高三數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：高考全部內容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若函數的最小正周期為，則（）A. B.3 C. D.3.已知向量，．若，則（）A. B. C. D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.5.已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，則（）A.8 B.9 C.7 D.66.定義．若等比數列滿足，，則（）A.5 B.4 C. D.107.已知，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若的內切圓的半徑為，則的面積為（）A. B. C. D.8.已知A，B是球O的球面上兩點，且，C是該球面上的動點，D是該球面與平面交線上的動點，若四面體體積的最大值為，則球O的體積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9已知復數，，則（）A.虛部為1 B.為純虛數C. D.在復平面內對應的點位于第一象限10.已知等差數列的前項和，則（）A. B.是遞增數列C.數列的前9項和為58 D.11.已知定義在上的函數滿足，，且當時，，則下列結論正確的是（）A.B.在上單調遞增C.函數的零點從小到大依次記為，若，則的取值范圍為D.若函數在上恰有4個零點，則的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數，則曲線在點處的切線方程為__________.13.已知，，則______．14.現有高中數學人教A版必修第一冊、必修第二冊、選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊、選擇性必修第三冊教材各1本．若把這5本教材從左到右放置書架的某一層內（該層無其他書籍），要求選擇性必修第三冊不放最左端，必修第一冊不放最右端，選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊不相鄰，則這5本教材放置順序共有______種．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設，，分別為三個內角，，的對邊，且．（1）求角的大小；（2）已知，，求的面積．16.如圖，三棱錐中，平面平面，，，．（1）證明：．（2）求平面與平面夾角的余弦值．17.為了解某地小學生對中國古代四大名著內容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個經典故事，進行尋找經典故事出處的答題游戲（不同的經典故事不能搭配同一本名著）.規定：每答對1個經典故事的出處，可獲得10分.（1）小王同學的答題情況如圖所示，①求小王同學的得分；②老師指出了小王同學答錯的試題，并要求他重新作答錯誤試題，求小王同學避開此次錯誤答案后隨機作答并全部答對的概率（2）小李同學將這4個經典故事與四大名著隨機地搭配進行答題，記他得分為X，求X的分布列與期望.18.已知雙曲線的離心率為，直線與交于，兩點．點在上，且直線與軸垂直．（1）求的標準方程．（2）試問直線是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．（3）設直線與軸交于點，，求面積的最大值．19.已知是定義在上的函數，若對任意，恒成立，則稱為上的非負函數.（1）判斷是否為上的非負函數，并說明理由.（2）已知為正整數，為上的非負函數，記的最大值為，證明：為等差數列.（3）已知且，函數，若為上非負函數，證明：.

高三數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：高考全部內容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據函數解析式求得定義域，結合集合交集，可得答案.【詳解】由，則.故選：C.2.若函數的最小正周期為，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】分析】根據最小正周期得到方程，求出.【詳解】因為的最小正周期為，所以，得.故選：D3.已知向量，．若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量平行的坐標表示求得，再由模長公式即可求解；【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據對數函數與指數函數的單調性判斷．【詳解】因為，，，所以，故選：D．5.已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，則（）A.8 B.9 C.7 D.6【答案】D【解析】【分析】求出點M橫坐標，根據焦半徑公式計算即可．【詳解】拋物線中，，點在拋物線上，則，，所以到焦點的距離為，故選：D．6.定義．若等比數列滿足，，則（）A.5 B.4 C. D.10【答案】A【解析】【分析】結合定義，由等比數列的性質即可求解；【詳解】可得：所以，又，所以，故選：A7.已知，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若的內切圓的半徑為，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓定義可得，利用三角形面積公式即可求.【詳解】由可知，因為，分別為橢圓的左、右焦點，且，兩點在橢圓上，所以，，兩式相加得，即，又因為的內切圓的半徑為，所以.故選：A8.已知A，B是球O的球面上兩點，且，C是該球面上的動點，D是該球面與平面交線上的動點，若四面體體積的最大值為，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合圖形分析點的位置，根據體積求出球的半徑，然后由球的體積公式可得.【詳解】設球的半徑為，記的中點為，則，易知，當點在的延長線上，且棱錐的高等于求的半徑時，棱錐體積最大.因為，所以，.當點在的延長線上時，的面積最大，為，四面體體積的最大值為，解得，從而球的體積為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，，則（）A.的虛部為1 B.為純虛數C. D.在復平面內對應的點位于第一象限【答案】BCD【解析】【分析】化簡，再由復數的定義判斷A，計算后判斷BCD．【詳解】，虛部為2，A錯；，是純虛數，B正確；，C正確；，對應點坐標為，在第一象限，D正確，故選：BCD．10.已知等差數列的前項和，則（）A. B.是遞增數列C.數列的前9項和為58 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據數列末項與求和公式的關系，結合等差數列的定義，可得通項，代入逐項計算，可得答案.【詳解】由題意，當時，，當時，，可得等差數列的公差，由，可得，即，故A錯誤；由，則，故B正確；由，則，令，解得，所以，故C正確；由，故D正確.故選：BCD.11.已知定義在上的函數滿足，，且當時，，則下列結論正確的是（）A.B.在上單調遞增C.函數的零點從小到大依次記為，若，則的取值范圍為D.若函數在上恰有4個零點，則的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】直接代入即可求解A，根據，作出函數的圖象，即可結合選項逐一求解.【詳解】由題可知，，A正確.由，可作出的部分圖象，可知在上單調遞增，在上單調遞減，B不正確.由，得，根據函數的對稱性可知，當時，可知，是方程的兩個不同的根，且，，根據的圖象可知，a的取值范圍為，C正確.當函數在上恰有4個零點時，根據的圖象可知，a的取值范圍為，D不正確.故選：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】先根據函數解析式求出切點坐標，繼續對函數求導，切點處的導數值就是切線的斜率，最后根據點斜式寫出直線方程.【詳解】因為，所以，所以，則，從而曲線在點處的切線方程為，整理得.13.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】利用正弦的二倍角公式以及正切的和角公式，可得答案.【詳解】由，解得，則.故答案為：.14.現有高中數學人教A版必修第一冊、必修第二冊、選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊、選擇性必修第三冊教材各1本．若把這5本教材從左到右放置書架的某一層內（該層無其他書籍），要求選擇性必修第三冊不放最左端，必修第一冊不放最右端，選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊不相鄰，則這5本教材放置順序共有______種．【答案】【解析】【分析】利用正難則反的解題思路，根據容斥原理求得不符合題意的情況數，可得答案.【詳解】由題意，設高中數學人教A版必修第一冊、必修第二冊、選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊、選擇性必修第三冊教材分別為，五本書隨機排列的情況數為；若放在最左端，則情況數為，若放在最右端，則情況數為，若相鄰，則情況數為，若放在最左端，且放在最右端，則情況數為，若放在最左端，且相鄰，則情況數為，若放在最右端，且相鄰，則情況數為，若放在最左端，放在最右端，相鄰，則情況數為，不符合題意的情況數為，符合題意的情況數為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設，，分別為三個內角，，的對邊，且．（1）求角的大??；（2）已知，，求的面積．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理、正弦定理化邊為角，再由兩角和的正弦公式、誘導公式求解；（2）由余弦定理求得，再由面積公式計算．【小問1詳解】因為，所以，即，由正弦定理得，中，所以，又，所以；【小問2詳解】由余弦定理得，即，解得（負值舍去），所以．16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．（1）證明：．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質定理證明平面后可得證線線垂直；（2）取中點，連接，取中點，連接，再取中點，連接，證明是二面角的平面角，然后求出其余弦值．【小問1詳解】因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因為平面，所以；【小問2詳解】取中點，連接，因為，所以，取中點，連接，由得，再取中點，連接，則且，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，，所以，而，所以平面，因為平面，所以，所以是二面角的平面角，由，且得，，，所以，所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．17.為了解某地小學生對中國古代四大名著內容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個經典故事，進行尋找經典故事出處的答題游戲（不同的經典故事不能搭配同一本名著）.規定：每答對1個經典故事的出處，可獲得10分.（1）小王同學的答題情況如圖所示，①求小王同學的得分；②老師指出了小王同學答錯的試題，并要求他重新作答錯誤試題，求小王同學避開此次錯誤答案后隨機作答并全部答對的概率（2）小李同學將這4個經典故事與四大名著隨機地搭配進行答題，記他的得分為X，求X的分布列與期望.【答案】（1）①10分；②.（2）分布列見解析，10【解析】【分析】（1）①由圖易得小王同學的得分；②針對錯誤試題進行分析后，列出所有可能的2種情況，故可得小王全部答對的概率；（2）由題意，所有取值可能為0，10，20，40，分別求出對應的概率，列出分布列，求出期望即可.【小問1詳解】①由圖可知，小王同學答對1道試題，故他的得分為10分.②經過老師的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”對應的出處錯誤，針對錯誤試題進行分析后，給出的答案可能為{（草船借箭，三國演義），（黛玉葬花，紅樓夢），（武松打虎，水滸傳）}，{（草船借箭，水滸傳），（黛玉葬花，三國演義），（武松打虎，紅樓夢）}，共2種情況，其中錯誤試題全部答對的情況為{（草船借箭，三國演義），（黛玉葬花，紅樓夢），（武松打虎，水滸傳）}，故所求的概率為.【小問2詳解】由題可知，的所有取值可能為0，10，20，40.，，，\\.X分布列為：X0102040P故.18.已知雙曲線的離心率為，直線與交于，兩點．點在上，且直線與軸垂直．（1）求的標準方程．（2）試問直線是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．（3）設直線與軸交于點，，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）過定點；（3）【解析】【分析】（1）由離心率求得后得雙曲線標準方程；（2）設設，直線方程代入雙曲線方程后應用韋達定理得，由已知得，寫出直線方程，并令，代入，及可求得，從而得定點坐標；（3）利用直線過定點，因此有，代入韋達定理的結論并利用函數單調性可得面積范圍．【小問1詳解】由已知，解得（負值舍去），所以雙曲線的標準方程是；【小問2詳解】設，由得，且，，所以，，因為與軸垂直，且也在雙曲線上，所以，直線的方程為，又，，，所以直線的方程化為，令，得，所以，，所以直線過定點；【小問3詳解】在中令得，所以，，設，設，則，因為，所以，，,所以，在上是減函數，，所以的最大值是．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中直線過定點問題，設動直線與圓錐曲線的交點坐標為，直線方程代入曲線方程后應用韋達定理得，利用這兩個交點的坐標寫出要求過定點的直線的方程，可根據直線的變化確定定點的位置，然后代入韋達定理的結論及利用定點所在