專題18立體幾何初步（I）（六大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01概念、截面、展開圖

?題型02直觀圖

?題型03表面積和體積

?題型04實(shí)際應(yīng)用、傳統(tǒng)文化等

?題型05立體幾何初步的計(jì)算綜合辨析

?題型06多面體的切接問題

一、單選題

?題型01概念、截面、展開圖

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）有下列命題：

①若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

（3）棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等；

④底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐.

其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【詳解】①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸線時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸

時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③

錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等;

④錯(cuò)誤，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐.

s

【考查意圖】空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知在正方體4SCD-451GA中，E,F,G分別是N8,BBt,8c的中

點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C,五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用平行畫出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.

【詳解】分別取。￡、DQ、4D的中點(diǎn)a、M、N,連接G〃、HM、MN,

??,在正方體/BCD-44Goi中，E,F,G分別是AB,BB、,4G的中點(diǎn),

HG//EN,HMIIEF,FG//MN,

:.六邊形EFGHMN是過E,F,G這三點(diǎn)的截面圖,

過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形.

故選：D

3.（22-23高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知正四面體23CD的棱長為。，E為CD上一點(diǎn),且

CE:ED-2:1,則截面A/BE的面積是（）

A.克/B.交/c.叵j

D.

421212

【答案】D

【分析】在立體圖形中作平面幾何分析，利用余弦定理和面積公式求解即可.

21

因?yàn)镃Z）=a,C￡：￡O=2:1,所以CE=—=—a,

33

所以在正三角形中，由余弦定理可知：

AE2=AC2+CE2-2AC-CE-cosZACD

2：2。\22a17

=a+(——)—29a-----=—a2,

3329

因?yàn)锳BCD和“CD都是正三角形，

所以ZADE=NBDE,AD=BD,DE=DE,

所以AADE%BDE,所以BE=NE,

所以是等腰三角形，取AB中點(diǎn)尸，貝|/8，昉,

所以跖2=/七2一％尸2=2/一(區(qū)丫=2/

936

故選:D.

4.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的側(cè)面積是2兀,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球

半徑為（）

.2^/6Cr273nV6

3333

【答案】B

【分析】先畫出圖形，設(shè)圓錐底面圓的半徑為"高為〃，母線長為/,并由題意聯(lián)立方程組求出；再由特殊的直

角三角形的性質(zhì)解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.

【詳解】如圖所示圓錐和側(cè)面展開圖.

A

7irl=2兀

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，母線長為I，由題意知:

Til=2兀/

兩式相除解得『=1,/=2；

所以圓錐的頂角為軸截面為等邊三角形，圓錐的高〃=萬平=6,

設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為&,Rt-40S中,OS=；/O,即R=g（百-R）,解得R=等.

故選:B.

5.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）圓錐的高為2,底面半徑為1,則以圓錐的高為直徑的球。表面與該圓錐側(cè)面交

線長為（）

A.叵2后4兀8兀

D.

55T5

【答案】D

【分析】作圓錐尸。的軸截面尸設(shè)軸截面刃3與球。交點(diǎn)為4,綜。2為44中點(diǎn)，則球。表面與該圓錐

側(cè)面交線即為以Q4為半徑的圓，利用相似和勾股定理求出Q4長即可.

【詳解】根據(jù)題意，以圓錐的高為直徑的球。半徑為1,且與圓錐底面相切于底面圓心a,

作圓錐pq的軸截面P4B,設(shè)軸截面P4B與球。交點(diǎn)為4,4,Q為4片中點(diǎn)，

則球。表面與該圓錐側(cè)面交線即為以Q4為半徑的圓，

因?yàn)?在圓上，所以尸所以AO/MSAP。/,

又因?yàn)?/=JPO；+40；=M,所以由若=警解得a/=還，

所以尸4=\PO;一0%=華,

114

所以由等面積可得5P4?°14=5尸a?024，解得Q4=]，

所以交線長為2兀OZNL1，

6.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的側(cè)面積是4兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的內(nèi)切球半

徑為（）

A2遙RV3r20ns[6

3333

【答案】D

【分析】設(shè)出圓錐底面圓的半徑，并由題意聯(lián)立方程組求出；再由勾股定理解出圓錐內(nèi)切球的半徑即可.

【詳解】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為「，高為力，母線長為/,由題意知：，.，

[71/=2717*

兩式相除解得，=血，/=2也；

所以圓錐的頂角為軸截面為等邊三角形，圓錐的高〃='（2夜）、（夜）2=戈,

設(shè)圓錐的內(nèi)切圓半徑為K,(76-^)2=7?2+(72)2,解得R=g.

故選：D.

7.(2024?廣東汕頭?一模)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,。為底面圓心，母線S4與S3互相垂直，的面積為

8,S4與圓錐底面所成的角為30。，則()

A.圓錐的高為1

B.圓錐的體積為24兀

C.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為出

3

D.二面角S-/8-。的大小為45。

【答案】D

【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐S。的母線長，結(jié)合線面角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用圓錐的體積

公式可判斷B選項(xiàng)；利用扇形的弧長公式可判斷C選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)镾O與底面垂直，0/為底面圓的一條半徑，則SO_LCM,

所以，S4與圓錐底面所成的角為/&10=30°,

又因?yàn)?所以，的面積為=8,解得1sz4=4,

所以，該圓錐的高為SO="-sin30。=4x^=2,A錯(cuò)；

2

對(duì)于B選項(xiàng)，該圓錐的底面半徑為CM=S4cos300=4x立=2道，

2

112

故該圓錐的體積為k=§兀xO/2xSO=m兀x(2石Jx2=8兀，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為。，

底面圓周長為2兀*/。=46兀，貝！]6==,c錯(cuò)；

SA4

對(duì)于D選項(xiàng)，取45的中點(diǎn)E,連接OE、SE,

因?yàn)?=S5,E為的中點(diǎn)，則由垂徑定理可得OEL4B,

所以，二面角S-A8-。的平面角為/SEO,

因?yàn)镾O_L平面CME,0￡u平面/OE,貝i]SO_LOE,

因?yàn)镾A=SB,則為等腰直角三角形，

則=="2+42=4亞,所以，SE=；AB=26,

所以，sinZ.SEO=—=--r=——，

SE2<22

因?yàn)?°W/S￡OW900,故NSEO=45。，所以，二面角S—48—。的大小為45。，D對(duì).

故選：D.

8.（2024?四川自貢?三模）已知球。半徑為4,圓g與圓Q為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦長為明若

|oq|=3,|。。』=道，則兩截面圓的圓心距（）

A.V3B.逑C.3+73D.25/3

3

【答案】D

【分析】根據(jù)球心與截面圓心連線垂直圓面，求得兩個(gè)圓面所成二面角，再根據(jù)直角三角形以及勾股定理

求解即可.

【詳解】設(shè)圓Q與圓。2公共弦為22,其中點(diǎn)為E,

則\OtA\=J1MT00J="2-32=V7,\O2A\=2To。2「=荷-療=岳,

所以|。閏=ah2T時(shí)=77^4=V3，|QE|==V13-4=3,

3

所以在RtZ\OO|E中，tan/OEO1=忑=6,所以/O￡Q=60°,

在Rt4OC^E中，tanZOEO2=,所以NO￡Q=30°,

所以在AOEOZ中，/O】EC)2=9。°,所以|aal=JlQEF+laE,=^^=2道.

故選：D.

9.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）正方體/BCD-4459外接球的體積為4若兀，E、F、G分別為棱

/4、44、42的中點(diǎn)，則平面MG截球的截面面積為（）

【答案】A

【分析】由已知，得到正方體N8CD-4用GA外接球的半徑，進(jìn)而得到正方體的棱長，再由勾股定理計(jì)算

出平面即G截球的截面圓的半徑，即可得到截面面積.

設(shè)正方體/BCD-44。。外接球的半徑為五,棱長為。，

因?yàn)檎襟wABCD-44。。外接球的體積為4A,

4f-

所以］兀尺3=46兀，則R=百，

由3a2=（2百），得a=2,

設(shè)球心。到平面斯G的距離為力，平面E尸G截球的截面圓的半徑為『,

設(shè)4到平面所G的距離為"，

因?yàn)镋、F、G分別為棱4瓦、42的中點(diǎn)，

所以AEFG是邊長為血的正三角形，

由VA-EFG=VE-AFG，得!$"EFG=S^AFG

tt■AE,

貝U亞=」x」xlxlxl,

32232

解得烏又04二/c=5

32

所以4到平面EFG的距離為〃=g。4，

貝Uh=OA,--OA,=R--R=短，

13133

…一…一「，

所以平面E尸G截球的截面面積為，仃2=（兀.

故選：A.

10.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）己知球。的半徑為5,點(diǎn)A到球心。的距離為3,則過點(diǎn)A的平面e被球。所截

的截面面積的最小值是（）

A.9兀B.1271C.16KD.20兀

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)求出截面小圓半徑即得.

【詳解】由點(diǎn)A到球心。的距離為3,得球心。到過點(diǎn)A的平面1距離的最大值為3,

因此過點(diǎn)A的平面a被球。所截的截面小圓半徑最小值為后方=4，

所以過點(diǎn)A的平面&被球。所截的截面面積的最小值是427T=167T.

故選：C

?題型02直觀圖

11.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的。8C的直觀圖如圖所示，其中少是笈C’的中

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法確定原圖形，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示,

其中AD=2A'D'=4,BC=B'C=2,

原平面圖形的面積為鼠皿=gBC./D=gx2x4=4.

12.（23-24高一下?山東聊城?階段練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫三角形0/3的直觀圖ON?,如圖所示，已知

0A1AB,O'A'=1,則08=()

A.y/2B.2A/2C.2D.4

【答案】B

【分析】由題意，借助于等腰直角三角形求得。再根據(jù)05在了軸上即可求得其長.

【詳解】在斜坐標(biāo)系x'。歹中，因O'A'=\,且/夕。卬=45。，則0?=亞，

因。’8’在了軸上，故在了軸上，且OB=2O'B'=25.

故選：B.

13.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△。卬"是水平放置的AO48用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線

O'C'=8,貝卜。48的面積為（)

C.24D.48

【答案】D

【分析】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長，最后由面積公式計(jì)算可得.

【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：

其中。3=。'8'=6,0D=O'D'=3,OC=2O'C'=16,〃了軸，且/。=0C=16,

所以S?=gx6xl6=48-

故選：D

14.（22-23高一下,湖北武漢?期中）如圖，四邊形/BCD的斜二測(cè)畫法直觀圖為等腰梯形48'C'。.已知

A'B'=A,CD'=2,則下列說法正確的是（）

A.AB=2

B.AD'=2V2

C.四邊形/BCD的周長為4+2&+26

D.四邊形N3C。的面積為60

【答案】D

【分析】利用斜二測(cè)畫法將圖形還原計(jì)算幾何圖形的面積與周長以及相關(guān).

【詳解】如圖可知N8=4,HD=后,4。=20,

四邊形ABCD的周長為6+2行+2內(nèi)，四邊形ABCD的面積為gx（4+2）x2行=6收.

故選:D.

?題型03表面積和體積

15.（2024?全國?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為百，則圓錐的

體積為（）

A.2島B.3百%C.6島D.9后

【答案】B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑『的方程，求出解后可求圓錐的體

積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為「，則圓錐的母線長為產(chǎn)力，

而它們的側(cè)面積相等，所以2wx6=axj3+/即26=）3+/，

故r=3,故圓錐的體積為:兀兀.

故選：B.

16.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）過圓錐尸。高的中點(diǎn)。'作平行于底面的截面，則截面分圓錐PO上部分圓錐與下

部分圓臺(tái)體積比為（）

I1-11

A.-B.-C.—D.一

2357

【答案】D

【分析】利用圓錐、圓臺(tái)的體積公式求得圓錐與圓臺(tái)的體積關(guān)系.

【詳解】設(shè)截面圓半徑為匕圓錐的高為〃，圓錐的體積為匕則圓臺(tái)下底面圓的半徑為2廠，圓臺(tái)的高為力,

圓臺(tái)的體積為匕，

所以匕=—nh（r2+2r2+4/）=1兀〃/,匕=—nr2h,

可得'=3

’2'

故選：D.

17.（23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí)）若三棱錐S-/8C的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上，SB

為球。的直徑，且/C=2后，則該三棱錐的最大體積為（）

4816

A.—B.-C.3D.—

333

【答案】B

【分析】由勾股定理逆定理得到0/10C,故s“℃=；oaoc=2,要想該三棱錐的體積最大，則S81平

面NOC,從而求出最大體積.

【詳解】S3的中點(diǎn)為。，連接O4OC,則。/=O3=OC=OS=2,

因?yàn)?C=2血，&COA2+OC2=AC2,

故。—，"=2,

要想該三棱錐的體積最大，則S81平面/0C,

11Q

故最大體積展§LOC-S8=§X2X4=§

故選：B

18.（23-24高三下?湖南婁底,階段練習(xí)）已知圓臺(tái)的體積為上叵，母線長為3,高為石，則圓臺(tái)的側(cè)面

3

積為（）

A.36兀B.24兀C.1871D.12K

【答案】D

【分析】利用母線長和高，求出上底面半徑和下底面半徑的等式關(guān)系，然后利用體積求出上底面半徑和下

底面半徑的另一個(gè)等式關(guān)系，然后求出上下底面半徑，再用側(cè)面積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)上底面半徑為人下底面半徑為尺，

如圖，根據(jù)題意“C=3,BC=OOX=V5,CO,=BO=r,AO=R,AB=R-r,

在中，（7?-r）2+（括了=32,即滅-「=2----------①，

又因?yàn)閳A臺(tái)的體積為號(hào)包,所以憶=；乃〃（斤+尺廠+/）=；萬義石義（上+7?廠+產(chǎn)）="令，

即R2+Rr+r2=13----------②

由①②方程可得：R=3,r=l,

所以圓臺(tái)的側(cè)面積為兀/（夫+，）=兀*3工（3+1）=12兀.

故選：D.

19.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知某圓臺(tái)的母線長為2a，母線與軸所在直線的夾角是45。，且上、下

底面的面積之比為1:4,則該圓臺(tái)外接球的表面積為（）

A.40KB.64兀C.80兀D.128兀

【答案】C

【分析】在軸截面中根據(jù)長度和角度關(guān)系以及三角形相似可得圓臺(tái)的上底面半徑和下底面半徑及高，利用

勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半徑，進(jìn)而求得其表面積.

【詳解】如圖：上，下底面圓心分別為外接球球心為O,

連接OC,08如圖所示：

因?yàn)樯稀⑾碌酌娴拿娣e之比為1：4,則上底面半徑與下底面半徑之比為1:2,即CN=2八四，

又母線與軸所在直線的夾角是45。,故NBCN=45°,結(jié)合8C=2血，

貝I］有CN_BA/=2,MV=2,故CN=4,BM=2,MN=2

記圓臺(tái)外接球半徑為凡OM=h,

在直角AOCN和直角40BM中由勾股定理知：OM2+MB2=OB2,ON2+JVC2=OC2,

則有外+22=（2-〃『+4?,解可得力=4,

故圓臺(tái)外接球的半徑4=4+16=20,

則該圓臺(tái)外接球的表面積S=4成2=80兀.

故選：C.

20.（2024?天津河西?三模）如圖，在三棱柱NBC-48cl中，E,尸分別為NC的中點(diǎn)，平面即。尸將

三棱柱分成體積為匕，匕兩部分，則匕：匕=（）

C.6：5D.7：5

【答案】D

【分析】根據(jù)割補(bǔ)法結(jié)合棱臺(tái)的體積公式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)三棱柱/8C-4耳G的高為人，上下底面面積均為s,體積為匕

貝ij%=q+%=s77,

因?yàn)镋,尸分別為48,ZC的中點(diǎn)，故，的=卜，

結(jié)合題意可知幾何體AEF-44cl為棱臺(tái)，

則匕l(fā)s+S+J-S-S=—Sh,

i3（4V4J12

75

故％=S〃-三S/z,故匕:匕=7:5,

故選：D

21.（2024?河北滄州?三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立

方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體尸-23C的棱長為

26，”為棱尸區(qū)上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐M-/8C的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐M-48C的體積為

（）

A.巫B.4A/2C.473D.873

3

【答案】A

【分析】由題意確定三棱錐的外接球的體積最小時(shí)球心的位置，由此可求出三棱錐M-48C的高,

利用體積公式，即可求得答案.

【詳解】如圖，在正四面體P-N3C中，假設(shè)尸〃，底面/BC,則點(diǎn)”為/U3C外心.

在P//上取一點(diǎn)O,滿足CM=（W,則CM=（W=O3=OC,

則。為三棱錐M-ABC的外接球球心，

.,.當(dāng)CM取得最小值時(shí)，最小，三棱錐M-48C的外接球體積最小，

此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)H重合.作垂定為N,:.MN〃PH,

MN為三棱錐M-ABC的高.

由正四面體P-48c的棱長為2vL知產(chǎn)/=2石，AH=Z乂2柩義蛇=2=MH,

32

PH=7Al2-AH2=2>/2，.

設(shè)AN=x,則——-=--，故MN=，HN=2—x.

AHPH

由HM?=MN?+HN2,得2?=（缶y+（2-xy,

解得x=金.MN=,

33

1/_16（、/if4后_4指

??匕棱錐M-/BC=§*彳*[2/3）

故選：A.

?題型04實(shí)際應(yīng)用、傳統(tǒng)文化等

22.（2024高三?全國?專題練習(xí)）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，"扇"與"善”

諧音，折扇也寓意"善良""善行"，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智

大勇的象征（如圖①），圖②是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧瓦、灰所在圓的半徑

分別是3和6,且乙45c=120。，則下列關(guān)于該圓臺(tái)的說法錯(cuò)誤的是（）

圖②

B.母線長為3

D.體積為竺也萬

C.表面積為14萬

【答案】D

【詳解】

設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r,下底面半徑為R,則2R=?X3,即r=l；2欣='；x6,即R=2.又圓臺(tái)的母線長

為/=6—3=3,所以圓臺(tái)的高~=2,故8正確.圓臺(tái)的表面積S=7r（l+2）x3+7rxl2

+乃x22=14萬，故。正確；圓臺(tái)的體積憶=|亦2x（22+l2+2xl）=兀,故。錯(cuò)誤.故選D

y

23.（2024?山東苗澤?模擬預(yù)測(cè)）荷澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對(duì)于研究元代的發(fā)展

提供了不可多得的實(shí)物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為

36cm,把該瓷器看作兩個(gè)相同的圓臺(tái)拼接而成（如圖），圓臺(tái)的上底直徑約為20cm,下底直徑約為40cm,

忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（）

A.42007icm3B.84007icm3C.168007icm3D.336007icm3

【答案】B

【分析】根據(jù)圓臺(tái)體積公式求解.

【詳解】根據(jù)題意，^=2^=|7txyx（102+10x20+202）=84007T.

故選：B

24.（2024?天津北辰?三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載人

航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月"到古代"萬戶飛天"，從詩詞"九天攬?jiān)?到壁畫"仕女飛天"……千百年來，中國人

以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成

由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為4.若將

其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

7

215兀325兀

C.----D.----

916

【答案】A

3

[分析】結(jié)合軸截面分析可知OXB=。2。=2,=6,QO3=1，。3尸=2,再利用圓柱以及圓臺(tái)的體積公式

運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：容器中液體分為：下半部分為圓柱，上半部分為圓臺(tái),

取軸截面，如圖所示，分別為/民CAM的中點(diǎn),

且O[B==2,。]。2=6,02P~4,。2°3=1，°3P=3,

O.FO.P33

可得蘇=蘇="即。

91325K

所以該容器中液體的體積為兀X22X6+]

12

故選：A.

二、多選題

?題型05立體幾何初步的計(jì)算綜合辨析

25.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）圖柱的軸截面為正方形，則下列結(jié)論正確的有（）

A.圓柱內(nèi)切球的半徑與圖柱底面半徑相等

7

B.圓柱內(nèi)切球的表面積與圓柱表面積比為］

C.圓柱內(nèi)接圓錐的表面積與圓柱表面積比為g

D.圓柱內(nèi)切球的體積與圓柱體積比為:

【答案】ABD

【分析】圓柱內(nèi)切球半徑等于圓柱底面半徑，再利用即可得到ABD,圓柱內(nèi)接圓錐半徑圓柱底面半徑，高

等于圓柱的高即可得到C.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為五,則圓柱的高為2R,所以內(nèi)切球的半徑為&,A正確；

圓柱的表面積為岳=2萬么+2萬及x2尺=6萬巾，內(nèi)切球的表面積為4萬尺2,所以圓柱內(nèi)切球的表面積與圓柱表

面積比為:，B正確；

圓柱內(nèi)接圓錐的表面積為S==+,圓柱內(nèi)接圓錐的表面積與圓柱表面積比為

好久,C錯(cuò)誤；

6

442

圓柱內(nèi)切球的體積匕=§萬長，圓柱的體積匕=7爐*2尺=2萬玄，所以匕：匕萬斤=§,。正確.

故選：ABD.

26.（2024?河北衡水?三模）已知在正方體/BCD-44G。中，AA^2,點(diǎn)M為4。的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方

形4月G。內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且3P//平面相附，球。為正方體力451GA的內(nèi)切球，下列說法

正確的是（）

47r

A.球。的體積為羨B.點(diǎn)尸的軌跡長度為2a

C.異面直線CG與8P所成角的余弦值取值范圍為J，竿D.三棱錐”-么4片外接球與球。內(nèi)

切

【答案】ACD

【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球的性質(zhì)判斷A；利用面面平行確定點(diǎn)P的軌跡，即可求得其長度，判斷B；根據(jù)

異面直線所成角的概念，確定該角取到最值時(shí)的位置，即可判斷C；根據(jù)圓內(nèi)切的判斷條件可判斷D.

【詳解】由題意知球。的半徑為1,故其體積為半，故A選項(xiàng)正確；

取用G的中點(diǎn)為N,

連結(jié)BN,D\N,易知D\N//B\M,平面/用W,8附＜=平面4用11,

故，N〃平面

連接MMMN〃&B、〃AB,MN=A、B\=AB,即四邊形/BMW為平行四邊形，

貝IJBN〃㈤I/,BN.平面NMu平面/與河，所以BN7/平面481M.

又因?yàn)锽NcD、N=N,BN,D、Nu平面BND、,

故平面BNDJ/平面AB、M,平面BND、H平面/百弓〃=。四，結(jié)合8P〃平面AB.M,

故點(diǎn)尸的軌跡為線段RN=^,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)镃QHBB,,故異面直線CC,與BP所成角等于組BP或其補(bǔ)角，

當(dāng)尸位于N點(diǎn)時(shí)，得N3#N取得最小，32133=咀=正；

BN5

當(dāng)尸位于，點(diǎn)時(shí)，取得最大，cos組BN=^=?,故C選項(xiàng)正確；

BR3

由正方體幾何性質(zhì)易知NBAM=NBA1M=NBB、M=90°,

故BM為三棱錐M-44內(nèi)外接球的直徑，取。'為8M的中點(diǎn)，

即0'為三棱錐M-N4耳外接球的球心，由題意知。為的中點(diǎn)，

故。O'=-MD=-,

2.2

13

因?yàn)榍騩的半徑為4=1,球。'的半徑為r2=-BM=^,r2-rl=OO',

故三棱錐舷-/44外接球與球。內(nèi)切，D正確

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答此類題目的關(guān)鍵是要發(fā)揮空間想象，明確空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，依據(jù)相關(guān)定

理以及性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷，即可求解.

27.（2024?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為。，48為底面直徑，

44尸8=120。,&=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-/C-。的大小為45。，貝I］（）

A.的面積為百B.該圓錐的側(cè)面積為兀

C.AC=s/3D.該圓錐的體積為兀

【答案】BD

【分析】根據(jù)二面角的定義與圓錐的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】如圖，取/C中點(diǎn)。，則。。J_NC,P。_LNC,

P

由二面角定義可知，ZPDO=45°.

對(duì)于A,在AP/B中，PA=PB=2,ZAPB=120°,所以尸。=OD=1,C。=g,

所以PD=亞,AC=2yj0C2-0D2=2x=272,故C錯(cuò)誤；

所以邑P/c=gx0x2行=2,故A錯(cuò)誤；

S惻=7txgx2=2j^r,故B正確；

k=兀?1=兀，故D正確.

故選：BD.

28.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一個(gè)棱臺(tái)形的容器片GA（上底面48cpi無蓋），其四條側(cè)

棱均相等，底面為矩形，4B=；BC=g4Bi=：BCi=lm,容器的深度為1m,容器壁的厚度忽略不計(jì)，則

A.AAX-V2m

B.該四棱臺(tái)的側(cè)面積為卜近+3指）n?

C.若將一個(gè)半徑為0.9m的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面

D.若一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著容器外壁爬到點(diǎn)G，則其爬行的最短路程為，?+若m

【答案】BD

【分析】由勾股定理即可判斷A,由梯形的面積公式代入計(jì)算，即可判斷B,做出軸截面圖形代入計(jì)算，即

可判斷C,將四棱臺(tái)展開，然后代入計(jì)算，即可判斷D

【詳解】

圖(1)圖(2)圖(3)

對(duì)于A,由題意可得N4==?故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,梯形NDA4的高為11

所以梯形的面積為==

222

梯形力344的高為=y/2，

所以梯形的面積為HNX收=述

22

故該四棱臺(tái)的側(cè)面積為2x段一+罟=3>/2+375,故B正確;

7

對(duì)于c,若放入容器內(nèi)的球可以接觸到容器的底面，則當(dāng)球的半徑最大時(shí),

球恰好與面4。。/、面BCGB|、面/BCD均相切，

過三個(gè)切點(diǎn)的截面如圖（1）所示，由題意可知棱臺(tái)的截面為等腰梯形,

二2

較長的底邊上的底角的正切值為2-1,則tanNMPN=-2,

F

由于NMW,NMON互補(bǔ)，故tan/MON=2,

則12tan/弁=2,所以tanNMOP=—（負(fù)值舍），從而球的半徑為=與。,

l-tan'ZMOP27-14

2

所以將半徑為0.9cm的球放入該容器中不能接觸到容器的底面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,將平面25CD與平面。CGA展開至同一平面，

如圖（2）,貝Ij/G=J（2+收=’予4」,

將平面/BCD與平面8CGq展開至同一平面，如圖（3）,

故選：BD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)要將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，將幾何體

側(cè)面展開，將折線長轉(zhuǎn)化為線段長，即可求解.

三、填空題

?題型06多面體的切接問題

29.（2024?山東苗澤?模擬預(yù)測(cè)）己知正方體-4用G2棱長為2,若點(diǎn)。是線段/C的中點(diǎn)，則三棱

錐。的外接球的表面積為.

【答案】8兀

【分析】根據(jù)題意，取4。中點(diǎn)色可證點(diǎn)S為三棱錐。-44。的外接球的球心，從而得解.

【詳解】根據(jù)題意，取4。中點(diǎn)S,4）中點(diǎn)乙連接SP,PO,SO,

則5尸=1,尸。=1,結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征易得SPLO尸，所以SO=正，

又SD=SA=SA\=C,所以點(diǎn)S為三棱錐O-44Q的外接球的球心，且半徑「=也,

所以其表面積為4兀x（0了=8兀.

故答案為：8兀

30.（23-24高二下?浙江寧波?期末）已知四棱錐尸-/BCD的底面是矩形，平面尸43_L平面/BCD,PA=3,

PB=4,8=5.若四棱錐尸-4BCD內(nèi)存在內(nèi)切球（球與四棱錐的各個(gè)面均相切），則3C=,該內(nèi)切

球的表面積為.

【答案】74K

【分析】根據(jù)內(nèi)切球在等邊三角形P/3內(nèi)的“正投影"求得內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切球的表面積，利用

等體積法，即可求解BC.

【詳解】由于平面P431.平面/BCD,PA=3,尸2=4,CD=5.△尸4B為直角三角形，底面/BCD為矩形，

所以四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球在APAB的"正投影"是APAB的內(nèi)切圓，

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為廠，

貝!IS”AB=；x（3+4+5）xr=；x3x4,

解得r=\,

所以內(nèi)切球的半徑為1，其表面積為4兀x/=4兀.

設(shè)2c=a,則平面尸45_L平面/BCD,且交線為8CJLu平面N3CD,

所以3C2平面尸48,同理40_L平面尸48,尸4尸臺(tái)u平面尸48,故2C_L尸3,40_L尸/,故

PC=J/+16,PD=J/+9,

g2+9+a2+16-52

由余弦定理可得cosZCPD=

2yja2+9^Ja2+16Na~+9qa~+16

進(jìn)而可得sinZCPD=V1-cos2ZCPD=盧〃一之工,

yja2+9^Ja2+16

由等體積法可得

11,.1_1._1r\~r~\7~，25Q+1444〃,TZ_TZ_11,.

——x3x4H—x3QH—x4。+5QH—7a+9*VQ+16X—//=?x1=^P-ABCD=^^P-ABC=^^C-PAB=2X-x-x3x4xtz

312222Va2+9Va2+16)32

化簡可得/-7。=0,故”7（。=0舍去）,

故答案為：7,47r

3L（2024?湖南長沙三模）在直三棱柱4BC-4耳G中，AC=BC=4^,AB=4,AA1=2括,￡是棱CQ上一點(diǎn),

平面將直三棱柱ABC-48G分成體積相等的兩部分.若44，4,E四點(diǎn)均在球。的球面上，則球。的

體積為.

?小田、500K

【答案】二一

【分析】由平面/與E將直三棱柱分成體積相等的兩部分，確定E點(diǎn)為CG的中點(diǎn)，再確定

“44的外心以及三棱錐E-444的高〃，最后求三棱錐￡-44向的外接圓半徑即可.

【詳解】如圖，連接用CMG.

因?yàn)樨袄忮F4-8。瑪二§七棱柱Z6C-4鳥G'

且嚏棱錐+七棱錐GCE8]=]嚏棱柱/3C-481G

所以金棱錐4-CEB1=%■七棱柱45c-4MG，

所以餐棱加_55=2&棱服_c陰，

所以SABCB、=2sAe期，

因此|5瓦|=2|CE|=|CC"，即￡為。「的中點(diǎn).

取的中點(diǎn)河,/5的中點(diǎn)N,連接ME,MN,CN,

貝l||MV|=|CE|=宜MNIICE,

所以四邊形MNCE為平行四邊形，

所以ME〃CN.

因?yàn)镸C|=|2C|,

所以CNL4B,

又因?yàn)槠矫?2月4,平面/8C,

且平面/網(wǎng)4rl平面ABC=AB,

所以CN_L平面ABBXAX,

則ME1平面ABBXAX.

因?yàn)?是△//百的外心，

且的外接圓半徑r=\MA\=1,4「；4月:=3,

三棱錐E-444的高/2=|〃￡|=|。^=，|/0/一|；]/a[=1.

設(shè)球。的半徑為R,則/+（〃一尺）2=露,

r2+h2

貝鳳=5,

2h

ASOOir

所以球。的體積展鏟外=了.

500K

故答案為:

3

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題.

（1）通過平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分可確定點(diǎn)E的位置；

（2）求三棱錐的外接球半徑R,先確定底面三角形人44畫的外接圓半徑廠及高〃，再通過

/+（〃一?2=滅2即可求解.

32.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）稱四面體的棱切球?yàn)榕c該四面體的每條棱內(nèi)部都相切的球.已知四面體/BCD

存在棱切球，且43=/。=6,/C=CD=8,則該四面體的體積為,棱切球的半徑為.

［答案］6739泊7工屈

1313

【分析】先根據(jù)切線長公式求得發(fā)現(xiàn)該四面體的對(duì)棱長度之和相等得8。=6,8。=8,進(jìn)而得該四面體是一

個(gè)底面邊長為6,側(cè)棱長為8的正三棱錐，再結(jié)合體積公式與棱切球的知識(shí)求解即可.

【詳解】設(shè)棱切球的球心為/,棱切球的半徑為「，

該棱切球/與棱/用AD,CD,5C,4C的切點(diǎn)分別為M,N,P,Q,S,K,

則IM=IN=IP=IQ=IS=IK=r,

因?yàn)?

所以，根據(jù)切線長公式得/K=/S=/M,

同理可得CK=CQ=CP,BM=BQ=BN,DN=DP=DS,

^AK=AS=AM=x,

因?yàn)?8=/O=6,/C=CD=8,

Ff^CK=CQ=CP=8-x,BM=BQ=BN=6-x,DN=DP=DS=6-x,

所以CD=CP+DP=（8—x）+（6—x）=8,解得x=3,

所以BD=BN+DN=6,BC=BQ+CQ=8,且M為AB中點(diǎn)，

所以，該四面體是一個(gè)底面邊長為6,側(cè)棱長為8的正三棱錐.

設(shè)C在底面ABD的投影為H,則H是底面三角形/BD的中心，

則HA=HB=HD=25MH=日

所以該四面體的高力=^82-（2月）2=2而,

因?yàn)榈酌嫒切蔚拿娣e為"