易錯點06解三角形

易錯題【01】忽略隱含條件

本易錯點主要包含：（1）解三角形忽略內角和為萬,忽略每一個內角都在（0,萬）上；（2）解三角

形忽略兩邊之和大于第3邊；（3）忽略大邊對大角.

易錯題【02】對銳角三角形理解不到位

涉及銳角三角形一定要注意每一個角都在且任意兩內角之和都大于T，由余弦定

理可得b2+c2>a2,c2+a2>b2.

易錯題【03】解三角形增解或漏解

本易錯點主要包含：

⑴已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，注意要對解的情況進行討論，討論的根據一是所

求的正弦值是否合理，當正弦值小于等于1時,還應判斷各角之和與180。的關系；二是兩邊的

大小關系.

（2）兩邊同時除以一個三角函數式，忽略判斷該三角函數式是否可以為零，導致漏解.

易錯題凹

在AABC中,3sin4+4cos5=6,3cos/+4sin5=1，則ZC的大小為（）

兀57r「57T_2

A.—B.-71C.——兀D.—Uki—71

666633

3sinZ+4cos8=6,.11

【警示】^平方相力口，得sin（Z+B）=—,即sinC=—，忽略隱含條件得

3cosN+4sm8=1v'22

TTS

出。=—或一兀的錯誤結論

66

【答案】A

171

【問診】因為l—3cosZ=4sin8>0,cos/<—,C=—,故選A.

36

【叮囑】解三角形一定要注意三角形的幾何性質

支式練習

1.（2022屆福建省大田縣高三上學期期中）在△ZBC中，角4瓦。所對的邊分別是。，仇。，已

知a=2,b=4^,B,則/=（）

7171

A.B.一cN

64

【答案】B

7且

【解析】由正弦定理可得肅r忌,則無必二喑

下一因為。<6,所以

b~7T~~

TT

A<B,則4=了.故選B.

4

2.(2022屆湖北省新高考9N聯盟部分重點中學2高三上學期聯考)已知A48C的內角A,B,

。的對邊分別是。，b,c,則以下結論錯誤的是()

A.bcosC+ccosB=aB.若/+〃<，，則A45C為鈍角三角形

C.若sin24=sin28,則4=3D.若4>B,則sin4〉sinB

【答案】C

【解析】對于A選項，bcosC+ccosB=a<^>

sinBcosC+sinCcosB=sinAosin(B+C)=sin^,故正確;對于B選項，

c2=a2+b2-2bccosC,當角C為鈍角的時候，貝！I/+/<(?,故正確；

TT

對于C選項，若sin2Z=sin25,則/=5或/+3=5，故錯誤；對于D選項，若A>B,

則。>6,所以27?sin4〉27?sin8,貝!Jsin/〉sin5,故正確.故選C

多錯題匹I

在銳角A/5C中，若C=2昆則9的范圍是()

b

A.(0,2)B.(V2,2)C,(V2,V3)D.(1,V3)

【警示】忽略根據每個角都是銳角確定角2范圍，是本題出錯主要原因

【答案】C

【問診】二=2咚=2*=2cos8,因為△ZBC為銳角三角形，所以0<28<四,

bsin5sin52

「cn兀兀八兀遼。sinCsin253K口\以、心

C=it—3B<一,一<B<一故一=-...=―；-----=2cos8￡(。2,J3),故選C.

264bsin5sin5、'

【叮囑】銳角三角形中每個角都是銳角，且任意兩個角的和為鈍角.

支式練習

1.(2019全國卷3理T18)A45C的內角4、B、C的對邊分別為Q,b,c.已知

?z+c?,

asm-------=b7smA.

2

(1)求5；

(2)若A45C為銳角三角形，且c=l,求A45C面積的取值范圍.

【解析】(l)qsin"+q=bsin/，即為asin^——=acos—=bsmA,

222

BBB

可得sinZcos—=sin5sin/=2sin—cos—sin/，

222

?/sinZ>0,

B、.BB

cos—=2sm——cos——,

222

若cosg=0,可得5=(2k+l)7i,keZ不成立，

.B1

sin—=一,

■TT

由0<5v〃，可得5=—；

3

(2)若A45C為銳角三角形，且c=l,

由余弦定理可得6=J"+l-2a?l?cosg=y/a2-a+\,

由三角形Z5C為銳角三角形，可得Q2+Q2一〃+1>1且1+。2一〃+I>Q2,

解得LQ<2,

2

可得AASC面積S=—tz*sin—=-?G.

23482

2.(2022屆陜西省西安市高三上學期月考)在銳角28C中，角45。所對的邊分別是見Ac,

且6sin5—Qsin/=26sinI^4+—I-csinC.

⑴求角A的大小；

(2)求sinC-cos8的取值范圍.

(71)71兀

【解析】⑴6sin5-Qsin/=2bsinA-\——\-csinC=(26sin力cos——F26cosZsin----c)sinC,

I6J66

■rrjr

由正弦定理得〃-a2=2bcsinAcos——\-2bcCOSTIsin----c2,

66

22

所以VJbcsin/+bccos4=b2+c-a=2bccosA，>/3smA=cosA，

cos/wO,所以tan/=",又/e(0,萬)，所以

36

TTTTTTTTTC

(2)三角形為銳角三角形，所以2+8=7+3>彳，B>~,即；<8<彳.

62332

sinCcosB=sin(-^--B)cosB=(sin齊cosB-cos葛sinB)cosB=gcos2B+sinBcosB

1+cos25

+sin25=—sin2B+—cos2B)+—=—sin(25+—)+—，

442224264

兀j-.兀|-.r5兀—八7C7兀1./cnTC.1

—<B<—,貝U—<25+一<—,——<sin(25+—)<-,

32666262

所以0<sinCcosB<g.即sinCeosS的范圍是(0,g).

易錯題E

在△/BC中，角/、B、C所對的邊分別為a、b、c且a=l,c=V^.

71

⑴若C=/求/；

7T

(2)若/=一，求b,c.

6

【警示】在用正弦定理解三角形時，易出現漏解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮C邊比。

邊大,在求得sin/=^e￡=1后,得出角或在在第(2)問中又因為沒有考慮角C有兩解,

c266

csin/3兀7C

由sinC=——>=*_,只得出角。=_，所以角2=-,解得b=2.這樣就出現漏解的錯誤.

a232

【答案】(1)由正弦定理得，一=」一,即sin/asinC_1

sinAsinCc2

7171

又a<c^A<C^0<A<-,--A=-.

sm

,accsinA66K2TI

(2)由----=----，得sinC=--------=----------=—,???0=一或一.

sin/sinCa1233

兀7L2兀TL

當。=一時,5=-,「必=2；當C——時乃=一,「?6=1.

3236

綜上所述乃=2或b=l.

【叮囑】已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，注意要對解的情況進行討論,討論的根據一

是所求的正弦值是否合理，當正弦值小于等于1時,還應判斷各角之和與180。的關系；二是兩

邊的大小關系.

支式練習

1.(2021屆新高考1卷T19)記A48C的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c.已知/=因,

點。在邊/C上，BDsinZABC=asinC.

⑴證明：BD=b；

(2)若NO=2DC,求cosN/BC.

An

【解析】（1）解法一：證明：由正弦定理知，---二---=2R,

sinZABCsinZACB

b=2Rsin/ABC，c=2RsinNACB，

vb2=ac,b-2RsinZ.ABC=a-2RsinZ.ACB,BPbsinAABC=asinC,

,/BDsinZ.ABC=asinC.BD=b；

(2)由(1)知30=6,

21

?/AD=2DC,:.AD=—b,DC=—b,

33

BD?+AD?-AB?13/一9/

在中，由余弦定理知,cosABDA=

2BD.AD12^-

222

/?n_i_cr)-RCb+(彳6)-22

在ACM中，由余弦定理知，cosZBDC=bU-=——J-10b-9a

2BD.CD八1,-布-

lb--b

3

???/BDA+/BDC=TT,

13叱9c2+10叱9J0,

cosNBDA+cos/BDC=0,得11b2=3c2+6a2，

12/6b2

'：b2=ac,3c2-1lac+6a2=0,二C=3Q或。=—a,

3

在A42c中，由余弦定理知，cos48c/+/*=礦+°2—因

2ac2ac

7?7

當c=3a時，cosZABC=—>1)；當c=—a時，cosZABC=一；

6312

7

綜上所述，cosZABC=一.

12

2.(2018屆全國卷1T16)A45C的內角/,B,。的對邊分別為a,b,已知

bsinC+csinB-AasinBsinC,b2+c2-a2=8,則A45C的面積為.

【答案】當

【解析】A45C的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,Z)sinC+csin5=4asin5sinC,

利用正弦定文可得sin5sinC+sinCsinB=4sinZsin5sinC,由于0<5<?,0<C<?,

所以sin3sinCw0,所以sin4二,則4=工或生，由于〃+。2—/=8,貝IJ：

266

62+°2_02

cosA=

2bc

①當時,乎卷,解得小哈所以S“*in/=竿.

②當/=巨時，Ji=&,解得慶=一座（不合題意），舍去.

622bc3

故^^=當?

易錯題通關

1.在AN8C中，4=30。，AB=y[?>,BC=l,則NC等于（）

A.H或牙B.%或不C.-D-7

【答案】A

【解析】由正弦定理知型;=學，.?.sinC=W^-sin/=J^xL=3,

smZsmCBC22

?--0<C<7t,C>/,；.C=0或與.故選A.

2.（2022屆北京市第十五中學高三上學期期中）在28C中，茗b=3,c=布,C=3,則邊°

的大小為（）

A.a=1B.Q=2C.a=3D.。=1或。=2

【答案】D

【解析】因為b=3,c=V7,C=（,所以由余弦定理可得c2=/+〃-2McosC,即7=1+9-3a,

解得。=1或。=2,當。=1或。=2時，均能構成三角形，故選D

3.中，已知下列條件：（T）Z?=3,c=4,5=30°；②a=5,6=8,A—30°；③c=2,

b=65=60°；④c=12,6=12,C=120。.其中滿足上述條件的三角形有兩解的是

（）

A.①④B.①②

C,①②③D.③④

【答案】B

【解析】①6>c-sinB=2,且b<c,所以三角形有兩解；

②a>6-sin/=4,且。<6,所以三角形有兩解；

③sinC=/￥=lnC=90°,所以三角形有一解；

b

④c=12,b=n,C=120°,則3=C=120。，則B+C>180。，所以三角形無解.

所以滿足上述條件的三角形有兩解的是①②.故選B

4.（2022屆福建省部分名校高三11月聯合測評）在中，內角A,B,C所對的邊分別

為a,b,c,貝/，:=胃，，是，，A/BC是等腰三角形，，的（）

bcosA

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】在A/8C中，由7=%結合余弦定理得J+C-2,整理得

bcosA2bclac

a2c2-a4=b2c2-b\即（/_/）（/+62-2）=0,則或/+/=,2,q5c為等腰三角

形或直角三角形，

//cosR

即“下=一不能推出“A/8C是等腰三角形“，而A/BC為等腰三角形，不能確定哪兩條邊

bcosA

相等，不能保證有?=胃成立,

DCOS力

/7ccqR

所以“7=—1'是"A/8C是等腰三角形”的既不充分也不必要條件.故選D

bcosA

5.在銳角"BC中，角4瓦C的對邊分別為。也c，若6=2,8=2C,則。+c的取值范圍為)

A.（272,2^/3）B.(272,4)

C.（0,272）D.”4)

【答案】A

【解析】在AZBC中，由B=2C及正弦定理三號=，7得:

sinZsinBsinC

6sin/2sin3C2(3sinC-4sin3C)3-4(1-cos2C)1

sin5sin2C2sinCcosCcosCcosC

bsinC2sinC1

c,

sin5sin2CcosC

于是得=4cosC---------+——=4cosC

cosCcosC

C4兀一7t

0<A<—0<7i-3C<—

22

717t

因為A4BC為銳角三角形，則有-0<B<—,即,0<2C<-,解呢有

2＜Y，

0<C<-0<C<-

[2[2

條cosC＜等，則4cosce（2血,26），

所以a+c的取值范圍為（2a,26）.故選A

6.（多選）（2022屆湖北省十一校高三上學期聯考）三角形"BC中，角A,B,C的對邊分

別為a,b,c,下列條件能判斷“BC是鈍角三角形的有（）

A.a=6,b=5,c=4B.AB,BC=2a

_a-bsinC_..

C.------=--'D.62sin2C+c2sin25=2bccosBcosC

c+bSUM+sinB

【答案】BC

【解析】A：由a>b>c可知4〉5〉C,且〃+°2=41>36=/,所以A是銳角，故A不能

判斷；

B：由方?瑟=-accosB=2a,得cosBvO,則B為鈍角，故B能判斷；

C：由正弦定理巴三二三，得〃+。2一.2=一反，則cos/=-1,A=”,故C能判斷；

c+ba+b23

D：由正弦定理，條件等價于sir?5sir?。+sin?Csin2B=2sinBsinCcos5cosC,

■jrTT

則sinBsinC=cosBcosC,即cos（8+C）=0,故8+C=—,則/=—,故D不能判斷.

22

故選BC

7.（2022屆黑龍江省哈爾濱高三上學期期中）在△43C中，內角4及。的對邊分別為

a,b,c,A=60°,a=2A/6,6=4,則角C=.

【答案】75。

【解析】因為/=60°,a=2?,b=4,

a2^64b

根據正弦定理可得：sinN百sin5sin5，

~T

解得：sinB=—,則8=45°或135°;

2

因為a>6,故可得/>8,則3=45°;

故。=180。-/-2=75。.

8.（2022屆河北省石家莊市高三上學期質量檢測）已知A48C中，角4,B,C所對的邊分別

為a,b,c.若26cosc=a+2ccosB,b=6c，貝IJcosC二.

3

【答案】4

4

【解析】由正弦定理可得2sin5cos2=sin^4+2sinCcosB,

故2sin5cosC=sin（5+C）+2sinCcosB,

故2sin8cosC=sin5cosC+cos8sinC+2sinCcosB,

整理得至!Jsin5cosc=3cos5sinC,

而6=收。，故sin5=J^sinC，所以收85。=3以）55,

23a

故2sin?C+—cos2C=1,解得cosC=—或cosC=-一,

944

3

若cosC=-“則cos3<0,故民。同為鈍角，這與0<5+。<"矛盾,

3

故…7

9.在銳角A/BC中，角A,B,C的對邊分別為。/c,已知a-2ccosB=c.

(1)求證：B=2C.

(2)若c=l,求6的取值范圍.

【解析】(1)因為a-2ccos8=c,由正弦定理得sin/-2sinCcos8=sinC,

因為sin/-2sinCcos8=sin(B+C)-2sinCcosB=sin(5-C),

所以sin(8-C)=sinC,則8—C=C或B-C+C=萬，

即8=2C或8=萬(舍去)，故8=20.

JTTTTT

(2)因為A/8C是銳角三角形，所以0<2。<彳,解得￡<C<￡,

264

71

0<?—3C<—

[2

所以也<cosC<且,

2