PAGEPAGE1試驗六驗證機械能守恒定律1.了解驗證物體機械能守恒的試驗目的、原理、器材、步驟、數據處理、誤差分析；2.駕馭利用自由落體運動驗證物體機械能守恒。【試驗目的】利用自由落體運動驗證只有重力作用下的物體機械能守恒．【試驗原理】1．在只有重力做功的自由落體運動中，物體的重力勢能和動能相互轉化，但總的機械能保持不變．若物體某時刻瞬時速度為v，下落高度為h，則重力勢能的削減量為mgh，動能的增加量為eq\f(1,2)mv2，看它們在試驗誤差允許的范圍內是否相等，若相等則驗證了機械能守恒定律．2．計算打第n個點速度的方法：測出第n個點與相鄰前后點間的距離xn和xn＋1，由公式vn＝eq\f(xn＋xn＋1,2T)或vn＝eq\f(hn＋1－hn－1,2T)算出，如圖所示．【試驗器材】鐵架臺(含鐵夾)，打點計時器，學生電源，紙帶，復寫紙，導線，毫米刻度尺，重物(帶紙帶夾)．【試驗步驟】1．安裝置：按圖將檢查、調整好的打點計時器豎直固定在鐵架臺上，接好電路．2．打紙帶：將紙帶的一端用夾子固定在重物上，另一端穿過打點計時器的限位孔用手提著紙帶使重物靜止在靠近打點計時器的地方．先接通電源，后松開紙帶，讓重物帶著紙帶自由下落．更換紙帶重復做3～5次試驗．3．選紙帶：分兩種狀況說明(1)用eq\f(1,2)mveq\o\al(2,n)＝mghn驗證時，應選點跡清楚，且1、2兩點間距離小于或接近2mm的紙帶．若1、2兩點間的距離大于2mm，這是由于先釋放紙帶，后接通電源造成的．這樣，第1個點就不是運動的起始點了，這樣的紙帶不能選．(2)用eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＝mgΔh驗證時，由于重力勢能的相對性，處理紙帶時，選擇適當的點為基準點，這樣紙帶上打出的第1、2兩點間的距離是否為2mm就無關緊要了，所以只要后面的點跡清楚就可選用．【數據處理】方法一：利用起始點和第n點計算．代入ghn和eq\f(1,2)veq\o\al(2,n)，假如在試驗誤差允許的狀況下，ghn＝eq\f(1,2)veq\o\al(2,n)，則驗證了機械能守恒定律．方法二：任取兩點計算．(1)任取兩點A、B，測出hAB，算出ghAB；(2)算出eq\f(1,2)veq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)veq\o\al(2,A)的值；(3)在試驗誤差允許的狀況下，若ghAB＝eq\f(1,2)veq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)veq\o\al(2,A)，則驗證了機械能守恒定律．方法三：圖象法．從紙帶上選取多個點，測量從第一點到其余各點的下落高度h，并計算各點速度的二次方v2，然后以eq\f(1,2)v2為縱軸，以h為橫軸，依據試驗數據繪出eq\f(1,2)v2－h圖線．若在誤差允許的范圍內圖象是一條過原點且斜率為g的直線，則驗證了機械能守恒定律．【誤差分析】1．本試驗中因重物和紙帶在下落過程中要克服各種阻力(空氣阻力、打點計時器阻力)做功，故動能的增加量ΔEk稍小于重力勢能的削減量ΔEp，即ΔEk<ΔEp，這屬于系統誤差．改進的方法是調整器材的安裝，盡可能地減小阻力．2．本試驗的另一個誤差來源于長度的測量，屬偶然誤差．減小誤差的方法是測下落距離時都從0點量起，一次將各打點對應的下落高度測量完，或者多次測量取平均值來減小誤差．【留意事項】1．安裝打點計時器時要豎直架穩，使其兩限位孔在同一豎直線上以削減摩擦阻力．2．重物應選用質量大、體積小、密度大的材料．3．應先接通電源，讓打點計時器正常工作后，再松開紙帶讓重物下落．4．紙帶長度應選用60cm左右為宜，應選用點跡清楚的紙帶進行測量．5．速度不能用vn＝gtn或vn＝eq\r(2ghn)計算，因為只要認為加速度為g，機械能當然守恒，即相當于用機械能守恒定律驗證機械能守恒定律，況且用vn＝gtn計算出的速度比實際值大，會得出機械能增加的結論，而因為摩擦阻力的影響，機械能應當減小，所以速度應從紙帶上干脆測量計算．同樣的道理，重物下落的高度h，也只能用刻度尺干脆測量，而不能用hn＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,n)或hn＝eq\f(v\o\al(2,n),2g)計算得到．【試驗改進】1．物體的速度可以用光電計時器測量，以減小由于測量和計算帶來的誤差．2．整個試驗裝置可以放在真空環境中操作，如用牛頓管和頻閃照相進行驗證，以消退由于空氣阻力作用而帶來的誤差．3．可以利用氣墊導軌來設計該試驗，以減小由于摩擦帶來的誤差．4．為防止重物被釋放時的初速度不為零，可將裝置改成如圖所示形式，剪斷紙帶最上端，讓重物從靜止起先下落．考點一試驗原理和試驗步驟【典例1】(2024?四川石室中學模擬)某課外活動小組用豎直上拋運動驗證機械能守恒定律．(1)某同學用20分度游標卡尺測量小球的直徑，讀數如圖甲所示，小球直徑為mm.(2)圖乙所示彈射裝置將小球豎直向上拋出，先后通過光電門A、B，計時裝置測出小球通過A的時間為2.55×10－3s，小球通過B的時間為5.15×10－3s，由此可知小球通過光電門A、B時的速度分別為vA、vB，其中vA＝m/s(保留兩位有效數字)．(3)用刻度尺測出光電門A、B間的距離h，已知當地的重力加速度為g，只需比較和是否相等，就可以驗證機械能是否守恒(用題目中給出的物理量符號表示)．【答案】(1)10.20(2)4.0(3)gheq\f(v\o\al(2,A),2)－eq\f(v\o\al(2,B),2)【解析】(1)游標卡尺的讀數為d＝10mm＋4×eq\f(1,20)mm＝10.20mm.(2)由于光電門特別窄，所以小球通過光電門的平均速度可近似等于通過其的瞬時速度，故有vA＝eq\f(d,tA)＝eq\f(10.20×10－3m,2.55×10－3s)＝4.0m/s.(3)假如機械能守恒，則有－mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，即－gh＝eq\f(1,2)veq\o\al(2,B)－eq\f(1,2)veq\o\al(2,A)，所以只須要比較gh和eq\f(1,2)veq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)veq\o\al(2,B)是否相等．【舉一反三】(2024·北京卷·21節選)利用如圖裝置做“驗證機械能守恒定律”的試驗．(1)為驗證機械能是否守恒，須要比較重物下落過程中隨意兩點間的________.A．動能變更量與勢能變更量B．速度變更量和勢能變更量C．速度變更量和高度變更量(2)除帶夾子的重物、紙帶、鐵架臺(含鐵夾)、電磁打點計時器、導線及開關外，在下列器材中，還必需運用的兩種器材是________.A．溝通電源B．刻度尺C．天平(含砝碼)(3)試驗中，先接通電源，再釋放重物，得到如圖所示的一條紙帶．在紙帶上選取三個連續打出的點A、B、C，測得它們到起始點O的距離分別為hA、hB、hC．已知當地重力加速度為g，打點計時器打點的周期為T.設重物的質量為m.從打O點到打B點的過程中，重物的重力勢能變更量ΔEP＝________，動能變更量ΔEk＝________.(4)大多數學生的試驗結果顯示，重力勢能的削減量大于動能的增加量，緣由是________.A．利用公式v＝gt計算重物速度B．利用公式v＝eq\r(2gh)計算重物速度C．存在空氣阻力和摩擦阻力的影響D．沒有采納多次試驗取平均值的方法(5)某同學想用下述方法探討機械能是否守恒：在紙帶上選取多個計數點，測量它們到起始點O的距離h，計算對應計數點的重物速度v，描繪v2－h圖象，并做如下推斷：若圖象是一條過原點的直線，則重物下落過程中機械能守恒，請你分析論證該同學的推斷是否正確．【答案】(1)A(2)AB(3)－mghBeq\f(1,2)m(eq\f(hC－hA,2T))2(4)C(5)不正確，理由見解析【解析】(1)重物下落過程中重力勢能削減，動能增加，故該試驗須要比較重物下落過程中隨意兩點間的動能變更量與勢能變更量在誤差允許范圍內是否相等，A項正確．(2)電磁打點計時器運用的是溝通電源，故選A．須要測紙帶上兩點間的距離，還須要刻度尺，選B．依據mgΔh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)可將等式兩邊的質量抵消，不須要天平，不選C．(3)重物的重力勢能變更量為ΔEP＝－mghB，動能的變更量ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)m(eq\f(hC－hA,2T))2.(4)重物重力勢能的削減量大于動能的增加量，是因為重物下落過程中存在空氣阻力和摩擦阻力的影響，C正確．(5)該同學的推斷依據不正確，在重物下落h的過程中，若阻力Ff恒定，依據mgh－Ffh＝eq\f(1,2)mv2－0，則v2＝2(g－eq\f(Ff,m))h可知，v2－h圖象就是過原點的一條直線．要想通過v2－h圖象來驗證機械能是否守恒，還必需看圖象的斜率是否接近2g.【變式1】(2024?云南師大附中模擬)如圖甲所示為驗證機械能守恒定律的試驗裝置示意圖．現有的器材為：帶鐵夾的鐵架臺、打點計時器、紙帶、帶鐵夾的重錘、天平．回答下列問題．甲(1)為完成此試驗，除了所給的器材，還須要的器材是．A．刻度尺B．秒表C．多用電表D．溝通電源(2)下面列舉了該試驗的幾個操作步驟中，其中操作不當的步驟是．A．用天平測出重錘的質量B．依據圖示的裝置安裝器件C．先釋放紙帶，后接通電源D．測量紙帶上某些點間的距離(3)利用這個裝置也可以測量重錘下落的加速度a的數值．依據打出的紙帶，選取紙帶上連續的五個點A、B、C、D、E，測出各點之間的距離如圖乙所示．運用溝通電的頻率為f，則計算重錘下落的加速度的表達式a＝(用x1、x2、x3、x4及f表示)．乙【答案】(1)AD(2)AC(3)eq\f(x3＋x4－x1－x2f2,4)【解析】(1)為完成此試驗，除了所給的器材外，測量須要刻度尺、溝通電源．(2)該試驗不須要測量重錘的質量，應先接通電源，后釋放紙帶，故選A、C.(3)由Δx＝aT2得：a＝eq\f(x3＋x4－x1－x2,4T2)＝eq\f(x3＋x4－x1－x2f2,4).考點二數據處理及誤差分析【典例2】(2024·天津卷)如圖所示，打點計時器固定在鐵架臺上，使重物帶動紙帶從靜止起先自由下落，利用此裝置驗證機械能守恒定律．(1)對于該試驗，下列操作中對減小試驗誤差有利的是________.A．重物選用質量和密度較大的金屬錘B．兩限位孔在同一豎直面內上下對正C．精確測量出重物的質量D．用手托穩重物，接通電源后，撤手釋放重物(2)某試驗小組利用上述裝置將打點計時器接到50Hz的溝通電源上，按正確操作得到了一條完整的紙帶，由于紙帶較長，圖中有部分未畫出，如圖所示．紙帶上各點是打點計時器打出的計時點，其中O點為紙帶上打出的第一個點．重物下落高度應從紙帶上計時點間的距離干脆測出，利用下列測量值能完成驗證機械能守恒定律的選項有________________.A．OA、AD和EG的長度B．OC、BC和CD的長度C．BD、CF和EG的長度D．AC、BD和EG的長度【答案】(1)AB(2)BC【解析】(1)重物選用質量和密度較大的金屬錘，減小空氣阻力，以減小誤差，故A正確；兩限位孔在同一豎直面內上下對正，減小紙帶和打點計時器之間的阻力，以減小誤差，故B正確；驗證機械能守恒定律的原理是：mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，重物質量可以消掉，無需精確測量出重物的質量，故C錯誤；用手拉穩紙帶，而不是托住重物，接通電源后，撤手釋放紙帶，故D錯誤．(2)由EG的長度可求出打F點的速度v2，打O點的速度v1＝0，但求不出OF之間的距離h，故A錯誤；由BC和CD的長度可求出打C點的速度v2，打O點的速度v1＝0，有OC之間的距離h，可以來驗證機械能守恒定律，故B正確；由BD和EG的長度可分別求出打C點的速度v1和打F點的速度v2，有CF之間的距離h，可以來驗證機械能守恒定律，故C正確；AC、BD和EG的長度可分別求出打B、C、F三點的速度，但BC、CF、BF之間的距離都無法求出，無法驗證機械能守恒定律，故D錯誤．【舉一反三】(2024?廣東執信中學模擬)(1)某同學想利用圖甲所示裝置，驗證滑塊與鉤碼組成的系統機械能守恒，該同學認為只要將摩擦力平衡掉就可以了．你認為該同學的想法(填“正確”或“不正確”)，理由是：.(2)另一同學用一傾斜的固定氣墊導軌來驗證機械能守恒定律．如圖乙所示，質量為m1的滑塊(帶遮光條)放在A處，由跨過輕質定滑輪的細繩與質量為m2的鉤碼相連，導軌B處有一光電門，用L表示遮光條的寬度，x表示A、B兩點間的距離，θ表示氣墊導軌的傾角，g表示當地重力加速度．①氣泵正常工作后，將滑塊由A點靜止釋放，運動至B，測出遮光條經過光電門的時間t，該過程滑塊與鉤碼組成的系統重力勢能的減小量表示為，動能的增加量表示為；若系統機械能守恒，則eq\f(1,t2)與x的關系式為eq\f(1,t2)＝(用題中已知量表示)．②試驗時測得m1＝475g，m2＝55g，遮光條寬度L＝4mm，sinθ＝0.1，變更光電門的位置，滑塊每次均從A點釋放，測量相應的x與t的值，以eq\f(1,t2)為縱軸，x為橫軸，作出的圖象如圖丙所示，則依據圖象可求得重力加速度g0為m/s2(計算結果保留兩位有效數字)，若g0與當地重力加速度g近似相等，則可驗證系統機械能守恒．【答案】(1)不正確有摩擦力做功，不滿意機械能守恒的條件(2)①(m2－m1sinθ)gxeq\f(1,2)(m1＋m2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,t)))2eq\f(2m2－m1sinθgx,m1＋m2L2)②9.4【解析】(1)機械能守恒的條件只有重力或彈力做功，平衡摩擦力時，是用重力的分力等于摩擦力，但此時系統受到摩擦力，故摩擦力對系統做功，機械能不守恒；故該同學的想法不正確；(2)①滑塊由A到B的過程中，系統重力勢能的減小量為：ΔEp＝m2gx－m1gxsinθ；經過光電門時的速度為：v＝eq\f(L,t)；則動能的增加量為：ΔEk＝eq\f(1,2)(m1＋m2)v2＝eq\f(1,2)(m1＋m2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,t)))2若機械能守恒，則有：ΔEp＝ΔEk聯立解得：eq\f(1,t2)＝eq\f(2m2－m1sinθgx,m1＋m2L2)；②由上述公式可得，圖象中的斜率表示eq\f(2m2－m1sinθg,m1＋m2L2)＝k；代入數據解得：g＝9.4m/s2.【變式2】(2024?湖北荊州中學模擬)(1)關于“驗證機械能守恒定律”的試驗中，以下說法中正確的是．A．試驗時須要稱出重物的質量B．試驗中摩擦是不行避開的，因此紙帶越短越好，因為紙帶越短，克服摩擦做的功就少，誤差就小C．紙帶上打下的第1、2點間距超過2mm，則無論怎樣處理數據，試驗誤差都會很大D．試驗處理數據時，可干脆利用打下的實際點跡，而不必采納“計數點”的方法(2)若正確的操作完成試驗，正確的選出紙帶進行測量，量得連續三點A、B、C到第一個點O的距離如圖所示(相鄰計數點時間間隔為0.02s)，當地重力加速度的值為9.8m/s2，那么(結果均保留兩位有效數字)．①紙帶的端與重物相連．②打下計數點B時，重物的速度vB＝m/s.③在從起點O到打下計數點B的過程中，測得重物重力勢能的削減量ΔEp略大于動能的增加量ΔEk，這是因為．【答案】(1)D(2)①左②0.98③下落過程中存在摩擦阻力和空氣阻力的影響【解析】(1)試驗時動能的增加量與重力勢能的削減量，均含有質量，因此不需稱出重物的質量，故A錯誤；試驗中摩擦是不行避開的，因此紙帶短點好，因為紙帶越短，克服摩擦力做的功就越少，但要通過測量長度來求出變更的高度與瞬時速度，因此太短導致誤差就越大，故B錯誤；若紙帶上第1、2兩點間距大于2mm，可在后面選取兩個點用表達式mg·Δh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)依舊可以來驗證機械能守恒定律，故C錯誤；處理打點的紙帶時，可以干脆利用打點計時器打出的實際點跡，而不必采納“計數點”的方法，若采納計數點，是使測量長度變長，從而減小測量長度的誤差，故D正確．(2)①重物在起先下落時速度較慢，在紙帶上打的點較密，越往后，物體下落得越快，紙帶上的點越稀，所以紙帶上靠近重物的一端的點較密，因此紙帶的左端與重物相連．②依據勻變速直線運動中間時刻的速度等于該過程的平均速度有：vB＝eq\f(xAC,2T)＝eq\f(7.06－3.14×10－2,2×0.02)m/s＝0.98m/s.③ΔEp＞ΔEk說明有部分重力勢能變成了其他能，是因為下落過程中存在摩擦阻力和空氣阻力的影響．考點三試驗的改進與創新【典例3】(2024?河南省試驗中學模擬)如圖甲所示，在“驗證機械能守恒定律”的試驗中，小明同學利用傳感器設計試驗：將質量為m、直徑為d的金屬小球在肯定高度h由靜止釋放，小球正下方固定一臺紅外線計時器，能自動記錄小球攔住紅外線的時間t，變更小球下落高度h，進行多次重復試驗．此方案驗證機械能守恒定律便利快捷．(1)用螺旋測微器測小球的直徑如圖乙所示，則小球的直徑d＝mm；(2)為直觀推斷小球下落過程中機械能是否守恒，應作下列哪一個圖象；A．h－t圖象 B．h－eq\f(1,t)圖象C．h－t2圖象 D．h－eq\f(1,t2)圖象(3)若(2)問中的圖象斜率為k，則當地的重力加速度為(用“d”“k”表示，忽視空氣阻力)．【答案】(1)17.806(2)D(3)eq\f(d2,2k)【解析】(1)螺旋測微器的固定刻度為17.5mm，可動刻度為30.5×0.01mm＝0.305mm，所以最終讀數為17.5mm＋0.305mm＝17.805mm.(2)已知經過光電門時的時間小球的直徑；則可以由平均速度表示經過光電門時的速度；所以V＝eq\f(d,t)，若減小的重力勢能等于增加的動能時，可以認為機械能守恒；mgh＝eq\f(1,2)mv2，整理得h＝eq\f(d2,2g)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2，為直觀推斷小球下落過程中機械能是否守恒，所以應作h－eq\f(1,t2)圖象．故選D.(3)依據函數h＝eq\f(d2,2g)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2可知正比例函數的斜率k＝eq\f(d2,2g)，故重力加速度g＝eq\f(d2,2k).【舉一反三】(2024?湖南湘潭一中模擬)如圖甲所示，一位同學利用光電計時器等器材做“驗證機械能守恒定律”的試驗．有始終徑為d、質量為m的金屬小球由A處由靜止釋放，下落過程中能通過A處正下方、固定于B處的光電門，測得A、B間的距離為H(H?d)，光電計時器記錄下小球通過光電門的時間為t，當地的重力加速度為g.則：(1)如圖乙所示，用游標卡尺測得小球的直徑d＝mm.(2)小球經過光電門B時的速度表達式為．(3)多次變更高度H，重復上述試驗，作出eq\f(1,t2)隨H的變更圖象如圖丙所示，當圖中已知量t0、H0和重力加速度g及小球的直徑d滿意表達式時，可推斷小球下落過程中機械能守恒．(4)試驗中發覺動能增加量ΔEk總是稍小于重力勢能削減量ΔEp，增加下落高度后，則ΔEp－ΔEk將(填“增加”“減小”或“不變”)．【答案】(1)7.25mm(2)eq\f(d,t)(3)gH0＝eq\f(d2,2t\o\al(2,0))(4)增大【解析】(1)由圖可知，主尺刻度為7mm，游標對齊的刻度為5，故讀數為：7mm＋5×0.05mm＝7.25mm.(2)已知經過光電門時的時間和小球的直徑；則可以由平均速度表示經過光電門時的速度，故v＝eq\f(d,t).(3)若減小的重力勢能等于增加的動能時，可以認為機械能守恒：mgH＝eq\f(1,2)mv2，解得：gH0＝eq\f(d2,2t\o\al(2,0))(4)由于該過程中有阻力做功，而高度越高，阻力做功越多．故增加下落