第16講分數的意義和性質

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學習目標

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IQ考點剖析

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知識點01分數與除法

1、分數與除法的關系

(1)用文字表示是：

被除數+除數=;

除數

(2)用字母表不是：

分數：表示兩個正整數P、q相除的式子，可以用分數“表示，讀作q分之p.

q

即〃+q=其中p為分子，q為分母.

q

特別地，當q=l時，-=p,例如3一=3=3.

q1

【典例分析】

1.一根繩子對折3次，每一小段是這根繩子的()

11_11

A.—B.-C.-D.—

36816

【答案】c

【分析】設繩子長為1,對計算求解即可.

222

【詳解】解：設繩子長為1,對折3次，每一小段是這根繩子的lx!x：x：=:

2228

故選C.

【點睛】本題考查了分數的乘法.解題的關鍵在于根據題意列式子.

2.下列哪個分數不能化成有限小數（）

A.AB.Ac.AD.i

1630256

【答案】D

3

【詳解】解：A、3是最簡分數，分母中只含有質因數2,能化成有限小數，故本選項不

合題意；

8、*=［是最簡分數，分母中只含有質因數5,能化成有限小數，故本選項不合題意；

Q

C、費是最簡分數，分母中只含有質因數5,能化成有限小數，故本選項不合題意；

。、J是最簡分數，分母中含有質因數3和2,不能化成有限小數，故本選項符合題意.

6

故選：D.

【點睛】本題主要考查什么樣的分數可以化成有限小數，解題的關鍵是掌握根據一個最簡分

數，如果分母中除了2與5以外，不再含有其它的質因數，這個分數就能化成有限小數；如

果分母中含有2與5以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數.

3.如圖所示的數軸中，點”表示分數士，那么表示分數;的點是（）

0乙

—11JI1JJJJI1111~>

oMABCD

A.點AB.點2C.點CD.點。

【答案】B

【分析】通過M表示的數，得到該數軸的長度單位，然后結合分數分析，找到表示/的點，

即可得到答案.

【詳解】：點M離開原點兩個單位長度是J

數軸上每個單位長度表示，

,/—x6=1

122

，在原點右側6個單位長度的點表示/，即點B.

故選：B.

【點睛】本題考查了數軸、分數的知識；解題的關鍵是熟練掌握數軸、分數的意義，從而完

成求解.

4.要使"是假分數，?是真分數，尤就是（）

A.6B.7C.8D.5

【答案】B

【分析】根據真分數的定義分子小于分母，假分數的定義分子大于等于分母求解即可.

【詳解】解：因為"是假分數，所以尤大于等于7,

因為5是真分數，所以無小于8,

O

故x就是7,

故選：B.

【點睛】此題主要考查真分數和假分數的概念，明確題意真分數和假分數的定義是解答本題

的關鍵.

5.有一串數，1］.2112f,3f1,Y2，4,344,:…從左往右數，第16個數是________.

1223334444

【答案】I

6

【分析】根據己知數列發現以〃為分母的分數有幾個，分子從1到“，從而判斷第16個數.

【詳解】解：以1為分母的分數有1個，分子是1,

以2為分母的分數有2個，分子從1到2,

以3為分母的分數有3個，分子從1到3,

以4為分母的分數有4個，分子從1到4,

即以w為分母的分數有"個，分子從1到"，

則以5為分母的分數有5個，分子從1到5,

以6為分母的分數有6個，分子從1到6,

.-.1+2+3+4+5=15,

則第16個數是以6為分母的第一個數，即為,，

6

故答案為：—.

0

【點睛】本題考查了數字型規律，解題的關鍵是根據已知數字得到分子和分母的規律.

6.把下列各圖中的“陰影部分面積”除以“空白部分面積”所得商（用最簡分數表示）填在圖

形下面的括號內.

)()A、B為中點()

…士.112

【答案】5,3'7

【分析】先分別表示出陰影部分和空白部分的面積或者所占的份數，根據題意相除約分即可.

【詳解】(1)把這個長方形的面積看作單位“1”，把它平均分成6份，陰影部分占其中的2

21

份，空白部分占4份，用分數表示是

42

(2)把這個三角形的面積看作單位“1”，因為A是中點，根據等底等高的三角形的面積相等,

所以陰影部分的面積是左邊大三角形的面積的一半，又因為2是中點，所以左面大三角形

的面積是整個大三角形面積的一半，所以陰影部分占空白部分面積的;；

(3)把這個長方形長看作5,寬為1,則面積是5；陰影部分是三角形，底是4,高是1,

2

則面積是：4xl.2=2,空白部分的面積是3,所以陰影部分占空白部分的

112

故答案為：—,—,—.

【點睛】解答本題的關鍵是正確找到單位“1”，并正確理解分數的意義：把單位力”平均分成

若干份，表示這樣一份或幾份的數.

知識點02分數的基本性質

1、分數的基本性質

分數的分子和分母都乘以或都除以同一個不為零的數，所得的分數與原分數的大小相

等.即：-=----=-----(bwO,左w0,

bbxkbfn

2、約分

把一個分數的分子與分母的公因數約去的過程，稱為約分；約分的目的：化成最簡分數.

3、最簡分數

最簡分數:分子和分母互素的分數.

將分數化為最簡分數，可以將分子、分母分別除以它們的最大公因數，也可以不斷的

約分，直到分子、分母互素為止.

【典例分析】

7.一個分數的分子擴大為原來的4倍，分母縮小為原來的那么分數值（）

A.縮小為原來的!B.擴大為原來的8倍

O

C.擴大為原來的16倍D.不變

【答案】B

【分析】首先設出這個分數，然后根據分子擴大4倍、分母縮小2倍，得到的新分數與原分

數比較即可.

【詳解】解：設原來的分數為上，

a

為X4RAA

分子擴大4倍，分母縮小2倍后為：幺==吆=8x2,

因此這個分數擴大了8倍.

故選：B.

【點睛】本題利用分數的基本性質解答問題，先觀察分子或分母之間的變化，發現規律，再

進一步通過計算解答問題.

O

8.下列各分數中，與義不相等的分數是（）

12

2r4-10-30

A.—B.—C.—D.—

361845

【答案】c

【分析】將分數通分后判斷即可.

【詳解】解：因為己="故A不符合題意；

42

故B不符合題意；

63

瞿=泊,故C符合題意；

lo63

%30故2D不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查了通分的認識及應用，正確通分是解題的關鍵.

o1cQ1771

9.在亍、會與、玲、三中最簡分數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】依據分數的基本性質，即分數的分子和分母同時乘上或除以相同的數（0除外），

分數的大小不變，從而可以正確進行作答.

【詳解】解：??1.5二=3:，

...它不是最簡分數，

..17_1

?，

513

，它不是最簡分數，

..21_3

?,

142

???它不是最簡分數，

O/Q是最簡分數，故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了最簡分數的定義，分數的基本性質，熟練掌握分數的性質，是解題

關鍵.

知識點03分數的大小比較

1、公分母

兩個異分母的分數9、-（縱c為常數，且awe、。工0、cwO）要化成同分母的分

ac

數，分母必須是a和c的公倍數，這個分母叫做公分母.

其中a和。的最小公倍數，稱為最小公分母.

2、通分

將異分母的分數分別化成與原分數大小相等的同分母的分數，這個過程叫做通分.

3、分數的大小

分母相同的分數，分子大的分數較大；

分子相同的分數，分母小的分數較大.

4、分數的大小比較

（1）利用通分的方法，將異分母的分數化為同分母的分數，再比較大小；

同分母兩個分數：分子大的分數較大；

即.j異分母兩個分數：找分普4我倍數＞化為同分母,再比較

（2）應用分數的基本性質，將各個分數的分子化為相同的，再比較大小.

【典例分析】

1。.比較大小：］3

-（在橫線上填寫

O

【答案】＞

51039109

【分析】通分1rM丁彳根據分母相同的兩個分數分子大的分數大推出才五，得

M53

至U——>一.

128

【詳解】喋1039口109

—=--,且--->---

248242424

.5、3

128

故答案為：＞.

【點睛】本題主要考查了分數的大小比較，解決問題的關鍵是熟練掌握通分，分數大小比較

的方法步驟.

11.商場一樓到二樓的手扶電梯有7級，步行臺階有8級；小明站在電梯的第6級，小華站

在臺階的第7級，他們倆站的高一點.

【答案】小華

【分析】直接根據異分母異分子分數的大小比較判斷即可.

648749

【詳解】解：小明的高度為7—,小華的高度樂.，

4849

—〈—，

5656

故小華站得高一點.

故答案為：小華.

【點睛】本題考查了異分母異分子分數的大小比較，解題時注意“手扶電梯”與“步行臺階”

整體相同.

?3

12.寫出一個比!■大，且比:小的最簡分數是

【答案】匕7

【分析】將兩個分數通分，然后根據最簡分數的定義結合題意即可求解.

2439

【詳解】解：.??丁透廠透

???比|2?大，且比3:小的最簡分數可以是三7，

7.

故答案為：—（答案不唯一）

12

【點睛】本題考查了分數的通分，最簡分數，分數的大小比較，將兩個分數通分是解題的關

鍵.

真題演練

1.（2022秋?上海閔行?六年級上海市閔行區莘松中學校考期中）一個分數的分子擴大為原

來的4倍，分母縮小為原來的那么分數值（）

A.縮小為原來的!B.擴大為原來的8倍

O

C.擴大為原來的16倍D.不變

2.（2022秋?上海嘉定?六年級統考期中）把分數/的分子擴大為原來的4倍，分母縮小為

b

原來的g,所得的分數比原來（）

A.擴大到原來的7倍B.縮小到原來的12倍C.不變D.擴大到原

來的12倍

3.（2022秋?上海普陀?六年級統考期中）下列等式正確的是（)

A33+1-33x0c33+3-33x3

D——=-----

44+144x0?44+444x3

4.（2022秋.上海長寧.六年級上海市復旦初級中學校考期中）下列分數3'6--74Q

仁O1中是最簡分數的個數為（）

12

A.2個B.3個C.4個D.5個

QQ

5.（2022秋?上海.六年級校考階段練習）大于-三且小于一百的分數有（）

717

A.0個B.1個C.2個D.無數個

897

6.（2022秋?上海?六年級校考階段練習）如果b,c,d均為正數，且彳〃=1.2/7=匚。=彳〃,

353

那么。，b,c,d中最大數為（）

A.aB.bC.。D.d

7.（2021秋.上海嘉定.六年級統考期中）一個分數的分子縮小至原來的分母擴大至原

來的2倍，那么結果是（）

A.與原分數相等；B.是原分數的倒數；C.是原分數的J；D.是原分數的4倍.

8.（2023秋?上海松江?六年級統考期末）如果看是真分數，巳是假分數，那么滿足條件的

正整數。有（）

A.4個；B.3個；C.2個；D.1個.

9.（2022秋.上海閔行?六年級上海市閔行區莘松中學校考期中）下面說法中，正確的是（）

A.真分數小于1,假分數大于1B.小于1的真分數有4個

C.最簡分數的分子和分母沒有公因數D.假分數的倒數不一定是真分數

10.（2022秋?上海靜安?六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）在下列分數中，

大于:且小于二的數是（）

64

A.—；B.—；C.—；D.

11.（2022秋.上海靜安.六年級上海市靜安區教育學院附屬學校校考期中）比較大小：

54

1-1-（填或"="）.

97

12.（2022秋.六年級校考單元測試）用最簡分數表示：72分鐘=小時；1250米=

千米；3250克=千克；80小時=天

13.（2022秋?上海浦東新?六年級校考期中）〃是正整數，若士2是真分數，29是假分數，則

aa

滿足條件。的有個.

14.（2022秋?上海寶山?六年級統考期中）分母為12分數值小于;且大于!的最簡分數是

/3

15.（2021秋?上海普陀?六年級校考階段練習）一個分數的分子比分母小4,約分后得到;,

則原分數為.

16.（2021秋?上海普陀.六年級校考階段練習）己知。為正整數，且多是假分數，技是最

簡真分數，那么。=.

17.（2021秋?上海嘉定?六年級統考期末）寫出一個比;大，但是又比g小的最簡分數:

（寫出符合題意的一個答案即可）.

h

18.（2022秋?六年級校考單元測試）若士是最簡分數，且。、6的最小公倍數是156,則這

a

樣的最簡分數有個？（不含能化為整數的最簡分數）

19.（2022秋?上海松江.六年級統考期中）已知：=g===

9'。=!=;一:；…；請根據這個規律計算

452045

參考答案：

1.B

【分析】首先設出這個分數，然后根據分子擴大4倍、分母縮小2倍，得到的新分數與原分

數比較即可.

【詳解】解：設原來的分數為士，

a

辦*4RAA

分子擴大4倍，分母縮小2倍后為：y=.=8x±,

<74-2aa

因此這個分數擴大了8倍.

故選：B.

【點睛】本題利用分數的基本性質解答問題，先觀察分子或分母之間的變化，發現規律，再

進一步通過計算解答問題.

2.D

【分析】根據題意得到變化后的分數進而即可求解.

,4a12。

a1----=-----

【詳解】解：???分數:的分子擴大為原來的4倍，分母縮小為原來的;，得：b，

b3-b

所得的分數擴大到原來的12倍，

故選D.

【點睛】本題主要考查分數的基本性質，根據題意得到變化后的分數是關鍵.

3.D

【分析】分數的性質是分數的分子和分母同時乘以或除以一個不為0的數,分數的值不變.由

此即可得.

【詳解】解：A、=H則此項錯誤，不符合題意；

4+154

3x0

B、片的分母為。，沒有意義，則此項錯誤，不符合題意；

4x0

C、-33-3=1^34,則此項錯誤，不符合題意；

4?44

D、==*，則此項正確，符合題意；

44x3

故選：D.

【點睛】本題考查了分數的性質，熟練掌握分數的性質是解題關鍵.

4.B

【分析】根據最簡分數的定義即可求解，不能再約分的分數.

「辛鏟、赳*36374938127

【詳解】觸在小--石，五二，1rl中，

,37白4，是最簡分數，個數為3個，

o325

故選：B.

【點睛】本題考查了最簡分數，掌握最簡分數的定義是解題的關鍵.

5.A

ao

【分析】比較和-白大小即可得出結論.

717

3_5156

【詳解】解：???

7~U9119

??>,

717

□Q

...大于-:且小于一百的分數不存在，

717

故選：A.

【點睛】本題主要考查了有理數大小的比較，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小.

6.B

【分析】設38=L26=￥9=17d=z,求出a,b,c,d,再進行比較，即可.

897

【詳解1?.,設一a=1.2b=—c=—d=z,

353

._3,_5_5,_3

??4=-z,b——z,c=—Z,U=-Z,

8697

V8,6,7,9的最小公倍數是504,

.189,420280z216

..Q=zb-----z,c=------z,d-z,

504f504504504

??b>c>d>a,

???最大的數是人.

故選：B.

【點睛】本題考查分數大小的比較，解題的關鍵是設：8Q=L2b=￡9c=:7d=z,求出。，b,

C,d.

7.C

【分析】根據分數的基本性質解答即可.

【詳解】解：設這個分數是由題意得

Z?x—,

2-b,

QX2ax4

...結果是原分數的

4

故選C.

【點睛】本題主要考查了分數的基本性質，熟練掌握分數的基本性質是解答本題的關鍵.分

數的分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數（這兒講的倍數除0外），分數的大小不變，這

叫做分數的基本性質.

8.C

【分析】根據真分數與假分數的意義可知，真分數的分子〈分母，真分數＜1,假分數的分

子2分母，假分數21，所以124。＜14.即。可為12,13.滿足條件的正整數。有2個.

【詳解】解：因為真分數＜1,假分數N1,

所以，

即。可為12,13.滿足條件的正整數a有2個，故C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了分數，根據真分數與假分數的意義進行解答即可.

9.D

【分析】根據真分數、假分數、最簡分數、倒數的定義逐項判斷，即可得出正確答案.

【詳解】解：真分數小于1,假分數大于等于1,故A選項描述錯誤，不合題意；

真分數都小于1,故B選項描述錯誤，不合題意；

最簡分數的分子和分母只有公因數1,因此C選項描述錯誤，不合題意；

當假分數大于1時，它的倒數是真分數，當假分數等于1時，它的倒數不是真分數，因此D

選項描述正確，符合題意.

故選D.

【點睛】本題考查真分數、假分數、最簡分數、倒數的概念，解題的關鍵是熟練掌握定義，

注意假分數可能等于1,最簡分數的分子和分母只有公因數1.

10.A

【分析】化為小數比較即可.

【詳解】7s0-17-7=0-25.

64

A.1=0.2,符合題意；

2

B.—=0.4,不符合題意；

C.1?0.14,不符合題意；

2

D.-?0.33,不符合題意.

6

故選A.

【點睛】本題考查了分數的大小比較，把分數化為小數是解答本題的關鍵.

11.<

【分析】通分，化成同分母的分數，再比較大小即可.

5_14_98411999899

【詳解】解:—〈—

9~~9~6397-7-636363

故答案為：＜.

【點睛】本題考查了分數大小的比較，化成同分母的分數是解題的關鍵.

c651310

12.--——

5443

【分析】先轉換每個數的單位，除以他們之間的進率，再將分數約分即可.

【詳解】解：72+60=芻=?,72分鐘=■1小時，

6055

1250+1000=^^=9,1250米=*千米，

100044

32501313

325°+10°°=麗=彳'325。克=彳千克'

8。口普二絲，8。小時=3天.

2433

士生651310

5443

【點睛】本題考查了單位的換算及分數的約分，正確的按照進率換算單位是解答本題的關鍵.

13.7/七

【分析】根據真分數與假分數的意義可知，真分數的分子〈分母，真分數＜1,假分數的分

子N分母，假分數N1,所以34aV9.即。可為3,4,5,6,7,8,9.

?9

【詳解】解：a是一個正整數，若*是真分數，Z是假分數，則滿足條件的。有3,4,5,6,

aa

7,8,9,共7個.

故答案為：7.

【點睛】本題主要考查了真分數與假分數，此題主要根據真分數與假分數的意義進行解答即

可.

14.A

12

【分析】根據題意列出不等式，變成同分母分數，即可解得.

【詳解】解：設這個最簡分數是土

根據題意可得

1x1

-<—<—,

3122

4x6

——<——<——,

121212

???白分母為12的最簡分數，

12

??x—5,

故答案為：

【點睛】此題考查了最簡分數，解題的關鍵是通分.

15.—

16

Y3

【分析】根據題意，設這個分數的分子是尤，則分母是尤+4,所以」二==,然后根據比

x+45

例的基本性質，求出的值是多少，即可求出這個分數是多少.

【詳解】解：設這個分數的分子是X,則分母是X+4,

貝!J有：3x=2(x+4)

3x=2x+8,

3x-2x=2x+12-2x

x=12

解得犬=12

12+4=16

12

所以這個分數是9

16

12

故答案為：--.

io

【點睛】此題主要考了約分的方法，熟悉相關性質是解題的關鍵.

16.7或9

【分析】根據假分數和最簡真分數的概念確定取值范圍即可.

【詳解】解：是正整數，且1是假分數，養是最簡真分數，

???，大于或等于7,小于10,

a=7,9

故答案為：7或9

【點睛】本題考查了假分數和真分數，理解假分數和真分數的定義是解題的關鍵.真分數是

指分子小于分母的分數，分數值大于1或等于1的分數，即分子大于或等于分母的分數稱假

分數.

17.三（答案不唯一）

12

【分析】分母2和3的公倍數有6,12,18...,依據分數基本性質，分別把g和1■化為分母

是6,12,18…的分數，找出一個大于:小于J的最簡分數即可.

J/

■、斗無刀刀1_1x4_41_1x6_6

【詳觸】解：二藪TITr表nr

456

?,—<,—<1—

,121212'

151

一<—<一,

3122

故答案為：I-（答案不唯一）.

12

【點睛】本題考查了分數的基本性質通分，解題的關鍵是掌握分數的基本性質.

18.7

b

【分析】2是最簡分數，且。、匕的最小公倍數是156,即。、b互質，可以先將156分解質

a

因數，然后用列舉法進行解答即可.

【詳解】解:156=2x2x3x13,

???b士是最簡分數，即〃、b互質，

a

12133943521

.??這樣的分數有：自透不’才五‘了,育共有7個.

故答案為：7.

【點睛】本題考查了最簡分數和質數的定義，互質數的認識，掌握質數定義是解答本題的關

鍵.

【分析】根據分數分解的規律可以發現第一項的減數和第二項的被減數正好抵消，以此類推,

整個式子就只剩第一項的被減數和最后一項的減數，依照這個規律可得到結果.

【詳解】—+—+—+—??■+——-——

2x33x45x67x82021x2022

2334567820212022

22022

故答案為：而T

【點睛】本題考查了分數的分解規律，依照規律發現加減可以相互抵消，進而可以解決本題,

但是本題難度大，需要很強的理解能力和運算能力.

國過關檢測

1.一個帶分數，它的分數部分的分子是3,把它化成假分數后，分子是52,求這個帶分數.

2.下列圖形中用陰影部分畫出表示:的圖形，至少用四種不同的方法（分割相同，位置不

4

同，算一種）.

3.分子為1的分數叫單位分數，也叫埃及分數.埃及人將一個分子不是1的分數拆分為幾

個不同的單位分數再計算.例如：:2=F4==1+=3V+133=V1+1=.

6662

請仿照上述過程，將!4拆分為三個不同的單位分數之和.（請寫出一個符合條件的表達式）

4.分子為1的分數叫做單位分數.早在三千多年前，古埃及人就利用單位分數進行書寫和

計算.將一個分數分拆為幾個不同的單位分數之和是一個古老且有意義的問題.例如:

31+21211241+31311

—=----=—?—=—?—?—=—==—?—=—?—

4444423666662

⑴仿照上例分別把分數］5和三3分拆成兩個不同的單位分數之和.

o5

53

8

311131+2121131113

⑵在上例中，又因為—+——+-所以:—+—+院即”

26~6~6663446

以寫成三個不同的單位分數之和.按照這樣的思路，它也可以寫成四個，甚至五個不同的單

位分數之和.根據這樣的思路，探索分數，能寫出哪些兩個以上的不同單位分數的和？

O

5（1）123

操作：如果把圓的面積看作整體1，請在圖中用陰影部分表示出分數：,pr

4.11+122+133+14

不，再觀察式子，—;J-=J;------=—?------=—

3+14'4+15

思考并回答下列問題.

1234

⑵把分數9I,“二由小到大的順序排列是—

20052007

（3）比較大小.（填“V”或.

20062008

（4）如果一個分數f（。<6且a,b為正整數）的分子和分母都加上1,所得的分數一定比

b

原來的分數（填“大”或“小”）.

（5）請猜想，如果一個分數;（a<b且a,6為正整數）的分子和分母都加上相同的自然

數，所得的分數（）

A.一定比原來的分數大

B.一定比原來的分數小

C.與原來的分數相等

D.可能比原來的分數大，也有可能與原來的分數相等

6.一個分數如果分母加上4,它的值為是如果分子加上1,它的值就等于1,求這個

分數.

參考答案

【分析】根據已知的要求得到整數部分和分母的乘積為49,確定49的因數即可得到整數部

分及分母的值，由此得到答案

33

【詳解】解：整數部分和分母的乘積為49,而49=7x7=1x49,所以分數為7亍或1石.

【點睛】此題考查了帶分數與假分數之間的互化以及帶分數的概念.

2.見解析

【分析】根據三角形的中線平分三角形的面積，即可畫出.

【詳解】解：如圖，陰影部分即為所求：

【點睛】本題考查了三角形中線與面積的關系，熟練掌握三角形的中線平分三角形面積是解

決問題的關鍵.

【分析】將:寫成M進