十二平面幾何中的向量方法向量在物理中的應用舉例(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)在△ABC中,若(+)·(-)=0,則△ABC()A.是正三角形 B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形狀無法確定【解析】選C.(+)·(-)=-=0,即||=||,即CA=CB,則△ABC是等腰三角形.【補償訓練】(2024·佛山高一檢測)若非零向量與滿足(+)·=0,·=0,則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形【解析】選C.因為非零向量與滿足(+)·=0,又因為,均為單位向量,所以角A的平分線垂直于BC,則AB=AC,因為·=0,所以⊥,即AB⊥AC,所以△ABC為等腰直角三角形.2.(5分)一物體在力F的作用下,由點A(4,-2)移動到點B(5,4).已知F=(3,2),則F對該物體所做的功為()A.-15J B.15J C.28J D.-28J【解析】選B.由A(4,-2),B(5,4),所以=(1,6),又F=(3,2),所以F對物體做的功W=F·=1×3+6×2=15(J).3.(5分)(2024·南充高一檢測)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,=2,=12,CN與BM交于點P,則cos∠BPN的值為()A.55 B.-255 C.-55【解析】選D.建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0),得=(-3,1),=(-2,2),所以cos∠BPN==810×24.(5分)(2024·新鄉高一檢測)若平面上的三個力F1,F2,F3作用于一點,且處于平衡狀態.已知|F1|=1N,|F3|=2N,F1與F3的夾角為60°,則F2的大小為()A.1N B.3N C.7N D.3N【解析】選C.根據三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,兩邊同時平方得F12+2F1·F3+F3即|F1|2+2|F1||F3|cos60°+即12+2×1×2×12+22=7=|解得|F2|=7.5.(5分)(2024·上海高一檢測)已知O為△ABC所在平面內一點,D是AB的中點,動點P滿足=(1-λ)·+λ(λ∈R),則點P的軌跡一定過△ABC的()A.內心 B.垂心C.重心 D.AC邊的中點【解析】選C.由動點P滿足=(1-λ)+λ(λ∈R),且1-λ+λ=1,所以P,C,D三點共線,又因為D為AB的中點,所以CD為△ABC的邊AB的中線,所以點P的軌跡一定過△ABC的重心.【補償訓練】在△ABC中,設-=2·,那么動點M形成的圖形必經過△ABC的()A.垂心 B.內心 C.外心 D.重心【解析】選C.假設BC的中點是O,則-=(+)·(-)=2·=2·,即(-)·=·=0,所以⊥,所以動點M在線段BC的垂直平分線上,所以動點M形成的圖形必經過△ABC的外心.6.(5分)(多選)下列說法錯誤的是()A.若∥,則直線AB與直線CD平行B.若△ABC是直角三角形,則必有·=0C.在△ABC中,若·+=0,則△ABC為等邊三角形D.若A(xA,yA),B(xB,yB),則||=(xB【解析】選ABC.A錯,可能為同一條直線;B錯,直角不一定是∠C;C錯,由條件可得·(+)=·=0,所以∠BAC為直角,即△ABC為直角三角形,非等邊三角形;=(xB-xA,yB-yA),所以||=(xB7.(5分)已知平行四邊形ABCD中,=(1,2),=(3,1),則平行四邊形ABCD的對角線AC的長為__________.

答案:5【解析】由=+=(4,3),所以||=42+38.(5分)加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動,處于如圖所示的平衡狀態時,若兩只胳膊的夾角為60°,每只胳膊的拉力大小均為2003N,則該學生的體重(單位:kg)約為________kg.(參考數據:取重力加速度大小為g=10m/s2)

答案:60【解析】如圖,||=||=2003,∠AOB=60°,作平行四邊形OACB,則OACB是菱形,=+,||=2||sin60°=600,所以|G|=||=600,因此該學生體重為600g=60010=60(kg).9.(5分)已知向量a=-12,32,=a-b,=a+b,若△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形,則△OAB的面積為________.

答案:1【解析】由題意,得|a|=1.又△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形,所以⊥,||=||.由⊥,得(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|.由||=||,得|a-b|=|a+b|,所以a·b=0,所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,則||=||=2,所以S△OAB=12×2×2=1.10.(10分)一條東西方向的河流兩岸平行,河寬250m,河水的速度為向東23km/h.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發,航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距2503m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h,則當小貨船的航程最短時,求合速度的方向,并求此時小貨船航行速度的大小.【解析】如圖,AB=250m=0.250km,BC=2503m=34tan∠CAB=BCAB=340.250所以∠CAB=60°,所以∠CAD=90°+60°=150°,所以合速度的方向與水流的方向成150°的角.設小貨船的速度為v1,水流速度為v2,合速度為v,則v1=v-v2,所以|v1|=v262?2×6×23所以小船航行速度的大小為221km/h.【綜合應用練】11.(5分)(多選)在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P,下列結論正確的是()A.AM=39B.BN=21C.∠MPN的余弦值為21D.++=0【解析】選BD.如圖所示:由題可知,M,N分別為BC,AC中點,則=12(+),同時平方得=14(++2·)=14(++2||||cos∠BAC)=14(4+25+2×2×5×12)=394,則|AM|=392,故A錯誤;又=-,同時平方得==+-2·=254+4-2×52×2×12=214,則||=212,故B正確;cos∠MPN====12×=12×?4+252?12×2×5×++=-+(-)+(-)=+-3=+-3×23=+-3×23×12(+)=0,故D正確.12.(10分)設作用于同一點的三個力F1,F2,F3處于平衡狀態,若|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為23π,如圖所示(1)求F3的大小;(2)求F2與F3的夾角.【解析】(1)由題意|F3|=|F1+F2|,因為|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為23π,所以|F3|=|F1+F2|=1+4+2×1×2×(?12(2)設F2與F3的夾角為θ,因為F3=-(F1+F2),所以F3F2=-F1F2-F2F2,所以3·2·cosθ=-1·2·-12-4,所以cosθ=-32所以θ=5π613.(10分)如圖,已知質點由點A(20,15)移動到點B(7,0)的過程中,兩恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于該質點.(1)求力F1,F2分別對質點所做的功;(2)求力F1,F2的合力F對質點所做的功.【解析】(1)=(-13,-15),力F1對質點所做的功W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99,力F2對質點所做的功W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3,所以,力F1,F2對質點所做的功分別為-99和-3;(2)W=F·=(F1+F2)·=F1·+F2·=-99-3=-102.14.(10分)在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是邊AC上靠近點C的一個三等分點,試在直線BM上求一點P(說明位置),使得PC⊥BM.【解析】根據題意,以B為原點