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文檔簡介
定積分的應用
定積分的微元法一、什么問題可以用定積分解決?二、如何應用定積分解決問題?
表示為一、什么問題可以用定積分解決?
1)所求量U是與區間[a,b]上的某分布f(x)2)U對區間[a,b]
具有可加性,即可通過“分割,取近似,求和,取極限”定積分定義
有關的一個整體量;二、如何應用定積分解決問題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部微分表達式第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的積分表達式這種分析方法成為微元法元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環,扇,片,殼等量的近似值精確值第二節
定積分在幾何學上的應用
一、平面圖形的面積設曲線與直及x軸所則
圍曲邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為線例1.
計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:由得交點
例2.
計算拋物線與直線圍圖形的面積.解:由得交點所為簡便計算,選取y作積分變量,則有
例3.計算曲線所圍圖形的面積A。解:由得由于上下邊界曲線形成交叉，所以面積需分塊計算二、已知平行截面面積函數的立體體積設所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),則對應于小區間的體積元素為因此所求立體體積為
上連續,特別,當考慮連續曲線段繞x軸旋轉一周圍成的立體體積時,有當考慮連續曲線段繞y軸旋轉一周圍成的立體體積時,有
例4.
計算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉而轉而成的橢球體的體積.解:則(利用對稱性)
例5.
解:，x軸圍成圖形，求該圖形繞
x軸、y軸旋轉一周后立體體積例6.
一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成
角,解:如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積.
思考:可否選擇y作積分變量?此時截面面積函數是什么?如何用定積分表示體積?提示:
定積分在經濟學上的應用
1.已知產量Q的變化率，求總產量常取，且，t1到t2間隔內的產量為2.已知成本函數的邊際成本，求總成本其中稱為固定成本3.已知收益函數的邊際收益，求總收益例1.解:求從t=2到t=4這兩小時的產量。（單位/小時）設某產品在t時刻總產量的變化率為
設產量函數為，則是的一個原函數（單位）例2.（1）總成本函數和總收益函數；解:(1)
設某產品的邊際成本為萬元/臺，其中x為產量，固定成本萬元，邊際收益萬元/臺，求：（2）獲得最大利潤時的產量；（3）從最大利潤時的產量又生產了4臺，總利潤的變化
(2)當時，解得的產量利潤
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