專題11.6角度計算的綜合大題專項訓練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了角度計算的所有類型！

—.解答題（共30小題）

1.（2022?金水區校級期末）“三等分一個任意角”是數學史上一個著名問題.今天人們已經知道，僅用

圓規和直尺是不可能作出的.有人曾利用如圖所示的圖形進行探索，其中A8C。是長方形，尸是延

長線上一點，G是CF上一點，MZACG=ZAGC,ZGAF=ZF.請寫出/ECB和的數量關系，

并說明理由.

2.（2022春?渠縣期末）NMON=90°,點A,B分別在射線。M、ON上運動（不與點。重合）.

（1）如圖①，AE、BE分別是/BAO和/A8。的平分線，隨著點A、點8的運動，NAEB=°

（2）如圖②，若BC是NA2N的平分線，2c的反向延長線與NO4B的平分線交于點。.

①若/BAO=60°,則0；

②隨著點A,8的運動，的大小是否會變化？如果不變，求的度數；如果變化，請說明理由.

3.（2022?永春縣期末）在直角三角板A8C中，NC=90°,NCAB=N2=45°,將三角板的頂點A放置

在直線。E上.

（1）如圖，在4B邊上任取一點尸（不同于點A,B）,過點P作直線/〃。E,當N1=8N2時，求N2

的度數;

（2）將三角板繞頂點A轉動，并保持點8在直線DE的上方.過點B作（F在"的左側），

求NZMC與NEBC之間的數量關系.

4.（2022春?亭湖區校級期中）平移是一種常見的圖形變換，如圖1,△ABC經過平移后得到△AiSG，

連接BAi，ACi，若8Ai平分乙4BC,GA平分/AQS，則稱這樣的平移為“平分平移”.

(1)如圖1,△ABC經過“平分平移”后得到△A1B1G，請問AC和4G有怎樣的位置關系：

(2)如圖2,在△ABC中，ZABC=90°,ZACB=60°,△ABC經過“平分平移”后得到△ASG，

求NAO8的度數.

(3)如圖3,在(2)的條件下，8。平分NABAi，CQ平分/AG4，求4BOG的度數.

(4)如圖4,△ABC經過“平分平移”后得到△481G，平分NA84，G。平分/AG4，若/B4C

5.(2022春?如皋市期末)如圖，△ABC中，ZACB=90°,BD平分NABC交△ABC的邊AC于點。，E

為直線AC上一點，過點E向直線AC的右邊作射線EF,使EF〃BC,作NCEF的平分線EG交射線8。

于點G.

(1)如圖1,NA8C=40°,點E與點A重合，求/G的度數；

(2)若NA8C=a,

①如圖2,點E在。C的延長線上，求NG的度數(用含有a的式子表示)；

②點E在直線AC上滑動，當存在NG時，其度數是否發生變化？若不變，請說明理由；若變化，請直

接用含a的式子表示NG的度數.

6.(2022春?信陽期末)已知：如圖1,在△ABC中，C。是AB邊上的高，ZA=ZDCB.

(1)試說明NAC8=90°；

(2)如圖2,如果AE是角平分線，AE,相交于點?那么NC尸E與NCEF的大小相等嗎？請說明

理由.

圖1圖2

7.(2022春?鼓樓區期末)【概念認識】

如圖①，在/ABC中，若/ABD=/DBE=/EBC,貝！］BD,BE叫做/ABC的“三分線”.其中，BD

是“鄰AB三分線”，BE是“鄰2c三分線

【問題解決】

(1)如圖②，在△ABC中，ZA=70°,ZB=45°,若NB的三分線BD交AC于點D,貝U/BDC

(2)如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是/ABC鄰48三分線和/AC8鄰AC三分線，且BPJ_CP,

求NA的度數;

【延伸推廣】

(3)如圖④，直線AC、2。交于點。，的三分線所在的直線與NACB的三分線所在的直線交于

點尸.若4=66°,NB=45°,ZADB=m°,直接寫出/。PC的度數.

②③④

8.(2022?渦陽縣期末)如圖(a)所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起.

（1）若/。CE=25°,則°；若NAC3=130°,則/。CE=°.

（2）如圖（b）所示，若兩個同樣的三角板，將60°銳角的頂點A疊放在一起，則ND4B與/CAE有

何數量關系，請說明理由.

（3）如圖（c）所示，已知/AO8=a,ZCOD=p（a,p都是銳角）.若把它們的頂點O疊放在一起，

則/AO。與/80C有何數量關系，直接寫出結論.

9.（2022春?豐澤區期末）已知在△ABC中，ZA,ZABC,NACB的度數之比為2：1：6,CZ）平分

在直角三角形中，ZE=90°,ZF=60°.如圖1,△〃￡1〃的邊。F在直線A8上，將繞點

。逆時針方向旋轉，記旋轉角為a(0°<a<180°),完成下列問題.

(1)在△ABC中，ZACB=0,ZBDC=°；

(2)在旋轉過程中，如圖2,當01=0時，DE//AC；當(/=°時，DEA.AC；

(3)如圖3,當點C在內部時，邊DE,分別交BC,AC的延長線于N,M兩點.

①此時，a的取值范圍是；

②與NCA?之間有一種始終保持不變的數量關系，請寫出該數量關系，并說明理由.

10.(2022春?大豐區期中)如圖，在四邊形ABC。中，/A=140°,N￡>=80°.

(1)如圖1,若NB=NC,則/C=度；

(2)如圖2,若/ABC的角平分線BE交。C于點E,5.BE//AD,試求出/C的度數；

(3)①如圖3,若/A8C和NOCB的角平分線交于點E,試求出/BEC的度數；

②在①的條件下，若延長54、C￡＞交于點尸(如圖4).將原來條件“/A=140。，/。=80°”改為“N

尸=40。”.其他條件不變.則/BEC的度數為.

11.(2022春?豐澤區期末)如圖，清晨小明沿著一個五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步.

(1)小明每從一條街道轉下一條街道時，身體轉過的角是哪個角，在圖上標出;

(2)他每跑一圈，身體轉過的角度之和是多少？

(3)你是怎么得到的？

(4)如果廣場是六邊形、八邊形的形狀，那么還有類似的結論嗎？

12.(2022春?井研縣期末)已知在四邊形ABC。中，/C=y,(0°<x<180°,0°<y<180°).

(1)ZABC+ZADC=(用含x、y的代數式表示)；

(2)如圖1,若無=y=90°,OE平分NAOC,平分與NABC相鄰的外角，請寫出。￡與8歹的位置

關系，并說明理由.

(3)如圖2,為四邊形A8CD的/ABC、/AOC相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角，

①當x<y時，若x+y=140°,NDFB=30°,試求x、y.

②小明在作圖時，發現/OFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，NDEB不存在.

13.(2022春?長春期末)如圖1,直線。MLON,垂足為。，三角板的直角頂點C落在/MON的內部,

三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B.

【片斷一】（1）小孫說：由四邊形內角和知識很容易得到N02C+N0DC的值.

如果你是小孫，得到的正確答案應是：ZOBC+ZODC=°.

【片斷二】（2）小悟說：連結8。（如圖2）,若8。平分/OBC,那么也平分/OOC.請你說明當

8。平分N08C時，8。也平分NOOC的理由.

【片斷三】（3）小空說：若。E平分/O￡）C、8斤平分/M8C,我發現OE與8尸具有特殊的位置關系.請

你先在備用圖中補全圖形，再判斷DE與BF有怎樣的位置關系并說明理

14.（2022春?無錫期中）閱讀并解決下列問題:

(1)如圖①，△ABC中，ZA=60°,ZABC./AC8的平分線交于點。，則/B￡)C=.

(2)如圖②，五邊形ABCDE中，AE//BC,EF平分NAED,CF平分/BCD,若/EDC=72。，求/

EEC的度數.

圖①圖②

15.(2022春?冠縣期末)某同學在學習過程中，對教材的一個有趣的問題做如下探究:

【習題回顧】

已知：如圖1,在△ABC中，角平分線8。、C。交于點0.求N80C的度數.

(1)若/A=40°,請直接寫出/BOC=；

【變式思考】

(2)若/A=a,請猜想/80C與ct的關系，并說明理由；

【拓展延伸】

(3)已知：如圖2,在△ABC中，角平分線80、CO交于點O,ODLOB,交邊BC于點。，點E在

CB的延長線上，作NA3E的平分線交C。的延長線于點?若NP=|3,猜想N54C與B的關系，并說明

理由.

圖1

圖2

16.(2022春?淅川縣期末)［規律探索］探索三角形的內(外)角平分線形成的角的規律:

在三角形中，由三角形的內角平分線外角平分線所形成的角存在一定的規律.

規律1：三角形的兩個內角的平分線形成的鈍角等于90°加上第三個內角度數的一半；

規律2：三角形的兩個外角的平分線形成的銳角等于90°減去與這兩個外角不相鄰的內角度數的一半.

［問題呈現］如圖①，點P是AABC的內角平分線8尸與”的交點，點M是△ABC的外角平分線8M與

CM的交點，則/P=90°+^ZA,ZM=90°-|ZA.

說明NP=90°如下：

"：BP、CP是△ABC的角平分線，

：.Z1^-ZABC,Z2=-ZABC.

22

：.ZA+2(Z1+Z2)=180°..........①

1

.?.Zl+Z2=90°--ZA.

2

.,.ZP=180°-(Z1+Z2)=90°+-ZA.

2

請你仔細閱讀理解上面的說理過程，完成下列問題：

(1)上述說理過程中步驟①的依據是.

(2)結合圖①，寫出說明NM=90°—3NA的說理過程.

［拓展延伸］如圖②，點。是AABC的內角平分線8Q與AABC的外角(/AC。)平分線C。的交點.若

NA=50°,則NQ的大小為度.

圖①圖②

17.(2022?驛城區校級期末)在圖1中，己知△ABC中，NB>NC,Ar>_LBC于。，AE平分NBAC,ZB

=70°,ZC=40°,求/DAE的度數.

（2）在圖2中，/B=x,NC=y,其他條件不變，若把“4OL2C于。”改為“尸是AE上一點，FD±

BC于。”，試用x、y表示/DFE=；

（3）在圖3中，當點尸是AE延長線上一點，其余條件不變，則（2）中的結論還成立嗎？若成立，請

說明為什么；若不成立，請寫出成立的結論，并說明為什么.

（4）在圖3中，分別作出/BAE和/EOE的角平分線，交于點P,如圖4.試用x、y表示/尸=1.

DE

圖1

18.（2022春?鎮江期末）定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這兩個角互為

“開心角”，這個三角形叫做“開心三角形”.例如：在△ABC中，ZA=70°,NB=35°,則/A與

/B互為“開心角”，△ABC為“開心三角形”.

【理解】

（1）若AABC為開心三角形，ZA=144°,則這個三角形中最小的內角為°；

（2）若△ABC為開心三角形，/A=70°,則這個三角形中最小的內角為°；

（3）已知NA是開心AABC中最小的內角，并且是其中的一個開心角，試確定/A的取值范圍，并說明

理由；

【應用】

如圖，平分△ABC的內角交8c于點E,C。平分△ABC的外角延長8A和DC交于

點、P,已知/尸=30°,若NBAE是開心△A2E中的一個開心角，設/2AE=/a,求Na的度數.

19.（2022春?興化市期中）如圖，ZAOB=na,C、。兩點分別是邊OA、08上的定點，ZACE=^ZACD,

ZFDO=^ZCDO,射線CE的反向延長線與射線DF相交于點F.

(1)若”=60,Z0)0=75°,求的度數；

(2)若w=75,則/尸=.

(3)隨著〃的變化，/A0B與//數量關系會發生變化嗎？如不變，請求出與/尸的數量關系,

并說明理由.

20.(2022?內江期末)已知，如圖1,直線43〃C。，E、P分別交AB、C。于￡、尸兩點，ZAEF,ZCFE

的平分線相交于點M.

(1)求的度數；

(2)如圖2,ZAEM,NCTM的平分線相交于點跖，請寫出/跖與之間的等量關系，并說明理由；

(3)在圖2中作NAEMi，/CFMi的平分線相交于點〃2，作/AEA3/。尸力上的平分線交于點心，作

ZAEM2020,ZCFM2020的平分線交于點M2021，請直接寫出ZM202I的度數.

B

圖1圖2

21.(2022春?青龍縣期末)已知：△ABC中，圖①中NB、C的平分線相交于圖②中NB、NC的外

角平分線相交于M

(1)若/A=80°，/BMC=°,/BNC=

(2)若試用p表示和/BNC.

22.(2022春?承德縣期末)如圖，已知AB〃C。，現將一直角三角形PMN放入圖中，其中/尸=90°,

PM交AB于點E,PN交CD于點F.

(1)當所放位置如圖①所示時，直接寫出/尸口＞與/AEN的數量關系；

(2)當△尸MN所放位置如圖②所示時，猜想/PFD與NAEM的數量關系并證明；

(3)如圖②，在(2)的條件下，若MN與CD交于點、0,且/。0N=15°,/PEB=3Q°,直接寫出

NN的度數.②

23.(2022春?農安縣期末)探究：如圖①，在△ABC中，ZACB=90°,CZ)_LAB于點D若48=30°,

則/AC。的度數是.

拓展：如圖②，NMCN=90°,射線CP在人MCN的內部，點A、B分別在CM、CN上,分別過點A、

B作AD_LCP、BE_LCP于點。、E.若NCBE=1O°,求/CA。的度數.

應用：如圖③，點A、8分別在/MCN的邊CM、CN上,射線CP在NMCN的內部，點。、E在射線

CP上，連結AD、BE.若NMCN=NADP=/BEP=60°,則/CAL>+/CBE+NACB=.

圖①圖②圖③

24.（2022春?平潭縣期末）已知直線.〃6,直角三角形A8C的邊與直線a分別相交于。、G兩點，與直

線6分別交于E,F點、,且NACB=90°.

（1）將直角三角形ABC如圖1位置擺放，如果/AOG=56°,則；

（2）將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點，ZNEF+ZCEF=180°,請寫出/NEP與/

AOG之間的等量關系，并說明理由；

（3）將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若NGOC=135°,延長AC交直線》于點。，點P是射線

GP上一動點，請用平行的相關知識，探究NPOQ,NOP。與NPQP的數量關系，請直接寫出結論.

25.（2022春?鹽都區期中）如圖，在四邊形中，AD//BC,AB//CD.

【問題情境】

(1)如圖1,若NA=30°,則NC的度數為.

(2)如圖2,點E是A8邊上的一點，OE交的延長線于點RDH平分NFDC,交尸C于點H,若

ZA=50°,ZHDC=45°,求/DFC的度數.

【操作思考】

(3)如圖3,若點E是AB邊上的一點，DE交CB的延長線于點E分別作NEDC、/A2C的角平分線,

兩條角平分線所在的直線交于點G,直線GB交C￡＞于點M.試猜想/OFC與/。G2的數量關系，并說

明理由.

【拓展延伸】

(4)如圖4,若點￡是AB延長線上的一點，3)中的其余條件不變，請直接寫出/DPC與NDGB之

間的等量關系式：______.

u_DAD

二BCF二HBC

圖1圖2圖3圖4

26.(2022春?興寧區校級期末)小穎在學習過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究:

【習題回顧】已知：如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,AE平分/8AC,C。是高，AE,CD相交于點

F.求證：/CFE=NCEF；

【變式思考】在△ABC中，若點。在上移動到圖2位置，使得/ACD=N8,/BAC的角平分線AE

交C。于點?則NCFE與NCEB還相等嗎？說明理由;

【探究延伸】如圖3,在【變式思考】的條件下，△ABC的外角NA4G的平分線所在直線MN與8C的

27.（2022春?祁江區校級期中）已知：MAB//CD,三角板E切中/￡切=90°,NEHF=60°.

（1）如圖1,三角板E“的頂點”落在直線C。上，并使EH與直線AB相交于點G,若/2=3/1,

則/I的度數=;

（2）如圖2,當三角板EF”的頂點月落在直線A8上，且頂點”仍在直線C￡）上時，跖與直線CD相

交于點試確定NE、NAFE、的數量關系；

（3）如圖3,當三角板瓦汨的頂點廠落在直線AB上，頂點X在A3、CD之間，而頂點E恰好落在直

線C。上時得△石切，在線段E8上取點P,連接"并延長交直線CD于點T,在線段E尸上取點K,連

接PK并延長交NCE/I的角平分線于點Q,若/Q-/HFT=15°,且/EFT=/ETF.

①探求：/叱T與NAPE的數量關系，并說明理由；

②求證：PQ//FH.

28.（2022春?阜寧縣校級月考）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，

請說明ZA+ZB=ZC+ZD；

【簡單應用】

(2)閱讀下面的內容，并解決后面的問題：如圖2,AP、CP