熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專(zhuān)題05解三角形

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01利用正（余）弦定理解三角形.............................................................I

題型02三角形解的個(gè)數(shù).........................................................................2

題型03判斷三角形形狀.........................................................................3

題型04三角形面積（定值）.....................................................................4

題型05三角形面積（最值或范圍）..............................................................5

題型06三角形邊長(zhǎng).............................................................................6

題型07三角形邊的代數(shù)和問(wèn)題...................................................................6

題型08三角形周長(zhǎng)（最值或范圍）..............................................................7

題型09三角形中線.............................................................................8

題型10三角形角平分線.........................................................................9

艙-----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

題型01利用正（余）弦定理解三角形

【解題規(guī)律?提分快招】

ac…

①-----=--b=--=2R

sinAsinBsinC

②符號(hào)語(yǔ)言：在A4BC中，內(nèi)角ASC,所對(duì)的邊分別是則:

a2=b2+c2-2/?ccosA；

b2=a2+c2-2QCCOSB

c2=a2+b2—2abeosC

b2+c2-a2

cosA=

2bc

tz2+c2-b1

cosB=

lac

a2+b2-c2

cosC二

lab

3

【典例1-1】（2。24?北京海淀?二模）在VA3C中，A3=4,AC=5,c°sC="貝.的長(zhǎng)為（）

、3

A.6或5B.6C.3+85/2D.3

【典例1-2］（2024?北京延慶?一模）VABC的內(nèi)角A,內(nèi)C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知NB=60°,sinA=3sinC,

b=幣,則。=,VABC的面積為.

【變式1-1］（2023?北京豐臺(tái)?三模）在VABC中，AC=3,BC=0AB=2,則A3邊上的高等于（）

A9/7R3/而?3

A.jD.-----C.------U.

222

【變式1-2］（2024?北京西城?三模）在VABC中，若c=2,a=6NA=￡,貝|sinC=,b=.

o

3

【變式1-3］（2024?北京昌平?二模）己知VABC中，a=4,b=2c,cosA=--,貝|5“吹=.

題型02三角形解的個(gè)數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

1）已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角;

2）已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。

例如：已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況：（多解情況）

①若A為銳角時(shí):

a<Z>sinA無(wú)解

a=bsinA一解（直角）

bsinA<a<b二解（一銳，一鈍）

a>b一解（銳角）

已知邊a,b和/A

H

a<CH=bsinA

僅有一個(gè)解

無(wú)解僅有一個(gè)解有兩個(gè)解

②若A為直角或鈍角時(shí):[aa><bb無(wú)解

一解（銳角）

1T

【典例1-1]（23-24高一下?北京?期末）在VABC中，角4氏。所對(duì)的邊分別為凡4G已知4，b=2,

給出下列五個(gè)。的值：①②百；③半;④2；⑤3.其中能使得△ABC存在且唯一確定的是（）

A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤

【典例1-2]（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）在VABC中，NA=30。,AC=2石，滿足此條件VABC有兩解，

則2C邊長(zhǎng)度的取值范圍為.

【變式1-1]（23-24高一下?北京?期中）已知在VABC中，NB=60。,b=百，若滿足條件的三角形有且只有

一個(gè)，則。的取值范圍是（）

A.{a\0<a<y/3]B.或Q=2}

C.[a\0<a<y/3]D.{〃|0<〃V百或Q=2}

【變式1?2】（2023?北京朝陽(yáng)?一模）在VABC中，a=4也,b=m,sinA-cosA=0.

（1）若機(jī)=8,貝!Jc=；

（2）當(dāng)機(jī)=（寫(xiě)出一個(gè)可能的值）時(shí)，滿足條件的VABC有兩個(gè).

【變式1-3]（23-24高一下,北京延慶,期末）在VA3C中，c=8,NB=g請(qǐng)從①乙4=與，②。=4君,

③人=9中選擇一個(gè)，使VA5C存在且唯一，寫(xiě)出滿足要求的一個(gè)條件的序號(hào).

題型03判斷三角形形狀

【解題規(guī)律?提分快招】

判斷三角形形狀時(shí)，可利用正余弦實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊或角的形式，還要注意三角形自身的特點(diǎn)

①sinA=sin8nA=B=AABC為等腰三角形

TTTT

②sinA=cosBnA+B='或A-B=,nAABC直角三角形或鈍角三角形

■JT

（3）sin2A=sin2B=>A=BA+B=-=>AABC為等腰三角形或鈍角三角形

@cos2A=cos2B=>AAABC為等腰三角形

⑤a2+》2=c2=cosC=0n2\ABC為直角三角形

⑥+〃_。2<0=>COSC<0

或/+02一匕2voocos5Vo=^>AABC為鈍角三角形

或<0=>cosA<0

??2+/?2-c2>0=>cosC>0

且/>0=>cosB>0=>ZkABC為銳角三角形

JL/?2+c2-a2>0=>cosA>0

【典例1-1］（24-25高三上?上海閔行?期中）在VABC中，已知/—6c=",且從anC=ctan3,則VA2C

的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一個(gè)角為60。的直角三角形D.等邊三角形

【典例1-2］（24-25高三上?北京朝陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,民C所對(duì)的邊分別為",4c,則

下列條件能推導(dǎo)出△ABC一定為銳角三角形的是.

@a2+b2>c2;@-^—=-^7—=-^—;③cos?A+cos?B-cos2c=1；（4）tanA+tanB+tanC>0.

5o7

【變式1-1］（24-25高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)）在VA3C中，角A、B、C的對(duì)邊分別是。、b、c,且

acosB+bcosA=b,則VABC一定是（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.直角三角形

【變式1-2］（24-25高一上?上海,課后作業(yè)）在VABC中，c-acosB=（2a-&）cosA（°、b、c分別為角A、

B、C的對(duì)邊），則VABC的形狀為.

【變式1-3］（23-24高一下?河南三門(mén)峽?期中）已知VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,

a=-b+c,則7ABe的形狀是________.

cosB+cosC

題型04三角形面積（定值）

【解題規(guī)律?提分快招】

①S=gabsinC=；sin5=gbesinA；

②S=g（a+b+c）r（其中，a,b,c是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，廠是三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）；

【典例1-1］（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）在VABC中，/3=60。,6=夕,°-C=2,則VABC的面積為（）

A36R33石之

2244

_7T2冗

【典例1-2］（24-25高二上?北京?期中）在VA3C中，AB=2衣,乙8=彳，點(diǎn)。在邊BC上，ZADC=—,

CD=1,則（1）AT>=；（2）AACD的面積為.

【變式1-1］（23-24高一下?北京?期中）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,2c,AB=4,NB=60°,點(diǎn)

。為邊BC上的一點(diǎn)，AD=2幣,CD=6,貝UAACD的面積為（）

A.6+B.973C.14^3D.2073

【變式1-2］（23-24高一下?江蘇常州?期中）在VABC中，若BC=2,AC=g,A=45°,則VABC的面積

為（）

A.B,3匚C.6+1D..T或3+1

2222

【變式1-3］（24-25高三上?北京豐臺(tái)?期中）在VABC中，a=5,c=3,B=2C,則VABC的面積為.

題型05三角形面積（最值或范圍）

【解題規(guī)律?提分快招】

①S=gabsinC=；〃csinB=gbcsinA；

②S=g（a+b+c）r（其中，”,b,c是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，廠是三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）；

③基本不等式

④正弦定理化角

【典例1-1】（2024,江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，A=y,。為邊BC上一點(diǎn)，若4）上且AD=1,

則VABC面積的最小值為（）

A.BB.述C.mD.后

234

【典例1-2］（23-24高三下?浙江?階段練習(xí)）在等邊三角形ABC的三邊上各取一點(diǎn)O,E,F,滿足DE=3,

DF=2y/3,ZDEF=90°,則三角形ABC的面積的最大值是（）

A.773B.1373C.-773D.—13y/3

【變式1-1］（24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

°=6，（sinA-sinB）（^+a）=c（sinB+sinC）,則VA3C面積的最大值為（）

A.1B.1C.3D.亞

4242

【變式1-2］（24-25高三上?廣東東莞,階段練習(xí)）在VABC中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,且48

邊上的中線長(zhǎng)為2,則VA3C面積的最大值為.

【變式1-3］（24-25高二上?湖南?期中）在VABC中，AB=?AC,點(diǎn)。在8C上，滿足6=2麗，AO=6，

AC=3。.則AABC的面積為

題型06三角形邊長(zhǎng)

【解題規(guī)律?提分快招】

正（余）定理

【典例1-1】（23-24高一下?重慶涪陵?期中）在AABC中，已知A=60°,BC=2,￡＞為2C的中點(diǎn)，則線段

AD長(zhǎng)度的最大值為（）

A.3B.V3C.2D.72

【典例1-2］（23-24高一下?四川成都?期中）在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZA=45°,

AC邊的中線應(yīng)，則。的最大值是.

【變式1-1］（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若。=1,

focosA=l+cosB,則邊6的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

【變式1-21（23-24高一下?浙江?期中）在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。,6,c,已知。=c-l,6=c+l,

若VABC為鈍角三角形，則。的取值范圍為（）

A.（2,4）B.（1,3）

C.（0,3）D.（3,4）

【變式1-3］（23-24高一下?天津河西?期中）在銳角VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,

TT

且。=3,A=y,則6的取值范圍是（）

6

A.（0,6）B.（0,2小）C.（A/3,2A/3）D.（3石,6）

題型07三角形邊的代數(shù)和問(wèn)題

【解題規(guī)律?提分快招】

①通過(guò)正余弦定理，把邊轉(zhuǎn)化為角。

②利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉(zhuǎn)化為分母角度的單變量函數(shù)形式

③對(duì)單變量（單角）求最值。

「

【典例（24-25高二上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）在銳角VA3C中，NA=2NB,則r-的范圍是（）

2b

【典例1-2］（23-24高一下?江蘇南京?階段練習(xí)）在AASC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。，b,c,

ch

若〃2=〃csinA,則不+—的最大值為_(kāi)__.

bc

【變式14】（24-25高三上?河北張家口?階段練習(xí)）已知VA5C是銳角三角形，角A氏C所對(duì)的邊分別為

0,4c,S為VABC的面積，4S=a2+b2-c2,則9的取值范圍為（）

b

A.（0,V2）B.［彳，⑸C.

I2）I2JI2）

【變式1-2］（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角YABC的三個(gè)內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,4c,且c=2,B=2C,

則a+b的取值范圍為（）

A.（2,10）B.（2+272,10）C.（2+2立,4+2君）D.（4+2^,10）

【變式1-3］（23-24高一下?浙江紹興?期中）已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且

1+2cosA=y,b=l,貝!Jc-3a的最小值為_(kāi)____.

b

題型08三角形周長(zhǎng)（最值或范圍）

【解題規(guī)律?提分快招】

①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案;

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制,

通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值

【典例1-1】（23-24高一下,湖北武漢,期中）在銳角VABC中，角A,民C的對(duì)邊分別為。，4c,S為VABC的面

積，。=4,且2s="—（6—）2,則VA2C的周長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.（8,475+4］B.（12,275+2］C.（8,2>/5+2］D.（12,4^+4］

TT

【典例1-2［（23-24高一下?四川瀘州?期中）在銳角VA2C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若。=2,2=：,

則VABC周長(zhǎng)的取值范圍為.

【變式1-1］（2024噬國(guó)，二模）在"BC中,內(nèi)角A,2,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,2acosA=bcosC+ccosB,

且a=4sinA,則AABC周長(zhǎng)的最大值為（）

A.472B.6&C_4A/3D.6A/3

【變式1-2］（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知VABC的內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

抬asin8=6（2+cosA）,若VABC的面積等于百，則VABC的周長(zhǎng)的最小值為.

bc

【變式1-3］（2024?全國(guó)?二模）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,",c,cosC=—+『,ZBAC的平分

a2a

線交BC于點(diǎn)D若AD=1,則VABC周長(zhǎng)的最小值為.

題型09三角形中線

【解題規(guī)律?提分快招】

5

A厲?472「歷n4^/3

2343

【典例1-2］（23-24高一下?四川成都?期末）在VABC中，內(nèi)角A,氏C所對(duì)的邊分別是”,b,c,且sir?B=sin?亨,

b=也,則邊AC上的中線BE的取值范圍是.

【變式1-1］（24-25高三上?江西?期中）在AABC中，角AB,C所對(duì)的邊分別為a/,c,且滿足

bcosC+ccosB=2acosA,若VABC的中線A。=石，且6+c=4,則VABC的面積為.

【變式1-2］（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，已知A=,3C=2若，當(dāng)邊的中線AO=近時(shí)，

VABC的面積為.

題型10三角形角平分線

【解題規(guī)律?提分快招】

角平分線

如圖，在AABC中，A。平分角A,5,C所對(duì)的邊分別為。，b,c

核心技巧1：內(nèi)角平分線定理：

ABAC—ABBD

--------------=----

BDDCACDC

核心技巧2：等面積法（使用頻率最高）

SMBC=+S^ADC

11A1A

—ABxACxsinA=—ABxADxsin——l--ACxADxsin一

22222

ABSARr）

核心技巧3：邊與面積的比值：—

A。^AADC

核心技巧4：角互補(bǔ)：

ZADB+ZADC=兀=cosZADB+cosZADC=0

inDA2+DB2-AB2

在AADB中有：cos/ADB------------------;

2DAxDB

ifcDA2+DC2-AC2

在zVLDC中有：cosZADC=------------------

2DAxDC

【典例1」】（23-24高一下?江蘇南京?期中）在斜VABC中，設(shè)角A、B、。的對(duì)邊分別為。、b、c,已

知asinA+》sin3—csinC=3〃sin/cosC,若C￡）是—ACS的角平分線，且CD=AC=2,貝Ucos/ACB=（）

1725

A.—B.—C.-D.—

818318

【典例1-2]（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

湘苗4=加達(dá)8+（0-6川達(dá)。,4。是丫48（7的角平分線,。在2。邊上，AD=石,6=3c,則。的值為.

【變式1-1]（23-24高一下?山東青島?期中）在VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b、c,若

b=acosC+—sinC,AD是VABC的角平分線，點(diǎn)。在BC上，AD=#）,b=3c,則。=（）

I3J

A.B.-C.-D.4

333

【變式1-2]（23-24高一下?重慶,期中）在VABC中，/ABC的角平分線8。交AC于點(diǎn)O,若BD=2,

JT

NABC=§,則VABC的面積的最小值為（）

A.6B.2A/3C.縛D.拽

33

【變式1-3]（23-24高一下?廣東佛山?階段練習(xí)）在VABC中，角AB,C的對(duì)邊分別是。，4c,已知

（26-c）cosA-acosC=0,點(diǎn)。在邊BC上，4。是內(nèi)角A的角平分線，且AD=3,則VABC面積的最小值

是.

*>----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、單選題

3

1.（2025?寧夏內(nèi)蒙古?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，BC=8,AC=10,cosZBAC=-,則VABC的面積為（）

A.6B.8C.24D.48

2.（24-25高三上?貴州?階段練習(xí)）在VABC中，內(nèi)角A氏。所對(duì)邊分別為〃也。，若

b

zV§sinAsinBsinC=3sin2B+3sin2C-sin2A，則一=（）

a

A_L73c梃D2

r\.DR.C?U.Z

232

q

3.（2024?吉林,模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，角A,氏C的對(duì)邊分別為及GAA5c的面積為S,則------的最

a+4-bc

大值為（）

A0R及r9715n9715

1681632

4.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,。，^a1+c2-b2=^3ac,

1+V2sinAsin2C

則角A的大小為（)

1—A/2COSAl+cos2C

715兀7兀3兀

A.B.D.

121212T

jrzjr

5.（2024?江西九江?二模）已知在四邊形ABC。中，AC=2BC=2ZACB=ZACD=~,ZADC=—

f63f

則的長(zhǎng)為（）

A也B空CV21-2A/3口721-6A/3

T,亍,3-'-3-

6.（2024?四川樂(lè)山?三模）在VABC中，點(diǎn)￡>是AC邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，若NABD=90。,AB=1,8C=夕,

則<ABC=（）

3「3A/39

B.一D.一

444

__k2__.jr

7.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，AD=jAC,^ADB=-,若CD=2,則訴的最大值為（）

V3+2

B.2C.幣-2D.

2

8.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在丫45。中，角48,。所對(duì)的邊分別為〃也的45m人一51110=（4-/?）（5111人+51116）,

若VABC的面積為也，周長(zhǎng)為勸，則AC邊上的高為（）

4

A.立B.昱C.73D.

32^

9.（2024,安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sin（8-C）+sinA=g,6=6c,

則角C=（）

71717171

A.B.一c.一D.

342

TT

10.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）已知VABC的角A,民C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,ABAC=-,ABAC的平分線

交邊BC于點(diǎn)、D,若ADW,貝U%+2c的最小值為（）

A.2+2拒B.4C.3+20D.3+2出

11.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知VABC角A、B、C的對(duì)邊分別為0、6、c滿足生="叱手，則

a-cS1ILD

角8的最大值為（）

7171712兀

A.—B.-C.—D.—

643