“配速”（單位：）．小華參加的騎行比賽，他騎行的“配速”如圖所示，則下列說法中錯誤的是（

）A．第所用的時間最長B．第的平均速度最大C．第和第的平均速度相同D．前的平均速度大于最后的平均速度【變式2-1】難點分析兩個函數(shù)圖象1.（2024·江蘇南通·中考真題）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為．兩人前進路程s（單位：）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關系如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（

）

A．甲比乙晚出發(fā)1h B．乙全程共用2hC．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是2．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）已知某同學家、體育場、圖書館在同一條直線上．下面的圖象反映的過程是：該同學從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館．圖中用x表示時間，y表示該同學離家的距離．結合圖象給出下列結論：

（1）體育場離該同學家2.5千米；（2）該同學在體育場鍛煉了15分鐘；（3）該同學跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；（4）若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則的值是3.75；其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·山東濰坊·中考真題）中國中醫(yī)科學院教授屠呦呦因其在青蒿素抗瘧方面的研究獲2015年諾貝爾生理學或醫(yī)學獎．某科研小組用石油醚做溶劑進行提取青蒿素的實驗，控制其他實驗條件不變，分別研究提取時間和提取溫度對青蒿素提取率的影響，其結果如圖所示：由圖可知，最佳的提取時間和提取溫度分別為（

）A． B． C． D．【中考模擬即學即練】1．（2024·貴州·模擬預測）2024年3月5日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議在北京開幕，政府工作報告中一個新關鍵詞“人工智能”引發(fā)熱議，隨著人工智能的發(fā)展，智能機器人送餐成為時尚．如圖①是某餐廳的機器人聰聰和慧慧，他們從廚房門口出發(fā)，準備給客人送餐，聰聰比慧慧先出發(fā)，且速度保持不變，慧慧出發(fā)一段時間后將速度提高到原來的2倍．設聰聰行走的時間為，聰聰和慧慧行走的路程分別為、，，與的函數(shù)圖象如圖②所示，則下列說法不正確的是（

）A．客人距離廚房門口； B．慧慧比聰聰晚出發(fā)；C．聰聰?shù)乃俣葹椋?D．從聰聰出發(fā)直至送餐結束，聰聰和慧慧之間距離的最大值為；2．（2024·湖北黃岡·模擬預測）大學生小麗暑假期間從小商品批發(fā)市場批發(fā)了一種新商品，新商品的進價為30元/件，經(jīng)過一段時間的試銷，她發(fā)現(xiàn)每月的銷售量會因售價的調整而不同，若設每月的銷售量為y件，售價為x元/件.(1)當售價在40—50元/件時，每月的銷售量都為60件，則此時每月的總利潤最多是多少元?(2)當售價在50—70元/件時，每月的銷售量與售價的關系如圖所示，求y與x的關系式；(3)小麗決定每賣出一件商品就向福利院捐贈m(m為整數(shù))元，若要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，請你幫她計算m的最小值是多少，并求此時售價為多少元時，她每月獲利最大.題型三：動點的函數(shù)圖象問題類型一動點與函數(shù)圖象判斷的解題策略類型一動點與函數(shù)圖象判斷的解題策略方法一：趨勢判斷法.根據(jù)幾何圖形的構造特點，對動點運動進行分段，并判斷每段對應函數(shù)圖象的增減變化趨勢；方法二：解析式計算法.根據(jù)題意求出每段的函數(shù)解析式，結合解析式對應的函數(shù)圖象進行判斷；方法三：定點求值法.結合幾何圖形特點，在點運動的拐點、垂直點、特殊點處求出函數(shù)值，對選項進行排除；方法四：范圍排除法.根據(jù)動點的運動過程，求出兩個變量的變化范圍，對選項進行排除．類型二動點與函數(shù)圖象計算的解題策略一看圖：注意函數(shù)圖象橫縱坐標分別表示的量與取值范圍，以及圖象的拐點、最值點等；二看形：觀察題目所給幾何圖形的特點，運用幾何性質分析動點整體運動情況；三結合：幾何動點與函數(shù)圖象相結合，求出圖形中相關線段的長度或圖形面積的值；四計算：結合已知，列出等式，計算未知量，常用勾股定理、面積相等和相似等方法進行計算求解．【中考母題學方法】【典例3】（2023·四川資陽·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，厘米，厘米，點從點出發(fā)以每秒厘米的速度，沿在平行四邊形的邊上勻速運動至點．設點的運動時間為秒，的面積為平方厘米，下列圖中表示與之間函數(shù)關系的是（

）A． B．C． D．【變式3-1】根據(jù)函數(shù)圖象判斷點的運動軌跡1．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動點P從菱形的點A出發(fā)，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當點P運動到中點時，的長為（）A．2 B．3 C． D．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發(fā)，沿著的路徑行進，過點作，垂足為．設點的運動路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（

）A． B． C． D．【變式3-2】根據(jù)點的運動軌跡畫出函數(shù)圖象（2023·重慶·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，動點E，F(xiàn)分別以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，點E沿折線方向運動，點F沿折線方向運動，當兩者相遇時停止運動．設運動時間為t秒，點E，F(xiàn)的距離為y．

(1)請直接寫出y關于t的函數(shù)表達式并注明自變量t的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質；(3)結合函數(shù)圖象，寫出點E，F(xiàn)相距3個單位長度時t的值．【中考模擬即學即練】1．（2024·湖南長沙·模擬預測）RobotMaster機甲大師挑戰(zhàn)賽鼓勵學生自主研發(fā)制作多種機器人參與團隊競技，其某場對抗賽的軌道可簡化成下圖，其中和均為半圓，點，，，依次在同一直線上，且．現(xiàn)有比賽雙方的機器人（看成點）分別從，兩點同時出發(fā)，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動進行射擊比賽，其路線分別為和．若移動時間為，兩個機器人之間距離為．則與關系的圖象大致是（

）A． B．C． D．2．（2024·湖北·模擬預測）如圖，等邊的邊長為，動點從點出發(fā)，以每秒的速度，沿的方向運動，當點回到點時運動停止．設運動時間為（秒），，則關于的函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，點，分別從正方形的頂點，同時出發(fā)，沿正方形的邊逆時針方向勻速運動，若點的速度是點速度的倍，當點運動到點時，點，同時停止運動．圖是點，運動時，的面積隨時間變化的圖象，則正方形的邊長為（）A． B． C． D．4．（2024·甘肅·模擬預測）如圖1，在菱形中，，點在邊上，連接，動點從點出發(fā)，在菱形的邊上沿勻速運動，運動到點C時停止．在此過程中，的面積y隨著運動時間x的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為（

）A．2 B． C．4 D．5．（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖矩形中，，點為邊上的三等分點，動點從點出發(fā)，沿折線方向運動，到點停止運動．點的運動速度為每秒2個單位長度，設點運動時間為秒，的面積為．(1)請直接寫出關于的函數(shù)表達式并注明自變量的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質；(3)結合函數(shù)圖象，寫出時的取值范圍．6．（2024·北京延慶·模擬預測）如圖，已知，點D是邊上一點，且，點P是線段上的動點，過點P作的垂線，垂足為E，連接，設．通過分析發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)來刻畫y與x之向的關系，請將以下過程補充完整：(1)選點、畫圖、測量，得到x與y的幾組數(shù)值，數(shù)據(jù)如下：0123456

（說明：補全表格時相關數(shù)值保留一位小數(shù)）；(2)自變量x的取值范圍是_______；(3)在平面直角坐標系中，畫出此函數(shù)的圖象：(4)結合函數(shù)圖象解決問題：當時，的長約為________（結果精確到）．7．（2024·重慶開州·模擬預測）如圖，在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別為與邊的中點，動點P從點B出發(fā)，沿折線運動，到達點D后停止運動．連接，設點P的運動路程為x，的面積為y．(1)直接寫出y與x的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)在直角坐標系中畫出y與x的函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質；(3)結合函數(shù)圖象，當函數(shù)y滿足時，寫出x的取值范圍（誤差不超過0.2）．題型四：平面直角坐標系中的面積問題類型1一邊在坐標軸上或平行于坐標軸的三角形面積的計算當三角形的一邊在坐標軸上或平行于坐標軸時，可直接使用三角形的面積公式S=12AB??,其中AB是S△S△S△S△類型2三邊都不在坐標軸上或不平行于坐標軸的三角形面積的計算分割法SS補形法SSSS【中考母題學方法】【典例4】（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形各頂點的坐標分別是O0,0，，，，則四邊形的面積為（

）A．14 B．11 C．10 D．9【變式4-1】（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的邊在y軸上，點C在第一象限內，點B為的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點．若的面積是6，則k的值為．

【變式4-2】（2024·安徽·中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，格點（網(wǎng)格線的交點）A、B，C、D的坐標分別為，，，．

(1)以點D為旋轉中心，將旋轉得到，畫出；(2)直接寫出以B，，，C為頂點的四邊形的面積；(3)在所給的網(wǎng)格圖中確定一個格點E，使得射線平分，寫出點E的坐標．【變式4-3】（2024·四川眉山·二模）閱讀材料，完成下列問題：因為，所以……①，當且僅當時取等號．若、均為正數(shù)，根據(jù)①式：，得：……②

即……③（②式、③式中、均為正數(shù)，當且僅當時等號成立．）我們常常用這兩個不等式來解決一些最大（小）值問題．其中我們把叫做正數(shù)，的算術平均數(shù)，把叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)．(1)若，，求、的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)；(2)若，當為何值時代數(shù)式有最小值，并求出此時的最小值；(3)已知，，點為雙曲線（）上的任意一點，過作軸于點，軸于點，求四邊形面積的最小值和此時點的坐標．【變式4-4】列方程解決面積的存在性問題（2024·安徽宣城·模擬預測）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的表達式．(2)是二次函數(shù)的圖象位于軸上方的兩動點，且兩點關于對稱軸對稱，點在點的左側．過點作軸的垂線，分別交軸于點，當?shù)闹底畲髸r，求點的坐標．(3)在（2）的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點，使的面積等于矩形的面積的？若存在，請求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【變式4-5】難點動點問題（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形的邊在x軸上，點A在第一象限，的長度是一元二次方程的根，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線運動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動．設運動時間為t秒（），的面積為S．(1)求點A的坐標；(2)求S與t的函數(shù)關系式；(3)在（2）的條件下，當時，點M在y軸上，坐標平面內是否存在點N，使得以點O、P、M、N為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．【中考模擬即學即練】1.（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，的頂點均在格點上．(1)作出關于y軸對稱的，并直接寫出點的坐標；(2)連接，，求四邊形的面積．2．（2024·山西運城·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，的邊垂直于x軸，垂足為點B，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點C，交于點D，且．若點D的坐標為．(1)設點A的坐標為則點的坐標為；(2)①求反比例函數(shù)的表達式；②求經(jīng)過C，D兩點的直線所對應的