專題04全等三角形壓軸題(六大題型)

目錄：

題型1：一線三等角構造全等模型

題型2：手拉手模型一旋轉型全等

題型3：倍長中線模型

題型4：平行線+線段中點構造全等

題型5：等腰三角形中的半角模型

題型6：對角互補且一組臨邊相等的半角模型

題型1：一線三等角構造全等模型

1.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,過點C作直線MN,AM_LMN于點BN工MN于點、N.

(1)若MN在4ABC外(如圖1),求證：MN=AM+BN；

(2)若MN與線段A8相交(如圖2),且AM=2.6,BN=1.1,則MN=.

圖1圖2

2.(1)猜想：如圖1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機經過點A,8￡)J_直線加，C￡±

直線加，垂足分別為點。、E.試猜想OE、BD、CE有怎樣的數量關系，請直接寫出；

(2)探究：如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，

AB^AC,D,A、E三點都在直線機上，并且有NBZM=/AEC=/BAC=a(其中a為任意銳角或鈍角)

如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)解決問題：如圖3,F是角平分線上的一點，且△48尸和AA”均為等邊三角形，。、E分別是直

線加上A點左右兩側的動點，D、E、A互不重合，在運動過程中線段DE的長度始終為71,連接BD、

CE,若試判斷△DEE的形狀，并說明理由.

圖1圖2圖3

3.如圖所示，在R3ABC中，/C=90。，點。是線段CA延長線上一點，且AO=AB.點尸是線段AB上

一點，連接。尸，以為斜邊作等腰Rt△。在1.連接EA,且

(1)若NAEP=20°,ZADE^5Q°,貝°；

(2)過。點作DGLAE,垂足為G.

①填空：；

②求證：AE=AF+BC；

(3)如圖2,若點尸是線段8A延長線上一點，其他條件不變，請寫出線段AE,AF,之間的數量關

系，并簡要說明理由.

B

DACF

圖1圖2

4.在AABC中，ZACB=90°,AC^BC,直線MN經過點C,且于點。，BELMN于點、E.

(1)當直線MN繞著點C旋轉到如圖1所示的位置時，

求證：①AADgACEB；

?DE=AD+BE-,

(2)當直線MN繞著點C旋轉到如圖2所示的位置時，

①找出圖中一對全等三角形；

②DE、AD,8E之間有怎樣的數量關系，并加以證明.

M,二

(圖1)

題型2：手拉手模型一旋轉型全等

5.1初步感知1

如圖①，△ABC和△CDE都是等邊三角形,連接A。、BE.小組同學發現：

(1)△ACD與△8CE全等，依據是(填寫全等三角形判定定理);

(2)線段依據是__________________；

【拓展探究】：

如圖②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC=BC,CD=C、E,NACB=NDCE=a,AD,BE相交于

點連接CM.

(3)線段BE與之間是否仍存在(2)中的結論？若存在,請說明理由；

(4)ZAMB=_______(用含a的式子表示)，并說明理由.

;二A，

DcAc

圖①圖②

6.【基礎鞏固】（1）如圖1,在AABC與中，AC^BC,CD=CE,NACB=NDCE,連接A。，BE；

求證：&ACD沿ABCE；

【嘗試應用】（2）如圖2,在AABC與ACDE中，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°,連接AD

BE,A、O、E三點在一條直線上，8c與。E交于點F；

①求NB區4的大小；

②若。P=3所且BE=2,求ABCE的面積；

【拓展提高】（3）如圖3,在△A8C與△CZJE中，AC=BC,CD=CE,NACB=/DCE=90。，點、G為

OE的中點，AE交BC于點H,連接G8,若GXL4B,且SAABH為18,求CH的長.

圖1圖2圖3

7.在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF,連接BE,CF.

【發現問題】如圖①,若/BAC=30。，延長BE交CF于點D,則BE與CF的數量關系是,

NBDC的度數為.

【類比探究】如圖②，若/8AC=120。，延長BE,FC相交于點。，請猜想BE與CF的數量關系及NBOC

的度數，并說明理由.

【拓展延伸】如圖③，若NBAC=90。，且點8,E,尸在同一條直線上，過點A作AM,3凡垂足為點

請猜想8尸，CF,AM之間的數量關系，并說明理由.

8.在AABC中，AB=AC,點。是直線8C上一點（不與8、C重合），以AO為一邊在AO的右側作△ADE,

AD=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.

（1）如圖1,當點D在線段BC上，如果NBAC=90。.

①則△A3。與△ACE全等嗎？請說明理由；

②求/8CE的度數；

（2）如圖2,如果NBAC=60。，當點。在線段8C上移動，則NBCE的度數是°；

（3）如圖2,當點。在線段BC上，如果/BAC=60。，。點為△ABC中BC邊上的一個動點（D與B、

C均不重合），當點。運動到什么位置時，AOCE的周長最小？

9.感知：如圖①，△A3C和△A即都是等腰直角三角形，ZBAC^ZDAE^9Q°,點B在線段上，點C

在線段AE上，我們很容易得到BD=CE,不需證明.

探究：如圖②，將△AED繞點A逆時針旋轉a(0<a<90。)，連結8。和CE,此時8O=CE是否依然成

立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由.

應用：如圖③，當△AOE繞點A逆時針旋轉，使得點。落在BC的延長線上，連結CE.

①NACE的度數為度；

②線段CD、CE之間的數量關系是；

③若AB=AC=&,CD=1,則線段。E的長為.

圖①圖②圖③

題型3：倍長中線模型

10.在R3A8C中，AC=BC,ZACB=9Q°,以8C為斜邊作R3EBC,ZBEC=90°,再將BE繞點8逆

時針旋轉90。得到BR連接所分別交BC,AB于點G,點、D.

(1)如圖1,A8EC在8c右側，/EBC=30。,AC=2,求△8FG的面積；

(2)如圖2,ABEC在BC右側，點。是A8的中點，求證：DE=42CE+DF；

(3)如圖3,ABEC在8c左側，FE的延長線過A8的中點。，當點E在8。的中垂線上時，CE交AB

于點H,直接寫出‘ABCH

的值.

^ABDF

圖1圖2圖3

11.為了進一步探究三角形中線的作用，數學興趣小組合作交流時，小麗在組內做了如下嘗試：如圖1,在

△ABC中，是BC邊上的中線，延長A。到使。連接3M.

AAE

P

B

/D

D

圖1圖2圖3

【探究發現】：(1)圖1中AC與8M的數量關系是，位置關系是

【初步應用】：(2)如圖2,在△ABC中，若AB=12,AC=8,求2C邊上的中線AD的取值范圍.(提

示：不等式的兩邊都乘或除以同一個正數，不等號的方向不變.例如：若3x<6,則無<2.)

【探究提升】：(3)如圖3,AD是AABC的中線，過點A分別向外作A3、AFLAC,使得

AF^AC,延長ZM交所于點P,判斷線段所與A。的數量關系和位置關系，請說明理由.

12.數學課上，老師提出一個問題：如圖1,已知等腰直角△ABC,AB=AC,等腰直角△CZ)E,DC=DE,

連結BE,F為BE中點，連結AF,DF,請探究線段AF,之間的關系.

小明通過思考，將此探究題分解成如下問題，逐步探究并應用.請幫助他完成：

(1)如圖1,延長A尸至A,使得AF=4R連結4E,則線段AB與線段4E的數量關系為,

位置關系為;

(2)如圖2,延長ED交延長線于點G,連結A。，A'D.小明的思路是先證明△AC￡)g△A，E￡),進

而得出4。與4。的關系，再繼續探究.請判斷線段AR之間的關系，并根據小明的思路，寫出完

整的證明過程._

(3)方法運用：如圖3,等邊AABC與等邊ADEC,點、D,E在△ABC外部.AB=4,DE=2愿，連結

B。，點尸為8。中點，連結AF,BE,若AF=3,請直接寫出BE的值.

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

如圖1,AABC中，若A2=8,AC=6,求3C邊上的中線的取值范圍.小明在組內經過合作交流，

得到了如下的解決方法：延長AD到點E,使Z)E=A。，請根據小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△ADC2AEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范圍是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<A￡><7

【感悟】

解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所

求證的結論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖2,4。是△ABC的中線，8E交AC于E,交于尸，S.AE=EF.求證：AC=BF.

14.如圖1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC^BC,點。是AB邊上的一點，將線段CD繞點C

逆時針旋轉90。得到線段CE,連結BE,AE.

(1)①填空：線段BD與AE的數量關系是，位置關系是;

②證明上述結論成立._

(2)如圖2,F是的中點，連結5交BE于H,若BC=4,BD=V5時，求CF的長.

題型4：平行線+線段中點構造全等

15.如圖，已知點4,B為直線MN外兩點，且在異側，連接A8,分別過點A作ACLMN于點C,過

點8作于點。，點尸是線段8。上一點，連接B交AB于點E.

(1)下列條件：

①點廠是。8的中點；

②點E是A3的中點；

③點E是C尸的中點.

請從中選擇一個能證明AC=BF的條件，并寫出證明過程；

(2)若AC=BR且AC=5,BD=13,CE=6,求C￡>的長.

M

16.【發現】如圖①，點。為線段A3,C￡)的中點，連接AC,BD,我們易得△AOC0△8。。，進而可以得

至ljAC=8。，S.AC//BD.

【應用】如圖②，在R3A8C中，AB=CB,乙48。=90。，點。為線段AC上一點，以為斜邊作等

腰直角AAED(點A,E,。按順時針順序排列)，即AE=OE,NAED=90。,取C。的中點R連接2尸，

EF,BE.

(1)求乙以m的度數.

(2)求證：ZEBF=45°.

【拓展】

(3)若將(2)中的點。改為直線AC上一點，其他條件不變，設直線BE與直線AC相交于點G,當

AB=CB=6如,8尸=2^/15時，請直接寫出FG的長.

圖①圖②備用圖

17.【思維啟迪】

(1)如圖1,點尸是線段AB,CD的中點，則AC與BD的數量關系為，位置關系

為;

【思維探索】

(2)如圖2,在△ABC中，/ACB=90。，點。為△ABC內一點，連接B。，DC,延長。C到點E,使

CE=CD,連接AE,若請用等式表示AB,BD,AE之間的數量關系，并說明理由；

★小明思考良久后，根據CE=C。這一條件，給出了如圖4的輔助線：延長AC到T,使得CT=AC,連

接。T,8T.請你根據小明給出的輔助線，繼續猜想A3,BD,AE之間的數量關系，并說明理由.

(3)如圖3,在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,點。為AB中點，點E在線段BD上(點E不與點

B,點D重合)，連接CE,過點A作AFLCE,連接FD.若A尸=8,CF=3,請求出FD的

18.如圖，△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,在平面內取一點。連接AD、BD,點、。為

線段的中點，連接C。并延長到點R使OP=CO.以為直角邊，順時針方向作等腰RtADEB,

DB=EB,/DBE=90°,連DE,CE,BF.

（1）如圖1,當。在BC邊上時，請直接寫出CE與3尸的位置和數量關系；

（2）如圖2,當。在△A8C的內部時，其他條件不變，（1）中的結論是否成立？若成立，請給予證明;

若不成立，請說明理由；

19.在△ABC中，BC=8,兩條高A。，BE交于點尸是Q/的中點，連接AF并延長交邊2C于點G.

（1）如圖1,若△ABC是等邊三角形，

①求證：AH=2DH；

②求CG的長；

圖1圖2

題型5：等腰三角形中的半角模型

20.綜合與實踐

問題情境：數學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在AABC中，點。在AC邊上，AE±BD

于F交BC于E,NABD=2/CAE.求證

獨立思考：（1）請解答王師提出的問題.

實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面條件，并提出新問題，請你解答.“如圖

2,作EGLAC于點G,若AE=BD,探究線段與CE之間的數量關系，并證明.”

問題解析：(3)數學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發現，當點G與點D重合時，連接

CF,若給出DE的值，則可求出的值.該小組提出下面的問題，請你解答."

如圖3,在(2)的條件下，當點。與點G重合時，連接CR若。E=?,求C尸的長”.

圖1圖2圖3

21.如圖1,AABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以。為頂點作一個60。

角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN.

(1)探究BM、MN、NC之間的關系，并說明理由.

(2)若△ABC的邊長為2,求AAMN的周長.

22.如圖，AABC是等邊三角形，。是邊BC上一點(點O不與點2,C重合)，作/EDP=60。，使角的兩

邊分別交邊AB,AC于點E,F,且BO=CH

(1)如圖①，若DE工BC,則NOFC=度；

(2)如圖②，。是邊BC上一點(點。不與點8,C重合)，求證：BE=CD；

(3)如圖③，若。是邊8c的中點，且AB=2,則四邊形AED尸的周長為.

題型6：對角互補且一組臨邊相等的半角模型

23.已知，在四邊形ABC。中，AB=AD,NB+NAOC=180。，E、尸分別是邊BC、CD上的點，且/E4/

=^ZBAD.

2

(1)為探究上述問題，小王同學先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1,當NB=NAOC=90。時.

小王同學探究此問題的方法是：延長尸。到點G,使DG=BE,連接AG.

請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路.

小明的解題思路：先證明△ABE絲；再證明了AAE/g,即可得出BE,EF,FD

之間的數量關系為.

(2)請你借鑒小王的方法探究圖2,當/B+NAOC=180。時，上述結論是否依然成立，如果成立，請證

明你的結論，如果不成立，請說明理由.

(3)如圖3,若E、尸分別是邊BC、CO延長線上的點，其他已知條件不變，此時線段E