第1講概率基本問題1/36高考定位對于排列組合、二項式定理、古典概型、互斥事件及對立事件概率考查也會以選擇或填空形式命題，屬于中等以下題目.2/36真題感悟1.(·全國Ⅱ卷)如圖，小明從街道E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓能夠選擇最短路徑條數(shù)為(

)A.24 B.18 C.12 D.93/36解析從E點到F點最短路徑有6種，從F點到G點最短路徑有3種，所以從E點到G點最短路徑為6×3＝18種，故選B.答案

B4/362.(·全國Ⅰ卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色花中任選2種花種在一個花壇中，余下2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色花不在同一花壇概率是(

)5/36答案

C6/363.(·山東卷)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動兒童需轉(zhuǎn)動如圖所表示轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停頓轉(zhuǎn)動時，統(tǒng)計指針?biāo)竻^(qū)域中數(shù).設(shè)兩次統(tǒng)計數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則以下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項活動.(1)求小亮取得玩具概率；(2)請比較小亮取得水杯與取得飲料概率大小，并說明理由.7/36解(1)用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后統(tǒng)計數(shù)，則基本事件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng).因為S中元素個數(shù)是4×4＝16.所以基本事件總數(shù)n＝16.記“xy≤3”為事件A，則事件A包含基本事件數(shù)共5個，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，8/369/36考

點

整

合1.計數(shù)原理10/362.概率11/363.事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生(即A，B中有一個發(fā)生)概率，等于事件A，B分別發(fā)生概率和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B).4.在一次試驗中，對立事件A和

不會同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，所以有P(

)＝1－P(A).12/36熱點一排列、組合與二項式定理[微題型1]排列、組合問題【例1－1】(1)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不一樣班級，每個班最少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班級，則不一樣分法種數(shù)為(

)A.18 B.24C.30 D.3613/36(2)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目標(biāo)演出次序，則同類節(jié)目不相鄰排法種數(shù)是(

)A.72 B.120C.144 D.16814/36答案(1)C

(2)B15/36探究提升

解排列、組合應(yīng)用題，通常有以下路徑：(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素要求，再考慮其它元素.(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置要求，再考慮其它位置.(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求排列或組合數(shù).16/36[微題型2]考查二項式定理【例1－2】(1)(·全國Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5展開式中，x5y2系數(shù)為(

)A.10 B.20C.30 D.60(2)若(x2＋1)(x－2)11＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a13(x－1)13，則a1＋a2＋…＋a13＝________.17/36答案(1)C

(2)218/36探究提升

(1)在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點：①它表示二項展開式任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定；②對二項式(a－b)n展開式通項公式要尤其注意符號問題；③(x＋y)n展開式中每一項相當(dāng)于從n個因式(x＋y)中每個因式選擇x或y組成.(2)在二項式定理應(yīng)用中，“賦值思想”是一個主要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題經(jīng)典方法.要依據(jù)二項展開式結(jié)構(gòu)特征靈活賦值.19/36【訓(xùn)練1】(1)(a＋x)(1＋x)4展開式中x奇數(shù)次冪項系數(shù)之和為32，則a＝____________.(2)若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3＝________.解析(1)設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展開式中x奇數(shù)次冪系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，20/36答案(1)3

(2)1021/36熱點二古典概型與互斥、對立事件概率[微題型1]對于古典概型考查【例2－1】(1)(·深圳一調(diào))4名同學(xué)參加3項不一樣課外活動，若每名同學(xué)可自由選擇參加其中一項，則每項活動最少有一名同學(xué)參加概率為(

)22/36(2)從1，2，3，…，20這20個數(shù)中任取2個不一樣數(shù)，則這兩個數(shù)之和是3倍數(shù)概率為(

)23/36答案

(1)A

(2)C24/36探究提升

解答相關(guān)古典概型概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含基本事件數(shù)，這慣用到計數(shù)原理與排列、組合相關(guān)知識.25/36[微題型2]考查互斥事件與對立事件概率【例2－2】

某超市為了解用戶購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機搜集了在該超市購物100位用戶相關(guān)數(shù)據(jù)，以下表所表示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上用戶數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分種/人)11.522.5326/36已知這100位用戶中一次購物量超出8件用戶占55%.(1)確定x，y值，并求用戶一次購物結(jié)算時間X分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若某用戶抵達收銀臺時前面恰有2位用戶需結(jié)算，且各用戶結(jié)算相互獨立，求該用戶結(jié)算前等候時間不超出2.5分鐘概率.(注：將頻率視為概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市全部用戶一次購物結(jié)算時間組成一個總體，所搜集100位用戶一次購物結(jié)算時間可視為總體一個容量為100簡單隨機樣本，將頻率視為概率得27/3628/3629/36探究提升

解這類題關(guān)鍵是了解頻率與概率間關(guān)系，互斥事件是指不可能同時發(fā)生事件，要考慮全方面，預(yù)防遺漏.30/36【訓(xùn)練2】

如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地抵達火車站人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果以下：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1人數(shù)612181212選擇L2人數(shù)041616431/36(1)試預(yù)計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站概率；(2)分別求經(jīng)過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許時間內(nèi)趕到火車站，試經(jīng)過計算說明，他們應(yīng)怎樣選擇各自路徑.32/36解

(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站有12＋12＋16＋4＝44人.∴用頻率預(yù)計對應(yīng)概率為0.44.(2)選擇L1有60人，選擇L2有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1頻率0.10.20.30.20.2L2頻率00.10.40.40.133/36(3)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，∴乙應(yīng)選擇L2.34/361.求解排列、組合問題慣用解題方法(1)元素相鄰排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間排列問題——“插空法”；(3)元素有次序限制排列問題——“除序法”；