湖北省新八校協作體2024-2025學年高三下學期2月聯考數學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]設集合，，則()A. B. C. D.1．答案：C解析：因，，故，故選：C2．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]已知復數在復平面內所對應的點位于第一象限，且，則復數在復平面內所對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．答案：C解析：，故，設，由于復數在復平面內所對應的點位于第一象限，故，，，故，，因此在復平面內所對應的點位于第三象限，故選：C3．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]函數，則對任意實數x，下列結論正確的是()A.是偶函數，且在R上單調遞增 B.是奇函數，且在R上單調遞增C.是奇函數，且在R上單調遞減 D.是偶函數，且在R上單調遞減3．答案：B解析：的定義域為R，而，則，故是奇函數，由于，函數單調遞增，故在R上單調遞增，故選：B4．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]已知向量，，且，則的面積為()A. B. C. D.4．答案：A解析：因為，得到，化簡得，所以，又，，所以，得到，所以，則，，所以的面積為，故選：A.5．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]已知，，則()A. B. C. D.5．答案：A解析：因為，又，所以，得到，又，所以，故選：A.6．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，則該四棱錐的體積為()A.1 B.2 C. D.6．答案：B解析：如圖：取，的中點E，F，連接，，，則，，且，平面，故平面，平面，故平面平面，平面平面，過P作的垂線，垂足為O，即，平面，故平面，由題意可知，，，由余弦定理可得，，，故，所以四棱錐的高為1，則四棱錐的體積為.故選：B7．[2025春·高三·安徽師范大學附中·開學考試]費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數學中可以推導出圓錐曲線的一些光學性質.例如，點P為雙曲線，為焦點）上一點，點P處的切線平分.已知雙曲線，O為坐標原點，點處的切線為直線l，過左焦點作直線l的垂線，垂足為M，若，則雙曲線C的離心率為()A.2 B. C. D.7．答案：B解析：如圖，延長交的延長線于點N,由于M是的角平分線上的一點，且,所以點M為的點，所以,又O為的中點，所以，故，故，即，將點代入可得，解得，故離心率為，故選：B8．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]已知函數的定義域為R，且對任意，滿足，且則下列結論一定正確的是()A. B. C. D.8．答案：D解析：當時，因為，故，，…，，由累加法可得，，故，故AB錯誤，由，，…，，所以，故，所以C錯誤，D正確，故選：D二、多項選擇題9．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]已知函數，若將的圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，則下列說法正確的是()A.B.的圖象關于點對稱C.的圖象關于直線對稱D.的圖象與的圖象在內有4個交點9．答案：BD解析：的圖象向右平移個單位后，可得，進而可得，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故不是的對稱軸，故C錯誤，對于D，分別作出與在內的圖象，可知有4個交點，故D正確，故選：BD10．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]函數叫自然指數函數，是一種常見的超越函數，它常與其它函數進行運算產生新的函數.已知函數，則下列結論正確的是()A.函數在上單調遞減B.函數既有極大值，也有極小值C.方程有2個不同的實數解D.在定義域內，恒有10．答案：BCD解析：易知的定義域為，，對于選項A，由，得到，且，所以減區間為，，故選項A錯誤，對于選項B，由，得到或，當時，，當時，，當，，當時，，所以的極大值為，極小值為，故選項B正確，對于選項C，由選項B知，的增區間為，，減區間為，，當時，，且時，，當x從左邊時，，當x從右邊時，，且時，，當時，，圖象如圖所示，由圖知，只有一個零點，且，令，由，得到，所以，令，由圖知，與有且僅有兩個交點，所以選項C正確，對于選項D，令，易知的圖象關于點中心對稱，所以，即，得到，故選項D正確，故選：BCD.11．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]二元一次方程：可以表示平面內所有的直線，二元二次方程可以表示平面內所有的二次曲線.下列對二元二次方程所表示曲線的性質描述正確有()A.曲線關于直線對稱B.曲線上點的縱坐標的范圍是C.存在，使與曲線相切D.過的直線與曲線交于A，B兩點，的最小值為211．答案：ABD解析：對于A，將x換成y，將y換成x，方程不變，因此方程所表示的曲線關于直線對稱，A正確，對于B，，故，故，故B正確，對于C，聯立，化簡得，即，故，該方程有唯一的實數根，故曲線與直線有唯一的交點，因此無論m為何值，與曲線均不相切，故C錯誤，對于D，由選項A可知：曲線關于對稱，故，可得，，此時，故的最小值為2，故D正確，故選：ABD三、填空題12．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]現有5名志愿者被派往A，B，C三個小區參加志愿者活動，每個志愿者只能選其中一個小區，A小區安排1人，B小區安排2人，C小區安排2人.則不同的安排方案共有種________.（用數字作答）12．答案：30解析：首先從5名志愿者中選出1人去A小區，共有種情況，再從剩下的4名志愿者中選出2人去B小區，共有種情況，剩下的2個人安排到C小區，因此不同的安排方法共有種，故答案為：3013．[2025春·高三·安徽師范大學附中·開學考試]已知直線與曲線相切，則直線l的方程為：__________.13．答案：解析：將變形為，故直線l恒過點，又經過點，若直線l與相切于點，，故，所以直線l的方程為，即，若直線l與不相切于點，設切點為，則，故，故，化簡可得，記，則，由于且，，在單調遞增，故單調遞增，且，故，因此在，單調遞減，由于，結合可知，當時，無實根，故當不是切點時，無滿足條件的切線方程，綜上可知：切線方程為故答案為：14．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]在平面直角坐標系內，已知，，若的面積不超過，則滿足條件的整點（橫縱坐標均為整數）M的個數為________.14．答案：24解析：設，直線方程為，可知，故，得設，則k為整數，則，，可得，故，當時，點M在直線上，此時不能構成三角形，故舍去，當時，，，此時有4個整數點，，，，當時，，，此時有4個整數點，，，，當時，，，此時有4個整數點，，，，根據對稱性可知：當時，也分別有4個整數點，故共有24個整點，故答案為：24四、解答題15．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]在矩形中，點E在線段上，且，，.(1)求；(2)若動點M，N分別在線段，上，且與面積之比為，試求的最小值.15．答案：(1)6；(2)解析：（1）過E作于H，設，易知，，則，，由，整理得到，解得或（舍），所以.（2）由（1）易知，，設，，又，得到，在中，由余弦定理得到，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為.16．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]秋收冬藏，禳禳滿家，神州大地，又是一個豐收年.2024年我國糧食年產量首次邁上1.4萬億斤新臺階，實現高位增產.某地農科院為研究不同土壤條件對大豆產量的影響，在該地區選取了一批試驗田種植大豆，現隨機抽取了面積相等的10塊試驗田，得到各塊試驗田的畝產量（單位：），并整理得下表：畝產量頻數1324現將畝產量不少于的試驗田記為“優等田”.(1)從這10塊試驗田中任選3塊田，求恰有1塊是“優等田”的概率；(2)以這10塊試驗田的檢驗結果來估計該地區不同土壤條件對大豆產量的影響，若從該地區隨機抽取3塊試驗田，記“優等田”的塊數為X，求X的分布列和期望.16．答案：(1)；(2)分布列見解析，解析：（1）由題知10塊試驗田中，“優等田”有4個，所以從這10塊試驗田中任選3塊田，恰有1塊是“優等田”的概率為.（2）由題知X可能取值為0，1，2，3，又，，，，所以X的分布列為X0123P.17．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]已知拋物線的焦點到準線的距離為1，過x軸下方的一動點P作拋物線C的兩切線，切點分別為A，B，且直線剛好與圓相切.設點P的軌跡為曲線E，過點的直線l與曲線E相交于M，N兩點.(1)求拋物線的方程；(2)求點P的軌跡方程；(3)設曲線E與y軸交點為，點關于原點的對稱點為，記直線，的斜率分別為，，證明：是定值.17．答案：(1)；(2)；(3)證明見解析解析：（1）由題意可得，故拋物線的方程為（2）設，，，，所以直線，即，同理可得，設，則，且，故，在直線上，即直線方程為，由于直線與圓相切，故，化簡可得，故點P的軌跡方程（3）由題意可知，，設直線l的方程為，，，聯立方程，化簡可得，則，，故，由于直線l與雙曲線的下支相交于M，N兩點，故，解得，，故為定值.18．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]如圖，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，為正三角形，，，現將沿翻折至，形成三棱錐，其中S為動點.(1)證明：；(2)若，三棱錐的各個頂點都在球O的球面上，求球心O到平面的距離；(3)求平面與平面夾角余弦值的最小值.18．答案：(1)證明見解析；(2)；(3)解析：（1）取的中點E，連接，，因為，，且的中點E，所以，又，平面，故平面，由于平面，故，（2）當時，由，則，取的中點O，連接，，故O到A，B，C，S四點的距離相等，故O為三棱錐外接球的球心，因為，，故，，，設S到平面的距離為，B到平面的距離為，由等體積法可得，而，由于，故，所以，從而，故O到平面的距離為，（3）以B為原點，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，過點S作平面的垂線，垂足為Q，設為翻折過程中所旋轉的角度，則，，，故，，，，，則，，設平面的法向量為，則，取，則，，設平面的法向量，，，，取，則，，設平面平面與的夾角為，故，，令，，故，由于，故當且僅當即時取等號，故平面與平面夾角余弦值的最小值為，此時.19．[2025春·高三·湖北·開學考試聯考]已知函數，.(1)求在處的瞬時變化率；(2)若恒成立；求a的值；(3)求證：.19．答案：(1)1；(2)；(3)證明見解