專題10有關(guān)弧長應(yīng)用的4種壓軸題型全攻略

.【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】............................................................................................1

【考點一弧長與圓心角的互化】............................................................1

【考點二利用弧長計算出點運動的路程】....................................................2

【考點三利用弧長求出組合圖形的周長】....................................................2

【考點四同底數(shù)嘉乘除法應(yīng)用的拓展提高】...................................................3

【過關(guān)檢測】

尸i.l

部【典型例題】

【考點一弧長與圓心角的互化】

【例題1】一條弧所對的圓心角是144。，那么這條弧長與這條弧所在圓的周長之比為（）

1232

A.-B.-C.-D.一

3543

【分析】根據(jù)弧長公式以及圓的周長公式列式化簡即可.

【詳解】解：設(shè)這條弧所在圓的半徑為「，

則這條弧長為：W鬻，這條弧所在圓的周長為2w,

loO

故選：B.

【點睛】本題考查了弧長公式：/=合（弧長為/,圓心角度數(shù)為〃，圓的半徑為「），熟記公式是解題的

180

關(guān)鍵.

【變式1】一個扇形占其所在圓的面積的:，則該扇形圓心角是（）

O

A.225°B.45°C.60°D.無法計算

【分析】根據(jù)扇形與所在圓的面積之比即為扇形圓心角度數(shù)與360度的比進行求解即可.

【詳解】解：由題意得，該扇形圓心角是360吆：=45。，

O

故選：B.

【點睛】本題主要考查了求扇形圓心角度數(shù)，熟知扇形與所在圓的面積之比即為扇形圓心角度數(shù)與360度

的比是解題的關(guān)鍵.

【變式2】把一個圓剪成兩個扇形，如果其中較小扇形的圓心角為135度，那么較小扇形的弧長是較大扇

形的弧長的（填幾分之幾）.

【分析】先求出較小扇形的弧長為?3x2s,較大扇形的弧長為5?x2療，根據(jù)分?jǐn)?shù)的除法3?x2乃r+5gx2b=

OOOO

383口…

一乂一二一即可.

855

【詳解】解：團1言35S3，

3608

_3

團較小扇形的弧長為三'2公，

O

團較大扇形的弧長為，x2b，

O

3c,5\、383

0—x2^r-i-（—X2^T；=—X—=—

88855

3

回較小扇形的弧長是較大扇形的弧長:?

3

故答案為：—.

【點睛】本題考查圓的周長，圓心角、扇形弧長與圓的周長的關(guān)系，分?jǐn)?shù)的除法，掌握圓的周長，圓心角、

扇形弧長與圓的周長的關(guān)系，分?jǐn)?shù)的除法是解題關(guān)鍵.

【變式3】如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形那么這個扇形的圓心角度數(shù)為

.（精確到0.1）

【分析】根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，

r.rmr

則——=r,

180

解得，7”57.3°,

故答案為：57.3。.

【點睛】本題考查了弧長公式，解題關(guān)鍵是熟記弧長公式，準(zhǔn)確進行計算.

【考點二利用弧長計算出點運動的路程】

【例題2】.一個鬧鐘的分針長是6cm,從6：00到10：00,這根分針的尖端走了（）

A.27rcmB.4871cmC.671cmD.12兀cm

【分析】從6：00到10：00分針正好轉(zhuǎn)了4圈，又因分針長6cm,即分針?biāo)?jīng)過的圓的半徑是6cm,從而

利用圓的周長公式即可求出分針走過的路程.

【詳解】解：2XTTX6X4

=487r（cm）.

答：這根分針的尖端走了487rcm.

故選：B.

【點睛】此題考查圓的周長公式的應(yīng)用，熟練掌握周長公式是解答本題的關(guān)鍵.

【變式1】一只掛鐘的分針長10厘米，經(jīng)過30分鐘，分針的外端所走的路程是（）厘米.

A.2OnB.15nC.10nD.5n

【分析】根據(jù)分針走一圈是形成一個圓，再根據(jù)分針走一圈是60分鐘，則經(jīng)過30分鐘是走了圓的普，即:

60/

個圓，再根據(jù)圓的周長公式，計算即可.

【詳解】解：2萬xlOx義30

60

=2%x5

=1071（厘米）.

故選：C

【點睛】本題考查了圓的周長，解本題的關(guān)鍵在理解分針走一圈是60分鐘，則經(jīng)過30分鐘是走了圓的”30.

60

【變式2】如圖小圓半徑2cm繞大圓（半徑6cm）的外側(cè)無滑動地滾動一周，小圓自身轉(zhuǎn)了（）周.

【分析】先算出大圓的周長，小圓的周長，再根據(jù)題意用大圓的周長除以小圓的周長即可得.

【詳解】解：大圓的周長：2萬x6=12萬，

小圓的周長：271x2=4/1,

團小圓自身轉(zhuǎn)了：12%+4%=3（周），

【點睛】本題考查了圓的周長，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握圓的周長.

【變式3】如圖，有一條傳送帶，當(dāng)半徑為40厘米的轉(zhuǎn)動輪繞中心順時針轉(zhuǎn)動90。時，傳送帶上的物體加移

動的距離是_________厘米.

【分析】傳送帶上的物體A平移的距離為半徑為34cm的轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)過90。角的扇形的弧長，根據(jù)弧長公式可

得.

【詳解】解：由題意得，R=40cm,后90。，

,,90^-x40

故/7=-------=2071cm,

180

故答案為：20%.

【點睛】本題考查了弧長公式的運用，關(guān)鍵是理解傳送帶上的物體A平移的距離為半徑為30cm的轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)

過90。角的扇形的弧長

【考點三利用弧長求出組合圖形的周長】

【例題3】如圖，以8、C為圓心的兩個半圓的直徑都是2厘米，那么陰影部分的周長是多少厘米？（兀取

3.14）

【分析】由題意可知，兩段弧所對的圓心角的度數(shù)均為60。，再依據(jù)弧長公式即可求陰影部分的周長.

【詳解】回己知兩段弧所對的圓心角的度數(shù)均為60。,

60X3.14XQX2

0陰影部分的周長為:

x2+l=3.09(cm)'

180

答：陰影部分的周長是3.09厘米

【點睛】考查弧長的計算，注意陰影部分的周長包含BC的長.

【變式1】如圖中的圓的周長是16.4厘米，圓的面積與長方形的面積正好相等，圖中陰影部分的周長是多

少厘米？（萬取3.14）

【分析】由題可知陰影部分的周長=長方形的長X2+長方形的寬-圓的半徑+圓的周長,求解即可.

【詳解】解：由圖可知，這個長方形的寬等于圓的半徑，長方形的面積等于圓的面積,

所以長方形的長等于圓的周長的一半，

故陰影部分的周長二長方形的長X2+長方形的寬-圓的半徑圓的周長

=16.4+16.4+4=20.5厘米.

【點睛】考查不規(guī)則圖形的周長的計算，注意計算周長是要包含組成圖形的所有的線段和弧.

【變式2】"萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時廣泛使用的一種圖形.如圖，以邊長為2厘米的等邊三角

形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑長畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形請問：該"萊洛

三角形"的弧長為（結(jié)果保留］）.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到加C=60。，利用弧長公式即可求出"萊洛三角形”的弧長.

【詳解】解：ABC為等邊三角形，

:.ZABC=60°,

60VQV77"0

???"萊洛三角形"的弧長=3x:1T=3x］乃=27.

1803

故答案為：2萬.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，弧長的公式，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

【變式3】直徑均為1米的四根管子被一根金屬帶緊緊地的捆在一起，如圖所示，試求金屬帶的長度.（"

取3.14）

【分析】通過觀察可知，金屬帶長度為一個圓的周長和直徑的4倍的和，再進行計算即可得到答案.

【詳解】解：由題意得：

4x1+乃xl=4+3.14=7.14米，

故金屬帶的長度為：7.14米.

【點睛】本題中考查了圓的周長的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意金屬帶的長度包含了4個直徑.

【考點四同底數(shù)累乘除法應(yīng)用的拓展提高】

【例題4】將三角形ABC以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90。得到三角形DBE,AB=4,則點A經(jīng)過的路徑

長為.

D

【分析】找出A經(jīng)過的路徑，利用圓的周長公式即可求解.

【詳解】解：A經(jīng)過的路徑長是以AB為半徑的四分之一圓的周長，

A經(jīng)過的路徑長：2x4x;r+4=2萬=6.28,

故答案為：6.28

【點睛】本題主要考查的是圓的周長公式，掌握圓的周長公式是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，長方形ABCD中，AB=5厘米，3c=3厘米，把長方形A3CD繞頂點B順時針轉(zhuǎn)動，使

點A落在點A處，點C落在點C’處，且點A、B、C'三點在一條直線上，則A點和C點所經(jīng)過的路程之比

為.

A'

DC

ABC

【分析】根據(jù)題意可知，A點經(jīng)過的路程是以點B為圓心，長為半徑的二圓的周長，C點所經(jīng)過的路程

4

以點8為圓心，BC長為半徑的!圓的周長，分別求出經(jīng)過的路程，再求比值即可.

4

【詳解】解：回43=5厘米，8c=3厘米，

1513

0A點經(jīng)過的路程：2xABx萬X-=-TT（厘米），C點經(jīng)過的路程：2xBCx7rx~=-7r（厘米），

4242

53

0A點和C點所經(jīng)過的路程之比為三萬:=5:3,

22

故答案為：5:3.

【點睛】本題主要考查了比的應(yīng)用，圓的周長，解題的關(guān)鍵是先將A點和C點運動的路程表示出來.

【變式2】如圖，有一只狗被拴在一建筑物的墻角上，這個建筑物是邊長600厘米的正方形，栓狗的繩子

長20米.現(xiàn)狗從A點出發(fā)，將繩子拉緊順時針跑，可跑多少米？（萬取3.14）

【分析】首先得到狗可以跑4個!圓，然后分別求出4個;圓的長度，然后求和即可.

44

【詳解】狗可以跑4個,圓，

4

第一個‘圓的半徑為20米，路程是：-x2^x20=10^；

44

11

第二個一圓的半徑為20-6=14米，路程是：—x2萬xl4=7萬；

44

第三個,圓的半徑為20-6-6=8米，路程是：，義2萬x8=4%；

44

11

第四個一圓的半徑為20-6-6-6=2米，路程是：-x2乃x2=/r.

44

所以可以跑的總路程為：10萬+7萬+4萬+乃=22萬=69.08m.

【點睛】本題考查了圓的周長，解題的關(guān)鍵是分清每段圓的半徑.

J：1【過關(guān)檢測】

一.選擇題

1.在一張長方形的紙剪一個最大的半圓，長是24厘米，寬10厘米，半圓的周長是（）

A.51.4厘米B.31.4厘米C.25.7厘米

【分析】根據(jù)長方形內(nèi)最大半圓的特點可知，這個半圓的半徑是10厘米，由此利用半圓的周長=圓周長+2

+半徑x2即可解答.

【詳解】解：2x3.14x104-2+10x2

=31.4+20

=51.4（厘米）

即這個半圓的周長是51.4厘米.

故選：A

【點睛】此題考查了半圓周長的計算方法，此題的關(guān)鍵是根據(jù)長方形內(nèi)最大半圓的特點，先確定出半圓的

直徑.

2.一條弧所對的圓心角是72。，則這條弧長與這條弧所在圓的周長之比為（）

【分析】利用這條弧所對的圓心角的度數(shù)除以360。即可求出結(jié)論.

【詳解】解：72+360=g

即這條弧長與這條弧所在圓的周長之比為g

故選C.

【點睛】此題考查的是弧長與圓的周長，掌握弧長與這條弧所在圓的周長之比等于這條弧所對的圓心角與

360。的比是解題關(guān)鍵.

3.圖中陰影部分的周長是（）

A.18cmB.18.84cmC.36cmD.42.98cm

【分析】根據(jù)圖示可知：長方形的寬為7+2=3.5cm,每個圓的直徑等于長方形的寬3.5cm,圖中陰影部分

的周長是長方形的周長與兩個等圓的周長和.

【詳解】長方形的寬為7+2=3.5（cm）,

每個圓的直徑等于長方形的寬3.5cm,

陰影部分的周長為：（7+3.5）x2+2x;rx3.5=21+7x3.14=42.98（cm）,

故選：D.

【點睛】本題考查了組合圖形的周長，明確陰影部分的周長是“長方形的周長與兩個等圓的周長和"是解題的

關(guān)鍵.

二、填空題

2

4.若一弧長是所在圓周長的則它所對的圓心角是度.

22

【分析】由于圓周角為360。，則一弧長是所在圓周長的（，那么弧所對的圓心角是圓周角的：，據(jù)此解答.

2

【詳解】360按（=144?,

故填：144

【點睛】明確圓周角為360度，進而根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求出圓周長的|■所在的圓心角度數(shù).

5.在半徑是18厘米的圓中，150。圓心角所對的弧長是_________厘米

【分析】根據(jù)弧長公式可進行求解.

【詳解】解：150。圓心角所對的弧長為：/=150^x18=15；icm；

180

故答案為15T.

【點睛】本題主要考查弧長計算公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

6.臺鐘的時針長10厘米，從中午12點到下午3點，時針尖端走過的路程是________厘米.

【分析】求出時針旋轉(zhuǎn)過程中所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進行計算即可.

【詳解】解：從中午12時到下午3時，時針?biāo)D(zhuǎn)過的圓心角的度數(shù)為30詠3=90。,

所以時針的針尖劃過的弧長為方。/°=?(cm),

180

故答案為：5n.

【點睛】本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算方法是正確解答的關(guān)鍵.

7.一條弧的長度為25.12,所對圓心角為120。，那么弧所在的圓的半徑為

【分析】根據(jù)弧長計算公式可直接求解.

【詳解】因為一條弧的長度為25.12,所對圓心角為120。,

bi25.12x180

所以廠=---------=12.

3.14x120

故答案為12.

【點睛】本題主要考查弧長的計算，熟練掌握計算公式是解題的關(guān)鍵.

8.一條弧長是56.52cm,這條弧所對的圓心角是60。，則這條弧所在圓的周長是cm.

【分析】根據(jù)圓的周長所對的圓心角是360。，可得圓周長是這條弧長的倍數(shù)關(guān)系，進而可得答案.

【詳解】56.52x—=56.52x6=339.12(cm).

60

故答案為：339.12

【點睛】本題考查圓的周長與弧長，熟記圓的周長所對的圓心角是360。是解題關(guān)鍵.

9.一弧長為18.84cm,這弧的半徑為4cm,則弧所對的圓心角為度.

【分析】利用弧長公式即可求解.

【詳解】解：該弧所對的圓心角為幽粵=270。，

故答案為：270.

【點睛】本題考查弧長的計算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

10.半徑為16厘米的圓形紙片，三次對折后所得圖形的周長是.

【分析】將圓三次對折后的弧長即是圓周長的!，再加上兩條半徑即可解題.

O

【詳解】解：萬><16x2+2+2+2+16x2=4萬+32,

故答案為：（4兀+32）厘米.

【點睛】本題考查圓的周長計算等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

11.一個直徑在1~1.5厘米之間的圓，從直尺的0刻度線出發(fā)，在直尺上滾動一周后，圓的位置大約在

_________處.

【分析】分別求出直徑為1厘米的圓的周長和直徑為1.5厘米的圓的周長，即可求出該圓周長的取值范圍，

從而作出判斷.

【詳解】解：直徑為1厘米的圓的周長為3.14x1=3.14（厘米）

直徑為1.5厘米的圓的周長為3.14x1.5=4.71（厘米）

則該圓的周長在3.14~4.71厘米

所以該圓從直尺的0刻度線出發(fā)，在直尺上滾動一周后，圓的位置大約在C處

故答案為：C.

【點睛】此題考查的是圓的周長，根據(jù)圓直徑的取值范圍求出周長的取值范圍是解題關(guān)鍵.

12.生活中，經(jīng)常把一些同樣大小的圓柱管按下圖的方式捆扎起來，如果每根圓柱管的直徑是8cm,當(dāng)圓

柱管放置方式是“單層平放"時，捆扎一圈后的橫截面如下圖所示，那么當(dāng)圓柱管有100個時，需要繩子

（）cm.（兀取3）

omommm……

【分析】1個圓柱體時，繩子的長度就是底面圓的周長；2個圓柱體時，繩子的長度就是一個底面圓的周長

加上2x（2-l）x圓的直徑；3個圓柱體時，繩子的長度就是一個底面圓的周長加上2x（3-l）x圓的直徑；那

么100個圓柱體，繩子的長度就是一個底面圓的周長加上2x（100-l）x圓的直徑；據(jù)此求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

8x3+2x8x（100-1）=24+16x99=24+1584=1608（cm）,

二圓柱管有100個時，需要繩子1608cm,

故答案為：1608.

【點睛】本題考查了利用圓的相關(guān)知識求解，根據(jù)題意得出那么100個圓柱體,繩子的長度就是一個底面

圓的周長加上2x(100-l)x圓的直徑是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

13.求圖中的長度.

【分析】根據(jù)弧長公式進行計算即可.

r、半鏟,冷刀7360-90

【詳角牛】角牛：1=Jir

loU

=喘,3皿8

3

=-x3.14x8

2

=37.68(cm).

【點睛】本題考查了弧長，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

14.求下列陰影部分的周長：(單位：dm)

【分析】根據(jù)題意及圖形可知陰影部分的周長是等于兩個弧長加兩個半徑的差,然后列式直接求解即可.

【詳解】由題意及圖形可得:

陰影部分的周長為兩個弧長加兩個半徑差

,n7ir,n兀r、一、一45萬945萬3，八

1=—1+—-+(9-3)x2=----+-----+12

180180'7180180

X7.065+2.355+12=21.42而

【點睛】本題主要考查弧長計算，由圖形分析計算陰影部分周長的方法及熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

15.小方家掛鐘的分鐘長24厘米,1小時后，分針的尖端所走的路程是多少厘米？10小時后呢？（萬取3.14）

【分析】1小時分針走了一圈，要求1小時分針的尖端所走的路程，只要求得掛鐘的周長即可；10小時就

把1小時走的距離乘以10即可.

【詳解】1小時后走過的路成為：2X3.14X24=150.72CTTZ,

10小時后走過的路成為：150.72x10=1507.2a".

【點睛】考查圓的周長的計算，分針走過1小時，針尖走過的路程即為一個圓的周長.

16.現(xiàn)有四根半徑為5厘米的圓柱形物體，為方