黑龍江省哈爾濱市第九中學校2023-2024學年高三下學期開學考試數學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫已知集合,,則()A. B. C. D.1．答案：C解析：,,.故選：C.2．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試校考]若,則復數在復平面內所對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．答案：B解析：因為,所以,因此復數在復平面內所對應的點在第二象限.故選：B.3．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試校考]將函數的圖象向右平移個單位后，圖象經過點，則的最小值為()A. B. C. D.3．答案：B解析：將函數的圖象向右平移個單位長度，可得，圖象過點，，即，或，，即或，，，的最小值為.故選：B.4．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試校考]下列函數中,值域為的是()A. B. C. D.4．答案：D解析：因為,且,所以或,A錯誤;因為,所以,B錯誤;因為,所以,C錯誤;因為,所以,即的值域為,D正確.故選：D.5．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫函數的單調遞增區間是()A. B. C. D.5．答案：D解析：,即,解得,即的定義域為;又在單調遞減,在單調遞增,在為單調增函數,故在單調遞減,在單調遞增.故選：D.6．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫若實數a、b、c使得函數的三個零點分別為橢圓、雙曲線、拋物線的離心率、、,則、、的一種可能取值依次為()A. B. C. D.6．答案：C解析：由題意可知,,,,設,所以,,且,故滿足條件的為C選項.故選：C.7．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫數列滿足,,若,且數列的前n項和為,則()A.64 B.80 C.-64 D.-807．答案：C解析：數列滿足,,則,可得數列是首項為1、公差為1的等差數列,即有,即為,則,則.故選：C.8．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫已知,若實數,則在區間上的最大值的取值范圍是()A. B. C. D.8．答案：C解析：作出函數的圖象如圖：因為,因為,所以,表示函數上的點到直線的距離,由圖可知,當時,取得最大值,最大值為;當時,,結合圖象可知,在區間上總有,所以,此時的最大值為;當時,由圖可知,,且.綜上,在區間上的最大值的取值范圍為.故選：C二、多項選擇題9．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫下列說法正確的是()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,,則9．答案：BCD解析：對A：,,由不能得出,例如,,A錯誤;對B：,,即,B正確;對C：,則,,C正確;對D：作差得：,,,則,,即,D正確.故選：BCD.10．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試校考]奇函數與偶函數的定義域均為R,且滿足,則下列判斷正確的是()A. B.C.在R上單調遞增 D.的值域為10．答案：BCD解析：因為為奇函數,為偶函數,所以,因為①,所以,即②,所以由①②解得,故B正確;,故A錯誤;在R上單調遞增,在R上單調遞減,則在R上單調遞增,故C正確;因為,當且僅當時取等號,所以的值域為,所以D正確.故選：BCD.11．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫如圖,在棱長為2的正方體中,Q為線段的中點,P為線段上的動點（含端點）,則下列結論正確的有()A.P為中點時,過D,P,Q三點的平面截正方體所得的截面的面積為B.存在點P,使得平面平面C.的最小值為D.三棱錐外接球表面積最大值為11．答案：AD解析：A選項：連接,,由三角形中位線性質和正方體性質可知,,且,所以過D,P,Q三點的截面為梯形,易知,,作,則,,所以梯形的面積,A正確;B選項：若存在點P,使得平面平面,則由平面平面,平面平面可知,顯然DQ,不平行,故B錯誤;C選項：將側面展開如圖,顯然當Q、P、D三點共線時,取得最小值,最小值為,C錯誤;

D選項：由題知,,,兩兩垂直,所以三棱錐外接球,即為以,,為共頂點的三條棱的長方體的外接球,記其半徑為R,則,顯然,當點P與C重合時,R取得最大值,此時外接球表面積取得最大值,D正確.故選：AD.12．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫如圖,雙曲線的光學性質:,是雙曲線的左、右焦點,從發出的光線m射在雙曲線右支上一點P,經點P反射后,反射光線的反向延長線過;當P異于雙曲線頂點時,雙曲線在點P處的切線PT平分.若雙曲線C的方程為,則下列結論正確的是()A.若射線n所在直線的斜率為k,則B.當時,C.當時,D.若點T的坐標為,直線PT與C相切,則12．答案：ABD解析：因為雙曲線C的方程為,所以,,,漸近線方程為.對于A,因為從發出的光線m射在雙曲線右支上一點P,經點P反射后,反射光線的反向延長線過.所以直線與雙曲線有兩個交點,所以,故A正確;對于B,由雙曲線的定義,結合圖形,可得,又,所以,因為,所以,解得,故B正確;對于C,設,在中,由余弦定理得,又,,所以,,故C錯誤;對于D,因為PT平分,由角平分線定理知,,所以,又,所以,解得,故D正確.故選：ABD.三、填空題13．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫在二項式的展開式中,有理項的個數為_______________.13．答案：3解析：,所以當,時,為有理項,因此有理項的個數為3,故答案為：3.14．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試校考]在中,已知,,,則在方向上的投影向量的模為_____________.14．答案：解析：在中,即所以,故,即,故解得或A,B為直角的內角,故,又,故在方向上的投影向量的模為.故答案為：.15．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫已知函數與的圖象上存在關于y軸對稱的點,則a的取值范圍是_________________.15．答案：解析：由題意可知在上有解,即在上有解,畫出與的函數圖象,則兩圖象在上有交點,顯然,當時,即兩圖象在上一定有交點,故答案為：16．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試校考]在數學史上,平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.在平面直角坐標系xOy中,動點到兩個定點,的距離之積等于1,化簡得曲線.則OP的最大值為________________.16．答案：解析：因為,所以,,兩邊平方得,即,解得,故,則,的最大值為.故答案為：.四、解答題17．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫如圖,在海岸線EF一側有一休閑游樂場,游樂場的前一部分邊界為曲線段FGBC,該曲線段是函數,的圖象,圖象的最高點為.邊界的中間部分為長1千米的直線段CD,且.游樂場的后部分邊界是以O為圓心的一段圓弧.(1)求曲線段FGBC的函數表達式;(2)如圖,在扇形ODE區域內建一個平行四邊形休閑區OMPQ,平行四邊形的一邊在海岸線EF上,一邊在半徑OD上,另外一個頂點P在圓弧上,且,求平行四邊形休閑區OMPQ面積的最大值及此時的值.17．答案：（1）,;（2）時,平行四邊形面積最大值為.（1）由已知條件,得,又,,.又當時,有,.曲線段FGBC的解析式為,.（2）如圖,,,,,作軸于點,在中,,在中,,.,.當時,即時,平行四邊形面積最大值為.18．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫記數列的前n項和,對任意正整數n,有,且.(1)求數列的通項公式;(2)對所有正整數m,若,則在和兩項中插入,由此得到一個新數列,求的前91項和.18．答案：(1)(2)11563解析：（1）由,則,兩式相減得：,整理得：,即時,,所以時,,又時,,得,也滿足上式.故.（2）由,所以,又,所以前91項中有87項來自.所以故.19．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試校考]為積極響應“反詐”宣傳教育活動的要求,提高市民“反詐”意識,某市進行了一次網絡“反詐”知識競賽,共有10000名市民參與了知識競賽,現從參加知識競賽的市民中隨機地抽取100人,得分統計如下：成績（分）頻數61218341686(1)現從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績,求這兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率;(2)若該市所有參賽市民的成績X近似服從正態分布,試估計參賽市民中成績超過79分的市民數（結果四舍五入到整數）;(3)為了進一步增強市民“反詐”意識,得分不低于80分的市民可繼續參與第二輪答題贈話費活動,規則如下：①參加答題的市民的初始分都設置為100分;②參加答題的市民可在答題前自己決定答題數量,每一題都需要用一定分數來獲取答題資格（即用分數來買答題資格）,規定答第k題時所需的分數為;③每答對一題得2分,答錯得0分;④答完n題后參加答題市民的最終分數即為獲得的話費數（單位：元）.已知市民甲答對每道題的概率均為0.6,且每題答對與否都相互獨立,則當他的答題數量n為多少時,他獲得的平均話費最多？參考數據：若,則,,19．答案：(1)(2)1587(3)或解析：（1）從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績,基本事件總數為,設“抽取的兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分”為事件A,則事件A包含的基本事件的個數為,因為每個基本事件出現的可能性都相等,所以,即抽取的兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率為;（2）因為,所以,故參賽市民中成績超過79分的市民數約為;（3）以隨機變量表示甲答對的題數,則且,記甲答完n題所加的分數為隨機變量X,則,所以,依題意為了獲取答n道題的資格,甲需要的分數為：,設甲答完n題后的最終得分為,則.由于,所以當或時,取最大值.即當他的答題數量為或時,他獲得的平均話費最多.20．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫如圖,在四邊形ABCD中（如圖1）,,,,E,F分別是邊BD,CD上的點,將沿BC翻折,將沿EF翻折,使得點D與點A重合（記為點P）,且平面平面BCFE（如圖2）(1)求證：;(2)求二面角余弦值.20．答案：(1)見解析(2)解析：（1）證明：平面平面,平面平面BCFE,又平面BCFE,且平面PBC,且平面PBC,.（2）取BC中點O,連接PO,,,平面平面,平面平面BCFE,平面PBC,平面BCFE,以C為原點,CB,CF所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設,則,,,設,由得,解得,所以,設,由得,解得,,則,,設平面PEF的一個法向量,,令,得,平面BCP,所以平面BCP的一個法向量,設二面角的平面角為,易知為銳角,則,二面角的余弦值為.21．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫已知橢圓的離心率為,A、C分別是E的上、下頂點,B,D分別是E的左、右頂點,.(1)求E的方程;(2)設P為第一象限內E上的動點,直線PD與直線BC交于點M,直線PA與直線交于點N.求證：.21．答案：(1)(2)證明見解析解析：（1）依題意,得,則,又A,C分別為橢圓上下頂點,,所以,即,所以,即,則,所以橢圓E的方程為.（2）因為橢圓E的方程為,所以,,,因為P為第一象限E上的動點,設,則,易得,則直線BC的方程為,,則直線PD的方程為,聯立,解得,即,而,則直線PA的方程為,令,則,解得,即,又,則,,所以,又,即,顯然,MN與CD不重合,所以.22．[2024春·高三·黑龍江哈爾濱·開學考試?？糫設函數,其中.(1)討論的單調性;(2)當存在小于零的極小值時,若,且,證明：.22．答案：(1)見解析(2)見解析解析：（1）由①當時,在上單調遞增.在上單調遞減.②當時,令（i）當時,,當時,,此時;當時,,,此時;當時,,,此時;當時,恒成立,故在R上