九種函數與抽象函數模型歸類（16題型提分練）

更盤點?置擊看考

目錄

題型一：三大補充函數：對勾函數..................................................................1

題型二：三大補充函數：復雜分式型“反比例”函數..................................................2

題型三：三大補充函數：雙曲函數（雙刀函數）.....................................................3

題型四：一元三次函數............................................................................3

題型五：高斯取整函數............................................................................4

題型六：絕對值函數..............................................................................5

題型七：對數絕對值型............................................................................7

題型八：對數無理型..............................................................................8

題型九：對數反比例型............................................................................8

題型十：指數反比例型............................................................................9

題型十一：抽象函數模型：過原點直線型...........................................................10

題型十二：抽象函數模型：不過原點直線型.........................................................11

題型十三：抽象函數模型：正切型.................................................................11

題型十四：抽象函數模型：一元二次型.............................................................12

題型十五：抽象函數模型：一元三次函數型.........................................................13

題型十六：抽象函數模型：余弦或者雙曲余弦模型...................................................13

人色型突圍?檐;住蝗分

題型一：三大補充函數：對勾函數

指I點I迷I津

b/仆e，—

對勾函數：歹="+—（〃,67>0）圖像特征

形如歹=QX+2（Q,6>0）稱為對勾函數

1.有“漸近線"：y=ax

2.“拐點”：解方程ax（即第一象限均值不等式取等處）

1.（2022秋?四川成都?高三成都七中校考階段練習）若對任意的xe[l,5],不等式2Vx+3+6V5恒成立，則

X

Q-6的最大值是.

2.（2022?安徽合肥?高二校聯考開學考試）已知函數〃x），+x+3,關于》的不等式尸口）</（x）只有一個

整數解，則正數。的取值范圍是.

3..（2023?高三單元測試）已知函數〃耳=&+9-1,若存在外,xz，x,,e,使得

/（占）+/（9）+…+/（X,T）=/（X.），則正整數〃的最大值為.

4.（2022?上海閔行?高三上海市七寶中學校考開學考試）已知函數/（x）=x+3（a>0）,若對任意的

機、"、pe1,1,長為/（加）、/（"）、/（。）的三條線段均可以構成三角形，則正實數。的取值范圍是.

題型二：三大補充函數：復雜分式型“反比例”函數

指I點I迷I津

反比例與分式型函數

解分式不等式，一般是移項（一側為零），通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用穿

線法求解

形如：y=———o對稱中為P（x0'y。），其中

cx-d

①ex。_d=0;

②凡二竺

CX

③'一、三或者二、四象限一通過丫=0.1計算判斷

1.（2022?湖北武漢?高三校聯考模擬）已知函數y=〃x+l）-3為奇函數，g（x）=，^J（x）與g（x）的圖像

X-1

有8個交點,分別為文,…則（必+%+%+%+%+%+%+%）

2.（2023?全國?高三對口高考）函數了的值域是{川y40或丁24},則此函數的定義域為____.

x-3

1~11丫

3.（2023?全國?高三專題練習）已知集合4=s,s+^UH/+1］,其中1金/且s+函數/⑴二吃，且對

_6J6x-1

任意aw/,都有貝〃的值是.

4.（2023?浙江?高二校聯考開學考試）已知函數"》）=臺|,若函數了=1/（忖）|一|在［T2］的最大值為2,

則實數/的值為.

題型三：三大補充函數：雙曲函數（雙刀函數）

指I點I迷I津

雙刀函數

y=ax--（兩支各自增），或者7=2-辦（兩支各自減）

XX

1.有“漸近線"：y=axVy=-ax

2.“零點”：解方程ax=2

x（即方程等0處）

1.（2023?江蘇南通高二統考期末）已知函數/（"=2一工-2，，則關于x的不等式〃lgx）+/⑴>0的解集

是.

2.（2023春?湖北?高二統考期末）已知奇函數/（x）=eax-ex+2tx（t>0）,有三個零點，則/的取值范圍為.

3.（2023春?遼寧鐵嶺?高二校聯考期末）已知函數〃x）=tA+3sinx+2若/伍）=1,則〃-。）=.

33

4...2023春?上海黃浦?高三上海市大同中學校考）已知函數=20221十卜一3）,2022^+2x,則不等式

/（X12-4）+/（2-3X）<12的解集為.

題型四：一元三次函數

指I點I迷I津

一元三次函數：

所有的三次函數/3=0/+加+”+1((3*0)都有“拐點,,，且該“拐點，，也是函數了=/⑴的圖像的對稱中心，

設/'(x)是函數“X)的導數，廣(x)是/'⑺的導數，若方程/"(x)=0有實數解看,則稱點(x°J(x。))為函數

/(x)=ax3+bx2+cx+d(〃W0)的"拐點

__一一________________________________________________________________________

1-給出定義：設/'(X)是函數y=/(x)的導函數，尸⑴是函數y=/'(x)的導函數，若方程/"(x)=o有實

數解x=x。，則稱(%,/(%))為函數y=/(x)的“拐點，，.經研究發現所有的三次函

/("="3+成+0工+4("0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數了=〃x)的圖像的對稱中心.若函數

f(x)=x3-3x2,則力，［+/(2］+/［上］+...+/(幽］+/［幽］=()

v71^2022)U022JU022)U022J/(2022J

A.-8086B.-8082C.8084D.8088

2.已知函數/(x)=ax3+3x2+1,若至少存在兩個實數m,使得/(—m),/(I),f(m+2)成等差數列,

則過坐標原點作曲線y=/(x)的切線可以作()

A.3條B.2條C.1條D.0條

3.(多選)(全國名校大聯考2022-2023學年高三上學期第三次聯考數學試卷)對于三次函數

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a^O),給出定義：設/'(x)是函數y=/(切的導數，/"(無)是函數/'(x)的導數,

若方程/〃(x)=0有實數解%,則稱&,/(%))為函數的"拐點”.某同學經過探究發現：任何一個三

次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數

249

/(x)=-x3-x2-12x+—,則下列說法正確的是()

36

A./⑴的極大值點為

B.f(x)有且僅有3個零點

C.點弓,21是/(x)的對稱中心

D.盛“康/盛卜?“卷)=4042

4.(多選)(江蘇省蘇州市常熟市2022-2023學年高三上學期12月抽測二數學試題)對于三次函數

/(”="3+而+0工+4("0),給出定義：設廣3是函數尸/3的導數,/"3是7'3的導數,若方程

/〃(x)=0有實數解與,則稱點&,/(%))為函數的“拐點”.經過探究發現任何一個三次函數都有“拐點”，任何

一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數/■(x)=gx3-/+ax-a,則以下說法正確的是

()

4

A./(x)+/(2-x)=-j

B.當。＜0時J(x)有三個零點

C./(-2019)+/(-2020)+/(2021)+/(2022)=4

D.當/'(x)有兩個極值點占用時，過/卜/(巧)),8(9,/(%))的直線必過點k,-”]

題型五：高斯取整函數

指I點I迷I津

取整函數了=[可'"]表示不超過x的最大整數，又叫做“高斯函數”,

2345

1.(黑龍江省大慶市鐵人中學2022-2023學年高三月考數學試題)符號[可表示不超過x的最大整數，如

[2,3]=2,[/r]=3,[-2,1]=-3,定義函數〃x)=x_[x]則下列說法正確的個數是()

①函數/(x)的定義域為R

②函數的值域為[0,1]

③函數〃尤)是增函數

④函數是奇函數

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.(廣東省廣州市第四中學2021-2022學年高三上學期月考數學試題)高斯(1777-1855)是德國著名數學

家，物理學家，天文學家，大地測量學家，近代數學奠基者之一，并享有“數學王子”之稱，高斯一生的數

學成就很多，其中：設xeR,用卜]表示不超過x的最大整數，則，片團稱為高斯函數，例如：[2.3]=2,

[-2.1]=-3,已知函數/(x)=2f—x-2,xe(O,2),設函數y=[〃司]的值域為集合。，則。中所有負整

數元素個數為()

A.2B.3C.4D.5

3.(百師聯盟2020-2021學年高三上學期一輪復習聯考(四)全國卷I理科數學試題)高斯(1777-1855)

是德國著名數學家，物理學家，天文學家，大地測量學家，近代數學奠基者之一.高斯被認為是歷史上最重

要的數學家之一，并享有"數學王子"之稱，用其名字命名的高斯函數為：設xeR,用卜]表示不超過x的最

大整數，則7=卜]稱為高斯函數，例如：[2.3]=2,[-2.1]=-3,已知函數/口)=22一x-2,xe(O,2).設函數

N=[7(x)]的值域為集合。，則。中所有正整數元素個數為()

A.3B.4C.5D.6

4.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有"數學王子"的稱號.設xeR,用印表示不超過x的

最大整數，了=[幻也被稱為“高斯函數"，例如：[-3.5]=-4,[2」=2.已知函數〃x)=[元+l]r,下列說法

中正確的是()

A./(x)是周期函數B./⑴的值域是電1]

C./(x)在(。,1)上是減函數D.VxeR,[/(x)]=0

題型六：絕對值函數

指I點I迷I津

絕對值函數：

(1)分類討論去掉絕對值；(2)大部分絕對值函數，可以遵循翻折變換

翻折變換：x軸翻折，y軸翻折，y=x翻折

1、f(x)n|f(x)|x軸翻折：x軸下方(負的)翻上去

2、f(x)nf(|x|)y軸翻折：y軸左側擦除。右側翻到左側，成為偶函數

1.(2023春?湖南長沙?高二長沙一中校考階段練習)定義W(xeR)為與x距離最近的整數，令函數

*x)=N，如：噌]"㈤j則/if網'十卷+尸"…+3可+京=

2.(2023?天津和平?統考三模)已知函數若關于x的方程/(/(x))=2恰有三個不相等

的實數解，則實數a的取值集合為.

3.(2022?浙江?高三模擬)已知函數/(x)=、"|(xe(-2,2)),有下列結論：

2-1刈

①Vxe(-2,2),等式〃—x)+/(x)=0恒成立；

②V〃?e[0,+⑹，方程|/(刈="有兩個不等實根；

③％e(-2,2),若王片/，則一定有/(xJw/G)；

④存在無數多個實數左，使得方程"X)=船在(-2,2)上有三個不同的實數根.

則其中正確結論序號為.

4.（2023春?上海松江?高三上海市松江一中校考階段練習）已知〃x）=x+若存在

占，5，?”心2],使得/（占）+/5）+-+/（%）=/（當）成立的最大正整數“為6,則”的取值范圍

為.

題型七：對數絕對值型

指I點I迷I津

對數絕對值型函數

對于f（x）=|logaX|Jl°gaX產a若有兩個零點，則滿足

10<Xj<1<x2

2,X1X2=1

3：要注意上述結論在對稱軸作用下的“變與不變”

|x+l|,x<0

1.（2022?吉林白山?撫松縣第一中學校考二模）已知函數/（x）=若方程/（'）=上有4個不同

|log4x|,x>0

4/\一

的根X"X2,X3,x4,且玉<%2<工3<%4，則--^一工4（%+%2）的取值范圍是（）

A.[4>/2,6）B.[2,472）C.（2,4五]D.卜曲]

-x2+4尤,x<4

（春?江蘇蘇州?高二星海實驗中學校考階段練習）設函數（）

2.2023/x=<h(同“，若關于x的方程

|log2(x-4)|,x>4

/（%）=/有四個實根西產2，三,匕（<x2<x3<x4）,則玉+工2+2%+^匕的最小值為（）

A.衛33

B.16C.—D.17

22

/.IlgxLx>00/\/\

3.(2020秋?陜西延安?高三校考模擬)已知/(、)=2兇；<0，則函數歹=2/GA3/(')+1的零點個數是

()

A.5B.4C.3D.2

xx<\

4.(2023春?安徽安慶?高三統考模擬)設函數/(力=卜’"1.|，若/(石)=/(9)=/(毛)=/(%)(其

|log2(x-l)|,x>1

4(

中玉<X2<毛<匕)，貝1J—^7+(再+工2+2)工3的取值范圍是()

X4+1

題型八：對數無理型

r--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

指I點I迷I津

2

對數與無理式復合是奇函數：y=logfl^(Ax)+1±kx^,如尸10gq[J(x)2+1+x)

1.(2023春?黑龍江綏化?高二校考期末)已知函數/(x)=log2(4rx),若任意的正數〃，b均滿足

/(°)+/(36-2)=0,則47+：1的最小值為______.

ab

2.(2023?全國?高三專題練習)己知函數/'(x)=ln(47石+x)+x,若〃2x-l)+/(2-x)>0,則x的取值

范圍是.

3.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學校校考模擬)已知函數/(x)=x+ln(G7I-x)-5

(xe[-2016,2016])的最大值為最小值為優,則.

4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=ln(x+V?Ti)+l,若正實數a7滿足〃4“)+〃46-1)=2,

則L+5的最小值為________.

ab

題型九：對數反比例型

指I點I迷I津

形如對數與反比例復合型，是奇函數：

1m-nx1m+nx..l-x〔l-kx〔x-l

y=log-------,y=log--------,如：log——，log-------，log——

am+nxam-nxa1+xa1+kxax+1

1.（2024?江蘇泰州?模擬預測）已知函數/（x）=bg2”一L+b,若函數的圖象關于點（1,0）對稱,

x+1

則log/=()

1

A.-3B.-2C.D.——

23

1—mx

2.（21-22高三上?云南曲清階段練習）設定義在區間[-左，婦上的函數/（x）=lg一是奇函數，且

/（g）.若印表示不超過X的最大整數，%是函數g（x）=lnx+2無+左-6的零點，則上]=

A.1B.1或2C.2D.3

3.（2024?山東黃澤?模擬預測）已知函數〃力=111彳修-2（加＞0）是定義在區間（見為上的奇函數，則實

數b的取值范圍是（）

A.（0,9]B.（0,3]C.fo,|D.

4.（23-24高三上?浙江寧波?模擬）已知/（x）=ln!--6是奇函數,則…、（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

題型十：指數反比例型

指I點I迷I津

指數型“反比例函數”：

2以上幾個類型都是奇函數

變化

指數型“反比例函數”：

ax+t/+tt-a

a-1a+1\+a\-a

2以上幾個類型都是對稱中心函數，對稱中心在y軸上

怎么找中心？

1.如果x=0有意義，直接（0,f（0））就是中心

2.如果x=0無意義，則（0」（-1）⑴）是中心，即特殊值法

7X+1-m

1.（23-24高三上?河南?模擬）已知函數/（x）=]*/是定義在R上的奇函數，且對任意xw[l,2],不等式

八了4卜/（。3+0）＜0恒成立，則實數.有（）

A.最大值-52B.最小值-23C.最小值-52D.最大值-白3

916916

2.（23-24高三上?安徽銅陵?階段練習）已知函數〃x）=x3+?，，若實數滿足/（/）+/（2〃-3）=2,

則aJl+/的最大值為（）

A.迪B,C.逑D.謔

444

X+1

3.（21-22高三上?遼寧錦州,模擬）已知函數/（%）=備不的圖像與過點（-M）的直線有3個不同的交點

（毛,匕），（*2，%），貝！J（玉+工2+工3）+（%+%+%）=（）

A.8B.10C.13D.18

4.（2024?河北衡水?模擬預測）設。＞0,awl,若函數/⑴=+x）是偶函數，貝U。=

()

13

A.-B.-C.2D.3

22

題型十一：抽象函數模型：過原點直線型

指I點I迷I津

/(x+y)=〃x)+/(y)一過原點直線型f(X)=kx

有以下性質：

l.f(0)=0

2.奇函數：y=-x,貝曠(x-x)=/(x)+/(-x)=0

3.可能具有單調性(結合其他條件)

1.(23-24高三上?山東泰安?模擬)己知函數/(尤)對于任意的無jeR,都有〃x+y)=〃x)+〃力成立，則

(多選)

A./(0)=0

B./(x)是R上的偶函數

C.若/(2)=2,貝廳⑴=1

D.當x>0時，/(x)<0,則/(x)在R上單調遞增

2.(23-24高三上?江蘇?階段練習)已知函數〉=f(x),xeR,對于任意x,yeR,/(x+y)=/(%)+/(y),

且當x>0時，均有〃x)>0,則(多選)

A./(0)=1

B./(3x)=3/(x)

C./(-x)+/(x)=0

3

D.右/(機+l)+/(機+2)<0,則加〈一萬

3.(23-24高二下?廣東深圳,階段練習)定義在R上的函數/'(x)滿足/(x+y)=/(x)+/(y),當x<0時，

/(x)>0,則函數〃尤)滿足()

A./(O)=lB.y=/(x)是偶函數

c./(X)在卜％川上有最小值/(")D./(%-1)>0的解集為(1,+8)

4.(2023?廣西玉林?三模)函數/(X)對任意x,yeR總有/(x+y)=/(x)+/(力,當x<0時,/(x)<0,

/(1)=1,則下列命題中正確的是()

A./(尤)是偶函數B./(x)是R上的減函數

C./(x)在卜6,6］上的最小值為一2D.若〃x)+/(x-3”-l,則實數x的取值范圍為［3,+8)

題型十二：抽象函數模型：不過原點直線型

I-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"旨I點I迷I津

/(x+j)=/(x)+/(j^)+b(b帶正負，即是+b或者-b)

<->/(x)=kx-b

：證明如下：

/(x+y)+b=〃x)+b+/3+b

同構"：h(x)=/(x)+b

—h(x+y)=h(x)+h(y)-----h(x)是過原點的直線

1.(多選)(23-24高三上?四川成都?階段練習)設函數/(x)滿足：對任意實數X、了都有，

/(x+y)=/(x)+〃y)-4且當x>0時，/。)>4.設8(尤)=/(幻-4.則下列命題正確的是()

A./(-2023)+/(2023)=8B.函數/⑴有對稱中心(0,4)

C.函數gQ)為奇函數D.函數g(x)為減函數

2.(多選)(23-24高三上?遼寧朝陽?模擬)若定義在R上的函數/(X)滿足/(x+y)=/(x)+/(y)+2,且

當x>0時，/(x)>-2,則()

A./(0)=-2

B.y(x)+2為奇函數

C./(X)在R上是減函數

D.若/。)=2,則不等式/，+x)+〃l-2x)>8的解集為{x|-l<x<2}

3.(23-24高三上?湖南株洲?模擬)已知函數“X)對Vx/eR,都有/(x+y)=/(x)+/(力-2,若

尸(%)=尤1+/(同在［-2022,2022］上存在最大值M和最小值機，則〃+冽=()

A.8B.4C.2D.0

4.(23-24高三下洞南周口?開學考試)已知定義在R上的函數/(x)滿足

Vx,yeRJ(x+y)=/(x)+/(力一2024,若函數g(/=亞匹二+/(力

的最大值和最小值分別為“7，貝！|M+〃Z=.

題型十三：抽象函數模型：正切型

指I點I迷I津

f(x+y)

所以復合f(x)=tan(kx)。(k根據其余條件待定系數)

1.(20-21高三上?浙江寧波?模擬)已知函數/'(x)的圖象是連續不斷的，其定義域為(-M),滿足：當x>0

時，/(x)>0；任意的x,je(-l,l),均有/■(x+y)[l—/(x)/3]=〃x)+/(y).若則x

的取值范圍是()(e是自然對數的底數)

2.(山東?高考真題)給出下列三個等式："孫)="x)+"y),〃x+y)=/(x)/(y),

〃x+y)=下列函數中不滿足其中任何一個等式的是()

X

A.f(x)=3B./(x)=sinxC.f(x)=log2xD./(x)=tanx

3.(多選)(2023?全國?模擬預測)已知函數7'(x)的定義域為卜卜力4左+2,左eZ},且〃x+y)=黑；器))

"1)=1,則(多選)

A./(0)=0

B./(x)為偶函數

c./(X)為周期函數，且4為/■(工)的周期

D./(2023)=-1

4.(20-21高三上?浙江寧波?模擬)已知函數/(X)的圖象是連續不斷的，其定義域為滿足：當x>0

時，/(x)>0;任意的X,J6(-l,l),均有/(x+y)[l-/(x)/3]=/(x)+/(y).若,貝l]x

的取值范圍是()(e是自然對數的底數)

題型十四：抽象函數模型：一元二次型

;指I點I迷I津

/(x+y)=/(x)+/(y)+2aj(y-c

貝獷(x)=ax?+bx+c.

/(x+y)=a(x+y)2+b(x++c=ax2+bx+ay2+by+c+2ajcy

i=ax2+bx+c+ay2+by+c+2axy-c=f(x)+/(j^)+2axv-c

此模型，b的值無法推導，多依賴其他條件來待定系數確認。

1.(23-24高三上?上海普陀?模擬)已知對于任意的整數X、八n,n>Q,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1

成立，且-2)=1,則/(2〃)=

2.(23-24高三上?內蒙古赤峰?開學考試)已知函數/(無)的定義域為R,"X+?)+2刈=/(x)+/(y),/⑴=2,

則下列說法不正確的是()

A."0)=0B.-2)=-10

c.y=/(x)+x2是奇函數D.y=/(x)-x2是偶函數

3.(23-24高三上?吉林長春?模擬)函數f(x)滿足：任意〃eN*,且

10

/(x+y)=/(x)+/(y)+10門.則￡)(，)的最小值是()

1=1

A.1775B.1850C.1925D.2000

4.(23-24高三上?河北保定?模擬)已知函數/(x)滿足：Vx,yeZ,/(x+y)=〃x)+〃y)+2xy+l成立,

且〃-2)=1,則/(2")(〃eN*)=()

A.4〃+6B.8n-lC.4n2+2n-\D.8?2+2H-5

題型十五：抽象函數模型：一元三次函數型

指I點I迷I津

/(x+y)=/(x)+/(y)+3axy(x+7)-

則f(x)=ax3+