熱點2-2函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

近三年高考中，對函數基本性質的考查以選擇題和預計2025年高考仍將重點考查函數的單調性、奇

填空題為主，偶爾也會在解答題中滲透考查，分值偶性、周期性與對稱性，尤其是這些性質的綜合應

的占比相對穩定，是高考必考且重點考查的內容之用.可能會繼續將函數性質與其他數學知識如導

一.常將函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性數、不等式、數列等結合考查，增加題目的綜合性

結合在一起考查，同時還可能與函數圖像、函數零和難度.在保持傳統考查方式的基礎上，可能會進

點、不等式等知識綜合命題.雖然考查形式多樣且一步創新命題形式，如設計一些新穎的函數模型或

綜合性強，但題目多基于對函數基本性質的理解和實際應用背景，考查學生運用函數性質解決實際問

應用，部分題目在命題形式和考查角度上具有一定題的能力.

創新性.

熱點題型解讀

題型1函數單調性（單調區間）的判定題型6利用單調奇偶比較大小

題型2利用函數的單調性求參數題型7利用單調奇偶解不等式

題型3函數奇偶性的判定題型8函數的周期性及應用

題型4利用函數奇偶性求值求參題型9函數的對稱性及應用

題型5"M+N.中值模型的應用題型10函數性質的綜合應用

題型1函數的單調性（單調區間）的判定

I-------------------------------'"1"---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------、

\I-0U*i

i判斷函數的單調性的4種方法

ii

1,定義法：按照取值、作差變形、定號、下結論的步驟判斷或證明函數在區間上的單調性；

2、圖象法：對于熟悉的基本初等函數（或由基本初等函數構成的分段函數），可以通過利用圖象來判斷單i

調性；

3、直接法：利用己知的結論，直接得出函數的單調性，如一次函數、二次函數、反比例函數的單調性均

I

可直接得到

4、導數法：先求導函數，利用導數值的正負確定函數的單調性；

5、性質法：（1）對于有基本初等函數的和、差構成的函數，根據“加減”的性質進行判斷；（2）針對一些1

I

簡單的復合函數，可以利用符合函數的單調性法則（同增異減）來確定單調性.

I

【注意】求函數的單調區間，尤其是復合函數的單調區間，一定要注意原相應函數的定義域.

1.（23-24高三上.江蘇南通?月考）函數=的單調遞減區間是（）

A.［—1,0］B.［0,1］C.［2,+8）D.（-8,2］

【答案】A

【解析】函數/（x）=中,—一-2X20,解得-2WxW0,

又y=-%2-2x的開口向下，對稱軸方程為x=—1,

函數y=—2x在［T,。］上單調遞減，在［-2,-1］上單調遞增，又y=?在［0,1］上單調遞增,

因此函數/?=匚瓦石在［-1,0］上單調遞減，在［-2,-1］上單調遞增，

所以函數〃工）=口^^的單調遞減區間是故選：A

2.（24-25高三上.廣東普寧?月考）函數g（x）=『R-l|+l的單調減區間為（）

A.B.C.［1,+8)

【答案】B

尤2—尤+1,X21一，一，，y~__

［解析］g(x)=xJxT|+l=2,,,畫出函數圖象，如圖所小:

—X+x+1,x<1

根據圖象知：函數的單調減區間為；，1.故選：B.

3.（23-24高三上.浙江紹興.期末）函數y=ln（f-2x）的單調遞減區間是（）

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(2,-KO)

【答案】C

【解析】由y=ln(V-2x),

:.X2-2X>0,解得尤<0或X>2,

所以函數>=ln(d-2元)的定義域為(-w,0)U(2,4w),

^U=X2-2X,則函數〃-2x在(-0。)上單調遞減，在(2,—)上單調遞增,

而函數y=In”在(0,+8)上為增函數，

由復合函數單調性可得y=In(x2-2x)的單調遞減區間為(-吃0).故選：C.

4.(24-25高三上?四川宜賓?一模)下列函數中，既是奇函數，又(0,+。)在是增函數的是()

A./(JC)=ex+e-xB./(x)=e'-e-AC./(x)=x-3D./(x)=xln|x|

【答案】B

【解析】對于A,/(r)=eT+e，=/(x),〃x)是偶函數，不滿足條件.

對于B,”一幻=b—1=一付一月)=一/(無)，函數/⑺是奇函數，由于y=e，,y=-er

均在(。,+8)單調遞增，故/(x)=e=e-在(0,+“)單調遞增，符合條件，

對于CJ(-%)=(-%)-3=-%-3=—/(%),則/(%)是奇函數，

???>=尤3在(0,+8)單調遞增，且為正，二函數=在(0,+巧單調遞減，不滿足條件.

對于D,f(~x)=-xln\-x\=-xln|x|=-/(x),函數/(%)是奇函數，當x>0時，f(x)=x1wc,

/(1)=|ln|=-1ln2,/(；)=；ln；=_Jn2,此時[]=，不是增函數，不滿足條件.

故選：B.

題型2利用函數的單調性求參數

;利用單調性求參數的三種情況：

1、直接利用題意條件和單調性代入求參；

2、分段函數求參，每段單調性都符合題意，相鄰兩段自變量臨界點的函數值取到等號；

3、復合函數求參，注意要滿足定義域要求，通過分離常數法或構造函數法轉化成恒成立或有解問題.

1.（24-25高三上?陜西渭南?月考）若函數/（x）=logo,5（ax-d）在區間Qi,。）上單調遞增，則。的取值范圍

是（）

A.（0,2]B.[-2,0）C.[2,+oo）D.

【答案】D

【解析】由于>=log。/在（。，+8）上單調遞減，令/=-爐+6,x?T0）,

因為V=logos*為減函數，又/（無）=Iog0.5-尤2）在區間（-1,0）上單調遞增，

由復合函數的單調性法則可知，/=-/+"在（-1,0）上單調遞減，

且公--+磔〉。在（-L0）上恒成立，因為/=-/+融為二次函數，開口向下，

對稱軸為工=（由公-/+依在（-1,0）上單調遞減，可得解得aV-2,

由/+ax>0在（T。）上恒成立，即ax〉》？，xe（—1,0）,

可得a<x在（—1,0）上恒成立，則aV—1,

綜上，實數a的取值范圍為（f,-2]故選：D.

2.（24-25高三上?山西大同?月考）已知函數〃x）=在儼：辦+5）在區間@4）單調遞減，則。的取值范圍

是（）

A.（-oo,2]B.（7,4）C.[2,4）D.[4,+oo）

【答案】A

【解析】因為y=:在（0,+8）上單調遞減，y=&在[0,+8）上單調遞增，y=lg無在定義域上單調遞增，

要使函數“X）二而卜2:辦+5）在區間（1，4）單調遞減，

貝！J,=/一依+5在（1,4）單調遞增且％2—依+5>1在（1,4）恒成立，

[￡<1

所以2一，解得。<2,所以。的取值范圍是（f2].故選：A

l2-a+5>l

3.(24-25高三上?甘肅?期末)已知函數/(%)=〈’滿足V占eR且x產起，

[ax,x>l

(%2-%])[/(^)-/(^2)]<0,則。的取值范圍為()

A.(0,1)B.(1,+℃)C.(1,2]D.(0,l)5L+s)

【答案】C

【解析】依題意，函數滿足Vx.ZeR且x產七，

(不一々)[〃為)一/伍)]>°，則/'(x)是R上的增函數,

。〉0

因此<a>1,解得l<a42,

2a-2<a

所以〃的取值范圍為(1,2].故選：C

2x+4,x<a

4.(24-25高三上?江蘇南京?期中)已知函數/(%)=在R上單調遞增，則實數。的取值范圍是()

x1+l,x>a

A.(—1,3]B.(-co,可C.[3,+oo)D.(―8,—l]u[3,+8)

【答案】C

2x+4,x<a

【解析】已知函數/(%)=1，當無時,

X2

/(x)=2x+4單調遞增，所以最大值為2a+4；

當X>。且。>。時，/(X)=d+1在(4,4<0)上單調遞增，最小值為4+1；

/、[2x+4,x<a

所以要使函數/(尤)=21在R上單調遞增，

則"+122.+4,解得。上3或a<-1(舍去).故選：C.

題型3函數奇偶性的判定

1、函數奇偶性的判斷方法

(1)定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數；若

函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷/(-%)與±/(x)之一是否相等.

(2)圖象法：奇(偶)函數等價于它的圖象關于原點(y軸)對稱.

(3)性質法：同名加減不變，異名加減不可；同名乘除得偶，異名乘除得奇.

2、常見的奇函數與偶函數

(1)/(x)=ax+a~x(。>0且。#0)為偶函數；

(2)/(x)=ax-a~x(。>0且。#0)為奇函數；

x_-x2x

(3)f(x\=n—：---n-=—nr——(。>0且。20)為奇函數；

優+a*a*+1

A一丫

(4)f(x}=logfl----(a>0且。/0,6/0)為奇函數;

b+x

(5)/(%)=loga(J九2+1±x)(a>0且ar0)為奇函數；

(6)/(x)=|辦+闿+版—J為偶函數；

(7)/(%)=麻+耳一版—4為奇函數.

1.(24-25高三上?天津北辰?期末)下列函數中，圖象關于原點對稱的是()

A.y=ev+exB.y=ex-exC.y=x2-2xD.y=x2cosx

【答案】B

【解析】由函數圖象關于原點對稱，可得函數是奇函數，

對于A,y=e'+er定義域為R,

〃T)=eT+e，=e'+eT=〃x),故y=e'+/為偶函數，其圖象關于y軸對稱,A錯；

對于B,y=e”-b定義域為R,

且〃f)=eT-e*=-W-e7)=-f(x),故'=6一b為奇函數，其圖象關于原點對稱，B正確;

對于C,y=尤2-2x定義域為R,

但其圖象為開口向上的拋物線，且對稱軸為尤=1,

所以y=Y-2尤既不是奇函數又不是偶函數，C錯；

對于D,y=x'cosx定義域為R,

但/'(一%)=(一尤)2cos(r)=;r2cos;r=y(x),故y=Vcosx為偶函數，其圖象關于，軸對稱，D錯.

故選：B.

2.(24-25高三上?四川自貢?期中)下列函數是偶函數的是()

2A22

A.y=cosx-xB.y=e-xC.y=log2^x+l-xjD.y=siru+4x

【答案】A

【解析】f(x)=cosx-x2的定義域為R,且/(-尤)=cos(-尤=cosx-尤2=〃尤)，

故/(x)=cosx-x2為偶函數，A正確；

B選項，g(x)=e，一x2的定義域為R,g(_x)=eT_(-x)2=，一尤2,

g(f)Hg(x),故g(x)=e*-幺不為偶函數,B錯誤；

C選項，可無)=腕2(071-尤)的定義域為口，

/z(-X)+h^x)=log2+1+xj+log2(J.+1_%)=log2(尤2+1_X2)=0,

故Mx)=log2(^/77T-目是奇函數，c錯誤；

D選項，(x)=sinx+4x的定義域為R,且(一%)=sin(-x)-4x=-(sinx+4x)=v(x),

故《x)=sinx+4%為奇函數，D錯誤.故選：A

3.(24-25高三上?青海?期中)設函數"司=：［；；：：,則下列函數為奇函數的是()

A./(%+1)+1B.仆+1)—1

C./(x-l)-lD.

【答案】C

X2+3X+4_(^2+2x+3)+(x+l)x+1

【解析】/(%)=+1-

%2+2x+3+2x+3(尤+1)2+2

所以〃XT)+〃T_1)=——+1+—1—+1=2,

、)''X2+2(一X>+2

所以函數〃x)的圖象關于(Tl)對稱，

所以/(x-1)-1的圖象關于(0,0)對稱，是奇函數.故選：C

4.(24-25高三上?河北邢臺?月考)已知函數f(x)的定義域是R,則下列命題中不正確的是(

A.若是偶函數，g(x)為奇函數，則g(7(")是偶函數

B.若〃x)是偶函數，g(x)為奇函數，則〃g(x))是偶函數

C.若/(x)是單調遞減函數，則/(/(力)也是單調遞減函數

D.若/(*)是單調遞增函數，則/(/(力)也是單調遞增函數

【答案】C

【解析】對于A,令/z(x)=g(〃x)),則為(-x)=g(〃一元))=g(f(尤))=力(尤)，

所以〃(x)為偶函數，即g(7(x))是偶函數，故A正確；

對于B,令〃z(x)=/(g(x)),則雙一x)=f(g(一尤))=/(一g(尤))=f(g(尤))，

所以機(x)是偶函數，即/(g(x))是偶函數，故B正確；

對于C,取〃x)=f,則/(無)在R上單調遞減，

則/'(/⑺)=/(-x)=x,在R上單調遞增，故C錯誤；

對于D,因為/(x)是單調遞增函數，任取小馬仁區，且毛<馬，

則f(x)</(x2),所以/(/(再))<(/(%)),

所以/(/(力)也是單調遞增函數，故D正確.故選：C.

題型4利用函數奇偶性求值求參

1、由函數的奇偶性求參數：若函數解析式中含參數，則根據/(—x)=—/(%)或/(-乃=/(尤)，利用待

ii

定系數法求參數；若定義域含參數，則根據定義域關于原點對稱，利用區間的端點值之和為。求參數.

II

2、由函數的奇偶性求函數值：若所給的函數具有奇偶性，則直接利用/(-%)=-/(%)或/(-%)=/(%)求

ii

解；若所給函數不具有奇偶性，一般利用所給的函數構造一個奇函數或偶函數，然后利用其奇偶性求值.I

ii

1.(24-25高三上?江蘇鹽城?月考)已知了(左)是定義在R上的奇函數，當無€(0,內)時，/(無)=bgj無，則

3

/(-9)=()

A.2B.3C.-2D.-3

【答案】A

【解析】因〃尤)是定義在R上的奇函數，則〃-9)=-/(9)=-1。819=1。839=2.故選：A

3

2.(24-25高三上?河南南陽?月考)已知定義在R上的偶函數”可滿足當工￡[0,y)時，

小)大f2+—1x,0,x.>2,2,則/,(.")、、=——?

【答案】1

【解析】因〃尤)是在R上的偶函數，則/'(-2)=/(2)=2-2=0,故〃〃_2))=f(0)=L

3.(24-25高三上?湖南?月考)已知=1匕是偶函數，則。=()

2—1

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【解析】函數/(彳)=學竺的定義域為(-8，。)1^。,+?>),

2—1

xX

人一/、曰/田必/日r/r/2”?siiix2,sin(—x)[2"—^]siiix

由/(x)是偶函數，得f(x)-/(T)=——-------。J=-————=0,

而sinx不恒等于0,則2'=2"小恒成立，即—x恒成立,所以a=2.故選：A

4.(24-25高三上?安徽?期中)若〃x)=log4占是奇函數，則/=()

C.72

【答案】c

【解析】根據題意，已知/(無)=log41--是奇函數，

當a=0時，/(x)=log---b,

4I—X

函數/(x)的定義域為{x|xwl},定義域不關于原點對稱，

此時，函數〃尤)一定不是奇函數，故。片0,

則有占一"0,且"0,變形可得(1一磯1一。(1一力]*0,

所以1一41一%)=0的根為一1,解可得。=:，故〃x)=log4一一-\~b,

2I—X2

又因為/(%)為奇函數，則有〃一%)+/(%)=。，

BP1°§4:------Z?+log4----￡-b=Q,

1+x21-x2

1_x1rI1I

即一20+log4——-+log4——,=0,所以一26+log4-=0,

2[i+x)|4|

即一處一1=。，故6=-萬.所以〃行.故選：C.

題型5“M+N”中值模型的應用

若函數，(x)=奇函數+a,則我們把它稱為準奇函數，求準奇函數最大值+最小值之和(M+N),我們

II

把它叫做中值模型.

ii

；(1)若/(幻為奇函數，則其最大值與最小值和為0,即/(Hm穌+Ax)1rfn=0；

'M+M=0

⑵若/(X)為奇函數，則〈

f(-xo)+f(xo)=O

rM+N=2a

(3)常見考向f(x)=奇函數+

J(一叫))+/(%)=2。

1.(24-25高三上?山東棗莊?期中)若函數〃x)=J+]+sinx的最大值為M,最小值為N,則M+N=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】f(x]=X^X+^+sinx=——+sinx+l,xeR

-x2+lx2+l

X

令g(x)=+sinx,

x2+1

因為函數〃為=：^；1+$加的最大值為加,最小值為N,

所以函數g(x)的最大值為M-1,最小值為N-1,

因為g(t)=+sin(t)=--sinx=-g(x),

九L人"iA

所以函數8(引=高開+$皿》是奇函數，

所以g(x)1mx+g(x)1nto=0,即M—1+N—1=0,所以M+N=2.故選：B.

2.(24-25高三上?河南?期中)已知函數〃x)+x+a為常數)，若〃x)在卜2,4］上的最大值

為M,最小值為優，且M+〃?=6,貝!|。=()

A.6B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】因為=+x+一一1+1+a,xe［-2,4］,

.3

令金則f(x)=g(t)=爰*+t+l+a,

設W)=+/'止［—3,3］,則Mv)=S；(?T=_j'

L+L4I乙、乙1乙j

所以〃(。是奇函數，最大值為河-(1+。)，最小值為相-(1+。)，

則Af—(1+〃)+相—(1+々)=。，由A/+加=6,解得〃=2.故選：D.

3.(23-24高三上?安徽安慶?月考)設函數=在區間［-2,2］上的最大值為與,最小值為N,

則(M+N-1嚴3的值為.

【答案】1

【解析】由題意知，“司=三詈+1k?-2,2]),

設g(x)=W^,則〃x)=g(x)+l,

因為g(r)=：：：；=一8^),所以g(x)為奇函數，

所以g(x)在區間[-2,2]上的最大值與最小值的和為0,故M+N=2,

所以(M+N.iy°23=(2.1>°23=].

故答案為：L

4.(23-24高三下?上海徐匯?月考)若函數++Z在(-oo,0)上有最小值-5(。、6為

常數)，則函數A?在(。,+8)上最大值為.

【答案】9

【解析】考慮函數g(x)=?x3+61og2(x+&+",定義域為R,

又g(一力=a(-x)3+Z?logJ-x+J(-x)2+1

所以g(x)=?x3+〃0g2(x+^/^^)是奇函數，貝1JgCx)max+gfXLn=0，

設/(元)的最大值為M，最小值為優，則加=-5,

又〃x)=渥+Mog2(x+Jx'+1)+2=g(x)+2,

所以M=g(x)1rax+2,m=g[x)^2,

所以“+%=g(x)111ax+2+8(%需+2=4，

則〃一5=4,所以"=9,

故答案為：9.

題型6利用單調奇偶比較大小

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

00目點

一般解法是先利用奇偶性，將不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值，轉化為同一單調區間上

的自變量的函數值，然后利用單調性比較大小.

1.(24-25高三上?甘肅蘭州?月考)已知定義在R上的函數在(-8,2)內為減函數，且“x+2)為偶函數,

則/(T)，"4),的大小為()

A./(-1)</(4)</[^B.

C.Z[y]</(4)<f(-l)D./(-1)</[^</(4)

【答案】B

【解析】?.?/(x+2)為偶函數，.?"(X+2)=/(T+2),

???/(4)"(。)，了―

,定義在R上的函數/(X)在(-8,2)內為減函數，

.?./(0)</(-l)<ff-1l即/⑶</(-!)<dS，故選：B.

2.(24-25高三上?山東濰坊?月考)已知函數/(x)滿足"1-x)="X+3),且/(%)在(0,2)上是增函數，則/(I),

/(|),彳)的大小順序是()

A./(D</(|)</(1)B./(1)</(1)</(|)

c./(|)</(jx/(l)D./(1)</(|)</(1)

【答案】B

【解析】由函數/(x)滿足/(I-x)=/(x+3),得函數/(x)的圖象關于直線x=2對稱,

顯然”|)=/(|)，/(|)=/(1).而;<1<|,/(x)在(0,2)上是增函數,

因此/(；)<41)<〃|)，所以/(.<〃1)</(}.故選：B

<7>

3.(24-25高三上?河北邯鄲?模擬預測)已知在(1,+8)上單調遞增,若〃x+l)為偶函數,a=f-

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】因為/(X+1)為偶函數，貝x+l)=/(x+l),

所以/⑺關于尤=1對稱，所以0=4一0=/(￡|，

4-g(x)=ex-x-l,貝ijg<x)=e，-l,

當x>l時，g'(x)>0,所以g(x)在(1,+8)上單調遞增，

2,2勺7

所以g(x)>g(l)=e-2>0,即e*>x+l,所以e?>e?>]+1=^,

7Q

當%>1時，由e，>x+l得，x>ln(x+l),則.'Ing,

由上可得1<ln|<^<e2,又在(1,+8)上單調遞增，

所以小郛佃<《斗即小衿卜撲小鼠

所以a>c>6.故選：A.

4.(24-25高三上?江蘇鎮江?月考)己知/(勸=丁+X一sinx,g(x)為偶函數，當無20時，g(x)=f(x),設

a>b>0,貝！］()

A./(?)+f(c-b)>g(b)+g(-a)B./(a)+f(~b)>g(b)-g(-a)

C./0)+/(-?)>g{a}+g(-b)D.f(6)+f(-a)>g(a)-g(-6)

【答案】B

【解析】f'(x)=3x2+1-cosx>0,/(-x)=(-x)3-x+sinr=-/(x),/(x)是在R上遞增的奇函數，

當xNO時，g(x)=/(x),g(元)是偶函數，且xe(-℃,0),g(x)單調遞減，

且/(a)=g(a)，/O)=g(b)，〃a)>/(b)>/(O)=O，g(a)>g0)>。，

/。)+/(-。)=/0)-/(。)=g。)-g(a)<g(a)+g0)=g(a)+g(詢，

f(b)+f(-a)=f(b)-f(a)=g(b)-g(a)<0<g(a)-g(b)=g(a)-g(-b)

二C不成立,D不成立;f(-b)+f(a)=-f(b)+f(a)=-g(b)+g(a)<g(a)+g(b)=g(-a)+g(b),

f(-^)+f(a)=-f(b)+f(a)=-g(b)+g(a)>O>-g(a)+g(b)=-g(-a)+g(b)

二A不成立，B成立；故選：B.

題型7利用單調奇偶解不等式

解決此類問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成/(%1)>/(%)或/(占)</(X2)的形式，

再根據奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反，歹「

出不等式(組)，同時不能漏掉函數自身定義域對參數的影響.

II

【注意】在轉化時，自變量的取值必須在同一單調區間上；當不等式一邊沒有符號時，需轉化為含符;;

號“廣的形式.

1.(24-25高三上?天津紅橋?期末)已知函數/(X)是定義在上R的偶函數，若對于任意不等實數冷泡?[(),心),

不等式(菁-%)[〃%)-〃尤2)]<。恒成立，則不等式〃2x)>〃xT的解集為()

A.—<x<—j1B.|x<—IBSIX>—j,

C.卜—1<無<]:D.卜<-§或

【答案】C

【解析】因為函數是定義在R上的偶函數，則即為川2動>/(歸-叫，

對于任意不等實數為,々目°，小)，不等式(而-%-<0恒成立，

可知/(X)在[。,+°°)上單調遞減，且>0,|x-1|>0,

可得|2,<|x-1],解得-l<x<§.故選：C.

2.(24-25高三上?河北邢臺?期末)已知函數〃x)是定義在R上的減函數，且為奇函數，對任意

的。目-2,3],不等式/(“一)+/(6-1/4恒成立，則實數/的取值范圍是()

A.(-<?,3]B.C.[13,-KO)D.(―j+s]

【答案】B

【解析】令g(H=)(xT)—2,貝i]/a)=g(x+l)+2,

由/(a-?)+/-1)44,可得g(a-t+l)+2+g-1+1)+2W4,

即g(a-?+l)+g(a2)<0,g(a-/+l)<-g(a2)=g(-〃2).

因為/(X)是定義在R上的減函數，所以g(x)也是定義在R上的減函數，

t^a-t+l>—a2,即[a+g]+-1>t.

因為昕[-2,3],所以三，即實數f的取值范圍是.故選：B

3.(24-25高三上?山東臨沂?月考)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，，(無)在(0,+8)上單調遞增，且

/(3)=0,則不等式(x-2)〃x)<0的解集是()

A.(70,-3)U(2,3)B.(-3,0)U(2,3)

C.(-co,-3)U(3,+℃)D.(-3,0)U(3,+oo)

【答案】B

【解析】因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，/(x)在(0,+8)上單調遞增，

且"3)=0,則"-3)=-"3)=0,且該函數在(3,0)上為增函數，/(0)=0,

當x<-3時,/(x)</(-3)=0；當-3<x<0時，/(x)>/(-3)=0；

當0<x<3時，/(x)</(3)=0:當x>3時，/(x)>/(3)=0.

因為(x-2)y(x)<0,

當x-2<0時，即x<2時，/(%)>0,貝I—3<x<0或x>3,此時，一3<x<0；

當x-2>0時，即x>2時，/(%)<0,貝！Jx<-3或0<x<3,止匕時，2cx<3.

綜上所述，不等式(x-2)/(x)<0的解集是(-3,0)U(2,3).故選：B.

4.(24-25高三上?山東德州?期末)已知函數〃元)是定義在R上的偶函數.且占H%,恒有

若"1)=1,則不等式〃x)<2—Y的解集為()

A.(-oo,l)B.(1,+℃)C.(-<?,-1)u(l,+co)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】不妨設所以"

則“？二⑷>Tn"!-

所以/(xj+k<xf+f(x2),

令g(x)=/(尤)+f，則g—)<gG)，

所以g⑺="X)+/在［0,+8)上單調遞增，

又/(X)是偶函數,所以g(—X)=/(-X)+??=/⑺+f=g⑺，

即g(x)=〃尤)+f也是偶函數，則其在(F,0］上單調遞減，

因為/(1)=1，所以g(l)=/(l)+12=2,

則/("〈Z-x2n/^+x2<2ng(x)<g(l),

所以W<1,解之得xe(—1,1).故選：D

題型8函數的周期性及應用

(a是不為0的常數)

(1)若〃x+a)=〃x),則T=a；(2)若/(%+〃)=/(%—〃)，則T=2a；

(3)若/(X+a)=-/(九)，則T=2a；(4)若/(%+。)=/(力，則T=2a；

若f(x+a)=—,

(5)右八)〃x)，則T=2a；(6)若/(X+Q)=/(%+/?),則7=|(awb)；

、l+/(x)

(7)右/(%+〃)_,則T=2〃；(8)若/(x+a)=[)：，則T=4a；

1+/W

1.(24-25高三上?四川華夔?月考)設/(%)是定義域為R的奇函數，且"1+無)=/(-尤).若f

()

【答案】B

【解析】因為了⑺是定義域為R的奇函數，則〃1+X)=/(T)=-/(X),

貝iJ/(x+2)=-/(x+l)=/(x),故/'(尤)是以2為周期的周期函數,

由m則謂)=(小一佃t?故選:b

2.(24-25高三上?黑龍江?月考)已知/(尤)是定義在R上的函數,且/(x+1)-/(x)=l+〃x+l)〃x),

"1)=2,貝葉(2024)=()

A.-2B.-3C.-D.；

32

【答案】c

【解析】因為y(x+i)-y(x)=i+/(x+i)/(x),

所以當x=0時，/(l)-/(O)=l+/(l)/(O),又/⑴=2,所以〃o)=；.

又由〃x+l)―/(x)=l+〃x+l)/(x),可得=

1J+.x)

所以〃x+2)=/((x+l)+l)=l+"x+l!=—=——二，

八,"-1-小+1)1+/(%)外)

1-小)

〃X+4)=/((X+2)+2)=―/(1+2)=----->=〃x),

〃x)

故函數是以4為周期的函數，所以〃2024)=〃0)=g.故選：C.

3.(24-25高三上?甘肅臨夏?期末)已知函數/Q)的定義域為R,7(x)為偶函數，/(x+1)為奇函數，且當

尤金0,1］時,fM=x+b,則啊+/圖+/(|)=()

A.-B.0C.—D.—1

22

【答案】A

【解析】因為偶函數，故/(f)=/(x),又因，(尤+D為奇函數，故/(一彳+1)=-/。+1),

則f(-x)=~f(x+2),故有f(x+2)=-/(x),

由/(x+4)=-/a+2)=/(x)可得4是函數/(x)的一個周期.

又因/(x+1)為奇函數，則函數的圖象關于點(1,0)成中心對稱，

因函數/(x)的定義域為R,則/⑴=1+6=0,解得b=—1,

故當xe［0,l］時，/(x)=x-l,

111,一

+5+5=5.故選：A.

4.(24-25高三上?河北?月考)已知定義在R上的函數/(%),滿足“X-3)+/(5-x)=2,/(2x+2)為偶函

2023

數，/(力滿足〃2)=2,貝|工/?)=.

Z=1

【答案】2024

【解析】因為/(2x+2)為偶函數，貝U/(2x+2)=/(-2x+2),

所以函數/(x)的圖象關于直線x=2對稱，

因為/(》-3)+/(5-x)=2,所以函數/(x)的圖象關于點(1,1)中心對稱，

所以函數/(x)的周期T=4X(2—1)=4,

令x=4,則f(4-3)+/(5-4)=2f⑴=2,得"1)=1,則〃3)=川)=1,

又〃2)=2,令x=3,則1(3—3)+/(5-3)=/(0)+八2)=2,得/(0)=0